Suma de Riemann
Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el area
bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda
hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales
derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos
maximo y mínimo hacen la aproximación usando,
respectivamente, los valores mas grandes y mas pequeños del
punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida
que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la
derecha.En matematicas, la suma de Riemann es un método de
integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una
integral definida es decir el area bajo una curva, este método es
muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del
Calculo. Estas sumas toman su nombre del
matematico aleman Bernhard Riemann.La suma de Riemann consiste
basicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de
un area irregular, calcularel area de cada uno de los rectangulos
y sumarlos. El problema de este método de
integración numérica es que al sumar las areas se obtiene
un margen de error muy grande.
Definición
Consideremos lo siguiente:
* una función
donde D es un subconjunto de los números reales
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un conjunto finito de puntos tales que a = x0 < x1
< x2 < xn = b
crean una partición de I
P =
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann
de f sobre I con la partición P se define como
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como
la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma
trapezoida
