Analisis de
Sensibilidad y Dualidad en Modelos de Programación Lineal.
Dualidad en Programación lineal
Cuando se tiene un modelo lineal determinado, se puede definir otro modelo
lineal del cual se podran obtener
propiedades interesantes del primero, a lo que
se conoce como
dual.
La solución del
modelo dual permite obtener algunos resultados, acerca del analisis de sensibilidad de las
variables independientes. Mas específico, para los rangos de
valores de las variables independientes para los que se mantiene la base
óptima y que se pueden conocer mediante el analisis de sensibilidad;
la solución del dual ayuda para obtener el precio sombra de una
restricción, que sera la variación de la función
objetivo por unidad incrementada del término independiente de la
restricción.
Si el modelo esta escrito en la forma canónica,
el dual resulta singularmente facil de obtener.
Si se trata de obtener el dual del dual, se obtendra el
primal que se refiere a una correspondencia biunívoca. De forma mas general, las reglas para obtener el dual de
cualquier modelo lineal se indican en la siguiente tabla.
Analisis de la sensibilidad
El analisis de sensibilidad es el que estudia los intervalos para los
cuales la modificación de un valor (coeficiente de la función
objetivo o término independiente) en el programa lineal, de forma
individualizada, no cambia las variables quecomponen la base de nuestra
solución. Hallando, para el rango de valores definido
en el intervalo, la evolución de la función objetivo lo que se
expresa a través de los precios sombra.
El analisis de sensibilidad es una herramienta muy útil cuando no
se tirene certeza absoluta sobre los valores que se han dado a los
términos independientes de las restricciones, que en muchas ocasiones
son asociados a la limitación de los recursos, o los coeficientes de la
función objetivo. Para estos casos el
analisis de sensibilidad consiste en estudiar cómo evoluciona el
óptimo y el valor de la función objetivo en el óptimo ante
variaciones de dichos términos independientes y coeficientes.
Por otro lado, el analisis paramétrico, que no es mas que
un analisis de sensibilidad en profundidad de los términos
independientes de las restricciones, estudia las variaciones de la
solución óptima mas alla de la solución
obtenida con los valores iniciales de los parametros. Se consideran
todos los valores posibles del
término independiente, desde -∞a +∞, analizando las
variables que entran y salen de la base (cambios de base), así como la evolución
de los precios sombra.
|2 |4 |
|3 |7 |
|4 |8 |
|5 |6 |
|6 |9 |
|7 |10 |
|8|12 |
Hay que tomar en cuenta que las llegadas se rigen por la Ley Probabilística de
Poisson, siendo n = 70
Supongamos por otra parte que la duración del servicio obedece a la Ley
Exponencial y que al observar el tiempo tardado en despachar cada una de las 90
personas que han llegado a esta instalación se han obtenido de los siguientes
resultados:
|Tiempo Minutos |Frecuencia |
|0 – 2 |20 |
|2 – 4 |15 |
|4 – 6 |12 |
|6 – 8 |15 |
|8 – 10 |10 |
|10 – 12 |18 |
a) Probabilidad de que haya más de 4 personas frente a la ventanilla.
b) El tiempo promedio en el sistema.
c) Probabilidad de tener que esperar más de 5/4 de hora.
d) Numero medio de unidades en el sistema.
SOLUCION.
Fenómeno: cierta ciudad
Sistema: centro comida rápida
Servidor: la ventanilla
Con respecto a las llegadas
|Numero de Llegadas |Frecuencia
(fi) |xifi |
|0 |8 |0 |
|1 |6 |6 |
|2 |4 |8 |
|3 |7 |21 |
|4 |8 |32|
|5 |6 |30 |
|6 |9 |54 |
|7 |10 |70 |
|8 |12 |96 |
70 |317 |
Ley de Poisson X = ( x z
z: Intervalo de tiempo 28 minutos
n: Sumatoria de la Frecuencia
(: ?
X = ((xifi) / n
Resolviendo;
X = ((xifi) / n = 317 /70 = 4,53
X = ( x z
4,53 = ( x 28
( = 4,53 / 28
= 0.16 llegadas por minutos.
Con Respecto a las salidas
|Tiempo Minutos |Frecuencia |X’i |xifi |
|0 – 2 |20 |1 |20 |
|2 – 4 |15 |3 |45 |
|4 – 6 |12 |5 |60 |
|6 – 8 |15 |7 |105 |
|8 – 10 |10 |9 |90 |
|10 – 12 |18 |11 |198 |
90 518 |
Cuando se trabaja con intervalos de frecuencia se debe determinar un promedio
para xi;
xi = (li + ls) / 2
Ley Exponencial: X = 1/(
X = ((xifi) / n = 518 /90 = 5,76
X =1/(
5,76 = 1/(
( = 0,17 salidas por minuto
condición necesaria ( > (
0,17 > 0,16
Probabilidad que haya más de 4 personas frente a la ventanilla.P ( N> n) =
(n+1 = (0.94)4+1
P (N > N) = 0.73 = 73%
( = ( / (
( = 0,16 /0,17 = 0.94 = 94%
existe una probabilidad de 73% que hayan más de 4 personas esperando recibir
servicio.
sCuál sería el tiempo promedio de una persona en el sistema?
ts = 1 / (( - ( ) = 1 / (0,17 – 0,16) = 100 minutos
100 minutos en cuales está comprendido el tiempo que permanece en la cola y
recibiendo servicio. Para determinar el tiempo
de la cola se aplica la siguiente formula.
tf = ( / ( (( - ( ) donde ts = tf + (1 / ()
100 = tf + (1 / 0,17 )
tf = 100 – 5,88 = 94,11 minutos
5,88 es el tiempo en el cual se presta el servicio por lo tanto la diferencia
indica el tiempo que permanecerá la persona en la cola esperando ser atendido
este valor es así de alto debido a que la intensidad del sistema es alta 94% lo
que indica que siempre estará congestionado el sistema .
Si se desea calcular la probabilidad de tener que esperar 5 / 4 de hora es
decir 75 minutos.
(P >w) = ( x e -( x w (1- ()
(P > w) = (0,94) –(0,17) (75) (1-0,94)
(P > w) = 43%
Tan solo 43% de probabilidad de esperar 75 minutos. Recordando que el tiempo
promedio en el sistema es de 100 minutos.
Para determinar por ejemplo el número de
unidades en el sistema se procede de la siguiente manera.
E(n) = ( / (1 - () ó ( / (( - ( )
E (n) = 0,94 / (1 – 0,94)
E (n) = 15,67 personas = 15 personas o unidades.
Solo existe un servidor y de manera general, en promedio se encuentran 15
personas en el sistema es por ello el atraso, se podría recomendar incrementar
el número de servidores para garantizar un óptimo servicio. 0,67 indica la
probabilidad que otra persona ingrese al sistema.
APLICACIÓN PRACTICA DE LA TEORÍA DE COLA CANAL MÚLTIPLE
SISTEMA PARA UN CANAL MÚLTIPLE
| (((( (
|
|
|(((( (
|
|(((( (
| Personas en Cola Recibiendo | Servidores |
|
|(((( (
|
|(
| Personas en Cola Recibiendo | Servidores |
Caso Practico canal múltiple
Esthela Da Silva es la hija mayor de Esteban Da Silva. Ella es una estudiante
de la Facultad de Ciencias de la Salud, cursa 4s año de Odontología y estudia
dos turnos consecutivos (Mañana y Tarde), y solo tiene 30 minutos libres para
la comida debido a sus ocupaciones con las prácticas médicas. El sitio favorito
de Esthela para comer es el Cafetín de la facultad pero también es el favorito
de muchas otras personas (q
Referencias
Los Autores. (2002). Dualidad y sensibilidad en
investigación de operaciones. Recuperado el octubre de 2013, de
Investigación de operaciones:
https://www.investigacion-operaciones.com/Libro/Dualidad-Sensibilidad.pdf
