Funciones cuadraticas   
'La competencia matematica con la  calculadora grafica” 


Introducción.

Se proponen tres actividades para un curso de Matematicas A, de 4º de ESO. Se supone que los alumnos han utilizado ya algunas funciones. Con las actividades que se proponen se pretende que los alumnos se aproximen, aprovechando esos conocimientos, al concepto de función y que lo asocien con su representación grafica. En general, se pretendera que sea el propio alumno el protagonista de su aprendizaje, siendo el profesor el que le guía, planteandole cuestiones motivadoras y actividades con un doble objetivo: que el alumno vaya descubriendo por si mismo las propiedades de las funciones polinómicas de segundo grado y que desarrolle el razonamiento, la idea de abstracción, el proceso del analisis. Se estiman tres sesiones de clase para el desarrollo de las tres actividades (una por sesión).

1. Objetivos.

Los objetivos que se pretenden en esta unidad son: 1. Identificar y representar funciones polinómicas de segundo grado o cuadraticas. 2. Conocer el significado de los coeficientes de una función cuadratica. 3. Identificar los coeficientes de una función cuadratica a partir de su expresión grafica. 4. Aplicar los conocimientos adquiridos para modelizar problemas de la vida real y resolverlos.

2. Contenidos. Los contenidos que se desarrollan en estas actividades son: • • • • • • Función cuadratica. Eje de una parabola. Vértice de una parabola. Coeficientes deuna función polinómica de segundo grado. Concavidad y convexidad. Maximos y mínimos relativos.


3. Competencias basicas. Estas actividades contribuyen al desarrollo de las siguientes competencias basicas: Competencia matematica • Entender una función como una modelización de la realidad. • Analizar el significado de los coeficientes de una función cuadratica. Competencia lingüística • Saber entresacar de un texto la información necesaria para modelizar la situación que se propone mediante una función. • Expresar correctamente los resultados de problemas reales. Tratamiento de la información y competencia digital • Dominar y valorar el uso de la calculadora grafica como ayuda para la resolución de problemas matematicos. Conocimiento e interacción con el mundo físico • Valorar el uso de las funciones como elementos matematicos que describen multitud de fenómenos del mundo físico. Social y ciudadana • Utilizar las funciones para modelizar situaciones que ayuden a mejorar la vida humana. Aprender a aprender • Investigar las propiedades matematicas de las funciones cuadraticas Autonomía e iniciativa personal • Saber modelizar mediante funciones una situación dada.

4. Secuencia de actividades.

Actividad 1: Las funciones polinómicas de segundo grado. 

Una función polinómica de segundo grado es una función de la forma

donde , ,

,

0.

La función polinómica de segundo grado mas sencilla es la función ( 1, 0, 0 ). Vamos a representarla graficamente. Para ello, construimos una tabla de valores conla calculadora grafica


Al representar graficamente estos puntos obtenemos:

Uniendo los puntos obtenemos una parabola:

Notemos que la parabola es simétrica respecto de una recta vertical llamada eje. El punto de intersección de la curva con este eje se llama vértice de la parabola.


Calculemos de forma general el vértice de la parabola. Como la parabola es simétrica respecto de su eje, la abscisa del vértice sera el punto medio de dos valores de x que tengan la misma imagen. Calculemos, pues, los puntos que tengan como imagen c

Resolvemos esta ecuación con la calculadora:

obteniendo 0, Calculamos el punto medio: 0 2 2

Así, podemos construir una tabla de valores dando a x, por ejemplo, tres valores menores y tres valores mayores y representar estos puntos en unos ejes. Por ejemplo, para representar la función 4 calculamos la abscisa del vértice 4 1

2 2 1 Construimos una tabla de valores con el vértice, tres valores mas pequeños y tres valores mas grandes.


Los representamos y los unimos

Ejercicio: Representar graficamente las siguientes funciones:

(a) (b) (c)

2 3 6 6

1 2

(d) (e) (f)

5 2 2

6


Actividad 2. Interpretación de los parametros.  
 

Para responder a las siguientes preguntas, sobre el parametro a: (a) ¿Qué diferencia hay entre el coeficiente positivo y negativo? (b) ¿Qué sucede si aumenta o disminuye el valor de a? vamos a representar distintas funciones de la forma : 2

2

2

2

Podemos observar que: • Si 0, la parabola es convexa. •Si 0, la parabola es cóncava.


Si representamos todas las funciones anteriores juntas

observamos que a medida que aumentamos en valor absoluto el valor de a, la parabola es mas cerrada. Veamos a continuación cual es el significado del coeficiente b. Para ello, en primer lugar veamos que ocurre cuando representando con la calculadora varias funciones: 3 2

En estas tres graficas 0 y observamos que la parabola es simétrica respecto al eje de ordenadas. Ahora bien, ¿qué ocurre si 0? Como la abscisa del vértice es • • , tenemos que:

Si a y b tienen el mismo signo, la abscisa del vértice de la parabola es negativa y por tanto el eje de la parabola esta situado a la izquierda del eje de ordenadas. Si a y b tienen distinto signo, la abscisa del vértice de la parabola es positiva y por tanto el eje de la parabola esta situado a la derecha del eje de ordenadas.


Ejercicio: Sitúa el eje de las siguientes parabolas y represéntalas con la

calculadora grafica para comprobarlo: 4 4

4

4

Para ver el significado del coeficiente c, representamos las siguientes funciones con la calculadora grafica: 4 4

2

3

4

4

El coeficiente c es el término independiente de la función polinómica, es decir, es la imagen de 0: 0 0 0 Luego, la grafica de la función corta al eje de ordenadas en el punto (0, c).


Ejercicio: Determina el signo de a, b y c en las siguientes funciones polinómicas

de segundo grado

Actividad 3: Aplicación de las funciones polinómicas de segundo grado. 

Se deseaconstruir un recinto lo mas grande posible pero el recinto tiene que estar vallado. Tenemos 300 metros de valla. 1. Supongamos que el recinto tenga forma rectangular. Si hacemos un lado de 100 metros, considerando que tenemos 300 metros de valla, ¿cuantos metros medira el otro lado del rectangulo?

2. El area de un rectangulo indica el espacio que hay dentro del rectangulo. Se calcula, como es sabido, multiplicando un lado por otro. Calcula el area del rectangulo anterior. Recuerda que el resultado vendra en metros cuadrados.

3. Realiza un dibujo a escala del recinto.

4. ¿Y si hacemos un lado de 20 metros? ¿Cuanto medira el otro lado? ¿Qué area tendría este recinto?

5. ¿Y si hacemos un lado de 30 metros? ¿Cuanto medira el otro lado? ¿Qué area tendría este recinto?


6. Completa esta tabla: Primer lado 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Segundo lado Metros de valla total Area del recinto 300 300 300 300 300 300 300 300 300

7. Copia los datos del primer lado y el area en la siguiente tabla. Introdúcelos en la calculadora y dibuja los puntos en unos ejes coordenados. Copia en la figura la grafica obtenida con la calculadora. Lado(x) Area (y

8. ¿Qué forma tiene esta función? ¿Cómo se llama el punto mas alto? ¿Qué representa este punto?

9. Conclusión. ¿De qué medidas hay que hacer el recinto para que tenga area maxima?

10¿Qué ocurriría si decidiésemos hacer el recinto de forma redonda? ¿Sabes cuantos metros cuadrados podríamos vallar si tenemos 300 metros de valla?


5. Recursos materiales.Los materiales que utilizamos en esta actividad son: • • • Ordenador con proyector. Calculadora CASIO Classpad para los/las alumnos/as y emulador para el profesor/a. Fotocopias con la guía de la actividad.

6. Criterios de evaluación
 

Los criterios de evaluación de esta actividad son: • Reconocer las características basicas de las funciones polinómicas de segundo grado en su representación grafica o algebraica, y representarlas graficamente cuando vengan dadas por un enunciado, una tabla o una expresión algebraica.

Se pretende que los alumnos muestren su capacidad para identificar estas funciones al presentarlas en forma de enunciado, en forma algebraica o en forma grafica, así como para trasladar al contexto del problema las características basicas de este tipo de funciones. • Determinar e interpretar las características de una grafica y obtener información para formular conjeturas sobre el fenómeno que representa.

Los alumnos han de mostrar su capacidad para integrar los conocimientos matematicos en situaciones de la vida cotidiana, así como en otras disciplinas científicas. Para la evaluación de esta actividad se tendra en cuenta: • • • la participación activa de los alumnos y alumnas en clase, la realización de los ejercicios propuestos y la presentación por escrito de la actividad 3.

En la actividad 3, se valorara la presentación de los resultados, la utilización correcta del vocabulario matematico, el orden y el rigor de los resultados así como las conclusiones obtenidas del modelo.