Vectores
El concepto matemático de vector es muy útil para la descripción de posición,
velocidad y aceleración en el movimiento bidimensional o en el tridimensional.
El desplazamiento de una partícula es simplemente un
cambio de su posición. SI una partícula se mueve de un
punto P1 a un punto P2 puede representarse gráficamente el cambio de posición
mediante una flecha o un segmento dirigido de line recta que vaya de P1 a P2.
El segmento dirigido de line a recta es el vector de desplazamiento de la
partícula. Un vector de desplazamiento tiene una
magnitud y una dirección.
El vector de desplazamiento sirve como prototipo para todos los demás
vectores. A fin de decidir si alguna cantidad dotada tanto de magnitud como de dirección es un vector,
se comparan sus propiedades matemáticas con las del vector de desplazamiento. Cualquier
cantidad que tenga magnitud y dirección y que se comporte matemáticamente como
el vector de desplazamiento es un vector.
Por el contrario cualquier cantidad que tenga una magnitud
pero no una dirección se llama escalar.
La suma y resta de vectores: Como,
por definición, todos los vectores tienen las propiedades matemáticas de los
vectores de desplazamiento, pueden investigarse todas las operaciones
matemáticas con vectores observando los vectores de desplazamiento. La más
importante de estas operaciones matemáticas es la suma vectorial. Dos
desplazamientos que se llevan a cabo en forma sucesiva dan por resultado un desplazamiento neto, considerado como la suma vectorial de losdesplazamientos
individuales.
De acuerdo con el capítulo 1, “x” y “y” son las componentes de la posición.
Ahora se adoptara una terminología vectorial, de acuerdo con la cual “x” y “y”
son las componentes del vector posición.
El vector de posición y los demás vectores pueden expresarse
en términos de vectores unitarios a los largo de las coordenadas. Los
vectores unitarios a lo largo de los ejes x y z se designan como i, j y k.
B
A
A= √Ax² + By²
A= √ (10.2)² + (5.9)² = √104.04 + 34.81
A= √138.85 = 11.78
Tan θ = B/A = 5.9/ 10.2 = 0.578
θ = 30 ͦ al N-E
2) Sen θ = CO/ Hip
CO = Hip. Sen θ
CO = 280 Sen 29 ͦ
CO =135.74 m (3) = 407.24 m
Cos θ = CA/ Hip
3. Dimensión fractal.
Ahora que conocemos parte del
contexto en el que se encuentran los fractales seguiremos con su definición
formal, la cual dice
Un fractal es por definición, un conjunto cuya dimensión de
Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.[1]
Dimensión topológica y Dimensión fractal.
Desde un cierto punto de vista (que llamaremos topológico) una circunferencia y
un segmento de recta son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie
puesto que es posible transformar una en la otra mediante una deformación
continua, es decir, sin cortar o someter a manipulaciones 'no
topológicas”. Ahora bien, desde otro punto de vista (métrico) no son la misma
curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son
finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita. En el ejemplo anterior, lo
que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión topológica.
La definición de dimensión topológica dada por Henri Poincaré fue la siguiente:
* El conjunto vacío tiene dimensión -1.
* Si los bordes de los entornospequeños de todos los puntos del ente son espacios
(n-1)-dimensionales, decimos que el espacio que consideramos es n-dimensional.
Así, según esto, se tiene:
* Conjunto vacío: dimensión topológica: D = -1
* Punto: D = 0
* Segmento: D = 1
* Cuadrado: D = 2
* Cubo: D = 3
Otra definición de dimensión topológica es por semejanza, llamada también de
autosemejanza, que sugirió Félix Hausdorff en 1919, readaptada posteriormente
por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich o Topológica). Si al obtener
desde un ente H, N entes iguales, semejantes al original, con razón de
semejanza r, entonces la dimensión topológica de H es el número real D que
verifica[6]:
NrD = 1
Figura 2 Segmento dividido en 5 partes iguales (5 seg. congruentes). Adaptada
de: Polar (2006) [5
Figura 3 Cuadrado dividido en 16 partes iguales (16 cuadrados congruentes) para
lo cual se dividió cada lado en 4 partes. Adaptada de: Polar (2006) [1
Figura 4 Cubo dividido en 8 partes iguales (8 piezas cúbicas congruentes) para
lo cual se dividió cada arista en 2 segmentos iguales. Adaptada de: Polar
(2006) [5]
El número de partes o piezas en cada uno de los tres casos presentados en la
página anterior es:
En el segmento
En el cuadrado 16 = 42
En el cubo 8 = 23
Si examinamos el valor del exponente en cada una de esas igualdades, encontramos
que éste es la dimensión de cada objeto (1, 2 y 3) y así podemos formular la
siguiente ecuación[5]:
De esa ecuación resulta, al despejar D:Ahora seguimos ese procedimiento con un
objeto fractal, por ejemplo, con el conjunto de Cantor, partiendo de un
segmento, se divide en tres segmentos de igual longitud y se suprime el
segmento o parte central; se obtienen dos segmentos congruentes y se itera con
éstos el procedimiento anterior. Como
cada segmento se divide en tres piezas idénticas y se suprime una pieza,
entonces N=2 y el factor de disminución es c= 1/3, por lo tanto k=3 es el
factor de aumento, resultando 2=3D de donde:
D= Ln 2 / Ln 3 = ï€ 0 . Como 0<D<1, el conjunto o fractal de
Cantor es más que un punto (dimensión 0) y menos que
una línea (dimensión 1).
Figura 5 Fractal: Conjunto de Cantor Adaptada de: Polar (2006) [5
Un fractal, además de tener una dimensión fraccionaria, es una forma geométrica
que presenta “simetría de escala”. Es decir, si se aumenta cualquier zona de la
misma un número cualquiera de veces seguirá pareciendo la misma figura[7].
Figura 6 Un Fractal, el conjunto de Mandelbrot para
denotar la autosemejanza de un fractal. Nótese que el cuadro
ampliado en la imagen de abajo es casi idéntico al de arriba. Tomada de:
Wikipedia (2008) [3]
4. Tipos de fractales.
Los fractales (“artificiales”) pueden generarse empleando
números reales o complejos.
4.1 Fractales Reales.
Este tipo de fractales poseen reglas geométricas de reemplazo que se realizan un número infinito de veces, <
CA = 80 Cos 29
CA = 80 Cos 29 = 69.96 (2) = 139.8 m
R= √ (407.24)² + (139.8)²
R= √ 165844.41 + 19544.04
R= 430.56 m
Cos θ = CA / Hip = 407.24 / 430.56
Cos θ = 0.94 θ = 18.94
α = 90 + 18.94 = 108.94 ͦ N-O
3) x = √ (18)² + (9.5)²
X = √324 + 90.25 = √414.25
X = 20.35
Ley de los Cosenos
a² = b² + c² - 2b cos α
a² = 12² + (20.35)² - (12)(20.85) cos 30 ͦ
a² = 144 + 414.122 – 433.35
a² = 558.12 – 433.35
a = √124.72 = 11.17 km
Ley de Senos
Sen α/ a = Sen β/b
Sen β = b sen α/ a
Sen β = 12 sen 30 ͦ/11.17 = 0.53
β= 32.49 ͦ
25) A= -5i – 3j +k
B= 2i + 1j – 3k
a) A+ B = -3i – 2j – 2k
b) A –B = -7i – 4j +4k
c) 2A – 3B
2A = -10i -6j +2k
3B = 6i + 3j – 9k
2A – 3B = -16i – 9j + 11k
28) E = 5i + 13j + 7k E = 3i -2j –k
Magnitud de E:
E = √ (5)² + (13)² + (7)² = √207025 = 15.58
Magnitud de F:
F= √ (3)² + (-2)² + (-1)²
F= √14
F= 3.741
