Conceptos básicos de probabilidad
Teoría.
1. Haga parejas según convenga:
Proceso planeado que da lugar a observaciones o recolección de datos y no puede
predecirse su resultado con exactitud._______
Conjunto de resultados posibles para un experimento._______
Se dice que es un espacio donde el número de sus elementos es infinito contable
o finito._______
a) Espacio muestral discreto.
b) Experimento.
c) Espacio muestra.
Solución: b, c, a.
2. sDe qué otra manera se les puede llamar a los eventos?.
a) Principios de conteo.
b) Medidas de tendencia.
c) Subconjuntos del
espacio muestral.
Solución: c.
3. Relacione las definiciones con su respectivo concepto.
a) Evento.
b) Evento compuesto.
c) Evento mutuamente excluyente.
______ Se forman con las operaciones de unión o intersección.
______ Es un subconjunto del
espacio muestral.
______ Son aquellos que no tienen resultados en común.
Solución: b, a, c.
4. sCómo definiría a la probabilidad de un evento?.
Solución: Es un número entre 0 y 1, inclusive, que se asocia al suceso del evento.
5. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son correctas para mencionar
los tres axiomas de probabilidad.
a)
b)
c)
Solución: b.
6. Asigne una de las probabilidades 0, 0.01, 0.3, 0.99 y 1 a las afirmaciones
siguientes:
a) El evento es imposible, nunca podrá ocurrir.
b) El evento es seguro.
c) El evento es muy pocoprobable, pero ocurrirá alguna vez si hay gran número
de ensayos.
d) Son más las veces que ocurre el evento de las que no.
Solución: 0, 1, 0.01, 0.99.
Problemas.
7. Liste un espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos:
a) Lanzar una moneda de cinco centavos y otra de un peso, en ese orden, y
registrar la forma en que caen.
b) Lanzar un dado y una moneda, en ese orden, y registrar la forma en que caen.
c) Seleccionar al azar a un estudiante universitario hombre y preguntarle si
posee un coche.
Solución:
a) S = ï»AA, SA, AS, SSï½.
b) S= ï»1A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A, 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6Sï½.
c) S= ï»Tiene carro, No tiene carroï½.
8. Describa al menos dos espacios muestrales diferentes para el experimento de
elegir un grupo de dos estudiantes de una clase de cinco y registre los
resultados.
Solución:
• El sexo de los integrantes: ï»HH, MH, HM, MMï½.
• El promedio de los integrantes: ï»(Alto, Alto), (Alto, Bajo), (Bajo, Alto),
(Bajo, Bajo)ï½.
9. Para el espacio muestral de 36 resultados
posibles cuando se lanzan dos dados, encuentre el número de resultados para los
cuales:
a) Ambos dados muestran un número par.
b) Exactamente un dado muestra un número par.
c) A lo más un dado muestra un número par.
Solución:
a) Son nueve resultados: ((2, 2), (4, 2), (6, 2), (2,4), (4, 4), (6, 4), (2,
6), (4, 6), (6, 6)).
b) Son dieciocho resultados: ((2, 1), (4, 1), (6, 1), (1, 2), (3, 2), (5, 2),
(2, 3), (4, 3), (6, 3), (1, 4), (3,4), (5,4), (2, 5), (4, 5), (6, 5), (1, 6),
(3, 6), (5, 6)).
c) Veintisiete resultados, son todos los resultados posibles, exceptuando los
que tienen los dos resultados pares, que corresponden a nueve.
10. Hallar la probabilidad de un evento si la ventaja de que suceda es:
a) 2 a 1.
b) 5 a 11.
Solución:
a) Como la
relación que hay entre estos dos números es de complementación, se dice que la
ventaja es de 2/3.
b) De igual manera al inciso anterior es para este caso dando como resultado 5/16.
11. Un meteorólogo predice lluvia con una probabilidad de 70%.
a) sCuáles son las oportunidades a favor de que llueva?.
b) sEn contra?.
Solución:
a) Como se sabe, la probabilidad dada (70%), es
complemento del
100%, por lo que se tiene a favor de que llueva 7:3.
b) La probabilidad en contra sería al réves.
12. Se lanzan una moneda y un dado, siendo el espacio muestral S el siguiente:
S= ï»A1, A2, A3, A4, A5, A6, S1, S2, S3, S4, S5, S6ï½.
a) Expresar explícitamente los eventos: A=ï»Aparece águila y un número parï½,
B=ï»Aparece un número primoï½, C= ï»Aparecen soles y un número imparï½.
b) Expresar explícitamente el evento en que: i) A o B suceden.
ii) B y C suceden.
iii) Sucede B solamente.
c) sCuáles de los sucesos A, B y C son mutuamente excluyentes?.
Solución:
a) A= ï»A2, A4, A6ï½, B= ï»A2, A3, A5, S2, S3, S5ï½, C= ï»S1, S3, S5ï½.
b) i =ï»A2, A3, A4, A5, A6, S2, S3, S5ï½, ii = ï»S3, S5ï½, iii) Para este inciso es importanteno contar las
intersecciones de B con los otros conjuntos por lo que queda ï»A3, A5, S2ï½.
c) El evento A con el C.
13. Sean A y B eventos con P(AB)= ¾, P(A´)= y P(AB)= ¼. Hallar:
a) P(A).
b) P(B).
c) P(AB´).
Solución:
a) Si P(A)+ P(A´)= 1, entonces P(A)= .
b) Como P(AB)= P(A) +P(B) - P(AB), por lo que ¾ = + P(B) - ¼; y
despejando queda que P(B)= .
c) Como P(AB´)= P(A) – P(AB), entonces P(AB´)= – ¼ = .
14. El gerente de una tienda de ropa para dama desea determinar la relación
entre el tipo de cliente y la forma de pago. Ha recopilado la información
siguiente:
Pago
Cliente Crédito Contado
Habituales 70 50
No habituales 40 40
a) Dé un ejemplo de un evento simple.
b) Dé un ejemplo de un evento compuesto.
c) sCuál es el complemento del
pago de contado?.
d) sPor qué es un evento conjunto el “cliente habitual que paga de contado”?.
Solución:
a) Un cliente habitual.
b) Un cliente que no es habitual y paga de contado.
c) El de crédito.
d) Por que satisface dos criterios: que es un cliente habitual, y que paga de
contado.
15. En una amplia área metropolitana se seleccionó una muestra de 500
entrevistados para determinar diversas informaciones relacionadas con el
comportamiento del
consumidor. Entre las preguntas hechas se encontraba, “sdisfruta ir de
compras?”. De 240 hombres 136 contestaron que sí. De 260 mujeres 224
contestaron sí.
a) Elabore una tabla de contingencia.
b) Dé un ejemplo de un eventocompuesto y exprese el número del mismo ejemplo.
c) sCuál es el complemento de “disfrutar ir de compras?. Mencione el dato
puntual.
Solución:
a)
Preferencia
Sexo Disfruta ir de compras No disfruta ir de compras Total
Mujer 224 36 260
Hombre 136 104 240
Total 360 140 500
b) Hombres que disfrutan ir de compras (136 personas).
c) El “no disfrutar ir de compras” (140 personas).
Enfoques de probabilidad.
(Objetiva).
16. Una caja contiene tres canicas azules, cuatro amarillas y dos verdes; si se
elige una canica al azar, sCuál es la probabilidad de sacar:
a) Roja?.
b) Amarilla?.
c) Verde?.
Solución:
Se tienen 9 canicas en total, y se sabe que la suma de todas las probabilidades
es 1 por lo que: , por lo que se sabe que , y multiplicando este valor por la
cantidad de canicas en cada caso se tiene:
a)
b)
c)
17. Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto.
1) Si se escogen 2 personas al azar, hallar la probabilidad p de que, a) sean
esposos, b) uno sea hombre y otra mujer.
2) Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad p de que, c) se
escojan dos parejas de casados, d) ninguna persona sea casada entre los 4, e)
haya exactamente una pareja de casados entre los 4.
3) Si las 12 personas se reparten en seis parejas, hallar la probabilidad p de
que, f) cada pareja sea casada, g) cada pareja la forme un hombre y una mujer.
Solución:
1. Hay maneras de escoger 2 personas entre las 12.a) Como hay 6 parejas de
casados, entonces
b) Hay 6 maneras de escoger a un hombre, y 6 de escoger a una mujer, por lo que
2. Hay maneras de escoger a 4 personas de 12.
c) Hay maneras de escoger 2 parejas de las 6, por lo tanto
d) Hay maneras de escoger a 4 parejas de 6, y hay 2 maneras de escoger una
persona de cada pareja, es decir:
e) Como esta probabilidad es complemento de los dos incisos anteriores, se
tiene:
3. Hay maneras de repartir 12 personas en 6 conjuntos, oredenados con 2
personas en cada uno.
f) Las 6 parejas pueden ser colocadas en 6 conjuntos ordenados de 6! maneras,
es decir,
g) Cada hombre puede colocarse en 6! maneras, al igual que las mujeres, por lo
que queda:
18. De las 10 niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Si se escogen dos niñas
al azar, scuál es la probabilidad de que,
a) Las dos tengan ojos azules?.
b) Ninguna tenga ojos azules?.
c) Una por lo menos tenga ojos azules?.
Solución:
Se pueden escoger 2 niñas de maneras diferentes.
a) Hay 3 formas de escoger 2 niñas con ojos azules ( ), por lo se tiene una
probabilidad de
b) Si se sacan a las niñas que tienen ojos azules se tienen maneras diferentes
de que ninguna niña tenga ojos azules
c) La probabilidad de que una niña por lo menos tenga ojos azules es la
totalidad (1), menos la probabilidad de que ninguna tenga ojos azules; con esto
se cumple la condición. Como
ya se tiene la probabilidad de que ninguna tengaojos azules (inciso b), la
probabilidad es:
19. Se preguntó el nombre del
refresco favorito de cada persona en una muestra de cuarenta. Las respuestas
fueron:
Refresco Número de preferencias
Pepsi – Cola 14
Coca – Cola 12
Sprite 8
Seven – Up 3
Delaware Punch 2
Orange Crush 1
Mediante probabilidades empíricas, scuál es la probabilidad de que el refresco
favorito de una persona sea:
a) Pepsi – Cola.
b) Coca – Cola.
c) Orange Crush.
d) Pepsi – Cola y Coca – Cola.
Solución:
Se sabe que la muestra es de 40 datos, siendo esta la totalidad de la probabilidad,
es decir, 1.
a) Como 14 personas de 40 prefirieron Pepsi –Cola, su probabilidad es de
b) De igual manera al inciso anterior, la probabilidad para esta preferencia es
de
c) La probabilidad de que sea Orange – Crush es de
d) Se suman las dos probabilidades de la preferencia de estos refrescos, lo que
da:
(Subjetiva)
20. Hallar la probabilidad p de un evento si la ventaja de que suceda es “3 a
2”.
Solución: Se sabe que hay una regla general (se muestra en el apéndice de este
capítulo), por la que podemos decir que la probabilidad de p es
21. Las oportunidades en contra de que nos repartan una tercia en un juego de
póker de cinco cartas son de 49:1. sCuál es la probabilidad de que nos toque
una tercia?.
Solución: Esto quiere decir que la oportunidad en contra de que nos repartan
una tercia es de , y como sabemos , con lo que concluimos que laprobabilidad
que nos toque una tercia es de Ops(E)=0.02.
22. Una ruleta contiene compartimentos numerados del 1 al 36 más 0 y 00; de los
38 compartimentos 0 y 00 están pintados de verde, 18 compartimentos de rojo y
18 son negros; se lanza un balín en dirección contraria al movimiento de la
rueda y se apuesta a cuál será el número en el que se detendrá el balín.
Suponga que la ruleta es legal.
a) sCuál es la probabilidad de que el resultado sea negro?.
b) sCuáles son las oportunidades en contra de un resultado rojo?.
c) sCuál es la probabilidad de un resultado rojo?.
d) sCuáles son las oportunidades a favor de un resultado rojo?.
e) sQué probabilidad existe de que le resultado sea un número impar?.
Solución: Se sabe que 2p+18p+18p=1, siendo el 2 de los números 0 y 00; el
primer 18 de los números rojos, y el segundo 18 de los números negros, dando en
conjunto la probabilidad total. Despejando se sabe que
a) Se multiplica el valor de p por el número de negros que hay (18), quedando:
b) Usando la fórmula para oportunidades en contra de un eventos, tenemos
Para obtener la probabilidad en contra del evento, basta con sumar las
probabilidades de los números negros y de los verdes; y al transformarlo a
oportunidad se escribe 10:9.
c) Sabemos que tiene la misma probabilidad que los números negros, por lo que
el resultado es igual al del inciso a:
d) Utilizando la fórmula para la oportunidad a favor de un evento se tiene:
;conviertiendo esta probabilidad en oportunidad se dice que es 9:10
e) Se tienen 9 números impares rojos, de 38 y 9 impares negros, por lo que su
probabilidad es:
23. Algunos datos dados por Danny Sheridan en contra de ganar el campeonato de
la NBA fuerón: Phoenix: 4:1, Nueva York: 5:1, Houston: 6:1, Indiana: 9:1,
Atlanta: 20:1, Boston: 1000:1, y Dallas: 750 000:1.
a) Explique que significa la oportunidad en contra de Phoenix 4:1.
b) sQué probabilidades otorga Sheridan a que gane Dallas?.
c) sCuál es la probabilidad de que no gane Atlanta?.
Solución:
a) Es la probabilidad, según las fórmulas para oportunidades, a favor de de que
Phoenix gane, en contra de que gane, ya que las oportunidades 4:1 son “en
contra” de que ganen.
b) Según dada la fórmula para la probabilidad de oportunidades se tienen que de
probabilidad de que gane Dallas.
c) Como se tiene una oportunidad en contra de 20:1, se dice que su probabilidad
es de .
3.2. Espacios finitos de probabilidad.
Teoría.
24. sQué propiedades tiene que tener una probabilidad de un espacio finito?
a) Cada probabilidad (Pi) es no negativa y la suma de las mismas de cero.
b) Cada probabilidad (Pi) es negativa, y la suma de las mismas da uno.
c) Cada probabilidad (Pi) es no negativa, y la suma de las mismas da uno.
Solución: c.
Problemas.
25. Supongamos un espacio mustral S que consta de cuatro elementos: S=ï»a1,
a2, a3, a4ï½. sQué función define un espacio de probabilidad S?.a) P(a1)= ½ ,
P(a2)= , P(a3)= ¼ , P(a4)= .
b) P(a1)= ½ , P(a2)= ¼, P(a3)= -¼ , P(a4)= ½.
c) P(a1)= ½ , P(a2)= ¼, P(a3)= ¼ , P(a4)= 0.
Solución: c, ya que no tiene probabilidades negativas, y la suma de
probabilidades de sus elementos da 1.
26. Sea S=ï»a1, a2, a3, a4ï½, y sea P una función de probabilidad de S.
a) Hallar P(a1) si P(a2)= , P(a3)= , P(a4)= .
b) Hallar P(a1) y P(a2) si P(a3) = P(a4)= ¼ , y P(a1) = 2 P(a2).
c) Hallar P(a1) si P(ï»a2,a3ï½)= , P(ï»a2,a4ï½)= ½ y P(a2) = .
Solución:
a) Sabemos que la sumatoria de los elementos de S tienen que dar 1, por lo que:
b) Al igual que el inciso anterior: y sustituyendo este valor sabemos que
P(a1)= y P(a2)= .
c) Dadas las condiciones sabemos P(a2)= , P(a3)= ya que P(a2)= ; y P(a4)= ya
que P(a2)= , por lo que tenemos:
27. Sean A y B eventos con P(AB)= ¾ , P(A´)= y P(AB)= ¼ . Hallar:
a) P(A).
b) P(AB´)
Solución:
a) Como sabemos que P(A´)= , y este es su complemento, entonces P(A)= .
b) Se sabe por un teorema que P(AB´)= P(A) - P(AB), por lo que
28. Dos hombres, h1 y h2, y tres mujeres, m1, m2, m3, intervienen en un torneo
de ajedrez. Los del mismo sexo tienen iguales probabilidades de ganar pero cada
hombre tiene el doble de posibilidades de ganar que una mujer:
a) Hallar la probabilidad de que una mujer gane el torneo.
b) Si h1 y m1 son casados, hallar la probabilidad que uno de ellos gane el
torneo.
Solución:
Lacondición dada anteriormente se puede expresar en probabilidades como sigue:
Puesto que los hombres (los primeros dos términos), tienen el doble de
posibilidad que las mujeres.
a) Como se ve en la explicación anterior una mujer (p) tiene una probabilidad
de ganar de , y como son tres mujeres, se suman sus probabilidades, quedando
b) Se busca la probabilidad de un hombre (h1) o su esposa(m1) ganen, P(h1 ó
m1)= P(h1)+P(m1)=
29. Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B
tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. Hallar la
probabilidad de que gane B o C.
Solución: Sabemos que A y B tienen la misma y el doble de probabilidad de C,
por lo que podemos definir las probabilidades de la siguiente manera:
Entonces P(B)+ P(C)= P(BC), que es en probabilidades de que gane B ó C.
30. Tres niños y tres niñas se sientan en fila. Hallar la probabilidad de que,
a) Las tres niñas se sienten juntas,
b) Los niños y las niñas se sienten alternados.
Solución: Hay 6!= 720 formas de sentar a los niños y las niñas.
a) Para que las niñas se sienten juntas se tiene:
Se multiplica por cuatro por que es el número de posiciones en que pueden ir
juntas.
Entonces
b) Si se alternan los niños se tiene:
Y se multiplica por 2 ya que se puede empezar con un niño, o empezar con una
niña.
Entonces
3.3. Probabilidad Condicional.
Teoría.
31. Coloque una C (correcto) o una F (falso) para mencionarcuales de los
siguientes métodos son de probabilidad condicional.
a) ____ Teorema de Bayes.
b) ____ Diagramas de Venn.
c) ____ Teorema de Chebychev.
d) ____ Probabilidad total.
e) ____ Árboles de probabilidad.
Solución: a, d, e.
32. sCon cuál de las siguientes expresiones se puede mencionar la probabilidad
condicional?
a)
b)
c)
Solución: c.
Problemas.
Árboles de probabilidad.
33. Se quieren construir 233 casas. Con la tabla que a continuación se da,
hacer un árbol de probabilidad.
Cuartos de baño modernos
Cocina moderna Existencia Carencia Totales
Existencia. 72 8 80
Carencia. 7 146 153
79 154 233
Solución: Primero se parte de la condición de si hay o no cocinas modernas,
siendo para cada caso ; ya que se previó esta condición se puede terner la
característica de que una casa que tenga cocina moderna, tenga o no tenga baño
moderno, saliendo de esta rama dos más, con la probabilidad de respectivamente
(según la tabla en la primera línea de datos correspondiente a la existencia de
cocinas modernas). De la misma manera que se hizo la ramificación con las casas
que tienen cocina moderna, se hace con las que carecerían de esta; con la
condición de que algunas de las que no tienen cocina moderna no tendrán tampoco
baño moderno y otras tendrán baño moderno Quedado el árbol de la siguiente manera:
34. Se estima que un avión experimental de caza tiene una probabilidadde 0.85
de lograr un primer vuelo exitoso. En caso de falla, existe una probabilidad de
0.05 de que sufra una explosión catastrófica, en cuyo caso no se podrá emplear
el sitema de protección al despegar, el cual tiene una confiabilidad de 0.95.
Calcule la probabilidad de todo resultado posible en el vuelo inicial para que
el piloto sobreviva o no.
Solución: Primeramente se desarrollará un diagrama de árbol sacando las
probabilidades de la siguiente manera:
1S rama.- El vuelo puede ser exitoso (0.85) o no serlo (0.15), que es su
complemento.
2S rama.- Si el vuelo no es exitoso puede tener una explosión catastrófica
(0.05) o no tenerla (0.95).
3S rama.- Si la explosión no es catastrófica se puede activar el sistema de
protección (0.95) o no activarse (0.05).
Ahora bien sin la protección el piloto muere.
El árbol de probabilidad queda:
Entonces el piloto se salva si el vuelo es exitoso o si se activa la
protección:
Y la probabilidad de que no se salve será el complemento de que se salve, por
lo que:
Las probabilidades de los demás casos pueden irse sacando del árbol de
probabilidades. Por ejemplo, de que no haya una explosión catastrófica será la
multiplicación de las probabilidades de las ramas que dan hasta este punto, por
lo tanto:
35. Se nos dan dos urnas como sigue:
Una urna A contiene 5 bolas rosas y 3 azules.
La otra urna B contiene 1 bola rosa y 2 azules.
Se lanza un dado corriente, si aparece un 3 o un 6, se saca unabola de B y se
pone en A y luego se saca una bola de A; de lo contrario, se saca una bola de A
y se pone en B y luego se saca una bola de B.
a) sCuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rosas?.
b) sCuál es la probabilidad de que las dos bolas sean azules?.
Solución: Antes que nada se procede a realizar un diagrama de árbol para tener
las correspondientes probabilidades.
Explicación del diagrama de árbol con sus probabilidades.
Se tiene la condición de aventar un dado para escoger primeramente de cuál de
las urnas se seleccionará la primera bola; se dice que si sale 3 o 6, se sacará
la primera bola de la urna B; ya que la probabilidad de que salga el 3 o el 6
entre los 6 números del dado es de ; para tomar una bola de la urna A será de
(su complemento). Hasta aquí se tiene las primeras dos ramificaciones.
Una vez que se tomó la primera bola, esta se colocará en la urna opuesta de la
que proviene. Si la primera bola proviene de la urna A se colocará en la urna
B, y si además es rosa, la probabilidad de sacar de la urna B una bola rosa
aumenta, ya que se tienen dos bolas rosas, en vez de una, y por supuesto, se
tiene una bola más en general, cuatro en vez de tres; por lo que sacar una
segunda bola, en esta ocasión de la urna B será de , y de sacar una azul será
de . Ahora bien si la bola que se sacó de A y se colocó en B es de color azul,
en vez de que la probabilidad de sacar una bola rosa aumente, en esta ocasión
aumentarála probabilidad de sacar una bola azul, ya que se tiene una más, lo
que es equivalente a decir que ahora son 3 bolas, de 4, azules ( ); y solamente
1 de 4, rosa ( ).
Como se hizo en el caso de que la primera bola proviene de A, de igual manera
se hará para la urna B; quedando el diagrama de árbol con sus probabilidades de
esta manera:
a) Para que ambas bolas sean rosas, no importa de la urna que provengan, por lo
que se sumaran todas las probabilidades (las ramas) que den como resultado la
primera rosa y las segunda también; que se encuentran en el diagrama de árbol
señaladas con color rosa y quedando la probabilidad así (las probabilidades se
han simplificado del diagrama):
b) De igual manera al inciso a se sumaran todas las probabilidades del árbol
que conduzcan a dos bolas azules (marcados estos caminos en el diagrama en
color azul), y quedando:
N.B.: Como se verá más adelante, los árboles de probabilidad se seguirán
ocupando en otros métodos de la probabilidad condicional.
Probabilidad condicional.
36. Se nos dan tres urnas como sigue:
Una urna A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas.
Una urna B contiene 2 bolas rojas y 1 blanca.
Una urna C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas.
Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna. Si la bola es
roja, scuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?
Solución: Para poder resolver de una manera más sencilla la pregunta,
realizaremos primeramente un árbol deprobabilidad.
Explicación del árbol de probabilidad.
Se tienen 3 urnas con la misma posibilidad de ser escogidas, es decir, con un
de probabilidad para cada una de ellas (primera parte del árbol). Después la
urna A tiene 3 bolas rojas de ocho ( ) y 5 bolas blancas de ocho ( ), siendo
estas sus respectivas probabilidades (las dos ramificaciones que se encuentran
después de A). Para la urna B se tiene que hay 2 bolas de tres rojas ( ), y 1
de tres blanca ( ). De igual manera se hace para la urna C, resultando una
probabilidad para las bolas rojas de , dos bolas rojas de 5, y para las bolas
blancas.
A continuación se muestra el árbol de probabilidades:
Se busca la probabilidad de que se seleccione A, dado que la bola es roja, que
es lo mismo a decir P(A|R). Con el fin de hallar esta probabilidad, es
necesario calcular primero P(AR) y P(R).
La probabilidad P(AR) es la rama de la urna A que va a una bola roja que es
; y P(R) son la suma de todas las ramas que van a una bola roja, es decir,
Entonces:
Siendo esta la probabilidad de que la bola roja sea de la urna A.
37. Se reparten 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas a cuatro
personas que denominamos Norte, Sur, Este y Oeste.
a) Si Sur no tiene ases, hallar la probabilidad p de que su compañero Norte
tenga exactamente dos ases.
b) Si Norte y Sur juntos tienen nueve cartas de corazones, hallar la
probabilidad p de que Este y Oeste tengan cada uno dos cartas de
corazones.Solución:
a) Hay 39 cartas, contando los 4 ases, repartidas entre Norte, Este y Oeste.
Hay maneras de que Norte reciba 13 cartas de 39. Hay maneras de que pueda
recibir dos ases de los cuatro; como se tienen ya asignados dos lugares a los
ases, solo nos hace falta darle 11 cartas de 35 que tenemos que no son ases (
). Así
, siendo esta la probabilidad.
b) Hay 26 cartas, incluyendo 4 de corazones, repartidas entre Este y Oeste. Hay
maneras de que, por ejemplo, Este pueda recibir 13 cartas. Solo se necesita
analizar las 13 cartas de Este o de Oeste, ya que la otra persona debe tener el
resto. Hay maneras para que Este pueda tener 2 cartas de corazones de las 4, y
como ya se le asiganron dos lugares a estas cartas, entonces hay maneras para
que él mismo reciba 11 cartas de 22 que no son de corazones; por lo que:
, siendo esta la probabilidad de que Este y Oeste tengan exactamente dos cartas
de corazones cada uno.
38. En un estudio para el control estricto de armas de fuego efectuado con 800
estadounidenses adultos, se obtuvo:
Posición
A favor En contra
Ha disparado un arma. 75 200
Nunca ha disparado un arma. 425 100
Si se elige al azar uno de los 800 adultos, use la información para determinar:
a) P (a favor).
b) P (ha disparado un arma de fuego y esta en contra).
c) P (en contra | nunca ha disparado un arma).
d) P (nunca ha disparado un arma | en contra).
Solución: Se saca primeramente los totales de la tabla; quedando:Posición
A favor En contra Totales
Ha disparado un arma. 75 200 275
Nunca ha disparado un arma. 425 100 525
Totales 500 300 800
a) Hay 500 personas a favor entre 800, por lo tanto su probabilidad es
b) Se tiene que encontrar la intersección de las personas que han disparado un
arma de fuego y las que estan en contra, y según la tabla son 200 personas con
esta característica de 800, por lo tanto la probabilidad es:
c) Primeramente se tiene que encontrar la intersección de las personas que
estan en contra, con las que nunca han disparado un arma (Contra  Nunca ha
disparado un arma)= 100; y los elementos de las personas que nunca han
disparado un arma, que son 525; ya que se tiene esta información se sabe que:
d) Se busca la P(E | A), donde E es el evento que nunca ha disparado un arma, y
A el evento de que esta en contra; por lo que tenemos:
39. En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabello café, 25% tiene ojos
cafés y 15% tiene cabello y ojos cafés. Se escoge una persona al azar.
a) Si tiene el cabello café, scuál es la probabilidad de que también tenga ojos
cafés?.
b) Si tiene ojos cafés, scuál es la probabilidad de que no tenga cabello café?.
c) sCuál es la probabilidad de que no tenga cabello ni ojos cafés?.
Solución: Sean los eventos:
A = Cabello café = 0.40
B = Ojos cafés = 0.25
C = Cabello y ojos cafés = 0.15
a) Se busca la probabilidad de P (B |A), por lo que:
b) En este inciso se pide la probabilidadP(A´| B), por lo que tenemos que saber
P(A´ïƒ‡ B) y P(B). Para sacar A´ïƒ‡ B nos valdremos de un diagrama de Venn en
el cual representaremos a A´con /// y a B con el sombreado , y lo que quede
cuadriculado será la intersección de ambos, quedando de la siguiente manera:
Con lo que podemos concluir que si a B le quitamos C nos da A´ïƒ‡ B.
La probabilidad de B sabemos que es 0.25 por lo que podemos concluir:
c) Se busca P(A´ïƒ‡ B´).
y se sabe que:
(AB)´= (A´  B´), y
P(AB)´= 1 – P(AB),
Entonces:
P(AB)= P(A) + P(B) - P(A  B)
= 0.40 + 0.25 - 0.15
= 0.5.
Por lo tanto:
P(AB)´= 1 – 0.5 = 0.5.
Regla de la multiplicación.
40. Los estudiantes de una clase se escogen al azar, uno tras otro, para
presentar un examen. Hallar la probabilidad p de que niños y niñas queden
alternados si:
a) La clase costa de 4 niños y 3 niñas,
b) La clase consta de 3 niños y 3 niñas.
Solución:
a) Si los niños y las niñas se alternan, el primer estudiante debe ser niño,
después niña y así sucesivamente. El primer niño puede ser escogido entre 4
niños, pero de 7 estudiantes, para escoger al siguiente estudiante, niña, se
puede escoger entre 3 niñas de 6 estudiantes, ya que un estudiante ya ocupa el
primer lugar; para escoger al tercer estudiante, niño, solamente tenemos 3
alternativas (3 niños) de 5 estudiantes (ya que dos estudiantes ya están
acomodados). De igual manera se hace para los demás lugares, quedando elacomodo
y probabilidad de la siguiente manera:
b) Se tienen 3 niños y 3 niñas, por lo que se puede empezar con un niño o con
una niña, 2 formas de empezar (esta circunstancia se representa con el dos que
multiplica a todo el conjunto), suponiendo que empezamos con un niño, y al
igual que el inciso anterior se tienen 3 opciones (3 niños) de 6 estudiantes,
para el siguiente caso que debe ser niña se tienen de igual manera 3 opciones
de 5 estudiantes, ya que uno ya ocupa el primer lugar; el siguiente estudiante
tiene que ser niño, pero solo se tiene 2 niños de 4 estudiantes; y esto se
realiza sucesivamente, quedando:
41. Entre 60 refacciones automotrices transportadas en un camión cargado en
Veracruz, 45 tienen por destino a Puebla y 15 a Tampico. Si dos de las
refacciones son descargadas en Jalapa por error y la “selección” es aleatoria,
scuáles son las probabilidades de que
a) Ambas refacciones tengan por destino a Puebla;
b) Ambas refacciones debían llegar a Tampico;
c) Una tenía por destino Puebla y la otra Tampico?.
Solución: Se sabe que el 0.45 de las refacciones van a Puebla y 0.15 a Tampico,
por lo que:
a) La probabilidad de dejar la primera refacción es de , ya que 45 iban a
Puebla de las 60 refacciones; y de la segunda es de ya que la primera pieza
olvidada también era con destino a Puebla, quedando la probabilidad así:
b) Al igual que el caso anterior se hace para este inciso, solo tomando en
cuenta que para Tampico son 15piezas, por lo tanto:
c) Si una pieza es con destino a Puebla y otra a Tampico la probabilidad de la
primera será , ya que hay 45 piezas, de 60, que van a Puebla; y para el segundo
será ya que 15 piezas de 59 que pueden ser olvidadas van a Tampico. Quedando la
probabilidad:
42. Una valija contiene 2 frascos de aspirinas y 3 frascos de tabletas para la
tiroides. Una segunda valija contiene 3 frascos de aspirinas, 2 de tabletas
para la tiroides y 1con tabletas laxantes. Si se toma un frasco aleatoriamente
de cada valija de equipaje, encuentre la probabilidad de que:
a) Ambos frascos contengan tabletas para la tiroides;
b) Ningún frasco contenga tabletas para la tiroides;
c) Los dos frascos contengan diferentes tabletas.
Solución:
a) La probabilidad de sacar un frasco de tabletas para la tiroides de la
primera valija es de , ya que hay 3 frascos de 5 para la tiroides en esta
valija; y la probabilidad de sacar de la segunda valija un frasco de tabletas
para la tiroides es de . Usando la regla de la multiplicación tenemos: de
probabilidad de sacar 2 frascos para la tiroides.
b) Se sacan las probabilidades, de cada valija, de los frascos que no son para
la tiroides, es decir, la probabilidad de de sacar aspirinas de la primer
valija, por la probabilidad de sacar de la segunda valija el frasco de las
aspirinas ( ), más la de sacar el frasco de las laxantes ( ), por lo que queda
de la siguiente manera :
Siendo esta laprobabilidad de no sacar ningún frasco para la tiroides.
c) Se suman todas probabilidades de sacar frascos diferentes de las valijas, es
decir, la probabilidad de sacar un frasco de aspirinas de la primera valija,
por la probabilidad de sacar uno para la tiroides de la segunda valija (primer
paréntesis de la expresión matemática dada en este inciso); el sacar un frasco
de aspirinas de la primera valija por la probabilidad de sacar uno con laxantes
de la segunda valija (segundo pararétesis de la expresión matemática); y así
sucesivamente para las demás combinaciones, quedando:
Donde la primera probabilidad de cada paréntesis corresponden a la primera
valija, y la segunda fracción de cada paréntesis, a la segunda valija.
Se denomina: A= Frasco de Aspirinas, T= Frasco para la Tiroides, y L= Frasco
con tabletas laxantes.
43. Una herramienta está desocupada durante el 15% del tiempo total de uso.
Usted le pide al operador que haga uso de la herramienta en cinco ocasiones
distintas durante un año. Suponga que las solicitudes de uso son eventos
independientes.
a) sCuál es la probabilidad de que la herramienta este desocupada todas las
veces que usted le pide al operador utilizarla?.
b) sCuál es la probabilidad de que la herramienta este desocupada exactamente
cuatro de las cinco veces en que usted le pide al operador utilizarla?.
Solución:
a) Sea Ei= el evento donde la i – ésima vez que se necesita la herramienta este
desocupada, entoncesP(Ei)= 0.15. se puede decir que se pide la P(E1E2E3E4E5),
y como los eventos son independientes es lo mismo a decir , sustituyendo los
valores de cada término, queda la probabilidad de la siguiente manera:
b) Primeramente se definen los eventos:
A1= Que la herramienta este ocupada la primera vez que la necesita.
A1= Que la herramienta este ocupada la segunda vez que la necesita.
A3= Que la herramienta este ocupada la tercera vez que la necesita.
A4= Que la herramienta este ocupada la cuarta vez que la necesita.
A5= Que la herramienta este ocupada la quinta vez que la necesita.
Donde P(A1)= P(A2)= P(A3)= P(A4)= P(A5)= 0.000430.
Para sacar la P(A1) se define el evento según sus elementos de la siguiente
manera:
De igual manera se hace para los eventos A2, A3, etc.
Si X representa el evento de que cuatro veces de cinco este desocupada la
herramienta, entonces X= A1 A2  A3  A4  A5, y como los eventos son
excluyentes se puede decir que P(X)= P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+ P(A4)+ P(A5), y
sumando estas probabilidades nos da como resultado 0.00215.
Probabilidad total.
44. En cierta región del país se sabe por experiencia pasada que la
probabilidad de seleccionar a un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es
de 0.02. Si la probabilidad de que un médico le diagnostique correctamente a
una persona con cáncer que tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que se
equivoque, de 0.06, scuál es la probabilidad de que a una persona se
lediagnostique cáncer?.
Solución: Para hacer más sencilla la respuesta, se hará un árbol de
probabilidad.
Hay dos maneras de que se le diagnostique cáncer; que tenga cáncer y su
diagnóstico sea positivo, y que no tenga cáncer y el diagnóstico sea positivo
(las dos ramas del árbol que dan diagnóstico positivo y están en el gráfico en
rojo); por lo que se tienen que sumar estas dos probabilidades:
45. En una planta de artículos electrónicos, se sabe por experiencia que la
probabilidad es 0.86 de que un nuevo trabajador que haya asistido al programa
de capacitación de la compañía conozca la cuota de producción y que la
probabilidad correspondiente es 0.35 para otro que no haya asistido al programa
de capacitación. Si el 80% de todos los empleados de ingreso reciente asisten
al programa. sCuál es la probabilidad de que un nuevo empleado conozca la cuota
de producción?.
Solución: Se tiene personal que asistió al programa (0.80), y de los cuales
unos conocen la cuota (0.86) y otros no (0.14); además hay personal que no
asistió al programa (0.2), pero de estos hay personas que conocen la cuota
(0.35) y los demás de esta categoría no (0.65). Haciendo un árbol de
probabilidad, queda así:
Después se suman las ramas que llegan a que conocen la cuota de producción, es
decir:
46. Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y
ligeros o en empaques pesados y grandes. Suponga que 2% y el 1% de las muestras
enviadas enempaques pequeños y grandes, respectivamente, se rompen durante el
trayecto a su destino. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes,
y el 40% en empaques pequeños, scuál es la proporción de muestras que se
romperán durante el envío?.
Solución: Se envían las muestras en dos clases de empaque Pequeño (0.4) o
grande (0.6), y en los dos se tiene el riesgo de que se rompan (0.02 y 0.01
respectivamente), o no (0.98 y 0.99 respectivamente) las muestras. Si formamos
un árbol de probabilidades quedaría de la siguiente manera:
Se dice entonces que se busca:
Teorema de Bayes.
47. Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número
total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de
producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona al azar un
artículo y resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo
fue producido por la máquina A.
Solución: Lo que se busca, expresado en probabilidad, es P(A|D). Donde A=
Artículo producido por la máquina A, y D= Artículo defectuoso. Utilizando el
teorema de Bayes tendríamos la siguientes expresión:
Para encontrar estas probabilidades más fácil, se hará un árbol de probabilidad
con la información dada, quedando:
P(A) sabemos que es de 0.5, P(D|A)= , y P(D) serán todas la probabilidades del
árbol que lleguen a un artículo defectuoso, por lo que sustituyendo las
expresiones por sus respectivos valores, queda la probabilidad:
48.En cierta facultad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen más de 1.70
mt. de estatura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se
selecciona al azar un estudiante y es más alto que 1.70 mt. , scuál es la
probabilidad que el estudiante sea mujer?.
Solución: En cuestiones de probabilidad se busca P(M|A), donde A= Estudiantes
de más de 1.70 mt. De altura, y M= Mujer. Se sabe que el 60% de los estudiantes
son mujeres por lo que el 40% son hombres; aparte el 4% de los hombres y e 1%
de las mujeres son más altos de 1.70 mt. Con esta información se hará un árbol
de probabilidad para poder sacar las probabilidades necesarias.
Como se busca P(M|A) y sustituyendo las probabilidades nos quedaría como
resultado:
49. Una persona posee dos automóviles, un modelo compacto y uno estándar.
Aproximadamente utiliza el vehículo compacto para trasladarse a su trabajo las
tres cuartas partes del tiempo y el restante usa el carro más grande. Cuando
emplea el carro compacto llega a su casa a las 5:30p.m. el 75% de las veces; si
utiliza el carro de tamaño estándar llega a la misma hora el 60% de las veces,
pero disfruta del aire acondicionado. Si llega a su casa después de las
5:30p.m., scuál es la probabilidad de que haya usado el carro compacto?
Solución: En este caso se pregunta por la P(Compacto |Después de 5:30), y según
dada la información, ¾ partes del tiempo utiliza el carro compacto, y ¼ el
standard; cuando utiliza elcompacto llega el 75% de las veces a las 5:30 a su
casa, por lo tanto el 25% llega después de esta hora; así como cuando usa el
standard llega el 60% de las veces a la hora estipulada y el restante (40%)
después de las 5:30.
Para cuestiones de simplificación se utiliza un árbol de probabilidad:
Resolviendo P(Compacto |Después de 5:30) por el teorema de Bayes nos queda la
expresión así:
50. En una operación de llenado automático, la probabilidad de que el volumen
de llenado sea incorrecto es 0.001 cuando el proceso se realiza a baja
velocidad. Cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, la probabilidad de un
llenado incorrecto es 0.01. Suponga que el 30% de los contenedores se llena
cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, mientras que el resto del
proceso se ejecuta a baja velocidad.
a) sCuál es la probabilidad de encontrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto?.
b) Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, scuál es la
probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a alta
velocidad?.
Solución: Para los dos casos nos será útil acomodar la información dada en un árbol
de probabilidad, quedando:
a) En este inciso se busca la probabilidad de que los contenedores estén
llenados incorrectamente, y esto se puede resolver con probabilidad total, ya
que buscamos las ramas del árbol de probabilidad que dan un llenado incorrecto,
lo que es:
b) Aquí se quiere saber la probabilidadde que se haya llenado el contenedor en
alta velocidad, dado que esta incorrecto el llenado, es decir P(Alta vel. |
Llenado incorrecto). Esto se resolverá con el teorema de Bayes como sigue:
3.4. Probabilidad independiente
Teoría.
51. sCómo se podría definir la independencia?
a) P(AB)= P(A) P(B).
b) P (AB)= P(A) P(B).
c) P(AB)= P(A) +P(B) - P(AB).
d) P (A |B)= P(B).
e) P (B |A)= P(A).
Solución: b.
Problemas.
52. Sea el caso de lanzar tres monedas corrientes donde:
A=ï»todas caras o todas sellosï½,
B=ï»dos caras por lo menosï½, y
C=ï»dos caras cuando másï½.
De las parejas (AB), (AC) y (BC), scuáles son independientes y cuáles
dependientes?.
Solución: Primero se define el espacio muestral, siendo:
CCC CSS
CCS SCS
SCC SSC
CSC SSS
Después determinamos los elementos y las probabilidades de cada evento y sus
intersecciones:
Si P(AB)= P(A) P(B), entonces es independiente. Comprobando:
entonces (AB) es independiente.
Si P(AC)= P(A) P(C), entonces es independiente. Comprobando:
ya que son diferentes, (AC) son dependientes.
Si P(BC)= P(B) P(C), entonces es independiente. Comprobando:
por lo que (BC) son dependientes.
53. La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es de ¼, y la
probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es de . Hallar la probabilidad
de que:
a) Ambos estén vivos dentro de 10 años.
b) Al menos uno estará vivo a los 10 años.
c) Ninguno estará vivo a los 10 años.
d)Solamente la esposa estará viva a los 10 años.
Solución: Sea A=ï»que el hombre viva a los 10 añosï½, y B=ï»que la esposa
viva a los 10 añosï½, entonces
a) Se busca P(AB). Puesto que A y B son independientes, entonces:
b) Se busca P(AB), y como P(AB)= P(A) +P(B) - P(AB), entonces:
c) Esto es P(AB)´, y como P(AB)´= 1- P(AB), entonces
d) Se busca P(A´ïƒ‡B). Puesto que P(A)´= 1- P(A), y A´ y B son independientes
se puede decir que:
54. Si dos cartas se sacan con remplazo de un paquete de 52, encuentre la probabilidad
de que:
a) La segunda carta sea un corazón, dado que la primera es un corazón.
b) Ambas cartas sean corazones.
c) La segunda sea negra, si la primera fue una espada.
d) La segunda sea una figura, cuando la primera es un as.
Solución: Dado que hay remplazo el sacar las dos cartas son eventos
independientes.
a) En expresión de probabilidades sería P(C2|C1), siendo C2 el evento de sacar
una carta de corazones en la segunda ocasión, y C1 el sacar una carta de
corazones la primera vez; por lo que su probabilidad será:
Las probabilidades de C2 es esa fracción por que se tienen 13 cartas de
corazones entre todo el paquete completo, y como el experimento es con
reposición, la misma probabilidad se tendrá para C1.
b) Hay 13 cartas de corazones y el experimento es con remplazo, por lo que al
utilizar el teorema de la multiplicación, nos da:
c) Se nos pide la P(N2|E1), donde N2 es que la segunda carta sea negra, y E1
que laprimera sea espada. Como la mitad de la baraja son negras se dice que
P(N2)= ½ , y P(E1)= ¼ ya que puede ser una espada de las cuatro que hay en la
baraja. Por lo que:
d) Se busca P(F2 | A1), donde F2 es el evento de que la segunda carta sea
figura, y A1 que la primera sea un as. Para la probabilidad de F2 se sabe que
cada palo tiene tres figuras (jota, reina, rey), lo que nos da 12 cartas de 52
con figura; y hay un as por cada palo, siendo 4 de 52 cartas. Por lo que:
55. Cierto equipo de foot - ball gana (W), con probabilidad de 0.6; pierde (L),
con probabilidad de 0.3; y empata (T), con probabilidad de 0.1. El equipo juega
tres encuentros durante el fin de semana.
a) Determinar los elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos dos
juegos y no pierde, y hallar P(A).
b) Determinar los elementos del evento B en que el equipo gana, pierde y
empata, y hallar P(B).
Solución: Ya que los eventos de que gane, pierda o empate un partido no
dependen unos de los otros, se dice que los eventos son independientes.
a) Primero se determina las ternas donde al menos dos juegos se ganan y ninguno
se pierde por lo que A=ï»WWW, WWT, WTW, TWWï½, y además
b) En este inciso B=ï»WLT, WTL, LWT, LTW, TWL, TWLï½. Y sabemos que la
sumatoria de las probabilidades de cada elemento nos dará la probabilidad que
buscamos; y cada elemento de B tiene probabilidad de (.6)(.3)(.1)=.018, así es
que sumando seis veces este resultado nos da P(B)= 0.108.BIBLIOGRAFÍA
Referencia individual.
WEIMER, Richard C.
Estadística
Edit. CECSA
Problemas de este libro: 6, 7, 8, 9, 11, 16, 19, 21, 22, 38, 54.
JOHNSON, Robert; KUBY, Patricia
Estadística elemental (lo esencial)
Edit. Thomson
Problemas de este libro: 23
LIPSCHUTZ, Seymour.
Probabilidad
Edit. Mc Graw Hill.
Serie Schaum.
Problemas de este libro: 10, 12, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 35,
36, 37, 39, 40, 47, 48, 52, 53, 55.
WALPOLE, Ronald y MYERS, Raymond.
Probabilidad y estadística
Edit. Mc Graw Hill
Problemas de este libro: 42, 44, 49.
BERENSON, Mark L.; LEVINE, David M.
Estadística básica en administración
Edit. Prentice Hall
Problemas de este libro: 14, 15, 33
MILLER, Irwin R; y otros
Probabilidad y estadística para ingenieros
Edit. Prentice Hall.
Problemas de este libro: 41, 45
MONTGOMERY, C. Douglas; RUNGER, C. George
Probabilidad y estadística aplicaciones a la ingeniería
Edit. Mc Graw Hill
Problemas de este libro: 43, 46, 50.
KENNEDY & NEVILLE
Estadística para ciencias e ingeniería
Edit. Harla.
2S edición.
Problemas de este libro: 34.
Apéndice
Fórmulas de oportunidades.
Oportunidades a favor de E:
Oportunidades en contra de E:
Si Ops (E)= a : b, entonces:
Probabilidad condicional e independencia.
Probabilidad condicional.
Dos eventos son independientes si:
 P(A| B)= P(A), o bien
P(B| A)= P(B).
 P(A B)= P(A) P(B).
