La elipse, como curva geométrica, fue
estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se
atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de
la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.
En 1602, Kepler creía que la órbita
de Marte era ovalada, aunque mas tarde descubrió que se
trataba de una elipse con el Sol en un foco.
De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y
publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705,
demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una
órbita elíptica alrededor del Sol.2
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades matematicas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del
eje mayor y menor respectivamente.
[editar]Puntos de una elipseLos focos de la
elipse son dos puntos equidistantes del
centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias
desde cualquier puntoP de la elipse a los dos focos es constante, e igual
a la longitud del
diametro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es
una constante mayor que la distancia F1F2, un
punto P pertenecera a la elipse si se cumple
larelación:
P F_1 + P F_2 = 2a ,
donde a , es la medida del semieje mayor de la elipse.
[editar]Ejes de una elipseEl eje
mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier
punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor
2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.
[editar]Excentricidad de una
elipseLa excentricidad ε (épsilon) de una elipse es
la razón entre su semidistancia focal (segmento que va
del centro de
la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje
mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
varepsilon=frac , con (0levarepsilonle1)
Dado que c = sqrt , también vale la relación:
varepsilon=sqrt{frac} =sqrtright)^2}
o el sistema:
beginvarepsilon=fracc = sqrt end
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse sera
mas redondeada cuanto mas se aproxime su excentricidad al valor
cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra
griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla,
porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o
neperianos.Véase: número e).
[editar]Excentricidad angular de una
elipseLa excentricidad angular α es el angulo para
el cual el valor de la función
trigonométrica seno concuerda con la
excentricidad varepsilon, esto es:
alpha=sin^(varepsilon)=cos^left(fracright)=2tan^left(sqrt}right);,!
[editar]Constante de la elipseEllipse Animation
Small.gif
En una elipse, por definición, la suma de la longitud de
ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual
siempre es igual a la longitud del «eje mayor», 2a.
En la elipse de la imagen, la constante es 10.
Equivale a la longitud medida desde el foco F1 al
punto P (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la
longitud desde el foco F2 a ese mismo
punto P. (El segmento de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo PF1 (color azul), como
al PF2 (color rojo), se llaman «radio vector». Los
dos «focos» equidistan del centro O.
En la animación, el punto P recorre la elipse, y en él
convergen ambos segmentos (azul y rojo).
[editar]Directrices de la elipse
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse esta asociado con una recta paralela
al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la
derecha). La distancia de cualquierpuntoP de la elipse hasta el
foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular
de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad
varepsilon=frac}}}}
La relación entre estas dos distancias es la
excentricidad varepsilon de la elipse. Esta propiedad (que puede ser
probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como
otra definición alternativa de la elipse.
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un
plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto
fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada
directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
|
Ademas de la bien conocida relación varepsilon=frac,
también es cierto que varepsilon=frac ,
también es útil la
fórmula d=frac .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el
foco izquierdo cuya distancia del
centro O es -d, la cual ademas es paralela a la directriz
anterior.
[editar]Ecuaciones de la elipse[editar]En
coordenadas cartesianasForma cartesiana centrada en origenLa
ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el
origen, es:
frac+frac = 1donde a > 0 y b >
0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al
eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La
distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea,
siendo e la excentricidad y a el semieje
mayor.
[editar]Forma cartesiana centrada fuera del origenSi
el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación
es:
frac+frac = 1
En coordenadas polaresForma polar centrada en
origenEn coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación
de la elipse es:
(epc 1)
r(theta)=frac+frac
}}
Una ecuación mas elegante que la anterior (pero que obliga a
pre-calcular la excentricidad scriptstyle varepsilon to
sqrt{1-frac} ), es:
(epc 2)
r (theta )=frac}
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el
semieje menor de la elipse, θ es el angulo polar y para
la (epc 2) ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad scriptstyle
varepsilon to sqrt{1-frac} convendra utilizar la
ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).
[editar]Formas polares centradas en un
foco
Coord.polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la
ecuación de la elipse es:
(501)
r(theta) = frac
Para el otro foco:
(502)
r(theta) = frac
'Semi-latus rectum' (en verde) de la elipse.
En el caso un poco mas general de una elipse con un foco en el origen y
el otro foco en la coordenada angular φ, la forma polar es:
(503)
r(theta)=frac)}}
El angulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la
llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las
mismas a(1 − ε2) es el llamado semi-latus
rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus
rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una
línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.
[editar]Formas
paramétricasLa ecuación paramétrica de una
elipse con centro en (h,k) y
siendo a el semieje mayor y b el menor, es:
beginx = h+acosalphay = k+bsinalpha end
con alphain [0,2pi) . alpha no es el angulo θ
del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse
(tampoco es el angulo del sistema de coordenadas polares con origen en
algún foco de la elipse). La relación entre α y θes
} theta = } alpha.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro
en (h,k) en la que el parametro θ sea
concordante con el angulo polar respecto al centro
desplazado (h,k) es:
beginx = h+frac+frac }} costhetay =
k+frac+frac }}
sinthetaend
con thetain [0,2pi). El parametro θ es el
angulo de un sistema polar cuyo origen esta centrado en (h,k).
[editar]Area interior de una
elipseEl area de la superficie interior de una elipse es
Siendo a y b los semiejes.4
Longitud de una elipseEl calculo del perímetro de
una elipse requiere del
calculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matematico Ramanujan ideó
una ecuación mas simple que se aproxima razonablemente a la
longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales
elípticas. Ramanujan, en su fórmula,
entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje
menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
P approx pi left[3(a+b) - sqrtright]!,
Propiedades notablesLa elipse goza de ciertas propiedades asociadas a
sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y
Morley.
