LIMITES 

 



Limite

En matematica, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parametros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En calculo (especialmente en analisis real y matematico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matematica, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

Limites Laterales

• Límite por la derecha

Se dice que el límite por la derecha de una función      en el punto      es    , si toda sucesión      cuyos terminos son todos mayores que      y que tiende a      verifica



El límite por la derecha se denota por

       o bien       

El que laanterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer      tan cercano a      como queramos eligiendo      lo suficientemente proximo a      por la derecha.






• Límite por la izquierda

Se dice que el límite por la izquierda de una función      en el punto      es    , si toda sucesión      cuyos terminos son todos menores que      y que tiende a      verifica



El límite por la izquierda se denota por

       o bien       

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer      tan cercano a      como queramos eligiendo      lo suficientemente proximo a      por la izquierda.

Indeterminaciones

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son validas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.



Tipos de indeterminación

1. Infinito partido por infinito



2. Infinito menos infinito







3. Cero partido por cero



4. Cero por infinito



5. Cero elevado a cero



6. Infinito elevado a cero



7. Uno elevado a infinito





Continuidad

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su grafica es continua, en elsentido que se puede dibujar sin levantar el lapiz de la hoja de papel.

En matematicas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua.

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Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes

1. Que el punto x= a tenga imagen.

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2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

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3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

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Continuidad en un intervalo

• Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:



Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:



• Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:



Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b: