1 Límites de sucesión
El límite de una sucesión es uno de los conceptos mas antiguos del analisis matematico. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

2 Límite de una función de variable real
Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R
f:D————->R
x————->x2.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar
1. El conjunto inicial o dominio de la función.
2. El conjunto final o imagen de la función.
La regla por la cual se asigna a cada elemento delconjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por
f:R ——–>R
x———>x2.
asigna a cada número real su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.
Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo
lim(f)=R+.
La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

3 Calculo de límites
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y esta definida en el punto a, entonces se suele cumplir que

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.



No podemos calcular  porque el dominio de definición esta en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
6 Límites infinitos y límites al infinito
Si una variable independiente x esta creciendo indefinidamente através de valores positivos se escribe , y si decrece a través de valores negativos sedenota como .
Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x + ∞ y si decrece tomando valores negativos se escribe  ƒ(x)→ - ∞.

7 Asíntotas
Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asintótico.

Asíntota Vertical (AV
La recta x=a es asíntota vertical de f(x) si limx->a+ f(x) = inf o limx->a- f(x) = inf.

Asíntota Horizontal (AH
La recta y=b es asíntota horizontal de f(x) si limx->inf f(x) = b.

Un ejemplo que podemos tener es:
f(x) = x/(x-1)limx->1+ f(x) = +inf
limx->1- f(x) = -inf=> x=1 es AV de f(x)
limx->inf f(x) = 1
=> y=1 es AH de f(x)

7 Asíntotas
Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asintótico.

Asíntota Vertical (AV
La rectax=a es asíntota vertical de f(x) si limx->a+ f(x) = inf o limx->a- f(x) = inf.

Asíntota Horizontal (AH
La recta y=b es asíntota horizontal de f(x) si limx->inf f(x) = b.

Un ejemplo que podemos tener es:
f(x) = x/(x-1)limx->1+ f(x) = +inf
limx->1- f(x) = -inf=> x=1 es AV de f(x)
limx->inf f(x) = 1
=> y=1 es AH de f(x)

8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo
Continuidades
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su grafica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lapiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha enél y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

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Discontinuidades
1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
- Una función tiene una discontinuidad inevitable.
 
 

 
9 Tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable
Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

Discontinuidad esencial o no evitable
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:
1. Existen los límites laterales pero nocoinciden.
2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.
No existe alguno de los límites laterales o ambos.
Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
- De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:
como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.
Discontinuidad asintótica
Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.
Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.