Logaritmo
En matematicas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el calculo de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los calculos. Estos fueron rapidamente adoptados por científicos, ingenieros, y otros para realizar operaciones mas facilmente, usando reglas de calculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho mas importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es el suma de los logaritmos de los factores

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.
Definición
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (opotencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n 1]

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)
Para que la definición sea valida, no todos las base y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n R).
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Definición analítica
En la imagen se puede ver la representación grafica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1).
Se puede introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo, se puede empezar con algunas observaciones
1. La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión entre n y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de es (con ).
2. Este calculo obviamente no es valido cuando , porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función «potencia» que no tiene unaprimitiva «potencia».
3. Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre .
A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como
Propiedades de la función logarítmica
1. El dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
2. es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
3. Tiene límites infinitos en y en .
4. El valor
5. La tangente que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
6. La tangente que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación
7. La derivada de primer orden es .
8. La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra 'r' ( ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con y .
9. La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial
Propiedades generales
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno seran negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 sera mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualesquiera que sea el exponente n, se tendra siempre que bn sera mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstaculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64etc y sus exponentes seran 0, 1, 2, 3, 4 etc ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2,log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.
Identidades logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar calculos:
* El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

* El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

* El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

* El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin mas que hacer

Elección y cambio de base
Entre los logaritmos mas utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto 'b' como 'k' son diferentes de 1)

en la que 'k' es cualquier base valida. Si hacemos k=x, obtendremos

El logaritmo mas ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matematicas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastanteutilizado el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matematicas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informatica se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.
Extensiones
Es posible extender el concepto de logaritmo mas alla de los reales positivos.
Números reales
Para enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primo que el otro no tiene.
El logaritmo natural de un número real positivo esta bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos.
Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la mas frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.
Números complejos
Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).
El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación:
(*)
La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son faciles deencontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación (*) es b0

Puede comprobarse que ésta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.
Logaritmo en base imaginaria
Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver facilmente con la fórmula

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior sólo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación

admite no sólo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

también es solución.
Matrices
Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre.
En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz esta definido y es una matriz real.
Si el logaritmo no esta definido sobre el espectro o conjunto de autovalores, aún así es posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos denúmeros negativos o complejos), aunque no resulta única.
En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es mas complicado, ya que requiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.

Número e

e} es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).
La constante matematica es uno de los mas importantes números reales 1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial es esa misma función. El logaritmo en base se llama logaritmo natural o neperiano.
El número , conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matematico escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el calculo matematico.
Esta considerado el número por excelencia del calculo, así como lo es de la geometría e del analisis complejo. El simple hecho de que la función coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de unaveleta frente a una rafaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metalico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos mas.
El número , al igual que el número , es un irracional, no expresable por la la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos. Ademas, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales.
Su valor aproximado (truncado) es
≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
Definición
La definición mas común de e es como el valor límite de la serie

que se expande como

Otra definición habitual[4] dada a través del calculo integral es como solución de la ecuación:

que implica

es decir que se define e como el número para el que

o lo que es lo mismo, el número para el que

Propiedades
Calculo
La función exponencial f(x) = ex es su propia derivada y su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva también:y

Ademas, e es el límite de la sucesión de término general:

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo mas practico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable :

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.
Desarrollo decimal
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

Lo que se escribe e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 1,2n,1, ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.
Algebra
El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e ademas es un número normal.
Números complejos
El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos

El caso especial con x = π es conocido comoidentidad de Euler

de lo que se deduce que:

Ademas, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

que es la fórmula de De Moivre.
Función exponencial
Se llama exponencial la función definida sobre los números reales por
* La función exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el analisis, mas precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
* La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.
En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula[5] que se aproxima a 'e':

Representaciones de e
El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos basicos de calculo, es el límite

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

Cuando tiende a infinito, los productos que estan en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a , como se quería demostrar.
La serie infinita anterior no es única; e también puede ser representado como

Existen otras representaciones menos comunes. Porejemplo, e se puede representar como una fracción simple continua infinita

Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados 6] [7]
Número de dígitos conocidos de e |
Fecha | Dígitos decimales | Calculo realizado por |
1748[8] | 18 | Leonhard Euler |
1853 | 137 | William Shanks |
1871 | 205 | William Shanks |
1884 | 346 | J. M. Boorman |
1946 | 808 | ? |
1949 | 2010 | John von Neumann (en la ENIAC) |
1961 | 100 265 | Daniel Shanks y John W. Wrench |
1994 | 10 000 000 | Robert Nemiroff y Jerry Bonnell |
Mayo de 1997 | 18 199 978 | Patrick Demichel |
Agosto de 1997 | 20 000 000 | Birger Seifert |
Septiembre de 1997 | 50 000 817 | Patrick Demichel |
Febrero de 1999 | 200 000 579 | Sebastian Wedeniwski |
Octubre de 1999 | 869 894 101 | Sebastian Wedeniwski |
21 de noviembre de 1999 | 1 250 000 000 | Xavier Gourdon |
10 de julio de 2000 | 2 147 483 648 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
16 de julio de 2000 | 3 221 225 472 | Colin Martin y Xavier Gourdon |
2 de agosto de 2000 | 6 442 450 944 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
16 de agosto de 2000 | 12 884 901 000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
21 de agosto de 2003 | 25 100 000 000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
18 deseptiembre de 2003 | 50 100 000 000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
27 de abril de 2007 | 100 000 000 000 | Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo |
6 de mayo de 2009 | 200 000 000 000 | Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo |
21 de febrero de 2010 | 500 000 000 000 | Alexander J. Yee[9] |
5 de julio de 2010 | 1 000 000 000 000 | Shigeru Kondo y Alexander J. Yee[10] |

Logaritmo decimal

En matematicas, se denomina logaritmo decimal o logaritmo común al logaritmo cuya base es 10, por lo tanto, es el exponente al cual hay que elevar 10 para obtener dicho número. Se suele denotar como log10(x), o a veces como log(x), aunque esta última notación causa ambigüedades, ya que los matematicos usan ese término para referirse al logaritmo complejo. El logaritmo decimal fue desarrollado por Henry Briggs.
Propiedades características
Observando la siguiente progresión

se puede deducir facilmente las siguientes propiedades de los logaritmos de base 10:
* Los únicos números de este sistema cuyos logaritmos son enteros son las potencias de 10. Así:

* El logaritmo de todo numero que no es potencia de de 10 no es un entero, sino una fracción propia o un entero mas una fracción propia.
Como y , los números comprendidos entre 1 y 10 tendran un logaritmo mayor a 0 y menor que 1; su logaritmo sera un fracción propia.

Como y , los números comprendidos entre 10 y 100 tendran un logaritmo mayor a 1 y menor que 2;su logaritmo sera 1 mas una fracción propia.

Como y , los números comprendidos entre 100 y 1000 tendran un logaritmo mayor a 2 y menor que 3; su logaritmo sera 2 mas una fracción propia.

Parte entera y mantisa
Se puede resumir de lo anterior que los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
* Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
* Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).
1. La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que y entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 seran decimales, con entero 0, que es su característica.
2. La característica de los números superiores o iguales a 10 sera un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc
3. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 sera positiva.
4. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 sera negativa y su mantisa positiva.
Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.