Predicados y Cuantificadores
ING DE SISTEMAS


OBJETIVOS Introducir el concepto de proposición abierta o predicado y comparar con las proposiciones vistas hasta el momento. Introducir los cuantificadores existencial y universal y conocer su función en la lógica de predicados.

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Lógica de Primer Orden
La lógica proposicional sólo puede representar hechos acerca del mundo. La lógica de primer orden describe un mundo que consta de objetos y propiedades (o predicados) de esos objetos. Entre los objetos, se verifican varias relaciones p.ej. Progenitor(Marcos, José). Una función es una relación en la cual sólo hay un valor para un input dado. Ejemplos

Objetos: gente, casas, números, planetas
Relaciones: progenitor, hermano-de, mayor-que Propiedades: rojo, pequeño, primo Funciones: padre-de, uno-mas-que

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Lógica de Primer Orden
Ejemplos: Uno mas uno igual a dos.' Todas las nubes son negras o grises' La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada.

Syntaxis y semantica La lógicade primer orden tiene sentencias como lógica proposicional y, ademas, tiene términos, que representan objetos. Para construír términos se usan símbolos constantes, variables y funciones, y cuantificadores y símbolos predicado son usados para construír sentencias.

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TERMINOLOGIA
Variables: Dado un conjunto cualquiera , diremos que una variable es la

representación genérica de un elemento del conjunto. Para designar las variables se utilizan las letras . En general, designara a objetos de una colección o conjunto y los de otra. Estas variables sustituyen al o del lenguaje común; en lugar de decir Un fulano se dedica al teatro , diríamos: un x que se dedica al . En este ejemplo, x es la variable y no es mas que un elemento del conjunto de seres humanos.



Constante: A una palabra, letra o símbolo la llamaremos constante, si y
sólo si, designa a un elemento determinado de un conjunto. Por ejemplo, en el conjunto de seres humanos tanto Silvia como Luis, son constantes. Las constantes también se designan con letras minúsculas, usualmente : a,b,c

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PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Muchas veces en matematicas y en programas de computación se encuentranenunciados en los que se incluyen variables, como >3 3

Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos si no se especifican los valores de las variables.
El enunciado x es mayor que 3 tiene dos partes: La variable x, que es el sujeto del enunciado, y mayor (predicado), que es una propiedad que puede tener el sujeto. Se puede denotar el enunciado x es mayor que 3 por P(x), donde P es el predicado es mayor que 3 y x es la variable. La sentencia P(x) se dice tambien que es el valor de la función proposicional P en x. Una vez que se le haya asignado un valor a la variable x, la sentencia P(x) se convierte en una proposición y tiene un valor de verdad. Asi se tiene que P(4) es V y P(2) es F. Q(x,y) = 3 Q(1,2) F Q(3,0) V
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Ejemplo

Sistemas)=> P(b) es verdadara.
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Dominio de los Predicados
Llamaremos dominio del predicado P(x), a todas aquellas constantes que al ser sustituidas en el mismo, lo transforman en una proposición. Informalmente diríamos que el dominio de un predicado son todas aquellas constantes que tiene considerar, que es lo que se conoce como Universo o Universo del discurso. Por ejemplo , si P(x): x es un Alumno de Ing de pudiéramos considerarcomo dominio o universo de P(x) a la colección de estudiantes que estudian Ing Sistemas en el mundo.

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Dominio de Verdad
El dominio de verdad de un predicado es el conjunto formado por todas las constantes que al ser sustituidas en el predicado, lo convierten en una proposición verdadera. Por ejemplo: sea el conjunto } no haría parte del Conjunto por que no es una carrera que se pueda cursar en la .
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PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Q(x,y) = 3 Q(1,2) es F Q(3,0) es V

Entonces una sentencia de la forma P(x1,x2, ..xn) es el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x1,x2 .xn). P se llama también predicado

Cuantificadores
Permiten crear proposiciones a partir de funciones proposicionales. Esto se puede hacer cuando a una función proposicional se le han asignado valores, donde la sentencia resultante se convierte en una proposición con cierto valor de verdad

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PREDICADOS Y CUANTIFICADORES

Ejemplo: P(x) = 2 si el dominio consiste en los reales es falsa. Si el dominio son los enteros es verdadera pues 0