Predicados y Cuantificadores
ING DE SISTEMAS
OBJETIVOS Introducir el concepto de proposición abierta o predicado y
comparar con las proposiciones vistas hasta el momento. Introducir
los cuantificadores existencial y universal y conocer su función en la
lógica de predicados.
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Matematicas Discretas
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Lógica de Primer Orden
La lógica proposicional sólo puede representar hechos acerca del
mundo. La lógica de primer orden describe un
mundo que consta de objetos y propiedades (o predicados) de esos objetos. Entre los objetos, se verifican varias relaciones p.ej. Progenitor(Marcos, José). Una función es una
relación en la cual sólo hay un valor
para un input dado. Ejemplos
Objetos: gente, casas, números, planetas
Relaciones: progenitor, hermano-de, mayor-que
Propiedades: rojo, pequeño, primo Funciones: padre-de, uno-mas-que
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Lógica de Primer Orden
Ejemplos: Uno mas uno igual a dos.' Todas las nubes son
negras o grises' La lógica de primer orden
es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada.
Syntaxis y semantica La lógicade primer orden tiene sentencias como
lógica proposicional y, ademas, tiene términos, que
representan objetos. Para construír términos se usan símbolos
constantes, variables y funciones, y cuantificadores y símbolos
predicado son usados para construír sentencias.
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TERMINOLOGIA
Variables: Dado un conjunto cualquiera , diremos que
una variable es la
representación genérica de un elemento del conjunto. Para
designar las variables se utilizan las letras . En
general, designara a objetos de una
colección o conjunto y los de otra. Estas variables sustituyen al o del lenguaje
común; en lugar de decir Un fulano se dedica al teatro
, diríamos: un x que se dedica al . En este
ejemplo, x es la variable y no es mas que un elemento del conjunto de seres humanos.
Constante: A una palabra, letra o símbolo la llamaremos constante, si y
sólo si, designa a un elemento determinado de
un conjunto. Por ejemplo, en el conjunto de seres humanos tanto Silvia como
Luis, son constantes. Las constantes también se designan con letras
minúsculas, usualmente : a,b,c
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PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Muchas veces en matematicas y en programas de computación se
encuentranenunciados en los que se incluyen variables, como >3 3
Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos si no se especifican los
valores de las variables.
El enunciado x es mayor que 3 tiene dos partes: La variable x, que es el sujeto
del
enunciado, y mayor (predicado), que es una propiedad que puede tener el sujeto.
Se puede denotar el enunciado x es mayor que 3 por P(x), donde P es el
predicado es mayor que 3 y x es la variable. La sentencia P(x) se dice tambien
que es el valor de la función proposicional P en x. Una vez que se le
haya asignado un valor a la variable x, la sentencia
P(x) se convierte en una proposición y tiene un valor de verdad. Asi se
tiene que P(4) es V y P(2) es F. Q(x,y) = 3 Q(1,2) F Q(3,0) V
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Ejemplo
Sistemas)=> P(b) es verdadara.
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Dominio de los Predicados
Llamaremos dominio del
predicado P(x), a todas aquellas constantes que al ser sustituidas en el mismo,
lo transforman en una proposición. Informalmente diríamos que el
dominio de un predicado son todas aquellas constantes
que tiene considerar, que es lo que se conoce como Universo o Universo del discurso. Por ejemplo , si P(x): x es un Alumno de Ing de
pudiéramos considerarcomo dominio o universo de P(x) a la
colección de estudiantes que estudian Ing Sistemas en el mundo.
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Dominio de Verdad
El dominio de verdad de un predicado es el conjunto
formado por todas las constantes que al ser sustituidas en el predicado, lo
convierten en una proposición verdadera. Por ejemplo: sea el conjunto } no haría parte del Conjunto por que no es
una carrera que se pueda cursar en la .
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PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Q(x,y) = 3 Q(1,2) es F Q(3,0) es V
Entonces una sentencia de la forma P(x1,x2, ..xn) es
el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x1,x2 .xn). P se llama también predicado
Cuantificadores
Permiten crear proposiciones a partir de funciones proposicionales. Esto
se puede hacer cuando a una función proposicional se le han asignado valores, donde la sentencia resultante se
convierte en una proposición con cierto valor de verdad
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PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
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PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Ejemplo: P(x) = 2 si el dominio consiste en los reales es falsa. Si el dominio
son los enteros es verdadera pues 0
