TÉCNICA DE LA BASE GRAFICA

Es recomendable su utilización en función de los productos que pueden intervenir en la decisión y se emplea cuando existen dos productos. Tanto para la base gráfica como para el método Simplex intervienen los siguientes elementos:
1. Las variables de decisión que trataremos de determinar.
2. El objetivo meta que trataremos de optimizar
3. Las restricciones que trataremos de satisfacer.

El modelo se aplica en función de estos treselementos ya que; se comienza por formular el problema el cual consta de dos componentes; la función objetivo y las restricciones o limitaciones de los factores productivos a fin de lograr el objetivo deseado.
Las restricciones vienen dadas en su mayoría en forma de desigualdades (≤ ó ≥), significando esto condición de no utilización de todo este factor en particular. Los productos que saldrán al mercado se denotan con las variables ( X e Y). Al final del problema para que estas variables sean consideradas optimas sus valores deben ser mayores o iguales a cero (≥ 0). Las restricciones se deben llevar a un eje de coordenadas cambiando la desigualdad por una igualdad para poder graficar. La gráfica se obtiene a través de dos puntos:

X = 0 Y = ?
Y = 0 X = ?

Una vez completada la gráfica se obtiene el llamado espacio o área de solución factible que sería el área común de todas las restricciones, esto permite encontrar la solución del problema a través de los llamados puntos extremos, los cuales se pueden representar con una nomenclatura alfabética delimitando así el área. Cada punto representa una “X” y una “Y”, estos se sustituyen en la función objetivo y se decide por aquel que se corresponda con los objetivos planteados.

PASOS RESUMIDOS PARA LA TÉCNICA DE LA BASE GRAFICA:

1.- Definir las variables (X e Y).
2.- Formular el problema
2.1.- Determinar la función objetivo (maximizar o minimizar)
2.2.- Aplicar las restricciones
2.3.- Establecer la condición necesaria y suficiente. (X e Y ≥ 0).
3.- Aplicar la técnica de la base gráfica
X = 0 Y = ?
Y = 0 X = ?
Se gráfica y se obtiene el área de solución factible
4.- Se determinan los puntos extremos, sustituyendo los valores de ( X e Y) en la función objetivo, se comparan y se toma la decisión.
5..- Se determina según las restricciones si existen sobrantes o faltantes.

MÉTODO BASE GRAFICA
INDUSTRIA AGRO TECH
TomAnderson, gerente de producción de Agro – Tech Inc., necesita planear la combinación de fertilizantes para el siguiente mes y no tiene claro como va a proceder para elaborar el plan. La Agro – Tech, es una compañía pequeña de productos químicos que fabrica, entre otros artículos dos tipos de fertilizantes que se elaboran combinando ingredientes que se compran a proveedores externos. Cada mes, Tom tiene que planear la cantidad la cantidad de fertilizante que deben producirse. Su plan debe tomar en consideración el costo de los ingredientes, el precio de venta, los pedidos y las restricciones. El proceso de planeación para este mes es más difícil que lo normal. Tom tiene que elaborar un programa de producción que conduzca a las mayores utilidades posibles para Agro – Tech, utilizando solo la cantidad de ingredientes que están disponibles para el mes.


Los dos fertilizantes que Agro – Tech fabrica son las mezclas denominadas (5-5-10) y (5-10-5), en cada uno de los casos el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato químico, el segundo valor se refiere al porcentaje de fosfato que aparece en el producto final y el tercer valor da el porcentaje de potasio. Por ejemplo; el (5-5-10) está elaborado con 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio. Cada tipo de fertilizante será comercializado en el mercado de la siguiente manera: El (5-5-10) a un precio de $71.50 la tonelada con unos costos de producción de $53.00 cada tonelada, y El (5-10-5) a un precio de $69 con costos de $49 cada tonelada.
Este mes la disponibilidad de materias primas son 1.100 toneladas de nitrato; 1.800 toneladas de fosfato y 2.000 toneladas de potasio. No existen restricciones para el uso de mano de obra ni tampoco para el empleo de las maquinarias pero se tiene un costo de $25 la tonelada que están ya incluidos en los costos de producción y estos abarcan el 80% del resto de los componentes para cada tipo de fertilizante. La pregunta que Tom debe resolver essCómo utilizar los recursos escasos (nitrato, fosfato y potasio), con los cuales cuenta Agro –Tech, de manera que se obtengan las mayores utilidades para la compañía en el siguiente mes?
Características del caso:
Es importante observar varias características de caso. En primer lugar, Tom tiene un solo objetivo, la maximización de la utilidades provenientes de la fabricación de los dos fertilizantes. En segundo lugar, el objetivo que se debe lograr esta sujeto a la disponibilidad y uso de los recursos escasos (ingredientes). En tercer lugar, tanto las utilidades como el uso de los recursos son directamente proporcionales a la cantidad que se fabrique de los dos fertilizantes, es decir pueden sumarse las utilidades de los dos productos para calcular las utilidades totales. Por último no es posible fabricar una cantidad negativa de ninguno de los dos productos.
Con respecto a las restricciones, estas están dadas de manera porcentual y se deben aplicarla de la misma forma. Por ejemplo el fertilizante (5-5-10):
(5/100 – 5/100 – 10/100) resultando (0.05-0.05-0.10)

SOLUCION DEL CASO.

1.- DEFINICIÓN DE VARIABLES.
X: Fertilizante 5-5-10
Y: Fertilizante 5-10-5

2.- FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.
Función Objetivo: Maximizar las utilidades provenientes de la fabricación de ambos fertilizantes.
Matemáticamente;
Z= (71,50 – 53)X + (69 – 49)Y
Z= 18,50X + 20Y

Establecimiento de Restricciones.

Están en función al volumen de toneladas de materia prima (ingredientes) utilizados en la elaboración de los fertilizantes.
|Nitrato: |0.05X + |0.05Y ( |1100 toneladas |
|Fosfato: |0.05X + |0.10Y ( |1800 toneladas |
|Potasio: |0.10X + |0.05Y ( |2000 toneladas |

Condición suficiente y necesaria; (X e Y ( 0)
3.- TÉCNICA DE BASE GRAFICA.
En cada ecuación correspondiente a una restricción se asignan valores iguales a cero (0) tanto a las “X” como las “Y”. Esto con la finalidad de obtenerlos puntos que van a la gráfica en los ejes de coordenadas (X e Y).
a.- Primera restricción (Nitrato)
|0.05X + 0.05Y ( 1100 toneladas |X = 0 |Y = 0 |
|0.05X + 0.05Y = 1100 toneladas |0.05(0) + 0.05Y = 1100 |0.05(X) + 0.05(0)= 1100 |
Y = 1100 / 0.05 |X = 1100 / 0.05 |
Y = 22.000 |X = 22.000 |

|X |Y |
|0 |22000 |
|22000 |0 |

b- Segunda restricción (Fosfato)

|0.05X + 0.10Y ( 1800 toneladas |X = 0 |Y = 0 |
|0.05X + 0.10Y = 1800 toneladas |0.05(0) + 0.10Y = 1800 |0.05(X) + 0.10(0)= 1800 |
Y = 1800 / 0.10 |X = 1800 / 0.05 |
Y = 18000 |X = 36000 |

|X |Y |
|0 |18000 |
|36000 |0 |

c.- Tercera restricción (Potasio)

|0.10X + 0.05Y ( 2000 toneladas |X = 0 |Y = 0 |
|0.10X + 0.05Y = 2000 toneladas |0.10(0) + 0.05Y = 2000 |0.10(X) + 0.05(0)= 2000 |
Y = 2000 / 0.05 |X = 2000 / 0.10 |
Y = 40000 |X = 20000 |

|X |Y |
|0 |40000 |
|20000 |0 |

Una vez determinados los puntos para graficarlas ecuaciones correspondientes a las restricciones, se llevan al cuadrante (X e Y), luego se determina el área de solución factible o región solución y en ella se ubica el punto donde se obtiene la combinación óptima de producción en función del máximo beneficio.

Análisis de los Puntos Extremos Z = 18.5X + 20Y
|Punto “a”: (0 ; 0) |Z= 18.5 (0) + 20(0) |0 |
|Punto “b”: (0 ; 18000) |Z= 18.5 (0) + 20(18000) |360000 $ |
|Punto “c”: (8000 ; 14000) |Z= 18.5 (8000) + 20(14000) |428000 $ |
|Punto “d”: (18000 ;400) |Z= 18.5 (18000) + 20(400) |341000 $ |
|Punto “e”: (20000 ; 0) |Z= 18.5 (20000) + 20(0) |370000 $ |

|Punto “c” 0.05X + 0.10Y = 1800 |
|0.05X + 0.05Y= 1100 |

| 0.05X + 0.10Y = 1800 |Y = 700 / 0.05 |0.05X + 0.10Y = 1800 |
|-0.05X – 0.05Y = -1100 |Y = 14000 |0.05X + 0.10 (14000) = 1800 |
|0.05Y = 700 0.05X = 1800 –1400 |
|X= 8000 |

|Punto “c” 0.05X + 0.05Y = 1100 |
|0.10X + 0.05Y= 2000 |

| -0.05X - 0.10Y = -1100 |X = 900 / 0.05 |0.05X + 0.05Y = 1100 |
|0.10X + 0.05Y = 2000 |X = 18000 |0.05(18000) + 0.05Y = 1100 |
|0.05X = 900 0.05Y = 1100 – 900 |
|Y= 400|

Los puntos (a, b, y d) se ubican directamente en el gráfico. Realizado el análisis se observa que en el punto “c” se alcanza el máximo valor funcional $428000, esto se logra combinando la producción de la siguiente manera;
8000 unidades del producto X (Fertilizante 5-5-10) y 14000 unidades de Y (Fertilizante 5-10-5). Por último para determinar si la combinación es definitivamente óptima se calculan los posibles sobrantes o faltantes del recurso limitado, en este caso se recuerda que la limitante es la materia prima, es decir los ingredientes (Nitrato, Fosfato y Potasio).
Análisis de Sobrantes o Faltantes:
Mezcla de Producción: X = 8000 Y = 14000
|Nitrato: | 0.05X + |0.05Y ( |1100 toneladas |No existen |
0.05 ( 8000) + |0.05 (14000) ( |1100 |sobrantes ni faltantes |
|Fosfato: | 0.05X + |0.10Y ( |1800 toneladas |No existen |
0.05 ( 8000) + |0.10 (14000) ( |1800 |sobrantes ni faltantes |
|Potasio: | 0.10X + |0.05Y ( |2000 toneladas
0.10 ( 8000) + |0.05 (14000) ( |1500

Existe un sobrante de 500 toneladas del ingrediente Potasio, ya que para la mezcla de producción solo se utilizan 1500 toneladas. Esta diferencia puede ser reservada para futuras producciones o simplemente este valor puede se ajustado a los requerimientos reales de las operaciones.