Materias Basicas



Primer Departamental

EJERCICIOS RESUELTOS
ECUACIONES LOGARÌTMICAS

Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logaritmo. Por ejemplo:

1.-log(x+6) = log(2x-1).
Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7. Hemos resuelto la primera ecuación logarítmica. Muy sencilla en este caso, pero que nos proporciona el método para resolverlas todas. Enseguida lo veremos. También aplicando las leyes de los logaritmos donde log log(x+6) = log(2x-1). log (x+6)-log (2x-1) = 0 Como tenemos una diferencia de logaritmos, procedemos como lo indica la ley de los logaritmos mencionada
log ( x
6) ( 2 x 1) 0

a b

log a log b

Observamos que la base del logaritmo es 10, ya que no aparece ningún subíndice, por lo tanto se da por hecho que es de base 10. Convirtiendo

bx
Tenemos: 10 0

N

log

b

N

x x
6; 2 x x 6
1; x 7

x
6 ?1 2x 1

x
6 simplifica ndo 2 x 1 2x 12.- log(x+6) = 1 + log(x-3)
log( x
6) log( x 3) 1 ( x
6) log 1 ( x 3) x
6 x
6 ; 10( x 3) 101 ? 10 x 3 x 3 36 x ? x 4 9

x
6; 10 x 30

x
6; 10 x x

6
30; 9 x

36

Profesor Rodrigo Camacho Chavez

4


Materias Basicas

Guía de Geometría y Trigonometría

Primer Departamental

3.- log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x)
log 2 2 log(5 x) log(11 x 2 ) ? 0.301029995 (5 x) 2 (11 x log (5 x) 2 ? (11 x (5 x) 2

10 0.301029995 22 2 x 2 3

(5 x) 2(11 x 2 ) (11 x 2 ) 2 x 2
x 2 10 x 0

25 10 x
x 2 ? 22 25

3 x 2 10 x ? 3 x 2 10 x
3

Tenemos una ecuación de segundo grado la cual resolvemos con: x Con a
3 b 10 c 3 sustituyendo:

b r b 2 4ac 2a

x

(10) r (10) 2 4(3)(3) 2(3)
10 r 100 36 ? 6 18 3 6 2 0.3333 6 x

Simplificando

x x1 x2

10 r 8 6

Comprobación con x = 3 log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x) sustituyendo x1
0.301029995
log(11 3 2 ) 0.301029995
log(2) 0.301029995
0.301029995 0.6020 0.6020 2 log(5 3)2(0.301029995)

3

2 log(2)

Profesor Rodrigo Camacho Chavez

5


Materias Basicas

Guía de Geometría y Trigonometría

Primer Departamental

4.- log (3 - x2) =log 2 + log x
log(3 x 2 ) log x log 2 log (3 x 2 ) x 0.3010 ? 10 0.3010 3 x2 ? x 2x 3 x2

x 2
2x 3 0 x 2
2x 3 2 2 x 2
2x
( )2 3
( )2 ? ( x
1) 2 4 2 2 x
1 r 4 tomando la parte positiva tenemos : x1 1
2 1 tomando la parte negativa x2 1 2 3

Comprobación con x = 1 log (3 - x2) =log 2 + log x
log(3 1) log 2
0 log 2 log 2

5.- 2log(x) - log ( x2 - 6) = 1
log x 2 log( x 2 6) 1 ? log 10 x 2 60 x2 x x2 x2 x2 ? 10( x 2 6) 1 ? 101 2 2 x 6 x 6 2 2 10 x x 60 9 x 60 9 x 2 60 r 60 9 x2

x 9 r2.582

Comprobación con x = 2.582 2log(x) - log ( x2 - 6) = 1
2 log 2.582 log(2.582 2 6) 1 0.824 (0.176) 1 0.824
0.176 1 1{1

Profesor Rodrigo Camacho Chavez

6


Materias Basicas

Guía de Geometría y Trigonometría

Primer Departamental

6.- 3 x
4 = 21 3x
Observemos que tenemos una ecuaciónexponencial de la forma b x Donde b=3; x

N

x
4 ; N= 21 3x
log 21 3 x

Aplicando logaritmos de ambos lados tenemos: log 3 x
4 Como log A n
n log A ley de los logaritmos, entonces:

( x
4) log 3 (1 3 x) log 2 ? x log 3
4 log 3 x log 3
3x log 2 log 2 4 log 3 x(log 3
3 log 2) x 1.6075 log 3
3 log 2 0.3010 1.9084 1.6075 0.4471
0.9030 1.6075 1.3802

log 2 3x log 2

1.1646

Comprobación: con x = -1.1646

3 x
4 = 21 3x Sustituyendo
3 (1.1646
4 ) 2 (1 3(1.1646))

3 2.8353

2 4.4938

22.53 | 22.53

7.-

Sistemas de ecuaciones

2x 3y 2 32 ( 1) x
2 y 6 ( 2) Observemos que la ecuación (1) es de tipo exponencial b x Y que se puede convertir en logarítmica así: log 2 Aplicando log A n

N
log 32

2x 3y

n log A en el primer miembro de la ecuación tenemos:

Profesor Rodrigo Camacho Chavez

7


Materias Basicas

Guía de Geometría y Trigonometría

Primer Departamental

(2 x 3 y ) log 2 2x 3y

log 32 5
5 2 x ? multiplica ndo por ( 1)

log 32? 2x 3y log 2

Despejando “y” tenemos 3 y

3y

2x 5 ? y

2x 5 (1) 3

Despejando “y” de la segunda ecuación
x
2y 6 ? y 6 x ( 2) , por el método de igualación, tenemos: 2

2x 5 6 x ? 2(2 x 5) 3(6 x) 3 2 ? 4 x
3 x 18
10 7 x 28 x 4 calculando la var iable ' y' 2x 5 2(4) 5 ? y ? y y 3 3 Comprobación 2 2x 3 y 32 ? 2 2 ( 4 ) 3(1)

?

4 x 10 18 3x

8 y 1 3 32

32 ? 2 5 6

32 { 32 x
2y 6 6{6

? 4
2(1)

6 ? 4
2

Profesor Rodrigo Camacho Chavez

8


Materias Basicas

Guía de Geometría y Trigonometría

Primer Departamental

RESOLUCIÓN GRAFICA
Ahora veamos graficamente la solución de la ecuación. Como en todas las ecuaciones con una incógnita, se pueden utilizar dos métodos: · Conseguir que quede igualada a 0, representando en el programa la ecuación (que es una función): y =.primer miembro. Los valores de x de los puntos de corte con el eje X seran las soluciones.

· Representar las funciones correspondientes a los dos miembros de la ecuación y losvalores de
x de los puntos de corte seran las soluciones. En nuestro caso, utilizando el primer método, resulta: log(x+6) - log(2x-1) = 0, luego representamos y = log(x+6) - log(2x-1). 'El valor de 'x' del punto de corte de la grafica obtenida con el eje X es la solución de la ecuación'. Enseguida observaras que es x = 7. Pero ademas en la escena observaras también una recta que corta al eje X en al mismo punto ( con x = 7). Se trata de la que representa a la ecuación: x + 6 = 2x - 1, o sea: y = x+6 - (2x-1), lo que confirma lo correcto del método. Este método grafico nos servira para resolver cualquier ecuación logarítmica.

Profesor Rodrigo Camacho Chavez

9


Materias Basicas

Guía de Geometría y Trigonometría

Primer Departamental

Ejercicio 2.- Escribe en las ventanas correspondientes de la escena siguiente las ecuaciones,
de manera adecuada, para resolver la siguiente ecuación logarítmica, usando los logaritmos como número.

log(x2+2x) = log(3) (Deberas encontrar dos soluciones).

Profesor Rodrigo Camacho Chavez

10