Geometría analítica en el
espacio
1 El Plano.
El plano
es la más sencilla de todas las superficies. Un plano
se representa por una ecuación lineal o de primer grado en las variables x,y,z. El reciproco también es cierto, es decir, toda
ecuación lineal en x,y,z representa un plano.
La ecuación general de un plano
es, por consiguiente, Ax+Bx+Cz+D=0, siempre que a,b,c
no sean nulos simultáneamente.
La ecuación de la familia de planos que pasan por el punto (x0,y0,z0) es
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Forma general de la ecuación de un plano.
Vamos a obtener la ecuación de un plano cualquiera partiendo de sus bien
definidas propiedades. En geometría elemental, se dice que una recta es
perpendicular aun plano si es perpendicular a cualquier recta del plano que
pase por su pie, entonces diremos que una recta a un plano si es perpendicular
a toda recta del plano, sin considerar si la recta del plano pasa por el pie de
la perpendicular o no. Hay un número infinito de
rectas perpendiculares a un plano; cada una de
tales rectas se llama normal al plano.
La condición que debe satisfacer cualquier punto del plano, puede escribirse en
la forma
Ax+ By+Cz-(Ax1+By1+Cz1)=0
Y como la expresión encerrada entre paréntesis es una constante y, por tanto,
puede remplazarse por el término constante –D, resulta que la ecuación es de
laforma:
Ax+By+Cz+D=0
ecuación general de un plano.
En donde A,B,C y D son constantes, y [A,B,C] son los números directos de su
normal.
Demostración de la ecuación.-
Az+By+Cz+D=0
Tiene un número infinito de soluciones. En efecto, por hipótesis, uno por lo
menos de los tres coeficientes A,B, y C es diferente
de cero. Si suponemos que A≠0, podemos escribir
x= - B/Ay-C/Az-D/A.
Ahora estamos en libertad de asignar cualquier par de valores a y y a z y
calcular el valor correspondiente de x; cada terna tal
de valores representa una solución de la ecuación y consecuencia, las
coordenadas de un punto que ésta sobre el lugar geométrico de la ecuación. Sean
P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) dos de esos puntos.
Tendremos:
Ax1+By1+Cz1+D=0
Ax2+By2+Cz2+D=0
Por resta de ecuaciones resulta;
A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0
Si se agrega otro punto cualquiera P3(x3,y3,z3) otro punto cualquiera,
diferente de los otros dos. Por lo tanto los números directos de l a partir de
de P1 y P3 son:
[x1-x3,y1-y3, z1-z3]
Al resultar:
A(x1-x3)+B(y1-y3)+C(z1-z3)=0 al restarle las constantes con función de x1,y1,z1
Obtenemos:
Ax3+By3+Cz3+D=0
al Demostrar que P3 también se encuentra en el mismo plano.
Ejemplo:
1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P1(-2,-1,5) y es
perpendicular ala recta l determinada por los puntos P2(2,-1,2) P3(-3,1-2).
Solución
Los números directosde l son: [-3-2,1+1,-2-2], ósea, [5,-2,4]. Como
l es perpendicular al plano,
los números directores de su normal son también [5,-2 ].
Por tanto P1(-2-1,5], tenemos que la ecuación buscada del plano es:
5(x+2)-2(y+1)+4(z-5)=0
5x-2y+4z-12=0
2 Rectas en el espacio.
2.1 Distancia entre un punto y un plano.
Sean:
,
La ecuación de un plano, un punto exterior a él
y d la distancia del punto P al plano.
Supóngase otro plano, paralelo al interior,
apoyado en P. la ecuación de este plano
es:
.
Por ser el punto Pa‚ del plano, se tiene:
De donde :
Por tanto: para obtener la distancia de u punto a un plano, iguálese a cero la
ecuación del plano y luego sustitúyase, en el primer miembro, las variables
(x,y,z) por las coordenadas del punto dado.
Teniendo presente que
Y que el resultado (1) se escribe también:
Observación. Es útil en vista de ciertas aplicaciones, expresar la distancia de
un punto a un plano,
introduciendo u determinante de cuarto orden, como se indica a continuación.
Si el plano
se apoya en los puntos su ecuación es, según
se dijo:
= 0.
Luego, para obtener el numerador de (2) bastara, según se acaba de indicar,
sustituir las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado; resulta,
por tanto, que la distancia buscada puede escribirseen la forma siguiente:
= 0.
Ejemplo
sCuál es la distancian del punto p (3, 5,7) al
plano 6x + 9y +
2z = 22?
divide cada termino de la ecuación entre:
;
Resulta:
En que: .
Sustitúyanse las variables por las coordenadas de P, y se obtiene
2.1 Distancia entre un punto y una Recta.
Como aplicación de la forma normal de la ecuación de una recta, se obtiene una
fórmula que permite calcular la distancia de un punto cualquiera a una recta
La formula es la siguiente:
Obsérvese que nada más se cambian la x y la y de la ecuación por las
coordenadas de P y se divide toda la ecuación entre la radical
. Esta distancia en algunos problemas, como el de hallar la ecuación de la bisectriz de
un ángulo, se considera como
una distancia dirigida, es decir, puede ser positiva o negativa. Para
determinar su signo se hace una grafica en la que se traza la recta y se marca
el punto y se observa la posición relativa entre el punto, el origen de
coordenadas y la recta; cuando el punto de origen se encuentra en lados
opuestos de la recta, la distancia se considera positiva; cuando el punto y el
origen se encuentran del mismo lado de la recta, la distanciase
consideranegativa.
Ejemplos:
1) calcula la distancia del punto a la recta .
Se sustituye en la formula
2).- hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las
rectas:
a).- X + 2y – 3 = 0.
b) x – 2y – 2 = 0.
Recordemos que la bisectriz de un ángulo es la recta
que lo divide en dos ángulos iguales y que cualquier punto de la bisectriz esta
siempre a la misma distancia de las dos rectas que forman el ángulo. Procedemos
entonces a resolver el problema, usando la formula de distancia de un punto a una recta. Si se tiene en cuenta que las rectas
al cortarse forman cuatro ángulos, y como los ángulos opuestos por el
vértice son iguales, existen únicamente dos ángulos diferentes y que son
suplementarios.
3. Superficie.
Se le llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos,
cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma:
De una manera más general, veremos que, si existe una representación analítica
de una figura geométrica considerada por nosotros como una superficie, tal representación
consistirá en una única ecuación rectangular de la forma .
Las coordenadas de un punto están restringidas a
valores reales. La definición establece que, si una ecuación de la forma representa un lugar
geométrico, ese lugar geométrico es una superficie.Discusión de la ecuación de
una superficie: Limitaremos nuestra discusión a los 5 pasos siguientes
1.- Intercepciones con los ejes coordenados.
Trazas sobre los planos coordenados.
Simetría con respecto a los planos coordenados,
ejes coordenados y al origen.
Secciones por planos paralelos a los planos
coordenados.
- Extensión de la superficie.
TEOREMA 1. Si la ecuación de una superficie no se
altera cuando se cambia el signo de una de las variables, la superficie es
simétrica con respecto al plano
coordenado a partir del
cual se mide esa variable, y recíprocamente.
TEOREMA 2. Si la ecuación de una superficie no se
altera cuando se les cambia el signo a dos de sus variables, la superficie es
simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la
variable cuyo signo no fue cambiado y recíprocamente.
TEOREMA 3. Si la ecuación de una superficie no se
altera cuando sus tres variables cambian de signo, la superficie es simétrica
con respecto al origen y recíprocamente.
Supongamos que la ecuación de una superficie es:
.
Se puede obtener una buena idea de la forma de esta
superficie estudiando la naturaleza de sus secciones planas. Tales secciones pueden determinarse convenientemente cortando la
superficie por una serie de planos paralelos a los planos coordenados.
Por ejemplo, los planosparalelos al plano
pertenecen a la familia
cuya ecuación es , en donde k es
una constante arbitraria o parámetro.
Entonces se puede ver de despejar una de las variables en
funcion de las otras dos.
Una ecuación de esta forma nos permite obtener los intervalos
de variación de los valores reales que las variables pueden tomar. Esta información es útil para determinar la localización general de
la superficie en el espacio coordenado; también indica si la superficie es
cerrada o indefinida en extensión.
Ejemplo: Discutir la superficie cuya ecuación es:
Construir superficie.
Solución:
1 Intercepciones, La única intercepción con los ejes
coordenados está dada por el origen.
2. Trazas. La traza sobre el plano es un solo punto, el
origen. La Traza sobre el plano en la parábola La traza sobre el plano es la parábola .
Simetría, La superficie es simétrica con respecto
al plano , al plano
y al eje .
4.-Secciones: Los planos cortan a la superficie
en las curvas
Que constituyen una familia de circunferencias, para todos los valores de .
Los planos cortan a la superficie
en las parábolas.
Y los planos cortan a la superficie
en las parábolas
- Extensión, La ecuación muestra que las variables y pueden tomar todos
losvalores reales, pero la variable está restringida a
valores positivos. Por lo tanto, ninguna parte de la superficie aparece abajo del plano sino que se extiende
indefinidamente hacia arriba del plano .
Tipos de superficies
Cuadráticas: Una superficie definida por una ecuación de segundo grado en tres
variables recibe el nombre de superficie cuadrática o, simplemente, cuadrática.
Una sección plana de una cuadrática es una cónica o una forma
degenerada o limitada de esta.
La ecuación mas general de segundo grado de tres variables es
Esfera: Si en la ecuación se verifica que , se transforma en , que representa una esfera de centro en el punto y radio .
En el caso de que el punto de la esfera fuera el punto en lugar del origen, su
ecuación seria
Eclipsoide: Si son distintos, la
ecuación representa el caso mas
general de una cuadricula. Si , pero , el elipsoide es el punto y sus ejes son
paralelos a las dos coordenadas, la ecuación adquiere la forma
Hiperboloides: En el caso de que el signo de una de las variables sea distinto
de las otras, como
por ejemplo se le llama
hiperboloide de una hoja, mientras que si la ecuación representa una
hiperboloide de dos hojas.
