TRABAJO INDIVIDUAL
Asignatura: MatemAttica aplicada a la ingenierAa II
Enunciado comAsn:
Dado un campo escalar _(x; y; z; t) y uno vectorial v(x; y; z; t), se dice que
verifican la
ecuaciAn de continuidad (en forma integral) en una regiAn si:
𝑑
𝑑t
a
𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, t)d𝑥 d𝑦 d𝑧 = a a 𝑑I 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, t)𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧, t) d𝐒 (1)
I
Donde aa es la superficie que encierra a a. Si ρ(x, y, z, t) y v(x, y, z, t)
representan la
densidad y campo de velocidades de un fluido, la
ecuaciAn (1) es la ecuaciAn de
conservaciAn de la masa: la variaciAn temporal de masa en a es igual al balance
de
masa a travAs de la superficie que rodea a a.
Si la ecuaciAn (1) se verifica para cualquier a, entonces la
ecuaciAn de continuidad es
equivalente a su forma diferencial.
𝜕
𝜕t
𝑥, 𝑦, 𝑧, t) = a div(𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, t)𝐯(𝑥,
𝑦, 𝑧, t)) (2)
Donde la divergencia es en las variables espaciales.
Enunciado general
El trabajo consiste en comprobar si se verifica la ecuaciAn de continuidad para
determinados campos ρ(x, y, z, t) y v(x, y, z, t) y para cierta regiAn a.
Se pide
1.-Calcular la integral triple que aparece en el lado izquierdo de (1) en
coordenadas cartesianas para el recinto asignado.
2.-Calcular la integral triple que aparece en el lado
izquierdo de (1) en coordenadas
cilAndricas (adaptadas).
3.-Calcular de forma explAcita (directa, como integral de superficie) la
integral de
superficie que aparece en el lado derecho de (1).
4.-Utilizar el Teorema de Gauss (o de la divergencia)
paracalcular la integral de
superficie que aparece en el lado derecho de (1).
5.-Comprobar si se verifica (1) para los campos asignados.
6.-Comprobar si se verifica (2) para los campos asignados.
Regiones
RegiAn a3
RegiAn que se obtiene al girar alrededor del
eje horizontal (consArvese la
nomenclatura de los ejes) el siguiente grAtfico (las curvas que delimitan la
figura son
lAneas rectas):
En primer lugar realizamos una representaciAn de la figura de nuestro ejercicio
para
asA poder tener una mayor visiAn espacial a la hora de abordar el ejercicio.
Esta figura
se consigue utilizando el paquete adrawa e introduciendo las funciones q
describen el
desarrollo de nuestra figura en las tres dimensiones.
Enunciados particulares de los trabajos
Trabajo 9
Recinto: a3.
Campo escalar: ρ(x, y, z, t) = cte.
Campo vectorial: v(x, y, z, t) = (a x + y a 3z, 2x a 2z a 3, x + y + z).
ResoluciAn del ejercicio:
Apartado 1:
En primer lugar hayamos los lAmites en los que se encuentra nuestra figura
dependiendo del eje que tratemos en cada momento:
-
En primer lugar introducimos la ecuaciAn que define los conos que se
producen si vemos la figura de revoluciAn respecto al eje aza podemos
observar que es un cono achatado por lo que la en vez de axa colocamos
ax/2a y esta desplazado dos unidades, hecho por el cual se introduce el
a+1a tambiAn en la funciAn. (que para un cono estAtndar
seria s𝑥 2 a 𝑦 2 )
-
-
2
2
𝑧
𝑧
ass + 1s a 𝑦 2 a 𝑥 a ss + 1s a 𝑦 2
2
2
En segundo lugar introducimos la ecuaciAn que define la recta queproduce la
figura si la observamos respecto del eje aya. Esta recta esta
desplazada una unidad en el eje aya respecto del eje axa y sube media
unidad en el eje aya por cada una que se desplaza en el eje axa.
𝑧
𝑧
a( + 1) a 𝑦 a + 1
2
2
En tercer lugar la recta que se produce en el eje axa es una recta
horizontal existente entre los puntos 0 y 2 que nos delimitan la anchura
de ambos conos.
0a 𝑧a2
Una vez hallados los lAmites que definirAtn los recintos de integraciAn que
deberemos
utilizar para poder hallar de manera correcta el volumen, en primer lugar de
media
figura y posteriormente el de la figura al completo:
Realizaremos una integral triple para hallar el volumen de media figura:
-
En primer lugar integraremos respecto a axa y dicha integral serAt:
ss 𝑥+1s a𝑦2
s
2
𝑥
2
2
2
ass +1s a𝑦2
𝑥
2
2
( 𝑥, 𝑦, 𝑧, t)d𝑥 d𝑦 d𝑧 = 2 a ss + 1s a 𝑦2
-
Una vez obtenida esta integral realizaremos la siguiente con el resultado
obtenido de integrar respecto al eje axa pero ahora integraremos respecto a al
eje aya, por lo cual nuestros campos de integraciAn variaran:
𝑥
(2+1)
-
s
𝑥
a(2+1)
𝑥
2
2
2 a ss
+ 1s a 𝑦2 =
𝜋 a a a a 𝜋
4
Finalmente integraremos respecto al eje aza cuyos campos de integraciAn son
Asnicamente numAricos por lo cual obtendremos el resultado correspondiente a
media figura
2
s
0
𝜋 a a a a a 𝜋
=
4
3
Este volumen se refiere Asnicamente a uno de los conos de los que estAt
compuesto nuestra figura por lo cual deberemosmultiplicar este resultado por
dos
y por ρ para hallar su volumen real que serAt igual
Apartado 2:
28a a 𝜌.
En este apartado debemos realizar la misma integral pero en este caso en
coordenadas cilAndricas, por lo cual lo primero serAt transformar nuestras
ecuaciones a cilAndricas:
𝑥(𝑟, t, 𝑧) = 𝑟 a cos(𝜃)
𝑦(𝑟, t, 𝑧) = 𝑟 a 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑧(𝑟, t, 𝑧) = 𝑧
Una vez conseguidas estas ecuaciones realizamos las introducimos en la
matriz jacobiana y realizamos su determinante dAtndonos como resultado
ara. Resultado que deberemos multiplicar por la funciAn a
integrar para
conseguir el resultado correcto. Una vez realizado este paso preparatorio
para realizar la integral nos disponemos a obtener los nuevos lAmites de
integraciAn que tenemos para nuestra figura en coordenadas cilAndricas:
-
En primer lugar al ver la figura respecto del eje aya observamos que
el radio de uno de los dos cono que definen nuestra figura va desde
𝑧
0 hasta 2 + 1 por lo cual estos serAtn los lAmites de integraciAn que
deberemos utilizar cuando integremos respecto del radio ara
s
0
𝑧
+1
2
𝑟=
𝑧2 + 4 a 𝑧
+ 4
8
-
En segundo lugar pondremos la aza que se desplaza en los mismos
valores que en la primera integral ya que no hemos variado la forma de
su ecuaciAn. Por lo tanto esta variara desde 0 hasta 2.
s
2
0
-
𝑧2 + 4 a 𝑧
+ 4 7
=
8
3
Finalmente integraremos respecto a aIa la cual varAa desde 0 hasta 2*π
ya que el cono describe una circunferencia completa.
s
2𝜋
0
Apartado 3:
7 14 a 𝜋
=
3
3
En esteapartado tenemos que conseguir realizar la integral de superficie
que aparece en el lado derecho de (1). Para
ello en primer lugar
introduciremos el vectorial 𝑣:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (a𝑥 + 𝑦 a 3 a a 𝑥 a 2 a 𝑧 a 3, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
DespuAs introduciremos el campo escalar ρ:
𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐t𝑒.
𝑧=
2a a 𝑦a3
a 𝜌
4
2
ss 𝑥+1s
Multiplicamos ambos vectores obteniendo como resultado (de manera explAcita):
Una vez realizada esta multiplicaciAn integramos:
-
-
En primer lugar sacamos 𝜌 de la integral ya que se trata de una constante:
𝜌 a s
(s
0
2
2
2
𝑥
ass2+1s
2a a 𝑦a3
𝑑𝑦)𝑑𝑥
4
Una vez realizado esto integramos en primer lugar en el recinto que
nos delimita la variable aya que al ser una circunferencia que reduce
su radio en funciAn de axa nos deja los lAmites de integraciAn entre
ss 𝑥 + 1s y ass 𝑥 + 1s :
2
2
2
2
s
-
2
ss 𝑥+1s
2
𝑥
ass +1s
2
2
2a a 𝑦a3
4
𝑑𝑦 =
(2 a 𝑥
a 3)a𝑥 + 2a
4
DespuAs de realizar esta ecuaciAn integramos el resultado pero esta
vez respecto de x cuyos campos varAan entre 0 y 2:
2
(2 a 𝑥
a 3)a𝑥 + 2a
s
= a7/6
4
0
De esta forma hemos hallado el Atrea de un octavo de la figura por lo cual al
multiplicar dicho resultado por 8 y por 𝜌 nos darAt como resultado:
Apartado 4:
7
28
a a a 𝜌=a
3
6
En este apartado vamos a usar nuestro vector ava (al que anulamos la
variable ata ya que no nos afecta para realizar los cAtlculos) para calcular,
mediante el mAtodo de gauss, la integral triple (1) del lado derecho:
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (a𝑥 + 𝑦 a 3 a a 𝑥 a 2 a 𝑧 a 3, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
Para calcular en primer lugar cargamos el paquete de mAtxima llamado
avecta. DespuAs de esto introducimos nuestro vector y despuAs
introducimos cada variable del vector por separado:
𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) = a𝑥 + 𝑦 a 3 a a 𝑥 a 2 a 𝑧 a 3
𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
Una vez realizado esto derivamos cada ecuaciAn obtenida anteriormente
respecto la variable que les da nombre a cada una de ellas:
𝜕
(a𝑥 + 𝑦 a 3 a 𝑧)
= a1
𝜕𝑥
𝜕
(2 a 𝑥
a 2 a 𝑧 a 3) = 0
𝜕𝑦
𝜕
( 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 1
𝜕𝑧
Para finalizar sumamos los tres resultados obtenidos anteriormente
dAtndonos resultado 0.
Apartado 5
Una vez realizado el ejercicio y viendo que nos da 0 el resultado podemos
confirmar que se confirma (1) ya que el resultado de la integral triple es
28a a 𝜌
y al no depender este resultado de t y derivarlo respecto de esta
variable el resultado de la parte derecha de la ecuaciAn nos da como
resultado 0 tambiAn, por lo cual se cumple la ecuaciAn.
Apartado 6
En el primer tArmino de la ecuaciAn (2) al derivar respecto de ata y no
depender el tArmino de esta variable el resultado nos da igual a 0 por lo
cual debemos que la divergencia del
tArmino de la derecha deberAt ser
igual a 0 tambiAn para que se cumpla la igualdad. Para ello realizamos el
jacobiano de 𝜌 que nos dara igual a 0 en todos sus tArminos, por lo cual al
su sumatorio tambiAn serAt igual a 0 y al multiplicarlo por el vector ava el
resultado serAt tambiAn 0 por lo cual el resultado nos demuestra que se
verifica tambiAn la ecuaciAn (2).
A
