DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es quiza la distribución mas importante y sin duda la mas utilizada en el analisis estadístico. En esta sesión se estudian las múltiples formas de aplicar esta importante distribución a la resolución de problemas corrientes de la empresa y se hace hincapié en su utilización, combinada con otras herramientas estadísticas expuestas en el curso anterior. Un conocimiento profundo de la distribución normal es vital para comprender muchos conceptos que se estudiaran en sesiones futuras.

La distribución normal es una disposición única de valores en la cual, si éstos se representan en una grafica, la curva resultante toma la forma peculiar simétrica y acampanada. Consideremos por un momento un caso publicado hace poco en la revista Fortune en el cual Tops Wear, deseaba estudiar la distribución de las estaturas de las personas. Tops Wear sabía bien que el público experimenta continuos cambios de estatura y proporciones físicas. En su intento de fabricar ropa mas a la medida, la alta dirección pensó que era preciso realizar un analisis completo de las tendencias actuales en las tallas del vestido. A partir de este analisis, supongamos que si Tops Wear midiese la estatura de todos sus clientes potenciales, encontraría que las observaciones de esa estatura seguían una distribuciónnormal en torno a una determinada media: Por ejemplo 67 pulgadas. Es decir, si bien la estatura media era de 67 pulgadas, es indudable que unas personas serían mas altas que esa media y otras mas bajas. Esta dispersión por encima y por debajo de la media podría medirse por medio de la desviación típica.

Esta distribución característica no es infrecuente en el mundo que nos rodea. En muchas ocasiones encontraremos que un conjunto de valores se corresponde con una distribución normal o muy aproximada a la normal, lo que permite aplicar este importante principio estadístico

VARIABLE TIPIFICADA. De lo anterior concluimos que pueden existir un número infinito de distribuciones normales posibles, cada una de ellas con su media y desviación típica propias. Como es evidente que no podemos estudiar un número de posibilidades tan enorme, hemos de convertir todas estas distribuciones normales a una sola forma estandar. Esta transformación a la distribución normal estandar se realiza con la fórmula de transformación (o fórmula Z

Z =

Donde Z es la variable tipificada y X cualquier valor especificado de la variable aleatoria. Después de este proceso de transformación, la media de la distribución es 0 y la desviación típica es 1 independientemente de los valores que se hayan medido de la media y la desviacióntípica en las unidades originales de la distribución.






Ejemplo: Telcom es una empresa de servicios telefónicos para ejecutivos en el area metropolitana de Chicago. Ha encontrado que el mensaje telefónico medio es de 150 segundos, con una desviación típica de 15 segundos. También ha observado que la duración de los mensajes es una variable que sigue una distribución normal.
5,6
6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
RESULTADOS POSIBLES: 36
b. Suma de los dados:
dados
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
5
6
7
8
9
10
4
7
8
9
10
11
12
5
10
11
12
13
14
15
6
13
14
15
16
17
18

Suma de caras sea igual a un número par:
Hay 18 resultados posibles (en rojo) y la probabilidad es de 0,5.

c. Si uno de los dados es impar, probabilidad de que la suma de los puntos sea 5.
dados
1
2
3
4
5
6
 
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
5
6
7
8
9
10
1
4
7
8
9
10
11
12
0
5
10
11
12
13
14
15
0
6
13
14
15
16
17
18
0

P(suma cinco dado impar) = prob(5 e impar)/Prob(uno de los dados es impar)
P(5 e impar)= 0,08

P(al menos uno salio impar)
Dados
1
2
3
4
5
6
cuenta
1
1,1
1,2
1.3
1,4
1,5
1,6
6
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
6
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
3
5
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6
6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
3

Hay 27 resultados posibles, una probabilidad de 0,75.
P(5 dado impar)= 0,11
11- A)
1. P(D)=0,38
2. P(A)=0,69
3. P(E U D U A)= 0,94
4. P(E ∩ A)=0,23
5. P(E) +P(D)= 0,75
6. P(M ∩ D)=0
7. P= 0,20
8. P(E ∩ NA)= 0,14
B) P(A/D)=0,72
C) P(M/A)=0,27
D) Los eventos ser un estudiante aprobado y ser estudiante de derecho son dependientes.
12-



b) Probabilidades:
1. P(M)=0,60
2. P(M U T)=1
3. P(M U +5)=0,72
4. P(M ∩ -5)= 0,12
5.P(-5/T)=0,70
6. P(+5/M)=0,80
c) Son eventos estadísticamente dependientes.
13-
a. P(R)=0,6
b. P(R ∩ C)=0,35
c. P(I U E)=0,65
d. P(R/E)=0,55
14- b)
1. P(M)=0,57
2. P(M ∩ T)=0,19
3. P(H U T)=0,62
4. P(M ∩ NT)=0,38
5. P(H/T)=0,52
c) Son eventos estadísticamente dependientes.
15- a. P(R)=0,40
P(B)=0,27
P(A)=0,33
PNR)=0,60
P(R U B)=0,67
b. Con reposición:
P(R∩B2∩A3)=0,05564
c. Sin reposición:
P(R1∩B2∩A3)=0,04

16- P(ambos acierten) = P(A acierta y B acierta) = P(A) X P(B/A) = P(A) X P(B) = 0,10 se supone que los eventos son independientes

P(al menos uno acierte) = P(A acierta o B acierta o ambos) = P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AyB) = 0,25 + 0,40 - 0,25 x 0,4 = 0,55

17- RESUELTO EN CLASES.
18-
 
SI
NO
TOTAL
18-24
17
43
60
>24
26
14
40
 
43
57
100

A) P(S 0,43
P(S U>24)=0,57
P(>24/N)=0,25
B) Los eventos son dependientes.
19- RESUELTO EN CLASES.
20- RESUELTO EN CLASES.
21- RESUELTO EN CLASES.
22-
a. P(G/H)=0,25
b. P(GUH)=0,8
c. P(H/G)=0,2
d. Los eventos son dependientes.





23- EVENTOS: D: PRODUCCIÓN DE UNIDADES DEFECTUOSAS, A: PROCESO DE FABRICACIÓN BAJO CONTROL, B: PROCESO DE FABRICACIÓN FUERA DE CONTROL, C: PRFODUCCIÓN DE UNIDADES BUENAS.
DATOS: P(D/A)=0.05, P(D/B)=0.3, P(A)=0.92
CONSIGNA: P(A/D)=? SE RESUELVE POR BAYES




24- RESUELTO EN CLASES.
25-
 
D
ND
 TOTAL
A
0,08
0,32
0,4
B
0,09
0,51
0,6
 TOTAL
0,17
0,83
1
P(B/D)=0,08/0,17=0,47
26-
 
I
NI
TOTAL
A
0,04
0,16
0,2
B
0,08
0,
La distribución esta centrada en 150 segundos y es simétrica respecto de ese punto. Debajo de la distribución, dibujemos un segundo eje para Z
Supongamos que un mensaje concreto duró 180 segundos. Este valor esta a dos desviaciones típicas de la media.









Valor de Z es el número de desviaciones típicas que un punto dado dista de la media una vez que la distribución normal ha sido estandarizada.

El proceso de estandarización facilita el calculo de la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria caiga dentro de un intervalo dado. Por ejemplo, ahora es posible determinar la probabilidad de que un mensaje telefónico dado dure entre 150 y 180 segundos o entre 120 y 180 segundos, o se sitúe en cualquier otro intervalo de valores que nos pueda interesar.

La tabla Z da el area comprendida entre la curva normal y el eje desde la media a cualquier valor específico por encima o por debajo de la media.

Hallar P(X>180), P(X