FLUJO VISCOSO
Los fluidos reales siempre experimentan al moverse ciertos efectos debidos a
fuerzas de rozamiento o fuerzas viscosas. Así, la viscosidad es responsable de las fuerzas
de fricción que actúan entre las capas del fluido. En los líquidos, esta
surge de las fuerzas de cohesión entre las moléculas de la sustancia. La
viscosidad en los líquidos disminuye con la temperatura, mientras que lo
contrario sucede con los gases. Si un fluido no tiene
viscosidad fluiría por un tubo horizontal sin necesidad de aplicar ninguna
fuerza, su cantidad de movimiento sería constante. En un
fluido real, sin embargo, para mantener un caudal de fluido estable debe
mantenerse una diferencia de presiones entre los extremos de la tubería.
De esta manera, cuando el trabajo realizado contra estas fuerzas disipativas es
comparable al trabajo total realizado sobre el fluido o al cambio de su energía
mecánica, la ecuación de Bernoulli no puede utilizarse. La ecuación de Bernoulli
es siempre válida para fluidos en reposo, ya que en este
caso las fuerzas viscosas no tienen ningún efecto, pero para los fluidos en
movimiento se ha de evaluar los efectos de dichas fuerzas. Por ejemplo, la
ecuación de Bernoulli puede dar una descripción adecuada del flujo de la
sangre en las arterias mayores de los mamíferos, pero no en los conductos
sanguíneos más estrechos.
De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, si un fluido
“fluye”estacionariamente por una tubería horizontal estrecha y de sección
transversal constante, la presión no cambia a lo largo de la tubería. En la
práctica, como
señalamos, se observa una caída de presión según nos desplazamos en la
dirección del
flujo: se requiere una diferencia de presión para conseguir la circulación de un
fluido a través de un tubo horizontal.
Es necesaria esta diferencia de presión debido a la fuerza de arrastre o de
frenado que ejerce el tubo sobre la capa de fluido en contacto con él y a la
que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se esta moviendo con
distinta velocidad. Estas fuerzas de arrastre o de frenado se
denominan fuerzas viscosas. Como resultado de su presencia, la velocidad
del fluido tampoco es constante a lo largo del diámetro de la tubería siendo
mayor cerca de su centro y menor cerca de sus bordes, en donde el fluido entra
en contacto con las paredes de la misma
Esta estructura de capas o flujo laminar se presenta en los fluidos viscosos a
baja velocidad, en este caso puede considerase la velocidad media como la mitad
de la velocidad máxima . Cuando la velocidad del
fluido aumenta suficientemente, el flujo cambia de carácter y se vuelve
turbulento, apareciendo torbellinos o remolinos irregulares denominados en
inglés eddys.
En general, el flujo turbulento es indeseable ya que disipa
más energía mecánica que el flujo laminar. Los aviones
y los coches se diseñan de forma que el flujode aire en sus proximidades sea lo
más laminar posible. Asimismo, en la naturaleza el flujo sanguíneo en el
sistema circulatorio es normalmente laminar en vez de turbulento
Sea Pl la presión en el punto 1 y P2 la presión en el punto 2 a distancia L
(siguiendo la dirección de la corriente) del anterior. La caída de presión ï„P=Pl-P2
es proporcional al flujo de volumen: ï„P = Pl-P2 = R.Q, en donde Q es el flujo
de volumen, gasto o caudal, y la constante de proporcionalidad R es la
resistencia al flujo, que depende de la longitud L del tubo, de su radio r y de
la viscosidad del flujo. La resistencia al flujo se puede definir también como
el cociente entre la caída de presión y el caudal (en unidades Pa.s/m3 o
torr.s/cm3
Ejemplo
Cuando la sangre fluye procedente de la aorta a través de las arterias
principales, las arteriolas, los capilares y las venas hasta la aurícula
derecha, la presión (manometrica) desciende desde 100 torr aproximadamente a
cero. Si el flujo de volumen es de 0 litros/s,
hallar la resistencia total del sistema circulatorio.
100 torr=13.3 kPa=1.33 104 N/m2.
Como
1litro=1000 cm3=10-3 m3, se tiene en virtud de la ecuación anterior
ï„P=Pl-P2=Q.R
R = ï„P/Q = 1.66107Ns/m2
A continuación definiremos el coeficiente de viscosidad de un
fluido. En el dibujo se muestra un fluido confinado entre dos placas paralelas,
cada una de ellas de área A y separadas por una distancia y.Mientras se
mantiene la placa inferior en reposo, se tira de la placa superior con
velocidad constante v mediante una fuerza F. Es necesario ejercer una fuerza F
para tirar de la placa superior porque el fluido próximo a la placa ejerce una
fuerza viscosa de arrastre que se opone al movimiento. La velocidad del
fluido entre las placas es prácticamente igual a v en un lugar próximo a la
placa superior y próxima a cero cerca de la placa inferior y varia linealmente
con la altura entre las placas. La fuerza F resulta ser inversamente
proporcional a la separación z entre las placas F=ï¨. ¨
es el coeficiente de viscosidad. La unidad de viscosidad en el SI es el
N.s/m2=Pa.s. Una unidad de uso común es el Poise. De
esta manera ï¨== y el Poise será
En el sistema SI la viscosidad se mide en Pa.s.
Como el Pa = Newton/área = M/m2==
Así Pa.s=== 10Poises.
1 Pa.s = 10Poises.
Como el Poise es demasiado grande para muchos líquidos se
suele utilizar el centipoise cPoise, o el mPa.s (mili), que equivale a 1
cPoise. P.e. el agua a 20sC tiene una
viscosidad de 1cPoise.
Alguno valores de coeficientes de viscosidad para diferentes
fluidos.
Fluido
Temper. en sC
ï¨ en mPa.s
Agua
0
1.8
20
1
60
0.65
Sangre
37
4
Aceite motor (SAE 10)
30
200
Glicerina
0
10000
20
1410
60
81
Aire
20
0.018
Generalmente, la viscosidad de un líquido aumenta cuando disminuye la
temperatura. Así pues, en climas fríosel aceite a
utilizar para lubricar los motores de los automóviles deben tener un grado de
viscosidad más bajo en invierno que en verano.
Se conoce como Resistencia a la circulación de un líquido, como hemos visto, al
cociente entre la diferencia de presión y el caudal
En función del coeficiente de viscosidad, se puede demostrar que la resistencia
R a la circulación de un fluido para flujo estacionario en un tubo cilíndrico
de radio r es
R=8ï¨L/ï°r4
Combinando esta ecuación con ï„P=Pl-P2=Q.R, obtenemos la ecuación para la
caída de presión en una longitud L del tubo:
Ley de Poiseuille
Esta ecuación es conocida como la ley de Poiseuille. Muchas aplicaciones
interesantes de la física de fluidos se basan en el estudio de flujos laminares
en tubos cilíndricos, tales como tuberías de metal o arterias
humanas. La Ley de Poiseuille, que fue descubierta experimentalmente por un médico, Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869), en sus
investigaciones sobre el flujo en vasos sanguíneos, relaciona el caudal con la
viscosidad, la caída de presión, el radio y la longitud del tubo. Obsérvese la dependencia con la
inversa de r4 de la resistencia
al flujo de fluido. Si se divide por la mitad el radio de la tubería, la caída
de presión para un flujo y viscosidad dados se aumenta en un factor de 16; o
bien se necesita una presión 16 veces mayor para impulsar el fluido a través
del tubo con el mismo flujo de volumen. Por ello, si sereduce por alguna razón
el diámetro de los vasos sanguíneos o arterias, sucede que disminuye
grandemente el flujo de volumen de la sangre, o el corazón debe realizar un
trabajo mucho mayor para mantener el mismo flujo de volumen. Para el agua que fluye por
una manguera larga de jardín, la caída de presión es la que existe desde la
fuente de agua hasta el extremo abierto de la misma a presión atmosférica.
Del mismo modo, el flujo es proporcional a la
cuarta potencia del
radio. Si el radio se divide por la mitad, el flujo disminuye en un factor de 16.
La ley de Poiseuille se aplica sólo al flujo laminar (no turbulento) de un fluido de viscosidad constante que es independiente de la
velocidad del
fluido. La sangre es un fluido complejo formado por
partículas sólidas de diferentes formas suspendidas en un líquido. Los glóbulos
rojos de la sangre, por ejemplo, son cuerpos en forma de disco que están
orientados al azar a velocidades bajas pero que se orientan (alinean) a
velocidades altas para facilitar el flujo. Así pues, la viscosidad de la sangre disminuye cuando aumenta la
velocidad de flujo, de forma que no es estrictamente válida la ley de
Poiseuille. Sin embargo, dicha ley es una aproximación muy útil a la
hora de obtener una comprensión cualitativa del flujo
sanguíneo.
La potencia (aquí como energía consumida por unidad de tiempo) necesaria para
mantener el flujo en un sistema viscoso, puede aproximarse teniendo encuenta
que la fuerza necesaria es F = ï„P.A; la potencia W = F.v y el caudal Q = A.v.
Como v=Q/A, sustituyendo queda que la potencia será W=ï„P.Q.
Ejemplo
Una arteria grande de un perro tiene un radio interior de 4 x 10-3 m. El caudal
de la sangre en la arteria es de 1 cm3 s-1 = 10-6 m3 s-1. Hallar (a) las
velocidades media y máxima de la sangre; (b) la caída de presión en un
fragmento de arteria de 0 m de longitud.
(a) La velocidad media es = ==1.9910-2 m/s
La velocidad máxima se presenta en el centro de la artería y experimentalmente
se encuentra que la velocidad media y máxima se relacionan como , así
vmax = 2 = 3.98 10-2 m/s
(b) Para la sangre a 37 sC ï¨= 2.084 10-3 Pa s. Así pues, la caída de presión
se calcula a partir de
ï„P=(8ï¨L/ï°R4).Q
pero Q = .ïï€ = .ï°R2; luego ï„P=8ï¨L/R2=2.07 Pa
FLUJO TURBULENTO
La ley de Poiseuille se cumple solamente para flujos laminares. Sin embargo,
frecuentemente el flujo no es laminar, sino turbulento, y se parece entonces a
la estela de una lancha rápida, con torbellinos y
remolinos.
Flujo Laminar
Flujo Turbulento
Cuando la velocidad de flujo de un fluido resulta
suficientemente grande, se rompe el flujo laminar y se establece la
turbulencia. La velocidad crítica por encima de la cual el flujo a través de un tubo resulta turbulento, depende de la densidad y de la
viscosidad del fluido y del
radio del
tubo.
En la práctica, el flujo turbulento setrata mediante diversas
reglas empíricas y relaciones obtenidas tras muchos estudios experimentales.
Para poder determinar cuándo el flujo es laminar y, por lo tanto, si la
ley de Poiseuille puede aplicarse, utilizaremos una de estas reglas empíricas.
Éstas establecen que el valor de una magnitud adimensional
denominada número de Reynolds NR determina si el flujo es laminar o turbulento.
El Número de Reynolds NR, se define así
donde v es la velocidad media del
fluido, r el radio, y ï² la densidad. Los experimentos han
demostrado que el flujo será laminar si el número de Reynolds es menor de 2000
aproximadamente y será turbulento si sobrepasa los 3000. Entre estos valores el
flujo es inestable y puede variar de un tipo de flujo
al otro. En algunos libros se puede encontrar el diámetro d en lugar del
radio r y se ha de tener cuidado, pues el número 2 desaparece ya que d = 2.r, y
las cantidades anteriores deben ser modificadas.
Ejemplo
En el ejemplo anterior el radio de la arteria es 4 10-3 m, la velocidad media
de la sangre vale 1.9910-2 m/s y la viscosidad es 2.084 10-3 Pa s. Además, la
densidad de la sangre es 1.0595 x 103 kg m-3. Hallar el
número de Reynolds y comprobar si el flujo es o no laminar.
El número de Reynolds es . 1.99 10-2.4 10-3=80.9
Por lo tanto el flujo es laminar, ya que este valor es
mucho menor que 2000.
El número de Reynolds indica también si el flujo alrededor de un obstáculo, comola proa de un barco o el ala de un avión,
es turbulento o laminar. En general, el número de Reynolds al que aparece la
turbulencia depende mucho de la forma del obstáculo.
En este caso se trata de un objeto que se está
moviendo en el seno de un fluido, encontrándose que el fluido ejerce sobre el
cuerpo una fuerza de fricción o fuerza de arrastre. El NR ahora es siendo d, en
este caso, una dimensión característica del cuerpo. (Para una pelota puede ser su
diámetro). Ahora, si NR < 5 el flujo alrededor del objeto es
laminar, si NR > 100 sería turbulento.
Si conocemos el NR podemos encontrar la fuerza de arrastre
que actúa sobre el objeto. Para NR >100 y flujo, por tanto,
turbulento, esta fuerza viene dada por la relación de Prandtl:
donde C es el coeficiente de arrastre, ï°r2 el área del cuerpo que “vería” el
flujo o que el cuerpo opone al flujo. v es la
velocidad promedio del
objeto. Si NR < 5 la fuerza de arrastre nos viene dada por la ley de Stoke
Fd = -6ï°ï¨rv. (con r como
dimensión característica del
objeto. Esta ley es en principio para cuerpos esféricos, aunque se puede
generalizar mediante factores de forma )
Ejemplo
Calcular la fuerza de arrastre de una esfera de 12 mm de diámetro moviéndose a
8 cm/s en un aceite con h= 0.1 Ns/m2 y ï² = 850 kg/m3. Suponemos C = 5.3
= (0.08m/s 850)(0.012m)/0.1 = 8.16
Usaremos la relación de Prandtl, con r = 12/2 mm
= (5.3)(850)(ï°)(0.006)2(0.08)2/2 = 0.00163 N
