asNotas de clase: Ž Algebra de matrices
Humberto Sarria Zapata




CapŽ A±tulo 1

1.1.
1.1.1

Matrices particionadas, multiplicaciŽn de o Strassen.
NotaciŽn. o

Denotamos el conjunto de las matrices con m filas y n columnas con entradas o elementos reales mediante Mm×n (R). Si una matriz A Mm×n (R) tiene elementos aij , con 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n, escribiremos A = (aij )m×n .

1.1.2

Matrices definidas por bloques.

Notar las matrices en tŽrminos de bloques es, en algunas ocasiones, util e Ž para simplificar el desarrollo de algoritmos quehacen uso de la multiplicaciŽn de matrices. Esta notaciŽn permite, adicionalmente, expresar algunos o o resultados en forma muy simple. DefiniciŽn 1. Una submatriz de la matriz A = (aij ) es cualquier matriz o que se obtiene al eliminar un nŽmero no mayor a (m − 1) filas y a (n − 1) u columnas de A.   1 −1 2 3 0 1 entonces las siguientes matrices son Ejemplo 1. Si A = 0 2 3 4 −1 2 submatrices de A:   2 1 −1 1 3 0 4 1 −1 2 3 2 0 2 3 2 −1 Nota. Hay una manera especial de dividir una matriz en submatrices mediante la inserciŽn de lŽ o A±neas de divisiŽn entre filas o columnas especŽ o A±ï¬cas de la matriz. Estas lŽ A±neas deben atravesar completamente la matriz de arriba a 1


2

1.

abajo y de derecha a izquierda. Esta forma de dividir la matriz se denomina particiŽn de la matriz. o   1 −1 2 3 0 1 puede ser particionada como: Ejemplo 2. La matriz A = 0 2 3 4 −1 2     . . . −1 1 − 3 . £¯ ï£s  ï£s . £¯ 0 ï£s · · · · · · · · · · · · · ·ï£s . 0 1ï£s  ï£s. A=ï£ £¯· · · · · · · · · · · · ·ï£s o A =  0 . . 1ï£s .     . . . −1 4 − 3 . En el primer caso, la matriz es particionada en submatrices o bloques y podemos representarla como: A= endonde: A11 = 1 −1 , 0 2 A12 = 2 3 , 0 1 A21 = 3 4 , A22 = −1 2 . A11 A12 , A21 A22

En el segundo caso, podemos representarla como: A= donde: A11 = 1 , A21 = Nota. 1. Llamaremos al esquema que muestra la particiŽn matriz particionao da y a las submatrices de una matriz particionada elementos de la matriz en bloques. 2. Por ejemplo, las submatrices A11 , A12 , A21 y A22 de la particiŽn de la o matriz A en el ejemplo 1, son los elementos de la matriz en bloques definida por esta particiŽn. o 0 , 3 A12 = −1 2 , A22 = 2 0 , 4 −1 A13 = 3 , A23 = 1 . 2 A11 A12 A13 , A21 A22 A23

Ž 1.1. MATRICES PARTICIONADAS, MULTIPLICACION DE STRASSEN.3 3. Diremos que una matriz en bloques es cuadrada, si el nŽmero de filas u y el nŽmero de columnas definidos por la particiŽn son iguales. u o 4. Si una matriz A estŽ particionada en r por s bloques Aij , donde 1 ≤ a i ≤ r y 1 ≤ j ≤ s, entonces escribiremos: A = (Aij )r×s . 5. El bloque ij de A tambiŽn lo denotaremos mediante (A)ij ; es decir, e (A)ij := Aij . 6. Diremos que una matriz en bloques es diagonal por bloques, si es cuadrada y, ademŽs, todos los bloques por fuera de la diagonal principal a son matrices nulas. Si A es una matriz diagonal por bloques y si sus bloquessobre la diagonal principal son A11 , A22 , . . . , Ann entonces escribiremos: A = diag(A11 , A22 , . . . , Ann ). 7. Si una matriz es particionada de tal manera que sus bloques diagonales son cuadrados, diremos que estŽ particionada en forma simŽtrica. a e 8. Observe que si las matrices A y B son particionadas en la forma: A= A11 A12 , A21 A22 B= B11 B12 , B21 B22

de tal manera que Aij tiene el mismo tama˜o que el bloque Bij entonces: n A+B = A11 + B11 A12 + B12 A11 − B11 A12 − B12 , A−B = . A21 + B21 A22 + B22 A21 − B21 A22 − B22

9. En general, si A y B se han particionado de tal manera que los bloques correspondientes tienen el mismo tama˜o entonces: n A + B = Aij + Bij , A − B = Aij − Bij .

10. Si A y B han sido particionadas en bloques m×p y p×n, respectivamente, y si ademŽs el bloque Ars es compatible con el bloque Bst para a la multiplicaciŽn entonces: o
m n p

Aik Bkj .
i=1 j=1 k=1

(1.1)


4

1.

1.2

MultiplicaciŽn de Strassen. o

Supongamos que las matrices A y B son de tama˜o 2m y que han sido n particionadas en bloques de tama˜o m de la siguiente manera: n A= A11 A12 , A21 A22 B= B11 B12 . B21 B22

Note que el cŽlculo del producto AB puede obtenerseefectuando las operaa ciones indicadas a continuaciŽn: o A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22 . A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22 (1.2

Este cŽlculo puede efectuarse usando 8m3 multiplicaciones y 8(m − 1)m2 + a 2 4m = 8m3 − 4m2 sumas. Por otra parte, tambiŽn podemos efectuar el proe ducto usando la siguiente colecciŽn de operaciones, descubiertas por Strassen: o   P1    P2      P3   P4  P  5    P   6   P7 = (A11 + A22 )(B11 + B22 ) = (A21 + A22 )B11 = A11 (B12 − B22 ) = A22 (B21 − B11 ) , = (A11 + A12 )B22 = (A21 − A11 )(B11 + B12 ) = (A12 − A22 )(B21 + B22 )

  C11   C 12  C21    C22

= P 1 + P4 − P 5 + P7 = P 3 + P5 = P 2 + P4 = P 1 + P3 − P 2 + P6 .

(1.3)

Observemos que el nŽmero total de multiplicaciones que se efectuan con u el mŽtodo de Strassen es 7m3 y el nŽmero total de adiciones o restas es e u 10m2 +8m2 +7(m−1)m2 = 7m3 +11m2 . De lo anterior, podemos concluir que e con el mŽtodo de Strassen se efectŽan 8 de las multiplicaciones del mŽtodo e u 7 3 +11m2 7m tradicional y 8m3 −2m2 de las adiciones del mŽtodo tradicional. Observemos e que si el valor de m crece, el ultimo cociente se acerca a Esto muestra que Ž 8 para valores grandes de m, elmŽtodo de multiplicaciŽn de Strassen es mucho e o mŽs rŽpido que el mŽtodo tradicional. a a e El mŽtodo de Strassen puede llevarse a un nivel mucho mŽs eficiente, si e a las matrices A y B son de tama˜o 2m . En este caso, puede aplicarse el n procedimiento de manera recursiva sobre las matrices que resultan de la primera particiŽn de la matriz original y luego sobre las matrices que resultan o de la segunda particiŽn y asŽ sucesivamente. o A± Ejercicios 1.

MULTIPLICACION DE STRASSEN. 1. Considere las matrices:   1 −1 −2 3 A = 2 −2 5 1ï£ 3 3 −1 2

5

 1 −1 2 3 3 1 B = 1 1 3 −1 −1 2



Defina una misma particiŽn sobre las matrices A y B y calcule A + B o y A − 2B. 2. Considere las matrices A y B del ejercicio anterior. Defina sobre A y B particiones compatibles para el cŽlculo de AB T y de BAT , respectia vamente. EfectŽe el cŽlculo usando la fŽrmula (1.1). u a o 3. Considere que la matriz A = (Aij )p×q ha sido particionada en p×q bloques de manera simŽtrica. e a) Determine la traspuesta de A en tŽrminos de la traspuesta de sus e bloques. b) Si A es una matriz simŽtrica, squŽ propiedad deben cumplir los e e bloques Aij ? Responda la misma pregunta para el caso en el que A seaantisimŽtrica. e 4. Sean A1 , . . . , Ar matrices no singulares cuadradas. Determine la inversa de la matriz diag(A1 , . . . , Ar ). 5. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×m, pruebe que: I A AB 0 Im A 0 0 a) m 0 In B 0 0 In B BA b) (Opcional) pBA (x) = tn−m pAB (x). 6. Estudiar los ejercicios 4, 5, 6 y 7 de la pŽgina 104 del libro. a 7. Verifique, para el caso 2×2, el producto AB usando las operaciones de Strassen. 8. Determine el valor mŽs grande de m para el cual el mŽtodo tradicional a e de multiplicaciŽn es mŽs eficiente que el mŽtodo de Strassen. o a e 9. Determine el nŽmero de particiones que se pueden definir sobre las u matrices que se presentan a continuaciŽn de tal manera que las matrices o resulten diagonales por bloques:     5 2 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 ï£s ï£s A= B = 0 0 1 −1 0 0  . £°0 0 1 −1 , 0 0 0 0 1 −1 0 0 2 1
−1


6 10. Probar que vec(·) es un operador lineal.



11. Verificar que multiplicar mediante las operaciones de Strassen es lo mismo que hacerlo de la manera convencional.


CapŽ A±tulo 2

2.1.

Los operadores vec y vech y el producto de Kronecker.

DefiniciŽn 2. Si A = (aij ) es una matriz de tama˜o m×n, definimos los o n vectores Ai· y A·j mediantelas igualdades:     ai1 a1j  . £s  . £s Ai· =  . £» y A·j =  . £». . . ain amj AsŽ la matriz A puede ser escrita como: A±,   AT 1·  . £s A =  . £» o A = A·1 · · · . AT m·

A·n .

DefiniciŽn 3. El operador vec(·) : Mm×n (R) Rmn estŽ definido por la o a siguiente igualdad:   A·1  . £s vec(A) =  . £». . A·n Ejemplo 3. Sea A = a11 a12 . Entonces, a21 a22   a11 a21 ï£s vec(A) =  ï£s a12  a22

. 7


8 Ejercicio 1. 1. Sean A y B matrices. Probar que AB = [AB· . . . AB·n ]. De aquŽ (AB j = AB·j A± 2. Probar que (AB)i,j = AT B·j i·

2.

(2.1

DefiniciŽn 4. Sean A = (aij )n×n y a = (aii , ai(i+1) , . . . , ain )T . Entonces: o i   a 1 .ï£s . £». vech(A) =  . a n Nota. Observe que si A es una matriz simŽtrica o antisimŽtrica, A puede e e reconstruirse a partir del vector vech(A).

2.2

El producto de Kronecker.

El producto de Kronecker tambiŽn es llamado producto directo o proe ducto tensorial. Esta nueva operaciŽn matricial es muy util para expresar o Ž ecuaciones matriciales como sistemas de ecuaciones lineales. DefiniciŽn 5. Consideremos las matrices A = o producto de Kronecker de A y B es la matriz:  a11 B a12 B · · ·  a21 B a22 B · · ·  A B =  . . . . .  . .. . am1 B am2 B · · · Nota. 1. Observe que la matriz A genera una particiŽn en bloques sobre la matriz o A B. Llamaremos a la submatriz aij B, bloque i, j de A B generado por A y lo denotaremos mediante (A B)ij . 2. La matriz A B es una matriz de tama˜o (mr)×(ns). n 3. En general, A B=B A. (aij )m×n y B = (bij )r×s . El  a1n B a2n B ï£s ï£s . £s. . £» . amn B


2.3. PROPIEDADES Y REGLAS DEL PRODUCTO DE KRONECKER.9

2.3.

Propiedades y reglas del producto de Kronecker.

ProposiciŽn 1. o 1. A B) = (αA) B = A (αB), para todo escalar α. 2. (A + B) C = A C + B C. 3. A B + C) = A B + A C. 4. A B C) = (A B) C. 5. 0mn = 0m 0n . 6. Imn = Im In . 7. (A B)T = AT B T . 8. (A B)(C D) = AC BD, si A y C y B y D son compatibles, respectivamente, para el producto. 9. Si A y B son matrices cuadradas inversibles entonces:

(A B)−1 = A−1 B −1 .

10. vec(AY B) = (B T A)vec(Y ), si A es una matriz m×n, Y es una matriz de tama˜o n×r y B es una matriz de tama˜o r×s. n n DemostraciŽn. (1), (2) y (3) se dejan como ejercicio. Para probar (4), o consideremos que A, B y C son matrices de tama˜os m×n, p×q, y r×s, resn


10

2.

pectivamente. Las matrices en la igualdad tienen tama˜o mpr×nqs. Ahora,n

 a11 B · · · a1n B  . . . ï£s C . . £» (A B) C =  . . . . am1 B · · · amn B     a11 b11 · · · a11 b1q a1n b11 · · · a1n b1q  . . .  ···  . . . ï£s . . £ž . . £žï£s  . £­ . . . . . . .  ï£s  a11 bp1 · · · a11 bpq a1n bp1 · · · a1n bpq ï£s ï£s  ï£s  . . . . . . = ï£s C . . £«  . £« ï£s   am1 b11 · · · am1 b1q amn b11 · · · amn b1q ï£s  ï£s . . £· ···  . . . ï£s  . . . . £ž . . .   . £°ï£­ . . . . . am1 bp1 · · · am1 bpq amn bp1 · · · amn bpq      b11 C · · · b1q C b11 C · · · b1q C   . . .  ··· a  . . . ï£s . . £ž . . £žï£s  a11  . 1n  . . . . . . .  ï£s  bp1 C · · · bpq C bp1 C · · · bpq C ï£s  ï£s  ï£s . . . . . . = ï£s . . .    ï£s   b11 C · · · b1q C b11 C · · · b1q C ï£s  ï£s £· ··· a  . . . ï£s a  . . .  . . £žï£» mn  . £° m1  . . . . . . . bp1 C · · · bpq C bp1 C · · · bpq C   a11 B C · · · a1n B C  ï£s . . . . . . =  . . . am1 B C · · · amn B C = A B C).

£®

Las anteriores igualdades se justifican vŽ la definiciŽn de . A±a o Para probar (8), primero calculamos el bloque ij del lado izquierdo de la igualdad. Para esto, usemos el producto de matrices expresado mediante el


2.4. LA SUMA DE KRONECKER. producto de bloques: ((A B)(C D))ij = (A B)T (C D).j i.  c1j D  c2j D ï£s  ï£sain B  . £s . £»  . cnj D
n

11



= ai1 B ai2 B · · ·

=
k=1

aik ckj

BD

= (AC)ij BD = (AC BD)ij . De aquŽ se sigue (8). A± (9) es consecuencia directa de (8). Para probar (10), consideremos el cŽlculo de la columna j-Žsima de AY B como se muestra a continuaciŽn: a e o (AY B)·j = (AY )B·j  = (AY )·1 (AY )·2 · · ·
n

(AY )·n

 b1j  b2j ï£s  ï£s  . £s  . £» . bnj

=
k=1 n

bkj (AY ).k (bkj A)Y.k
k=1

=

= b1j A b2j A · · ·

 Y·1  Y·2 ï£s  ï£s bnj A  . £s  . £» . Y·n



T = (B.j A)vec(Y ).

De aquŽ (10) se satisface. A±

2.4.

La suma de Kronecker.

DefiniciŽn 6. Sean A una matriz de tama˜o n×n y B una matriz de tama˜o o n n m×m. La suma de Kronecker de A y B se define como la matriz:


12 A B = A Im + In B.



2.4.1.

Aplicaciones: soluciŽn de sistemas de ecuaciones o usando el producto de Kronecker.

Problema 1. La soluciŽn del sistema matricial: o AX + XB = C, (2.2)

donde A es n×n, B es m×m y X y C son n×m es equivalente a resolver el sistema lineal: (Im A + B T In )vec(X) = vec(C). (2.3) DemostraciŽn. Podemos escribir: o AXIm + In XB = C. Aplicando el operador vec(·) a ambos lados de la igualdad se obtiene: vec(AXIm + In XB) =vec(C), que es equivalente a: vec(AXIm ) + vec(In XB) = vec(C). Por la propiedad (10), podemos escribir la ecuaciŽn anterior como: o (Im A)vec(X) + (B T In )vec(X) = vec(C). De donde (2.3) se sigue. Problema 2. Encontrar un problema equivalente al sistema matricial: AX − XA = µX, donde µ es un escalar y resolver el sistema. Ejercicios 2. 1. Denotemos mediante e1 , . . . , en los vectores canŽnicos de Rn . Muestre o que: A·j = Aej Ai· = AT ei , AT = eT AT . AT = eT A. ·j j i· i 2. Calcular vec(·) para cada una de los siguientes matrices: (2.8) (2.7) (2.6) (2.5) (2.4)


2.4. LA SUMA DE KRONECKER. a) A = 1 0 − b) B = −1   2 −1 c) C = 0 1 . Pruebe que si A, B Mn (R) entonces T r(AB) = (vec(AT ))T vec(B). 4. Calcule vech(·) para la matriz:   1 0 −1 A = 2 1 3 . Determine la matriz simŽtrica A tal que: e vech(A) = 1 0 −1 2 1 −1 2 1 2 3 . 6. Calcule el producto de Kronecker para los siguientes pares de matrices: a) A = b) A = b b a11 a12 , B = 11 12 . b21 b22 a21 a22 2 1 −1 ,B= . 3 2 0
T

7. Denotemos por la base canŽnica para el espacio de o matrices Mn (R); es decir, Eij es la matriz que tiene en su entrada i, j el valor 1y sobre las otras entradas el valor cero. Si n = 2 calcule la matriz
2

U=
i,j=1

Eij Eji .

8. Dadas las matrices: A= 2 0 1 B= −1 1 , 2 0

hallar matrices U1 y U2 tales que:


14 A B = U1 (B A)U2 .



9. Si los valores propios de A son con vectores propios y los valores propios de B son con vectores propios , probar que los valores propios de A B son con vectores propios . 10. Si: A= calcular A B. 11. Probar que los valores propios de A B son con vectores propios . 12. Probar que usando el ejercicio anterior que: (a) det(A B) = det(A)m det(B)n . (b) T r(A B) = T r(A)T r(B). (c) rank(A B) = rank(A)rank(B). 13. Si: A= 1 − 0 2 B= −3 4 , 1 0 1 −1 , 0 2 B= 1 0 , 2 −1

calcule los valores propios y un conjunto de vectores propios de: a) A y B. b) A B. c) A B. 14. Resolver el sistema matricial: AX + XB = C, donde: a) A = b) A = 1 −1 −3 4 1 3 ,B= yC= . 0 2 1 0 −2 2 1 −1 −3 4 0 5 ,B= yC= . LA SUMA DE KRONECKER. c) A = 15. Si: A= 1 − 0 2 µ =2, 1 −1 −3 4 2 −2 ,B= yC= . 0 2 0 −1 10 −11

15

resolver el sistema matricial (2.8). 16. Si: A= 1 − 0 2 B= −3 4 , 1 0 C=
9 −6 2 , −6 12

resolver el sistema matricial: AX − XA = BX + XB + C. 17. Determine una matriz X tal que:  1 1 U T XU =  −1 0 (2.9

 0 1 −1 1 −1 1 ï£s ï£s, 1 0 1 1 1 1

(2.10)

donde U es la misma matriz del ejercicio (7). 18. Si: A= 1 − 2 0

determine los valores de µ, µ R, para los cuales el sistema (2.8): a) tiene unica soluciŽn. Ž o b) tiene infinitas soluciones. c) no tiene soluciŽn. o


16

2.


CapŽ A±tulo 3

3.1.

Matrices inversas laterales.

Breve repaso del Žlgebra lineal. Recordemos algunas definiciones y rea sultados del algebra lineal relativos a matrices no singulares (invertibles). Ž DefiniciŽn 7. El rango de una matriz A es el mŽximo nŽmero de filas lio a u nealmente independientes (l.i.). ProposiciŽn 2. El nŽmero de filas l.i. de una matriz es igual al nŽmero de o u u columnas l.i. de la matriz. DefiniciŽn 8. Una matriz A Mn (R) es inversible (no singular), si existe o una matriz B Mn (R) tal que AB = BA = In . En este caso, denotamos la inversa de A por A− Dentro de los mŽtodos que hay para determinar matricesinversas tenee mos: 1. El mŽtodo de la matriz aumentada, el cual resumimos a continuaciŽn: e o PASO 1 Dada A = (aij )n×n no singular formar la matriz aumentada: A : In . (3.1) PASO 2 Llevar la matriz aumentada a la forma escalonada reducida usando operaciones elementales entre filas. El resultado final de este proceso es una matriz de la forma: In : B . 2. El mŽtodo de menores y cofactores; es decir, e ACof (A)T = det(A)In , 17 (3.3) (3.2)


18 de aquŽ A±, A−1 = donde:  A11 · · · A1n  . . £s. . £» Cof (A) =  . . . An1 · · · Ann  1 Cof (A)T , det(A)

3.

(3.4

Aij = (−1)i+j |Mij | y Mij es la matriz de tama˜o (n − 1)×(n − 1) que n resulta de eliminar la fila i y la columna j de A. El determinante |Mij | se denomina el menor ij de A y el valor Aij se denomina el cofactor de la entrada aij de A o menor signado. ObservaciŽn 1. Las siguientes son condiciones necesarias y suficientes para o que una matriz A = (aij )n×n tenga inversa: 1. Las filas de A son l.i.. 2. Las columnas de A son l.i.. 3. rank(A) = n. 4. El sistema homogeneo Ax = 0 tiene una unica soluciŽn. Ž o 5. det(A) = 0. 6. Los valores propios de A son no nulos. 7. Las filas o columnas de A forman una base para Rn .

3.1.1.Inversas a derecha e inversas a izquierda.

DefiniciŽn 9. Consideremos una matriz A = (aij )m×n . o 1. Diremos que una matriz R de tama˜o n×m es una inversa a derecha n de A, si: AR = Im . Diremos que una matriz L de tama˜o m×n es una inversa a izn quierda de A, si: LA = In . MATRICES INVERSAS LATERALES.

19

Ejemplo 4. Determinar, en caso de que exista, una inversa a derecha de la matriz: A= 1 2 3 2 1

Observemos que si A tiene inversa a derecha existe una matriz:   r1 r4 R = r2 r5 , r3 r6 tal que AR = I2 . Por la propiedad (10) del producto de Kronecker del capŽ A±tulo 2 tenemos que este sistema matricial tiene soluciŽn, si y sŽlo si, el sistema: o o (I2 A)vec(R) = vec(I2 ) tiene soluciŽn. Es decir, si el sistema: o  1 3  0 0 2 2 0 0 4 1 0 0 0 0 1 3 0 0 2 2  0 0ï£s ï£s 4 1   r1   r2 ï£s 1  ï£s r3 ï£s 0ï£s  ï£s= ï£s r4 ï£s 0  ï£s r5  1 r6

tiene soluciŽn. Para solucionar este o  1 2 4 3 2 1  0 0 0 0 0 0

sistema, usemos la matriz aumentada:  0 0 0 : 1 0 0 0 : 0ï£s ï£s. 1 2 4 : 0 3 2 1 : 1

Con el objetivo de llevar la matriz a la forma escalonada reducida, realizamos primero las siguientes operaciones sobre las filas: F2 − 3F1 y F4 − 3F3 (Fi , 1 ≤ i ≤ mrepresenta la i-Žsima fila de A). De aquŽ obtenemos: e A±,   1 2 4 0 0 0 : 1 0 −4 −11 0 0 0 : −3ï£s ï£s.  0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 −4 −11 : 1
1 1 Al efectuar − 4 F2 y − 4 F4 se obtiene:  1 2 4 0 0 1 11 0 4  0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 2 1

0 0 4
11 4

 : 1 : 3 ï£s 4 ï£s. : 0 ï£ −1 4


20 Finalmente, efectuamos F1 − 2F2  1 0 −3 2 0 1 11 4  0 0 0 0 0 0 y F2 − 2F4 para obtener:  0 0 0 : −1 2 0 0 0 : 3 ï£s 4 ï£s. 3 1 0 − 1  2 11 0 1 4 : −1 4

3.

Observemos que tenemos 4 variables dependientes y dos variables libres. AsŽ A±, la soluciŽn general del sistema podemos expresarla como: o
1 − 2 + 3 r3 , 3 − 2 4 11 r ,r , 1 4 3 3 2 1 + 3 r6 , − 4 − 2 11 r ,r 4 6 6

.

En consecuencia, podemos expresar cualquier inversa a derecha de A como:  1 3   1 1   3    1 − 2 + 2 r3 + 3 r6 0 −2 2 0 3 2 2 2 2  3 − 11 r3 − 1 − 11 r6  =  3 − 1  + − 11 0 r3 + 0 − 11  r6 . 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 1 r3 r6 1 0 Observemos que el espacio afin de las inversas a derecha de A tiene dimensiŽn o 2. Tomando r3 = r6 = 0 obtenemos la matriz:  1 1  −2 2  3 − 1 .

Algunos resultados sobre el rango de una matriz.
F il(A) = A1· , A2· , . . . , Am· (3.7)

Si A = (aij )m×n es una matriz,su espacio fila corresponde al conjunto:

y su espacio columna es el conjunto dado por: Col(A) = A·1 , A·2 , . . . , A·n . (3.8

Es claro de la definiciŽn que F il(A) es un subespacio de Rn y Col(A) es un o m subespacio R . Denotaremos con la relaciŽn ”ser subespacio de”. o DefiniciŽn 10. El rango fila de una matriz A es el valor dado por la o igualdad: rankF il(A) := dim(F il(A)) (3.9) y el rango columna es el valor dado por: rankCol(A) := dim(Col(A)). (3.10)


3.2. ALGUNOS RESULTADOS SOBRE EL RANGO DE UNA MATRIZ.21 A continuaciŽn probaremos que para cualquier matriz, sus rangos fila y o columna coinciden. Necesitaremos algunos resultados previos con el fin de probar esta afirmaciŽn. o ProposiciŽn 3. Sea A una matriz no nula de tama˜o m×n con rango fila o n igual a r y rango columna igual a c. Entonces, existe una matriz B de tama˜o n m×c y una matriz L de tama˜o c×n tales que: n A = BL. (3.11)

De manera similiar, existe una matriz K de tama˜o m×r y una matriz T n de tama˜o r×n tal que: n A = KT. (3.12) DemostraciŽn. Puesto que rankCol(A) = c, existen c vectores (columna) o B·1 , . . . , B·c Col(A) tales que Col(A) = B·1 , . . . , B·c . En consecuencia, para cada 1 ≤ j ≤ n existen l1j , l2j , . .. , lcj R tales que: A·j = l1j B·1 + l2j B·2 + . . . + lcj B·c   l1j l2j ï£s  ï£s = B ï£ £s. £°. . lcj AsŽ si hacemos para cada 1 ≤ j ≤ n, A±,   l1j l2j ï£s  ï£s L·j =  . £s . . lcj entonces la igualdad (3.11) se satisface tomando: L = L·1 L·2 · · · L·n .

La existencia de las matrices K y T que satisfacen (3.12), se obtiene aplicando el mismo razonamiento a la matriz AT . ProposiciŽn 4. Si A, B y C son matrices tales que A = BC entonces: o Col(A) Col(B) y F il(A) F il(C). (3.14) (3.13)


22 DemostraciŽn. NŽtese que, para cada 1 ≤ j ≤ n, o o A·j = BC·j

3.

de aquŽ concluimos (3.13). Por otro lado, AT = C T B T . Luego para cada A± 1 ≤ i ≤ m: Ai· = C T Bi De aquŽ concluimos (3.14). A± ProposiciŽn 5. Para toda matriz A de tama˜o m×n: o n rankF il(A) = rankCol(A). (3.15

DemostraciŽn. Por la proposiciŽn (3), existen matrices K y L que sao o tisfacen las igualdades (3.11) y (3.12). Ahora, hagamos r = rankF il(A) y c = rankCol(A). De aquŽ y (3.13) tomando B = K obtenemos: A± c ≤ dim(Col(K)) ≤ r y por (3.13) (tomando C = L) obtenemos: r ≤ dim(F il(L)) ≤ c. Se sigue que r = c y esto es precisamente lo que se querŽ probar. A±a La anterior proposiciŽn nos permite definir el rango de unamatriz como o el nŽmero de filas l.i. o como el nŽmero de columnas l.i. Denotaremos por u u rank(A), el rango de la matriz A. Lema 1. Una matriz A de tama˜o m×n: n 1. Tiene inversa a derecha, si y sŽlo si, rank(A) = m; es decir, si el rango o de sus filas es completo. 2. Tiene inversa a izquierda, si y sŽlo si, rank(A) = n; es decir, si el o rango de sus columnas es completo. DemostraciŽn. Supongamos que A tiene una inversa a derecha. Entonces, o existe una matriz R de tama˜o n×m tal que: n AR = Im . Luego Col(Im ) Col(A) y de aquŽ m ≤ rank(A) ≤ m. Por lo tanto, A± rank(A) = m. Observe que la afirmaciŽn recŽ o A±proca es directa, ya que si A es de rango fila completo entonces A tiene exactamente m columnas l.i. y, en consecuencia, Col(Im ) Col(A). Luego existe una matriz R de tama˜o n n×m tal que: (3.17) (3.16

Ž 3.3. MULTIPLICACION POR MATRICES DE RANGO COMPLETO. 23 AR = Im . De manera similar se prueba (2). En consecuencia, podemos deducir los siguientes resultados. Corolario 1. Si una matriz tiene inversa a derecha e izquierda entonces ella es cuadrada y sus inversas laterales coinciden. Corolario 2. Una matriz tiene inversas a derecha e izquierda, si y sŽlo si, o es no singular.

3.3.MultiplicaciŽn por matrices de rango como pleto.

Lema 2. Sean A una matriz de tama˜o m×n y B una matriz de tama˜o n n n×p. Si A es una matriz de rango columna completo entonces: F il(AB) = F il(B) y rank(AB) = rank(B).

Similarmente, si B es una matriz de rango fila completo entonces: Col AB) = Col(A) y rank(AB) = rank(A).

DemostraciŽn. Supongamos que A es una matriz de rango columna como pleto. Entonces, existe una matriz L de tama˜o n×m tal que LA = In . AsŽ n A±, por (??) en la ProposiciŽn (4), tenemos que: o F il(B) = F il(AB) Luego: dim(F il(B)) ≤ dim(F il(AB)) ≤ dim(F il(B)). Concluimos que rank(AB) = rank(B). De manera similar se prueba la segunda parte del lema. Corolario 3. Si A es una matriz tama˜o n×n no singular entonces para n cualquier matriz B de tama˜o n×p: n F il(AB) = F il(B) y rank(AB) = rank(B). F il(AB) F il(B).

Similarmente, si B es una matriz no singular de tama˜o n×n entonces para n cualquier matriz A de tama˜o n×n: n Col(AB) = Col(A) y rank(AB) = rank(A).


24

3.

3.4

Matrices ortogonales.

DefiniciŽn 11. Diremos que una matriz cuadrada Q con entradas reales es o una matriz ortogonal, si: QQT = QT Q = I. Ejemplo 5. Las siguientes matrices son ortogonales . In . 2. 3.
1 √ 2

(3.18)

1 −1 1

cos θ sin − sin θ cos θ

ProposiciŽn 6. Sea Q una matriz de tama˜o n×n. Las siguientes afirmao n ciones son equivalentes: 1. Q es ortogonal. 2. Q−1 = QT . 3. Las filas de Q conforman una base ortonormal para Rn . 4. Las columnas de Q conforman una base ortonormal para Rn . 5. Q preserva la norma en Rn . 6. Q preserva el producto interior usual en Rn .

3.4.1

Propiedades de las matrices ortogonales.

ProposiciŽn 7. o 1. det(Q) = ±1. 2. Los valores propios de Q son nŽmeros complejos sobre la circunferencia u unitaria. Q F = n. 4. QA F = A , para toda matriz A de tama˜o m×n y para toda matriz n ortogonal Q de tama˜o m×m. n 5. BQ F = B , para toda matriz B de tama˜o n×m y para toda matriz n ortogonal Q de tama˜o m×m. n


3.5. MATRICES HELMERT.

25

3.5.

Matrices Helmert.

Sea aT = a1 · · · an un vector columna tal que ai = 0, 1 ≤ i ≤ n. Se quiere calcular una matriz ortogonal P de tal manera que una de sus columnas sea proporcional a aT . Mostraremos a continuaciŽn cŽmo P o o T T puede ser calculada. Denotemos mediante p1 , . . . , pn las filas de P y tomemos T la primera fila pT igual a aT . Luego se toma la segunda fila pT como la2 1 a normalizaciŽn del vector: o a1
−a2 1 a2

0

La columna pT se toma proporcional al vector 1: 3 a1 a2
a2 +a2 ) 1 2 a3

0 0 .

En forma general, tomamos pT , para k ≥ 2, igual a la normalizaciŽn del o k vector: a1 a2 . . . ak−1 − a1k
k−1 i=1

a2 0 . . . 0 . i

(3.19)

La colecciŽn de vectores es una colecciŽn ortonormal. Para como o 1 n probar esto tomemos 1 ≤ r + 1 < s ≤ n y efectuemos:
r−1

pT , pT r s

r−1

=
i=1

a2 i

− ar

r=1

a2 i

ar

= 0.

Ahora, si s = r es claro que pT , pT = 1. r r

3.6.

Matrices de permutaciŽn. o

DefiniciŽn 12. Una matriz de permutaciŽn es una matriz cuyas columnas o o se obtienen permutando las columnas de la matriz idŽntica. e Ejemplo 6. Las    1 0 0 1 0 1 0, 0 0 0 1 0 matrices de   0 0 0 , 0 0 1 1 0 1 permutaciŽn de orden 3 son las siguientes: o        1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1, 0 1 0, 1 0 0 y 1 0 0. 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Nota. Observe que el nŽmero de matrices de permutaciŽn de tama˜o n es u o n n


26

3.

3.6.1

Efecto de multiplicar a izquierda y derecha por una matriz de permutaciŽn. o

Al multiplicar una matriz de permutaciŽn por unvector columna, se o efectua una permutaciŽn de las entradas del vector. De igual manera, si o multiplicamos una matriz a izquierda por una matriz de permutaciŽn el reo sultado corresponde a efectuar una permutaciŽn de las filas de la matriz; si o la multiplicaciŽn se efectŽa a derecha el resultado corresponde a efectuar una o u permutaciŽn de las columnas de la matriz. o Observemos el siguiente ejemplo: Ejemplo  1 0 1.     0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13 0 1 a21 a22 a23  = a31 a32 a33 . 1 0 a31 a32 a33 a21 a22 a23

     a11 a12 a13 1 0 0 a11 a13 a12 2. a21 a22 a23  0 0 1 = a21 a23 a22 . a31 a32 a33 0 1 0 a31 a33 a32   1 0 0 3. 0 0 1 0 1 0     a11 a13 a12 1 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23  0 0 1 = a31 a33 a32 . a21 a23 a22 0 1 0 a31 a32 a33 

3.7.

Inversas de matrices triangulares por bloques.

£®  A11 A12 · · · A1n  0 A22 · · · A2n ï£s  ï£s ProposiciŽn 8. Si ï£ o . . £s entonces .. . . . £»  . . . . 0 · · · 0 Ann det(D) = det(A11 ) det(A22 ) · · · det(Ann ). (3.20

DemostraciŽn. Probaremos la afirmaciŽn por inducciŽn sobre n. Para el o o o caso n = 2, consideremos la matriz por bloques: D= A11 A12 . 0 A22


3.8. RANGO DE MATRICES DEFINIDAS POR BLOQUES.Probaremos que: det(D) = det(A11 ) det(A22 ).

27

(3.21

Observemos primero que si A11 o A22 son matrices singulares entonces sus filas y sus columnas son l.i. y, en consecuencia, D, por ser triangular por bloques, tambiŽn tendrŽ filas o columnas l.i.. De aquŽ se sigue la igualdad e a A± (3.21), ya que ambos lados se anulan. Supongamos ahora que A11 y A22 son no singulares. Observemos que: A11 0
1 A A−1 2 12 22

I

I 0

1 −1 A A 2 11 12

A22

=

A11 A12 . 0 A22

De esta ultima igualdad se sigue (3.21). Supongamos que la afirmaciŽn se Ž o tiene para toda matriz con (n − 1) bloques, n ≥ 2. Observemos entonces que D se puede escribir en la forma: D= A11 A12 , 0 Ann

donde A11 es una matriz triangular superior por bloques, con (n − 1) bloques sobre la diagonal. Aplicando aquŽ el caso 2×2, tenemos que: A± det(D) = det(A11 ) det(Ann ) y aplicando la hipŽtesis de inducciŽn obtenemos (3.20). o o Corolario 4. Una matriz triangular por bloques particionada en forma simŽtrie ca es no singular, si y sŽlo si, sus bloques diagonales son no singulares. o

3.8.

Rango de matrices definidas por bloques.
A 0 entonces: 0 B (3.22) A son l.i. 0

ProposiciŽn 9. Si D = o

rank(D) = rank(A) +rank(B). DemostraciŽn. Basta observar que las columnas de la matriz o de las columnas de la matriz satisface. ProposiciŽn 10. Si D = o

0 y, en consecuencia, la igualdad (3.22) se B

A C , donde A es una matriz m×n, B es una 0 B matriz r×s, C es m×s y A o B son de rango completo entonces: rank(D) = rank(A) + rank(B). (3.23)


28

3.

DemostraciŽn. Supongamos que A es de rango completo. En consecueno cia, rank(A) = mŽ A±n. Sin perdida de generalidad, supongamos que rank(A) = m. Entonces por el lema (1) (verificar esto negA)* tiene una inversa a derecha de tama˜o n×m, que denotaremos por R. Observemos n entonces que: A C 0 B Puesto que la matriz: In −RC , 0 Is es una matriz no singular y por lo tanto de rango completo, por el lema (2) y la proposiciŽn (9) tenemos que: o rank(D) = rank(A) + rank(B). (3.24) In −RC A 0 0 Is 0 B

De manera similar podemos probar el resultado, si B es una matriz de rango completo. Nota. Observe que la condiciŽn ser rango completo para al menos una de o las matrices A o B, es necesaria. Pues en el caso en el que A y B fuesen matrices nulas la igualdad (3.24) no se cumple, si C es una matriz no nula. Aplicando inducciŽn, se obtiene el siguienteresultado. o   A11 A12 · · · A1n  0 A22 · · · A2n ï£s  ï£s Corolario 5. Si D =  . . . ï£s y las matrices Aii son (todas £»  . . . . 0 · · · 0 Ann de rango completo entonces: rank(D) = rank(A11 ) + · · · + rank(Ann ). El siguiente resultado lo usaremos en el capŽ A±tulo 4 y se refiere al rango de matrices particionadas en dos filas y dos columnas de submatrices. ProposiciŽn 11. Sea T una matriz m×m, U una matriz m×q, V una matriz o n×m y W una matriz n×q. Entonces: rank T V U U T V = rank = rank W W V T W W V = rank . U U T

Si, ademŽs, rank(T ) = m; es decir, si T es no singular entonces: a


3.8. RANGO DE MATRICES DEFINIDAS POR BLOQUES. rank T V U m + rank(W − V T −1 U ). W

29

DemostraciŽn. Para probar la primera parte de la proposiciŽn, observemos o o que los conjuntos conformados por las columnas de las matrices: T V U W y U T W V

coinciden y, en consecuencia, los rangos de estas matrices coinciden. El mismo argumento es vŽlido para las matrices: a V T W U y W V . U T

Por otro lado, observemos que los conjuntos conformados por las filas de las matrices: T V U W y V T W U

coinciden. Por lo tanto, los rangos de estas matrices coinciden. El mismo argumento es vŽlido para las matrices: aU T W V y W V . U T

De lo anterior se concluye la primera parte de la proposiciŽn. Para probar la o segunda parte, observemos que: Im 0 −1 −V T In T V U T U W 0 W − V T −1 U

dado que la primer matriz en este producto es rango completo. Deducimos de aquŽ por la proposiciŽn (10), que: A±, o rank Ejercicios 3. 1. Determinar, en caso de que existan, las inversas a derecha e izquierda de la matriz: B= 1 −1 0 2 1 T V U = m + rank(W − V T −1 U ). W

2. Calcular el rango fila y el rango columna de las siguientes matrices


30 1 −1 a) A = −1 3 2 1  1 1 2 1 1 1 b) B = 1 1 1  1 −1 −1 3 c) C = 2 1 3. £®  2 1 1 1 . 1 4

3.

¹ 2 1 2 1 1 3. −1 −1 4    1  1 2 √ 1 a) Considere los vectores √3 1 y 2  0 . Construya una matriz 1 −1 2 ortogonal Q tal que dos de sus columnas sean los vectores dados. £®  1 2. Verifique que Qu = u , donde Q b) Considere el vector u = 3 es la matriz calculada en el literal anterior.
T

4. Encontrar la matriz Helmert, si aT = 1 1 1 5. Realizar por lo menos dos ejercicios del capŽ A±tulo 8. 6. Probar que todas las matrices ortogonales de orden 2×2 son de la forma: cosθ sinθ −sinθ cosθ o Ž cosθ sinθ . sinθ −cosθ