PROPUESTA DE DESARROLLO DE LA GEOMETRIA EN EDUCACION INFANTIL Y PRIMARIA

Fundamentación psicopedagógica

Se parte de que el aprendizaje implica la construcción de los conocimientos. El proceso de aprendizaje del alumno debe basarse en su propia actividad creadora, en sus descubrimientos personales, en sus motivaciones intrínsecas, debiendo ser la función del profesor la de orientador, guía, animador, pero no la de fuente fundamental de información.
Sólo hay aprendizaje, realmente, cuando el alumno llega a integrar en su estructura lógica y cognoscitiva los datos procedentes de la realidad exterior, en un proceso estrictamente personal, lleno de tanteos, de avances y retrocesos, que el profesor puede orientar, eligiendo las situaciones didacticas mas apropiadas, en cada momento, a las posibilidades intelectuales y cognoscitivas de los alumnos, mas cercanas a sus intereses espontaneos, a sus motivaciones y deseos. Estas situaciones didacticas pueden incluir el recurso a la información externa, al uso de una bibliografía adecuada. Pero estos recursos deben ser inducidos por el proceso de descubrimiento de los niños y sentidos como una necesidad por ellos.

Sólo los conocimientos que son construidos por los propios niños son conocimientos realmente operativos, permanentes, generalizables a contextos diferentes de los de aprendizaje.

Aspectos epistemológicos subyacentes al proceso de aprendizaje

El problema de cómo se desarrolla el proceso de aprendizaje esta íntimamente ligado al problema de cómo se accede al conocimiento, y puede ser analizado, en una de sus vertientes, a la luz de la Teoría delConocimiento.
Han existido a lo largo de la historia de la Filosofía dos concepciones opuestas: el materialismo y el idealismo.
Materialismo: las ideas constituyen una representación mental, un reflejo en nuestro cerebro, de los objetos reales y de las relaciones entre ellos.
Idealismo: El mundo de las ideas tiene entidad propia, es independiente del mundo real, sin subordinación a las leyes que rigen este último.

Ejemplificación de la controversia entre ambas concepciones referidas a la formación del pensamiento científico (empirismo/racionalismo)





El modelo constructivista de acceso al conocimiento de Piaget

La posición de Piaget es en cierto sentido, una síntesis de la tesis empirista y racionalista.
Adopta el punto de vista empirista al considerar el conocimiento como un resultado de la acción sobre la realidad. Sin embargo, el conocimiento no es para él una mera copia de lo real, sino el resultado de una construcción lógica, que el individuo efectúa de modo propio.



Para Piaget hay dos tipos basicos de conocimiento: el conocimiento de tipo físico y el conocimiento de tipo lógico-matematico, siendo éste último el que mas fundamentalmente resultaría de la propia actividad lógica del sujeto.
El conocimiento físico es el conocimiento de las propiedades de los objetos, y resulta directamente de la acción sobre los mismos objetos. En cambio, el conocimiento lógico-matematico no surge ya de las acciones en sí, sino de la reflexión sobre dichas acciones, de la libre coordinación, interiorizada de tales acciones (es el caso del conocimiento que hace el niño cuando descubre que el resultado de contar esindependiente del orden que se atribuya al conjunto de objetos que se cuentan).

Es decir, mientras el origen del conocimiento físico esta fundamentalmente en los objetos, el del conocimiento lógico-matematico esta en el sujeto, en la actividad lógica del sujeto. Esta es la razón de que, cuando las acciones lógico-matematicas son interiorizadas, prescindiendo de su aplicación a objetos reales, aparecen como operaciones lógicas, dotadas de sentido propio, sin relación inmediata con el mundo real.

Para Piaget, el desarrollo de la inteligencia puede ser explicado dentro del proceso, en parte biológico, en parte conductual, de adaptación del individuo a su medio ambiente.
Las acciones sobre la realidad, base de la inteligencia para Piaget, son, en realidad, interacciones con ella, respuestas a los estímulos del medio, apareciendo la inteligencia como elemento orientador de las interacciones con el medio.
El papel de la inteligencia en estas interacciones es doble. Por un lado, la estructura intelectual asimila la información exterior, mediante su integración en la red de conexiones lógicas y cognoscitivas que dicha estructura comporta. Por otro lado, dicha estructura debe ser capaz de acomodarse a los variados tipos de información que recibe, mediante las correspondientes modificaciones estructurales.



APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO

La metodología activa basa el proceso de enseñanza en la experimentación por el alumno sobre los objetos de su entorno, en el uso de materiales didacticos apropiados, en las actividades de laboratorio, etc.
Es una metodología que centra el proceso de enseñanza en la actividad creadora delalumno, en su labor investigadora propia, en sus propios descubrimientos, entendiendo que es el propio alumno quien construye sus conocimientos, en consonancia con el sustrato racionalista sobre el que también se apoya, con su visión del conocimiento como construcción intelectual autónoma.
El término ha sido aplicado, demasiado frecuentemente, a una practica educativa, muy generalizada en ciertos momentos, bastante espontaneista, basada en la libre realización por el alumno de actividades y experiencias, pero sin una mínima estrategia educativa que las orientara; con una excesiva polarización hacia los aspectos manipulativos, en detrimento de la reflexión intelectual propiamente dicha.
En su lugar a aparecido un nuevo término . En el aprendizaje por descubrimiento dirigido, va implícita la existencia de una estrategia para orientar el proceso de descubrimiento de los alumnos, siendo el profesor el que, en último extremo, dirige el proceso de aprendizaje de sus alumnos.



Para que ésta metodología resulte eficaz, el profesor debe tener definida, pues, una estrategia didactica. Para ello, debe conocer con un cierto grado de profundidad, las variables que intervienen en el proceso, a fin de poderlas controlar adecuadamente. Debe tener señalados, así, unos objetivos pedagógicos y didacticos, definida una estrategia de enseñanza acorde con ellos y establecidos algunos mecanismos de control del nivel de consecución de dichos objetivos. Centrandonos estrictamente en el campo cognoscitivo, tendra que tener también efectuada una selección de los contenidos apropiados y haberles dado una oportuna organización, una estructurainterna.
La estrategia didactica que elabore el profesor debe basarse fundamentalmente en las características psicológicas y cognoscitivas de sus alumnos.
Se trata entonces de establecer la estrategia didactica en torno a la resolución autónoma de problemas por parte de los alumnos.
Se trata entonces de establecer la estrategia didactica en torno a la resolución autónoma de problemas por parte de los alumnos.
Las situaciones problematicas las plantea el medio y el niño las resuelve del modo mas gratificante posible para él. En el ambito escolar, en cambio, los problemas son generalmente suscitados por el profesor, aprovechando situaciones espontaneas, situaciones previamente programadas, o ambas cosas a» la vez. Obviamente, se trata de una mera cuestión de aprovechamiento del tiempo escolar.
La dificultad mas importante del método: conseguir que los problemas planteados interesen realmente a los alumnos y que la secuencia de problemas sea verdaderamente la adecuada, de acuerdo con las capacidades lógicas y cognitivas de sus alumnos y con la estructura interna de la materia en cuestión.



APRENDIZAJE POR RECEPCIÓN SIGNIFICATIVA: EL PUNTO DE VISTA DE AUSUBEL

Ausubel es un autor claramente opuesto a los métodos de aprendizaje por descubrimiento. El aprendizaje por recepción no tiene que confundirse con el aprendizaje por repetición. Pero el aprendizaje por recepción (que acaece cuando el contenido total de lo que se tiene que aprender se presenta al alumno como producto completamente elaborado y terminado) no tiene por qué ser necesariamente repetitivo, si el material a aprender se traslada al alumno de modo que lopueda comprender y asimilar.
Para Ausubel, un aprendizaje es significativo cuando la materia de aprendizaje puede relacionarse, de manera sustancial, no arbitraria, con lo que el alumno ya sabe, siendo necesario para ello que la materia sea potencialmente significativa, es decir coherente en su estructura con la estructura cognoscitiva y lógica previa de los alumnos, y siendo necesaria también, como cuestión basica, la predisposición hacia ese aprendizaje por parte de los alumnos.
Para él, hay dos tipos basicos de aprendizaje de conceptos, la formación y la asimilación de conceptos y a cada uno se aplica un método particular de aprendizaje. La formación de conceptos se da especialmente en la primera infancia, mediante un pensamiento de tipo inductivo, a partir de la experiencia directa, en la forma de un aprendizaje por descubrimiento. La asimilación de conceptos tiene lugar, por el contrario, cuando la evolución intelectual de los alumnos hace posible la comprensión de conceptos y proposiciones sin necesidad de experiencia empírica alguna, mediante la relación con otros ya existentes en la estructura cognoscitiva del alumno, merced a un aprendizaje por recepción, que representa para Ausubel el mecanismo humano por excelencia para



adquirir la vasta cantidad de ideas e información representadas por cualquier campo de conocimiento.

NUESTRO MODELO EDUCATIVO

A modo de resumen, se puede decir que nuestro modelo didactico, enfocado hacia la enseñanza de la Geometría elemental, es un modelo de aprendizaje dirigido, apoyado en el juego psicomotor. Es un modelo constructivista, basado en las aportacionesepistemológicas de Piaget y Vygotski, con algunas matizaciones procedentes de otras corrientes teóricas, sobre iodo en la delimitación del papel educativo atribuido a la afectividad, la comunicación interpersonal y el juego en el desarrollo del proceso cognitivo.
Se trata de un modelo sustentado en la capacidad creadora de los niños, en sus actividades de descubrimiento, en sus capacidades artísticas, en sus 11 legos. Que afirma la importancia del profesor como agente orientador de los procesos de aprendizaje de los alumnos. Pero que, sobre todo, destaca la necesidad de una construcción intelectual autónoma de los niños, desarrollada por ellos mismos, desde sus propias inquietudes cognoscitivas, sus propios intereses de aprendizaje, sus necesidades afectivas e intelectuales,
Los siguientes capítulos se dedican al desarrollo, de modo amplio y concreto, de este modelo de enseñanza de la Geometría.



CONCEPTOS

Pasemos seguidamente a esbozar un posible programa de Geometría, apuntando títulos simplemente, sin determinación precisa de contenidos, para ir avanzando hacia esa propuesta curricular que se sugiere. Es una propuesta para toda la Educación Primaria, sin especificación por ciclos, cosa que se hara mas adelante. Se trata, simple- mente, de indicar los temas que se deberían tratar, sin concretar aún los objetivos (de tipo cognitivo y de tipo lógico) a cubrir con cada título, ni la metodología con que deberían ser trabajados, cuestión que se considerara mas tarde.
1. Nociones geométricas basicas: punto, línea y superficie. Tipos de líneas y superficies. Líneas y superficies cerradas. Regiones y fronteras, sobresuperficies y en el espacio. Figuras geométricas. Redes lineales. Aritmética de las redes lineales. Cuerpos geométricos.
2. Intersecciones de líneas rectas. Paralelismo. Angulos. Tipos de angulos. Perpendicularidad. Reconocimiento en polígonos. Intersecciones de superficies planas. Paralelismo, angulos y perpendicularidad en el espacio. Reconocimiento en poliedros.
3. Triangulos. Tipos de triangulos: clasificación. Composición de triangulos en el plano: redes triangulares planas. Aritmética de las redes triangulares. Composición de triangulos en el espacio: poliedros de caras triangulares (fundamentalmente triangulares): tetraedro, octaedro, piramides, bipiramides,
4. Cuadrilateros. Tipos. Clasificación. Composición de cuadrilateros en el plano: redes cuadrilateras planas. Aritmética de las redes cuadrilateras. Composición de cuadrilateros en el espacio: poliedros de caras cuadrilateras (fundamentalmente cuadrilateras): cubo, ortoedro, prismas,
5. Otros polígonos. Polígonos regulares. Polígonos estrellados. Composición de polígonos regulares en el plano. Mosaicos regulares y semirregulares. Composición de polígonos regulares en el espacio. Poliedros regulares y semirregulares.



6. La circunferencia y el círculo: elementos. Posiciones relativas. Circunferencia y polígonos regulares: división regular de la circunferencia. Angulos, en la circunferencia: generalización de la idea de angulo. Figuras planas derivadas del círculo. Figuras tridimensionales derivadas del círculo. Relación entre los poliedros y los cuerpos redondos.
7. Giros en el plano y en el espacio. Simetrías axiales y especulares. Figuras dotadas deregularidad: figuras simétricas —simetría rotacional, axial y especular—. Composición de simetrías. Rosetones, frisos y mosaicos. Traslaciones en el plano y en el espacio
8. Iniciación al estudio de las propiedades métricas de figuras y cuerpos: perímetro, amplitud angular, superficie, volumen. Evaluación y comparación de las cantidades, criterios de equivalencia, acotaciones mediante figuras o cuerpos regulares,
9. Rectificación de líneas y evaluación de areas: rectificación de líneas y aproximación de longitudes; evaluación de areas mediante mallas cuadradas; relaciones entre perímetro y area (perímetros de figuras equivalentes, areas de figuras isoperimétricas).
10. La circunferencia y los angulos. Rectificación de la circunferencia y aproximación de su longitud. La relación entre la longitud y el radio. Angulos centrales y arcos correspondientes. La medición de la amplitud angular.
11. El area. Area de paralelogramos: relación entre las areas de paralelogramos de igual base; relación entre las areas de paralelogramos de igual altura (anchura). Area de triangulos: relación entre las areas de triangulos de igual base (igual altura). Expresión del area en función de largo y ancho (base-altura). Areas de polígonos regulares. El círculo y su area.
12. La semejanza: figuras que tienen la misma forma. Triangulos y polígonos semejantes. Modos sencillos para comprobar la semejanza de dos figuras. Aplicaciones: sombras, alturas, distancias, planos La relación entre las areas de figuras semejantes. El teorema de Tales.
13. El teorema de Pitagoras: el triangulo rectangulo egipcio y la familia de triangulos semejantes a él.Triangulos rectangulos de lados enteros. Comprobación del teorema de Pitagoras mediante dibujo y plegado de papel (verificaciones analógicas). Aplicaciones practicas del teorema de Pitagoras en el plano y en el espacio.
14. Geometría cartesiana: de los vértices del geoplano a las coordenadas cartesianas. Primeras descripciones analíticas simples del geoplano coordenado. Propiedades analíticas que se pueden asociar, en el plano coordenado (cartesiano), a figuras y regiones. Reconocimiento y representación de regiones y figuras planas descritas en forma analítica.
15. Estudio descriptivo de cuerpos. Plegado y desarrollo de sólidos geométricos. Cuerpos de revolución. Aproximación de un cuerpo mediante un poliedro: el balón de fútbol. Relaciones métricas en los cuerpos: aristas, altura, diagonales interiores, superficie lateral,
16. El volumen: la capacidad de los recipientes y el volumen desplazado por un cuerpo. Construcción de cuerpos equivalentes a partir de trozos. El principio de Cavalieri. Estudio de la relación entre el volumen de un cuerpo, su sección y su altura.

Como se indicó anteriormente, este es un programa que pretende servir de referencia para toda la Geometría de la educación basica, sin diferenciación de ciclos o niveles. Naturalmente unas unidades son mas específicas de un ciclo o nivel que otras, y ello se traduce en una propuesta particular propia de cada ciclo, que se hara después, pero de momento se pretende hacer una propuesta introductoria.




MATERIALES Y RECURSOS

Tendremos que diferenciar de entrada entre el material pensado para ser usado en las sesiones de psicomotricidad, en una salaespaciosa, amplia, y el material pensado para ser utilizado en el aula normal de clase, sobre los pupitres.

Respecto al primer tipo de material podemos destacar en primer lugar materiales típicos de psicomotricidad, como cuerdas, aros, pelotas, papel, etc., que ademas de su valor específico para el juego psicomotriz tienen también interés para el desarrollo de conceptos geométricos. Por ejemplo, las cuerdas pueden ser utilizadas para la construcción de líneas, caminos, redes lineales, etc.; los aros para la formación de circunferencias, cilindros, conos, para juegos de giros, etc.; las pelotas para materializar esferas, para juegos de giros, para juegos trayectorias, etc.; el papel para formar diferentes formas superficiales, para formar las caras de los poliedros construidos con otros materiales, etc. En realidad, muy diferentes materiales de uso habitualmente no matematico puede ser usado en contextos matematicos, a poco que se fuerce la imaginación.
Un material que nos ha dado mucho resultado en la aproximación psicomotriz al aprendizaje geométrico ha sido el representado por las cintas elasticas. Estas cintas son un material espontaneo de juego para los niños —especialmente para las niñas—, que utilizan habitualmente en contextos no escolares, de manera que esta asegurado su atractivo para los alumnos. Un grupo de niños encerrados en el interior de una cinta elastica cerrada pueden, ademas de disfrutar enormemente jugando con la cinta, construir muy diferentes formas poligonales. Permitiéndoles usar mas de una cinta pueden formar también múltiples formas poliédricas, bien jugando con sus propios cuerpos, bien utilizandootros puntos de enganche para las cintas en la sala.
Un material estructurado, especialmente diseñado por nosotros para estos fines (aunque existen otras versiones), es el de los polígonos y poliedros articulados.
Se trata de varillas de madera, de longitudes diferentes (variando de decímetro en decímetro, desde uno hasta diez, hasta completar el metro), que pueden ser unidas por articulaciones flexibles o rígidas.
La articulación flexible se consigue al mantener juntos, con un nudo de alambre, pequeños trozos de tubo de goma, en cuyas bocas se «enchufan» varillas de madera, con lo que se obtiene un vértice de una estructura poliédrica. Las estructuras conseguidas de este modo, carentes en principio de rigidez, se pueden modificar a voluntad, representando un primer nivel de investigación la construcción de estructuras estables, e incluso rígidas. Se descubre pronto que las construcciones resultantes de combinar triangulos son rígidas por sí mismas, y que otras construcciones tan simples como el cubo carecen en cambio de la mas mínima estabilidad, a no ser que se le incorporen diagonales a algunas de sus caras (acercandose a la estructura triangular). De todas maneras, esa falta de estabilidad de las figuras es una ventaja para ciertas cuestiones, como por ejemplo para estudiar la variedad de formas que puede conseguirse con un conjunto dado de varillas.
La estabilidad, la rigidez, de las estructuras puede conseguirse introduciendo articulaciones rígidas. Las que nosotros hemos manejado son pequeñas esferas de madera con orificios en posiciones dadas, para poder unir varillas formando angulos de 60°, 90° y 120°.
Lasestructuras que se construyen con estos materiales son, evidentemente, de un tamaño relacionable con el del propio cuerpo, de manera que permiten un tipo de juego



verdaderamente atrayente, lo que hace que el contacto con los polígonos y poliedros resulte muy lúdico.
También hemos utilizado otras varillas de material sintético para formar aristas curvas, tratando de huir de la exclusividad y simplicidad de la línea recta
Como materiales complementarios de mesa, para utilizar en el aula, hemos introducido por un lado materiales de uso corriente (en principio no matematico), y por otro materiales especialmente diseñados para la enseñanza de la geometría.
Dentro del primer tipo podríamos citar palillos, varillas de madera, cuerdas, alambres, pajitas de refrescos, plastilina, corcho, etc., con los cuales se pueden construir, también, estructuras poligonales y poliédricas.
Como materiales de uso específicamente geométrico (ademas de los materiales clasicos de dibujo geométrico), hemos utilizado basicamente el geoplano y los poliedros troquelados.
El geoplano permite formar, con gomillas pequeñas, figuras equivalentes a las que resultan en el juego psicomotor con las cintas elasticas, y dar una continuidad, ya en el plano de la reflexión teórica, a las actividades de caracter lúdico. Habitualmente hemos usado geoplanos correspondientes a una red cuadrada y a ellos nos referiremos mientras no se diga expresamente lo contrario.
Los poliedros troquelados, combinaciones libres de polígonos (materializados en cartulina), mediante uniones muy simples, para formar poliedros, permiten dar una réplica sencilla, en el aula, en elterreno de la reflexión teórica, a la fase lúdica inicial de construcción de poliedros «gigantes».



La enseñanza de la Geometría en el ambito de la Educación Infantil y primeros años de Primaria

La enseñanza de la Geometría en estos niveles educativos debe centrarse, desde nuestro punto de vista, en el desarrollo de las nociones y formas de pensamiento geométrico mas primarias, necesarias para esa organización lógica del espacio.
En concreto, postulamos para este ciclo los siguientes contenidos tematicos:

I. Nociones de situación.
1.1. Nociones de orientación.
1.2. Nociones de proximidad.
1.3. Nociones de interioridad.
1.4. Nociones de direccionalidad.

II. Nociones geométricas fundamentales.
II. 1. Nociones de punto, línea y superficie.
11.2. Orden lineal. Iniciación a la medida de longitudes.
11.3. Tipos de líneas y de superficies. Líneas y superficies cerradas. Regiones en la superficie y en el espacio. Redes planas y redes tridimensionales.
11.4. Figuras y cuerpos geométricos.

Aunque ambos bloques estan contemplados para todo el ciclo, el primero lo consideramos mas apropiado para la Educación Infantil, y el segundo para los primeros años de la Educación Primaria.

Los bloques deben ser contemplados tanto desde el punto de vista conceptual, o preconceptual, de adquisición de las nociones geométricas basicas, como desde el punto de vista lógico, de desarrollo de unas formas primarias de razonamiento geométrico.
Conviene señalar, finalmente, como aspecto metodológico importante, que el dibujo y las construcciones plasticas, tridimensionales, tienen un importante valor formativo en estas edades,para el desarrollo de la capacidad de simbolización, capacidad que es muy necesaria para la propia conformación de las estructuras intelectuales. Tienen también un valor diagnóstico, como elemento indicador del nivel de evolución del pensamiento geométrico de los alumnos. Por ambas razones, consideraremos dichas actividades como elementos fundamentales dentro de nuestra metodología de trabajo.

NOCIONES DE SITUACIÓN

Como ya se ha indicado anteriormente, las nociones de situación comprenden las de proximidad, interioridad, cierre y direccionalidad. Los vocablos basicos que las expresan son: delante-detras, arriba-abajo y derecha-izquierda para las nociones de orientación; cerca-lejas para las de proximidad; dentro-fuera y abierto-cerrado para las de interioridad; hacia, desde-hasta para las de direccionalidad. De todas maneras hay muchos otros términos que expresan matices diferentes de estas nociones y que deben ser tenidos en cuenta. (SUGERENCIA: consultar el Diccionario Ideológico de la Lengua Española, de Julio Casares, en busca de los términos de nuestro idioma relacionados con los indicados mas arriba.)
Las nociones de situación son, en general, muy primarias y de mucha significación afectiva para los niños. En general existe una referencia corporal muy precisa para ellos.



Delante-detras esta relacionado con la marcha. Arriba-abajo con el peso, con la acción de la gravedad.
Cerca-lejos con la posibilidad de coger, de alcanzar, de acercarse a los objetos.
Dentro-fuera con la posibilidad de esconderse, de protegerse. Hacia con el sentido de la marcha.
Derecha-izquierda no tiene una referencia corporalprecisa, por la simetría del cuerpo; eso la hace mas difícil.

ACLARACIONES METODOLÓGICAS

El proceso de construcción de estas etapas sigue un proceso de progresiva descentración del yo. En primer lugar hay una etapa de organización del yo corporal, de construcción del esquema corporal propio. Después hay otra etapa de referencia de los objetos exteriores respecto del yo. Mas tarde se descubre que los otros seres tienen su propio sistema de referencia, respecto del cual se sitúa el yo, estableciendo los diferentes seres y objetos sus propias relaciones espaciales con entera independencia del yo, nivel en el que las nociones de situación espacial empiezan a convertirse en verdaderas relaciones lógicas.
Así, refiriéndonos, por ejemplo, a las nociones de orientación, primero se percibe qué partes del cuerpo se tienen delante, detras, arriba, abajo,, proceso durante el cual se va construyendo el esquema corporal propio (muy necesario para la afirmación de la identidad personal). Después se interioriza la orientación de los objetos del espacio respecto al yo, que los objetos estan delante de mí, detras, etc., Mas tarde se aprende que también los otros tienen un delante y un detras, un arriba,, que no tienen por qué coincidir con el mío y respecto a los cuales puedo situarme. Finalmente se aprende a considerar las orientaciones relativas de los demas y, por extensión, de los objetos entre sí.
Las nociones de situación son, inicialmente, muy simples, pero la consideración de asociaciones entre ellas y, sobre todo, de matices, pueden añadirle complejidad y significación para el desarrollo de un incipiente pensamientogeométrico. Así. por ejemplo, los juegos con las nociones de proximidad pueden corresponder a situaciones elementales como las de situarse cerca o lejos de algo, pero pueden complicarse relacionandolas con otras nociones —moverse cerca de un aro, pero fuera de él— y, sobre todo, si se introducen matices —moverse mas cerca del aro rojo que del azul—. Los matices en la proximidad conducen de manera natural a la distancia —ponerse a igual distancia del aro rojo que del azul; comprobar que se esta a igual distancia. Los matices en la direccionalidad introducen el orden lineal —ir desde la puerta a la estantería, pero pasando por el perchero; seguir un camino, pasando por estos puntos.
La profundización en las nociones de interioridad dara lugar a las nociones de región, figura, cuerpo,
Los matices en las nociones de orientación pueden dar a éstas una potencia geométrica elevada. Así, por ejemplo, jugando con la igualdad de distancias a dos puntos puede surgir la noción de mediatriz. Jugando con la igualdad de distancias a dos rectas secantes, la de bisectriz. Con la igualdad de distancias a un punto aparece la circunferencia. Con la igualdad de distancias a una línea recta, el paralelismo. Con la igualdad de distancia a un punto y una recta, la parabola



DESARROLLO PRACTICO DE LAS NOCIONES DE SITUACIÓN

Expondremos ahora cómo se puede abordar la enseñanza de estas nociones. Plantearemos, en cada caso, una sesión concreta de juego psicomotor, seguida de una relación de actividades complementarias, que puedan servir para diseñar otras posibles sesiones y, sobre todo, para mostrar que los ejercicios que se pueden considerarson múltiples, de manera que sea cada profesor, dentro de sus circunstancias concretas, quien haga sus propios diseños.
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A. Nociones de orientación

Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música.
— Nos movemos por el espacio, pero hacia atras.
Hacia delante dando saltos con los pies juntos.
Hacia atras con los ojos cerrados.
Libremente, por todo el salón, saludando con la mano derecha a los compañeros que encontramos a nuestro paso.
ídem con la mano izquierda, inclinando al mismo tiempo la cabeza.
Nos movemos libremente por el salón y vamos formando parejas.
Un miembro de la pareja se detiene y el compañero se mueve en torno a él. A una señal se coloca delante, detras, a su izquierda, le hace cosquillas en distintas partes del cuerpo, por arriba, por detras, Se intercambian los papeles y se repite lo de antes.
El profesor se detiene en algún lugar, elegido convenientemente en el salón en donde se desarrolla la sesión, y coloca en el suelo un par de cuerdas, como si fuesen unos ejes de coordenadas, para delimitar las regiones que quedan delante suya, detras suya, a su derecha, izquierda.
A una señal, los niños se colocan delante, detras, a derecha y a izquierda.
Delante, pero mirando hacia atras, en relación al profesor.
Delante, pero mirando hacia la izquierda del profesor.
Delante y a la derecha del profesor
Mas delante que a la derecha
Muy delante y poco a la derecha.
Igual de lejos hacia delante que hacia la derecha. Otros ejemplos de actividades posibles serían los siguientes:
A.l. Construcción del esquema corporal

Hacer muecas, gestos, etc., con partes del cuerpo quetengan delante (respecto a las cuales tenga sentido establecer la relación delante-detras).
Llevar un globo con una parte del cuerpo que tengamos arriba, o a la derecha, o detras,
Llevar un globo entre dos con partes de sus cuerpos que tengan a la derecha, o abajo

A.2. Orientación respecto al yo

— Levar un globo por arriba, por abajo.
Botar una pelota por delante, por detras
Lanzar una pelota hacia delante, hacia atras, lanzarla por arriba hacia delante, por la derecha hacia abajo
Girar hacia la derecha, hacia la izquierda.

A.2.1. ASOCIACIONES CON OTRAS NOCIONES

Moverse deprisa hacia delante, despacio hacia atras.
Moverse hacia delante. Cuando choques con algo retrocede, cuando vuelvas a chocar avanza de nuevo.
Avanzar hacia delante y la derecha. Atras a la izquierda



Avanzar hacia delante por el suelo. Continúa avanzando, pero con la parte del cuerpo que tengas detras
Avanzar dando saltos grandes. Con saltos pequeños. Lentamente con saltos grandes. Rapido con saltos pequeños.
Lanzar fuerte hacia delante. Flojo hacia atras
Botar la pelota por delante del cuerpo, con botes pequeños y rapidos
Desplegar un globo por el suelo, hacia delante, manteniéndolo en contacto con una parte del cuerpo que esté arriba.



A.2.2. MATICES

Avanzar hacia delante, cada vez mas deprisa, ídem hacia atras.
Saltar con saltos cada vez mayores —investigar la relación entre el tamaño de los saltos y los que se deben dar para llegar a un lugar determinado.
Moverse dando dos pasos a la derecha y uno atras, ídem con tres pasos a la derecha y uno atras. Se repite, aumentando cada vez en uno elnúmero de pasos a la derecha.
Moverse dando dos pasos a derecha y uno a izquierda.
Analizar los caminos seguidos en cada caso. (¡Atención a los tipos de líneas que aparecen!)
Lanzar una pelota hacia arriba, cada vez mas alto. Lanzarla hacia delante, cada vez mas lejos: el doble, el triple (Atención a las trayectorias de la pelota.)

A.3. Orientación respecto a otros sistemas de referencia

— Por parejas, uno delante del otro. El de delante se mueve libremente y el de atras imita sus movimientos.
Desde la posición que ocupais elegir un compañero, sin desplazaros hasta él. Cuando suene la música moveros para estar siempre detras del compañero elegido. (Atención a las dificultades que se presentaran, por las múltiples interacciones que se pueden dar, o cuando exista elección mutua entre dos.)
Enfrentados por parejas mueve tu mano derecha cuando el compañero mueva su mano derecha; tu izquierda cuando el otro mueva su izquierda; inclínate hacia tu derecha cuando el otro se incline hacia su derecha. Analogamente pero estando uno cabeza-abajo (actividad muy divertida para comprender la existencia de sistemas de referencia distintos del propio).




A.3.1. ASOCIACIONES

Actividades analogas a las anteriores, pero uno movera una mano cuando el compañero mueva el pie; hacia arriba cuando el compañero lo haga a la derecha
Enfrentados por parejas, uno se movera hacia delante y el otro hacia atras; uno adelante y a la derecha, y el otro atras a la izquierda; (atención a las trayectorias, a la existencia de una simetría central entre ambas).

A.3.2. MATICES
— El ejercicio anterior, pero uno hace su movimientodoble del compañero; mitad




B. Noción de proximidad

Relacionamos la noción de proximidad con la distancia, de manera que esta sesión de psicomotricidad sirva de iniciación a la medida de longitudes, a la consideración de la distancia en las figuras geométricas, etc.
Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música.
Nos seguimos moviendo por el espacio, pero cerca del suelo. Lejos del suelo.
Con la cabeza cerca del suelo y un pie lejos del suelo.
Cerca de un compañero. Mi pie cerca de su pie. Mi codo cerca de él y mi espalda lejos.
Cerca de varios compañeros. Las espaldas cerca, pero los pies lejos.
Cerca de todos los compañeros.
Mas cerca. Muy cerca.
Lejos de todos los compañeros.
Nos movemos otra vez libremente por el espacio, y nos vamos acercando a algún compañero, para formar pareja con él.
Formamos parejas. Nos movemos por el espacio manteniendo siempre la misma distancia entre los dos miembros de la pareja. Ampliamos o reducimos esa distancia, y la mantenemos unos instantes antes de cambiarla de nuevo.
Nos movemos manteniendo los dos la misma distancia de un objeto. Nos acercamos y nos alejamos al objeto, pero manteniéndonos los dos siempre equidistantes de él.
Nos juntamos con otras parejas, si nos apetece, y nos movemos todos a igual distancia de un mismo objeto. Ampliamos o reducimos esa distancia, pero todos a la vez.
Nos ponemos todos a la misma distancia de un mismo objeto. Comprobamos que todos estamos igualmente distantes de él (¿Cómo? Habra que sugerir, si fuese necesario, la utilización de cuerdas, varas, como instrumentos de comprobación). Representamos nuestrasposiciones con una cuerda sobre el suelo, haciéndola pasar por nuestros pies. (¿Qué figura se forma?)
Se reparten unas pelotas. Jugamos libremente con ellas.
Jugamos a ver quién lanza la pelota mas lejos. Nos ordenamos por la capacidad de lanzarla mas lejos (reforzamos la utilización del material apropiado, tal como cuerdas, palos,, para comparar longitudes. Pedimos que efectúen la comprobación utilizando sólo una vara, o con pasos, para inducir la adopción de una unidad de medida).

Otros posibles tipos de actividades para el desarrollo de las nociones de proximidad podrían ser las siguientes:

B.1. Construcción del esquema corporal
Botar una pelota en el suelo, cerca de la cabeza, cerca de las rodillas
Desplegar un globo, llevandolo cerca del vientre, cerca de un pie
Moverse manteniendo los pies cercanos entre sí, juntos, separados, muy separados Con una mano cerca de un pie, cerca de la cabeza

B.2. Proximidad respecto al yo

Intercambiar la pelota con los compañeros que estan cerca.



—Sin movernos del sitio que ocupamos, desplegamos un globo cerca del cuerpo, lejos de la cabeza

B.2.1. ASOCIACIONES

Alejarse de los compañeros. Observar cómo disminuyen de tamaño al estar mas lejos (asociación alejamiento-tamaño de los objetos: perspectiva).

B.2.2. MATICES

Determinar con un cristal, marcandolo con rotuladores, cuanto disminuye un compañero al alejarse, cuando esta a doble distancia, triple, que en el momento inicial.

B.3. Proximidad respecto a otro sistema de referencia

Nos movemos manteniéndonos igual de cerca de dos paredes —atención a los casos posibles demovimiento que hay, y a la manera de combinar los movimientos de todos.
Nos movemos manteniendo la distancia con «A». Mas cerca de «A» de lo que esta
«B». Mas lejos.
Por parejas. Uno se mueve libremente, el compañero debe mantenerse siempre igual de cerca de una pared que el otro.
Por tríos, nos movemos por todo el espacio, nos acercamos o nos alejamos mutuamente, pero manteniendo iguales nuestras separaciones mutuas (igualmente separados no es lo mismo que a una separación constante. Atención a la idea de triangulo equilatero).
Por grupos de cuatro, nos movemos procurando que la distancia a dos compañeros fijos sea siempre igual (atención a las múltiples posibilidades geométricas, relacionadas con la distancia, que aparecen).



C. Interioridad

Relacionaremos las nociones de interioridad con las de pertenencia, elemento, conjunto, etc., de manera que la sesión de psicomotricidad que a continuación se expone trabaja conjuntamente la lógica de clases, las relaciones de interioridad, la cantidad

Nos movemos libremente por el espacio al ritmo de la música.
Nos juntamos con los compañeros que tengan los zapatos del mismo color que nosotros, y continuamos moviéndonos.
Comparamos los grupos formados. Los del grupo mas numeroso forman un corro y los restantes grupos se introducen en él, sin mezclarse los que tienen zapatos de distinto color, y continuamos bailando al ritmo de la música.
Los niños que forman el corro lo estiran al maximo, poco a poco lo van estrechando, dejando cada vez menos sitio para los que estan encerrados.
Nos volvemos a mover todos libremente, para agruparnos de nuevo los que tenemos otra cosaen común (se indica otra característica, relativa, por ejemplo, a la ropa, al físico, a la edad, etc.) Formamos corros, igual que antes, y los que queden encerrados deben intentar escapar del corro, mientras que los que forman el corro deben impedirlo.
Se reparten cuerdas, trozos de tela, cintas elasticas y varas. Nos movemos por el espacio libremente, jugando con el material que cada uno tiene.
Nos juntamos con los que tengan igual material que nosotros, y jugamos así, agrupados.
Cada grupo se construye una «casa» con su material, pudiendo utilizar material sobrante del reparto. Jugamos dentro de nuestras casas.
Visitamos las casas de los compañeros y nos fijamos en la forma que tienen. En la forma exterior, por dentro, en las esquinas
Se hacen preguntas a todos los grupos sobre las características de cada habitación, la forma de las paredes, la forma que toma el elastico al ser estirado, etc. (todas estas cuestiones tienen un sentido pregeométrico).
Otros posibles tipos de actividades podrían ser las siguientes:
Con cajas, sacos, bolsas grandes, etc. Nos ponemos dentro de una caja. Dentro de una bolsa y fuera de una caja. Dentro de una caja, una bolsa y un saco, pero fuera de la habitación
Formamos tres equipos. Dos de ellos hacen sendos corros, de tal manera que el tercer equipo quede encerrado dentro de ambos corros. ¿Cómo deberan formarse los corros para que el tercer equipo quede dentro del corro A y fuera del corro B? ¿Y para quedar dentro de B y fuera de A?
Cuatro equipos forman tres corros, y estudian todas las posibilidades de dejar al cuarto equipo encerrado dentro de los tres corros. ¿Cuantos modosdistintos hay de conseguirlo?
Se repiten ahora las actividades anteriores con la siguiente modificación: los equipos, en vez de formar corro, deberan delimitar con cuerdas una región en suelo del salón de modo que se cumplan las condiciones impuestas.



D. Nociones de direccionalidad

Se puede partir de estas nociones para iniciar el acercamiento a la noción de línea, a la línea como trayectoria, sobre la base de representar en el, suelo con cuerdas, con trazos de tiza, etc., las trayectorias seguidas en los ejercicios de direccionalidad.

Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música.
Nos ponemos en fila y nos desplazamos hacia la puerta. Todos imitan los movimientos del primero. Al llegar a la puerta damos media vuelta, y nos dirigimos hacia la pared del fondo, imitando los movimientos del que ahora va en cabeza (si el grupo es muy numeroso se puede dividir en otros menores, y asignarles actividades similares a la propuesta).
Se repite la actividad anterior con distintos recorridos, y cambiando a los niños de cabeza y cola de la fila. Se buscan recorridos largos y cortos. Se determina el mas largo y el mas corto de los efectuados.
Se marcan tres puntos, y se realizan recorridos diferentes entre ellos: de A a C sin pasar por B; de B a C pasando por A; rectilíneo desde A hasta B; Se repite la actividad con cuatro, cinco, hitos prefijados. Se propone idear un sistema que permita distinguir unos recorridos de otros, con objeto de no repetirlos.
Realizar recorridos entre varios puntos, siguiendo un modelo representado en la pizarra (ondulante, con bucles, quebrado, cerrado, con giros sólo a laderecha).

(Este ejercicio abre un campo muy grande de posibilidades para los juegos, dependiendo de los tipos de líneas que se adopten como trayectorias. Estas actividades enlazan también con las del apartado siguiente, donde se presenta su desarrollo posterior.).



NOCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (Primer Ciclo)

No debe seguirse un rígido esquema euclídeo, deductivo, para desarrollar este bloque tematico, de modo que no hay que esperar a la consolidación de estas ideas previas para, sobre ellas, construir las nociones de región, figura, cuerpo geométrico, red lineal, etc.
Por el contrario, estimamos que la consideración de este segundo tipo de nociones ayuda, a su vez, a la construcción de las primeras, al plantearlas en otro contexto: el punto como vértice, como elemento de una red plana, de una figura, de un cuerpo; la línea como arista, como intersección de dos superficies, como conjunto de puntos; la superficie como parte del volumen, como elemento geométrico que contiene puntos, líneas,
Para el desarrollo de esta unidad se puede partir de la noción de línea, que puede ser introducida desde distintas situaciones didacticas: como trayectoria del movimiento en el juego psicomotriz, y como abstracción de materiales adecuados, como cuerdas, cintas, etc.
Se pueden estudiar los tipos mas corrientes de líneas: onduladas, quebradas, circunferencias, espirales, con forma de ocho, Y a partir de la consideración de diferentes tipos de líneas se puede iniciar la diferenciación, mas abstracta, entre líneas rectas y curvas, abiertas y cerradas, cóncavas y convexas,, diferenciación que tendra un sentidoeminentemente perceptivo, no lógico.
A partir de la noción de línea cerrada se puede introducir la noción de región —en la superficie— y, desde ésta, la noción de figura geométrica.
Paralelamente al estudio de las líneas puede hacerse el de las superficies — onduladas, cilíndricas, cónicas—, las superficies cerradas, las regiones tri- dimensionales encerradas por superficies, los cuerpos geométricos.
Es decir, ligada al cierre de líneas y superficies, a la existencia de fronteras en la superficie o en el volumen, puede hacerse surgir la idea de región, tanto en la superficie como en el espacio. Y desde ellas las nociones de figura y cuerpo, respectivamente.
En estos primeros niveles escolares interesa desarrollar estas ideas de región, figura, cuerpo, en general, con el mayor número posible de manifestaciones diferentes, con el objetivo de desarrollar al maximo la intuición espacial de los alumnos. De manera que no se trata de reducir las figuras a las mas simples, a las mas regulares Interesa, por el contrario, el desarrollo de la imaginación espacial para concebir formas diferentes origi- nales. Naturalmente que también podra plantearse el reconocimiento de figuras como el cuadrado, la circunferencia, la esfera, pero mucho mas importante sera el despliegue de la imaginación hacia otro tipo de formas mas complejas, mas irregulares, mas generales.
Se puede también profundizar el estudio de las líneas, considerando las intersecciones entre líneas, las redes y las relaciones en éstas, entre puntos, líneas y regiones. Se hace así aparecer la noción de punto y se consideran las relaciones existentes entre estoselementos basicos del espacio —puntos, líneas y superficies—, relaciones que pueden tener una importante vertiente aritmética.
También se puede iniciar la consideración de longitudes y distancias, una introducción a la medida de estas magnitudes, relaciones métricas entre ellas, etc., mostrandose así una de las vertientes mas interesantes de la geometría, que consideramos en los diferentes capítulos: la geometría como fuente de problemas relativos al estudio de magnitudes, problemas aritméticos, problemas algebraicos, etc.



DESARROLLO PRACTICO DE LAS NOCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Se exponen, a continuación, algunos ejemplos concretos de sesiones de psicomotricidad, referentes al desarrollo de estas nociones, completada con relación de posibles actividades complementarias, para la profundización teórica de las mismas.



Noción de línea. Tipos de líneas. Líneas cerradas. Figuras geométricas planas. Polígonos

Nos movemos libremente por el espacio.
De otra manera, cambiamos la forma del movimiento.
- Formamos grupos y continuamos en movimiento, pero agrupados.
Nos seguimos moviendo, pero de acuerdo con las líneas que aparecen en la pizarra (rectas, quebradas, onduladas, rizadas, circunferencias, espirales, en forma de ocho).
Se reparten cuerdas de colores, una a cada niño. Jugamos con las cuerdas, con el movimiento de las cuerdas. Las movemos por arriba. Por abajo. Por el suelo. Hacia delante. Hacia atras
Cuando pare la música ponemos la cuerda en el suelo, dandole la forma de una línea cerrada. Cuando vuelve a sonar la música bailamos dentro de la cuerda,
Lo mismo, pero lo hacemos en grupo:formamos la línea cerrada con las cuerdas de varios compañeros, y bailamos todos dentro de ella.
Nos sentamos en corro sobre el suelo. Por turno, cada uno pone su cuerda dentro del corro, donde quiera y dandole la forma que quiera, lo mas bonita que pueda. No vale repetir figuras. Hacemos un mural con todas ellas.
Lo mismo, pero haciendo con la cuerda una línea cerrada, una figura cerrada.

Actividades complementarías

(Se desarrollan en el aula normal de clase.)

Hacer sobre cartulina negra, con lanas de colores, un mural, combinando líneas onduladas, circunferencias, espirales, líneas rectas
ídem, pero sólo con líneas cerradas.
ídem, pero construyendo las líneas cerradas con palillos de dientes.
Por parejas. Dibujar un montón de puntos sobre un folio, dispuestos al azar. Cada miembro de la pareja, por turno, dibuja una línea entre dos puntos. No vale cruzar líneas. Pierde el juego el primero que se vea obligado a cerrar una línea.
Si en el ejercicio anterior hubiese sólo cinco puntos, ¿cual es «1 maximo número de líneas que se pueden trazar sin que aparezca una línea cerrada?. Repetir con seis, siete, puntos.



B. Líneas. Intersecciones de líneas. Punto de intersección. Redes poligonal» Relaciones entre puntos, líneas y regiones en una red poligonal.

- Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música
— Nos movemos en grupos.















-Se reparten cuerdas de colores, una por niño. Jugamos con las cuerdas, con el movimiento de las cuerdas.
-Jugamos en grupos. Procuramos que no choquen las cuerdas Procuramos que choquen.
- Formamos, con las cuerdas, una líneacerrada en el suelo, delimitando un territorio. Nos metemos dentro.
-Formamos, con otras cuerdas, o pintando con tiza en el suelo, líneas entre territorios, que seran caminos. Ponemos un camino entre cada dos territorios. Ponemos un aro en cada cruce de caminos. Cuando suene la música nos moveremos dentro de nuestro territorio o si nos apetece, vamos por algún camino hasta otro territorio a bailar en él, con el grupo que allí esta, si nos dejan. Cuando pasemos por un cruce daremos una palmada.

Actividades complementarias

En el ejercicio anterior, buscamos el camino mas corto entre dos territorios. El mas largo, pero pasando sólo una vez por un mismo lugar. Un camino que pase por todos los territorios, y pase sólo una vez por cada lugar.
En la red de caminos anterior contamos el número de cruces que hay, el número de segmentos —camino entre dos puntos—, y el número de regiones —formadas por líneas cerradas.
Sentados en el territorio propio construimos, con cartulina negra y lana de colores, un mural con líneas, cada una de las cuales se cruce varias veces consigo misma. Señalamos los puntos de cruce.
Igual que el anterior, pero con parejas de líneas que se crucen entre sí, que tengan puntos de intersección.
Analogo a los anteriores, pero con parejas de líneas rectas. ¿Cuantos puntos de intersección hay entre cada pareja de líneas rectas?
Analogo al anterior, pero con tríos de líneas rectas. ¿Cuantos puntos de intersección, como maximo, pueden aparecer con tres rectas? ¿Y si por el mismo punto de intersección tienen que pasar las tres rectas? Repetir con cuatro líneas rectas.
¿Cuantos puntos deintersección, segmentos y regiones aparecen ahora?



Noción de superficie. Tipos de superficie. Intersección de superficies: la línea como arista, como intersección de superficies, y el punto como intersección de aristas. Relaciones entre vértices, aristas y caras en los cuerpos geométricos

Nos movemos libremente por el espacio al ritmo de la música.
Nos desplazamos por el aula, tocando y sintiendo los diferentes objetos que encontramos.
Cerramos los ojos y seguimos tocando los objetos, pero nos concentramos en sentir su superficie exterior, la forma que tiene, su rugosidad, sus cambios de dirección, su tamaño Hacemos lo mismo, pero con las paredes, con el suelo Seguimos con los ojos cerrados, tocando la superficie de las paredes y del suelo. Recorremos una pared hasta que choquemos con otra. Palpamos entonces la zona de confluencia de las dos paredes y tratamos de adivinar qué forma tiene. Recorremos también la esquina hacia abajo, hasta el suelo, hasta un rincón, y tratamos de adivinar la forma geométrica de ese rincón. Abrimos los ojos y comprobamos si nuestras intuiciones, si las imagenes que nos habíamos formado, eran correctas.
Volvemos a recorrer todo el espacio de la clase y a tocar los objetos que encontramos en ese espacio, recorriendo su superficie hasta que choquemos con otra o hasta que notemos un cambio brusco de dirección. Buscamos sus entrantes y salientes, sus picos, sus esquinas, sus rincones



Actividades complementarias

— Reconocemos la superficie de los diferentes objetos de la clase. La forma de la superficie —plana o curvada, con entrantes o sin ellos
Se reparten varillas de madera,articulaciones flexibles, telas y pinzas de ropa. Con el material construimos una casa. Señalamos sus paredes, sus esquinas, sus rincones, sus bordes, sus picos
Se reparten cartulinas y gomillas, para construir poliedros troquelados. Se repite el ejercicio anterior con este nuevo material. Se reconocera la forma de las paredes, las partes que componen la superficie de la casa, sus caras. Se reconocera, también, la forma de los bordes o aristas y de los picos o vértices. ¿Cuantas caras, aristas y vértices tiene la casa?
Construir, con el material de la actividad anterior, una figura que tenga seis vértices. Contar el número de sus caras y aristas. Repetir con otras figuras de seis vértices. ¿Encontrais alguna relación entre el número de caras, vértices y aristas?
Repetir la actividad anterior aumentando el número de vértices.
Se reparten cartulinas con formas apropiadas para construir cilindros, conos, troncos de cono, etc. Observar la superficie de estas figuras y compararlas con las de las figuras anteriores. Señalar sus aristas y sus vértices, y compararlos también con los de las figuras anteriores.



La enseñanza de la Geometría en el segundo ciclo de la Educación Primaria

Este ciclo educativo, en el que los niños se encuentran entre los 8-9 y los 11-12 años, es el mas ajustado a la metodología educativa que proponemos.
Por un lado, los niños de estas edades siguen teniendo esas necesidades de juego, de movimiento, de comunicación corporal, que justifican la introducción psicomotriz al aprendizaje geométrico que venimos considerando. Y por otro, los alumnos poseen ya una capacidad de reflexión que lespermite elevarse sobre las situaciones de juego y construir, a partir de ellas, los conceptos geométricos pertinentes.
Ello obliga a un estudio mas minucioso de la propuesta curricular para el ciclo.
La Geometría que consideraremos para este ciclo sera una Geometría inicialmente descriptiva, orientada al conocimiento de las figuras geométricas mas características, sus propiedades fundamentales, las relaciones mas significativas entre ellas y entre sus propiedades,
Propiedades de tipo fundamentalmente afín, no métrico, porque de acuerdo con los estudios de Piaget la construcción de la métrica de la superficie y del volumen exige una estructura lógica mas profunda, para la que hay que esperar al siguiente ciclo escolar. Las figuras deben ser estudiadas de forma dinamica, presentando cada categoría de figura en todas sus formas posibles, en diferentes posiciones, tamaños, etc., para evitar fijaciones mentales incorrectas (tales, como por ejemplo, interiorizar el triangulo isósceles en posición siempre «vertical»). Con ello se ayuda a la consideración lógica, y no meramente perceptiva, de las figuras.
Desde ese punto de vista resultan muy adecuados materiales didacticos como el geoplano o los polígonos y poliedros articulados que permiten variaciones inmediatas de las figuras, una comparación directa entre la figura original y su transformada, etc.
Bajo ese mismo objetivo de realzar las relaciones entre las figuras proponemos el estudio simultaneo de figuras y cuerpos geométricos, es decir, de las Geometrías del plano y del espacio: triangulos y poliedros de caras triangulares; cuadrilateros y poliedros de carascuadrangulares; figuras y cuerpos de revolución;
El conocimiento de las figuras debe incluir el conocimiento de sus regularidades, de sus simetrías —axiales, rotacionales—, lo que lleva al estudio de las correspondientes transformaciones geométricas.
Como temario basico para este ciclo, proponemos los siete primeros bloques tematicos del temario general para toda la E.G.B., considerado en el capítulo II, bloques que, a continuación, se desarrollan de manera pormenorizada.



4.2. NOCIONES GEOMÉTRICAS BASICAS

El desarrollo de esta unidad se plantea aquí de manera similar al previsto para la unidad analoga del primer ciclo de Primaria. Se trata, basicamente, de una unidad de repaso de los conocimientos adquiridos en aquel ciclo, que sirva de fundamento a los conceptos propios de este nuevo período escolar. Naturalmente, se conseguiran niveles superiores de profundidad conceptual. Así, en el estudio de los tipos de líneas y superficies se puede ya iniciar una clasificación lógica de las mismas, dando un significado mas racional, menos perceptivo, a las categorías conceptuales que en aquel ciclo se usaban (líneas rectas, superficies planas, líneas y superficies curvas, líneas y superficies abiertas y cerradas), e introduciendo otras nuevas: concavidad y convexidad; complejidad y simplicidad (existencia o no de líneas y superficies dobles, triples; esto es, existencia o no de puntos de cruce en una línea o de líneas de cruce en una superficie); regularidad o falta de regularidad (sin vértices ni aristas, sin cambios bruscos de dirección o con ellos). Estas clasificaciones, independientemente de la terminologíaque se use para describir las correspondientes categorías conceptuales, deben ser descubiertas por los propios alumnos. Inducidas por el profesor, planteando a los alumnos la comparación de líneas o superficies oportunas en cada caso, pero descubiertas por los alumnos, careciendo de interés el aprendizaje de unas categorías no suficientemente interiorizadas por ellos mismos.
Analogamente ocurrira en el estudio de las figuras y cuerpos geométricos, donde se podra pasar a un analisis mas lógico, menos intuitivo, y hacer verdaderas clasificaciones (polígonos y figuras circulares, poliedros y cuerpos redondos, clasificación de los polígonos por el número de lados, clasificación «U: los triangulos, de los cuadrilateros).
El estudio de la aritmética de las redes lineales podra hacerse de un modo mucho mas completo, haciendo conjeturas mas potentes, encontrando relaciones mas complejas, generalizando los resultados, etc. Veamoslo con algunos ejemplos concretos, similares a otros planteados en el capítulo anterior
Ejercicio: Con dos líneas rectas, ¿cuantos puntos de intersección, como maximo se pueden obtener?, ¿y con tres?, ¿y con cuatro? completa la siguiente tabla:




Los alumnos tienen que empezar por ser capaces de hallar los valores que completan la tabla, lo que no es facil, ya que el ejercicio deja de ser enseguida intuitivamente evidente.
Para la continuación de la tabla puede ayudar el comprender que cada nuevo término, de la segunda fila, viene dado por la suma de los términos interiores de ambas filas
(3 = 2 + 1; 6 = 3 + 3;), lo que tiene una aplicación geométrica, que puede ser útil encontrar.
Coneste dato es posible continuar la tabla. Mas difícil resulta intentar encontrar, directamente, el número de intersecciones correspondientes a un número elevado de líneas, 100 por ejemplo, pues este calculo obliga a una generalización del problema, a encontrar una ley para la relación.
Para ello es importante comprender que los números de la segunda fila corresponden a la suma de los 1, 2, 3, 4,, primeros naturales:
l = 1 , 3 = 1 + 2 , 6 = 1 + 2 + 3 , 10 =1 + 2 + 3 + 4 ,



En términos de la correspondencia existente, puede decirse que a un número de líneas 2, 3, 4,, corresponde un número de intersecciones igual a la suma de los 1, 2, 3,, primeros naturales.
De manera mas condensada, podría escribirse: I(n) = 1 + 2 + 3 + ••• + (n- 1)
donde n es el número de líneas e I(n) el número de intersecciones.
Por consiguiente, el número de intersecciones correspondientes a 100, o a 1000, líneas vendra dado por la suma de los 99, ó 999, primeros naturales.
En definitiva, el problema queda transformado en el calculo de la suma do los n-1 primeros naturales.
El problema puede ser interpretado como un problema de sucesiones, relativo a la suma de los términos de una sucesión aritmética, y dejarlo por excesivamente complejo para los alumnos de este ciclo, retomandolo en otros ciclos educativos posteriores.
Pero también puede intentarse que los alumnos lo resuelvan por procedimientos intuitivos. Por ejemplo, plantear el calculo de la suma de los diez primeros naturales y dar la siguiente pista:
1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5
+ 6) = 5 * 11

Para los veinteprimeros naturales:
1 + 2 + 3 + ••• + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) + (2 + 19) + ••• + (10 + 11) = 10 * 21…

Para los cien primeros naturales: 1 + 2 + ••• + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ••• +
(50 + 51) = 50* 101

Y con estos datos puede quedar resuelto el problema. Un paso mas, que no es de todas maneras necesario, es el de encontrar la relación:
S(n) = 1 + 2 + 3 + ••• + n = n * (n + l)/2
S(10) = 10 * 11/2 = 5 * 11 = 55; S(20) = 20 * 21/2 = 10 * 21 = 210 )

Como es facil de comprender, el problema admite diferentes niveles de resolución, en función de las diferentes capacidades operativas de los alumnos, no teniendo sentido profundizarlo mas alla de lo que éstos sean capaces. De todas maneras, la capacidad operativa de los alumnos, bien orientada, sorprende a veces por su potencia.
En cualquier caso, sirva el problema para advertir la densidad operatoria que pueden alcanzar unas cuestiones tan simples como las relaciones de intersección de puntos y rectas. No sera este el único ejemplo que muestre las posibilidades de la Geometría para el planteamiento de problemas aritméticos, algebraicos, etc., de relativa envergadura. Otro ejercicio analogo sería el siguiente:
¿Cual es el número maximo de regiones en que queda dividida una tarta con n cortes rectilíneos?
Se trata también de un conjunto creciente de líneas (los cortes), pero ahora son segmentos que dividen a una región (la tarta) en partes, también crecientes en número. La resolución del problema es similar a la del caso anterior.
Algunos de los problemas, relativos a esta unidad, contemplados en el capítulo anterior, admiten también niveles superiores deprofundización aritmética, de modo que puede ser interesante considerarlos de nuevo en este ciclo.



4.3. PARALELISMO. ANGULOS. PERPENDICULARIDAD

En esta unidad se plantea el estudio de las relaciones de incidencia entre líneas rectas, entre superficies planas y entre ambas. Es la continuación natural del estudio de las relaciones de incidencia de líneas o superficies (no necesariamente rectas o planas; líneas y superficies genéricas), efectuado en el capítulo anterior.
Del analisis de posibilidades en la incidencia de líneas rectas deriva, en primer lugar, la diferenciación entre paralelismo y convergencia de líneas rectas. El paralelismo aparece, entonces, ligado a una intersección vacía de rectas (aunque caben, naturalmente, otras consideraciones posibles del paralelismo, que apareceran mas tarde: ligado a la igualdad de distancia entre dos rectas, al resultado de aplicar una traslación a una recta dada, etc.).
De la consideración del supuesto contrario al del paralelismo, la convergencia (no vacía) entre líneas rectas, se deriva facilmente la noción de angulo, como la mayor o menor separación que puedan presentar las rectas incidentes. El angulo recto aparece así como un tipo particular de angulo y ligado a él aparece la noción de perpendicularidad.
Considerando relaciones de incidencia entre superficies planas o entre líneas rectas y superficies planas, cabe generalizar las nociones anteriores a un caso mas general de incidencia en el espacio.
No debe creerse, sin embargo, que el pensamiento del alumno recorre éste hilo argumental, claramente deductivo, de forma sencilla y que adquirido, en cada caso, elconjunto de nociones previas necesarias, el salto mental esta asegurado y, ademas, de esa forma lineal que se describe.
En realidad, estas nociones aparentemente tan simples encierran dificultades conceptuales del estilo de las que se señalan al considerar, en el capítulo anterior, las nociones de punto, línea y superficie, nociones aparentemente muy elementales, pero que en realidad son muy complejas, por su elevado nivel de abstracción.
La noción de paralelismo, por ejemplo, es una noción difícil, por la infinitud de la línea recta. Dos segmentos rectos pueden no ser paralelos, aunque no se corten; se cortarían si se prolongaran. Es sólo en el caso de las líneas rectas, infinitamente prolongadas sobre sí mismas, cuando se puede hacer equivaler la no intersección con el paralelismo.
Pero los alumnos de estas edades no captan con facilidad el caracter infinito de la recta. En primer lugar por un problema de fijación mental derivada de sus propias percepciones, toda vez que las representaciones materiales de la línea recta que se encuentran en la vida cotidiana son segmentos rectos, segmentos de longitud finita. Y en segundo lugar por un problema de capacidad lógica, por estar en el periodo llamado por Piaget de «lógica concreta», en el que no cabe la consideración de entidades tan abstractas como la infinitud.
Esta misma dificultad es la que aparece al considerar los angulos. No les resulta facil comprender la independencia del angulo respecto a la longitud de sus lados, en primer lugar por cuestiones de tipo perceptivo, porque el angulo es para ellos la figura concreta dibujada, con dos longitudes concretas para los ladosque aparecen en la figura; y en segundo lugar por ese problema conceptual de la infinitud de la recta que se esta señalando.
Estas dificultades conceptuales se aprecian, con facilidad, al plantear a los alumnos problemas relativos a estas nociones, a efectuar sobre el geoplano. Por ejemplo, construir todos los angulos con vértice común en un determinado punto del geoplano. Se advierte con facilidad cómo para los alumnos angulos iguales, de lados superpuestos,



pero con longitudes diferentes, resultan diferentes y cómo tienen dificultades para aceptar un punto de vista distinto.
En realidad, insistimos, no es sólo la presencia de conceptos tan complejos como la infinitud de la recta lo que dificulta el aprendizaje de estas nociones. Es la misma capacidad lógica de los alumnos, tan pegada a la relación con la realidad material, tan poco preparada para la abstracción, la que dificulta la comprensión de todos estos conceptos.
Es facil entender que para los niños la infinitud de la recta sea una cuestión compleja, pero ¿y que lo sea la misma rectitud, la unidireccionalidad de la recta?
Una experiencia concreta puede ayudar a ver que tampoco la rectitud es un concepto sin dificultades. Al pedir a los alumnos que señalen con gomillas, sobre el geoplano, todas las rectas que pasen por dos puntos dados, es facil que los alumnos respondan situando muchas gomillas entre las dos posiciones elegidas, dado que las dimensiones reales de las puntillas que hacen de vértices del geoplano lo permiten. Al trasladar el ejercicio a un geoplano dibujado sobre la pizarra, con los puntos representados como se hace habitualmente por lahuella de la tiza, tratando de eliminar al maximo su dimensionalidad, algunos alumnos, influidos por el problema anterior, responden dibujando varias líneas rectas entre los dos puntos, aprovechando el pequeño grosor de éstos, haciendo las líneas convenientemente finas.
Hasta aquí es un problema derivado de las diferencias entre las dimensiones teóricas y reales del punto y la recta, que hacen posible estas pequeñas «trampas».
Pero la situación se complica cuando se ajusta el dibujo, presentando los puntos con tan escaso grosor que no cabe dibujar dos rectas, por finas que lean, entre ambos. Algunos alumnos responden entonces introduciendo una cierta curvatura en la rectitud de las líneas, muy leve, pero suficiente para que quepan mas de una.
No tenemos medida la persistencia de este tipo de respuestas en los niños, pero sí sabemos que son frecuentes, lo que nos hace pensar en la debilidad de la construcción conceptual de los alumnos, a estas edades, en este campo. Y ello nos reafirma en la inconsistencia de unos métodos deductivos de enseñanza, que establecen un encadenamiento demasiado lineal, demasiado formal, de los conceptos a aprender y no permiten una asimilación real de los conceptos aprendidos. La construcción mental es, a nuestro juicio, mucho mas compleja y exige retomar constantemente las nociones ya trabajadas, plantearlas en contextos nuevos, relacionarlas con todo tipo de nociones, de situaciones, de problemas, etc., a fin de posibilitar la edificación del edificio lógico- conceptual que permita una integración mas definitiva de esas nociones.
Entrando ya en la didactica concreta de la unidad, se exponen, acontinuación, dos ejemplos de sesiones de psicomotricidad, relativas a dos partes bien diferenciadas de dicha unidad, seguidas ambas de una serie de ejercicios actividades complementarias de clase.



Intersección de líneas. Intersección de líneas rectas. Paralelismo

Nos movemos por el espacio, al ritmo de la música.
Formamos dos grupos. Nos movemos en grupo por todo el espacio.
Seguimos moviéndonos en grupo, pero de acuerdo con las trayectorias que se dibujan
en la pizarra (líneas con puntos de intersección).

(Como se puede apreciar, se trata de que vivencien corporalmente las intersecciones de líneas).

(Se reparten cuerdas de colores, una a cada niño.) Jugamos con las cuerdas, con el movimiento de las cuerdas.
Jugamos con otros. Jugamos a mover las cuerdas juntos, sin chocar. Chocando.

(Nuevamente se vuelve a plantear, mediante el juego, la convergencia de líneas)

Hacemos entre todos un mural, con las cuerdas sobre el suelo. Lo hacemos por parejas. Cada pareja las pone como quiera, chocando o sin chocar, cruzandose o sin cruzarse, con algún punto de contacto o sin él.
(Se reparten varillas de madera, una a cada niño.) Nos movemos, otra vez, al ritmo de la música. Jugamos con los palos, chocandolos y sin chocar.
Hacemos otro mural sobre el suelo, por parejas, con los palos. Cada pareja tiene que hacer una figura original.



Actividades complementarias
— Sobre la pizarra, cada niño dibuja un par de líneas, como quiera. El profesor señala entonces parejas distintas y las hace comparar, con el objetivo de que se distingan las líneas secantes de las que no lo son, las que se cortan de las que no secortan. Progresivamente se va introduciendo la terminología correspondiente. Finalmente plantea clasificaciones dicotómicas, en dos clases, de las parejas de líneas y una de esas clasificaciones debe referirse a la incidencia o no de las líneas de cada pareja. La respuesta espontaneamente correcta de los alumnos es la que debe marcar la finalización del ejercicio o su repetición en formas analogas.
Una vez diferenciadas las líneas secantes de las no secantes, debe plantearse la comparación de la convergencia entre líneas curvas y entre líneas rectas. Se trata de que los niños adviertan y expliciten que la intersección de dos líneas curvas puede comprender varios puntos, mientras que la intersección de dos rectas se limita a uno solo.
Sobre el geoplano, construir el mayor número de líneas rectas que se corten en un punto. ¿Cuantas hay? Resolverlo en geoplanos de números diferentes de puntos.
(Es este un ejercicio interesante, no sólo desde el punto de vista de la realización de conjeturas aritméticas, sino también porque permite iniciar reflexiones geométricas de cierta profundidad, al tratar de diferenciar las posibles líneas rectas que pasan por dicho punto. Induce a iniciar, intuitivamente, la representación cartesiana del punto, el razo- namiento proporcional, etc., modelos conceptuales que se consideraran, con todo propiedad, en el siguiente ciclo escolar, pero que aquí pueden comenzar a conjeturar.)
Preguntar, en el ejerció anterior, qué pasaría si se aumentara mas y mas el número de puntos del geoplano, ¿cual sería el número maximo de rectas posibles?



(Se trata de ir induciendo conjeturas sobre el caracterinfinito del conjunto de puntos y del conjunto de rectas del plano.)
En el geoplano, construir el mayor número de rectas que pasen por dos puntos, ídem por tres, cuatro (discusión sobre el alineamiento o no de estos puntos).
Sobre el geoplano, marcada una recta, construir todas las paralelas a ella. Repetir variando la dirección de la recta inicial y las dimensiones del geoplano. (También da lugar a muchas conjeturas aritméticas y geométricas.)
Construir, con varillas de madera y articulaciones rígidas, cubos de lados 2, 3, 4, divididos en cubos de lado 1. Generalizar la noción de paralelismo al caso tridimensional y pedir, en cada caso, el maximo número de rectas paralelas. Considerar luego las intersecciones entre superficies planas, introducir el paralelismo de superficies planas también por ser vacía la intersección y pedir el número maximo de superficies planas paralelas, en cada caso. Generalizar luego el paralelismo al caso de relación entre una línea recta y una superficie plana, en el espacio, y pedir el número maximo de líneas rectas paralelas a una superficie plana o, al revés, de superficies planas paralelas a una recta, también en cada caso. (Da lugar a muchas conjeturas aritméticas de tipo multiplicativo.)
-Con palillos de dientes, hacer figuras, cada una con dos palillos, dandoles formas distintas, ídem, pero que todas las figuras tengan un punto de contacto, ídem, pero que el punto de contacto sea un extremo.



II. Angulos. Tipos de angulos. Angulo recto. Perpendicularidad

Nos movemos por el espacio, al ritmo de la música.
Buscamos puntos de flexión en el cuerpo y seguimos moviéndonos al ritmo dela música, pero flexionando el cuerpo por esos puntos, formando angulos con el cuerpo.
—— Somos muñecos de alambre. Seguimos flexionando el cuerpo, formando angulos.
Nos ponemos por parejas, uno hace de muñeco y el otro lo mueve, formando angulos entre partes de su cuerpo. Cambiamos después las posiciones.
Sentamos al muñeco en el suelo y lo empujamos hacia delante y detras, haciendo que forme con el tronco y las piernas angulos mas pequeños y angulos mas grandes. Angulo recto, angulos menores que el recto y angulos mayores que el recto.
Hacemos angulos, con los cuerpos, entre los dos miembros de la pareja.
Cada alumno construye, con dos varillas y una articulación flexible, un angulo y juega con él, convirtiéndolo en tijeras, tenazas, una boca, etc.
Hacemos, con varillas de madera, sobre el suelo, un muñeco y reconocemos y contamos sus angulos.

Actividades

Hacemos, con alambre, distintos tipos de angulos y reconocemos sus elementos comunes (vértice, lados) y sus elementos diferenciadores (abertura). Hacemos angulos cada vez mas grandes y cada vez mas pequeños.
Unimos, con gomillas, dos varillas de madera por su centro. ¿Cuantos angulos se forman?, ¿cómo son entre sí?, ¿son todos desiguales?, ¿hay algunos que sean iguales entre sí?, ¿hay alguna posición de las varillas en la que los cuatro angulos sean iguales entre sí? (se introduce la noción de angulo recto).
Se unen dos varillas por uno de sus extremos, y se vuelven a formar diferentes angulos con ellas. Formar un angulo recto. Formar angulos mayores que el recto. Menores que el recto (se introducen las nociones de angulo agudo y obtuso).
Construir, sobreel geoplano, un triangulo. ¿Cuantos angulos tiene?, ¿cómo son? Señala el vértice y los lados de cada angulo. Construye otro triangulo distinto, ¿cuantos angulos tiene?, ¿cómo son?
Construir figuras de tres, cuatro, cinco lados, que tengan angulos rectos. ¿Cual es el número maximo de angulos rectos en cada caso?, ¿existe alguna relación entre el número de lados y el número de angulos rectos?
ídem, con angulos agudos, ídem con angulos obtusos.
Construir angulos sobre el geoplano. ¿Cuantos angulos agudos diferentes se pueden construir?, ¿y en geoplanos mayores? ¿Hay alguna relación entre el número de puntos del geoplano y el número de angulos diferentes que se pueden construir en él?
ídem con angulos obtusos.
(Introducir la noción de perpendicularidad ligada a la de angulo recto.) Formar, con varillas de madera, figuras de dos lados perpendiculares.
Formar figuras de tres, cuatro, cinco lados que tengan al menos un par de lados perpendiculares. ¿Cual es el número maximo de lados perpendiculares en cada caso?,
¿tiene alguna relación con el número de lados?
El ejercicio anterior no obligaba a construir figuras planas, ni convexas, Extenderlo al caso tridimensional, con la maxima generalidad posible.
Construir un cubo. Extender la noción de perpendicularidad a las relaciones entre superficies planas o entre superficies planas y líneas rectas. Reconocer esas relaciones



de perpendicularidad en el cubo y cuantificarlas (¿cuantas superficies hay perpendiculares a un lado?).



4.4. TRIANGULOS. POLIEDROS DE CARAS TRIANGULARES

Se puede iniciar esta unidad repasando la noción de triangulo, los elementosbasicos de un triangulo (vértices, lados y angulos), y algunas de sus propiedades mas sencillas. Propiedades relativas a los angulos (todo triangulo tiene tres angulos, no puede tener mas de un angulo recto). Propiedades relativas a los lados (un lado es siempre menor que la suma de los otros dos). Y propiedades relativas a las relaciones entre lados y angulos (a mayor angulo se opone mayor lado).
Algunas de estas propiedades pueden resultar muy sorprendentes a los alumnos. Por ejemplo, el hecho de que no se pueda construir, con palillos de dientes un triangulo de lados constituidos, respectivamente, por uno, dos y tres palillos. Es decir, al hecho de que no valgan cualesquiera longitudes para formar un triangulo, sino que existan restricciones para esas longitudes. (La discusión sobre este caso de longitudes 1, 2 y 3 ayuda a entender que la distancia en línea recta representa el camino mas corto entre dos puntos.)
El estudio de los triangulos puede ayudar a repasar la noción de angulo, considerada en la unidad didactica anterior. Así, al pedir la construcción de triangulos que tengan un angulo recto, o un angulo obtuso, o dos angulos iguales, etc., se esta utilizando otra vez la noción de angulo, aplicandola en contextos nuevos.
Este repaso es importante, porque la noción de angulo es, como ya se ha indicado anteriormente, difícil de adquirir, sobre todo si el angulo no esta aislado, sino que forma parte de una figura. En este caso el alumno «ve» la figura —triangulo en nuestro caso—
, «ve» los elementos materiales que lo componen, los lados, pero no «ve» los elementos conceptuales abstractos, como los angulos,que se consideran para caracterizarlo.
Como consecuencia de las actividades de construcción de triangulos con características diferentes, respecto a sus lados, respecto a sus angulos, etc., aparece una amplia gama de tipos de triangulos, que procede clasificar y que conviene dejar, efectivamente, que los alumnos clasifiquen, con sus propios criterios, de acuerdo con sus propias intuiciones, porque estos intentos clasificatorios espontaneos dan mucha información sobre el nivel conceptual adquirido por los alumnos sobre las diferentes nociones implicadas.
La consideración de los triangulos equilateros contribuye bastante a la profundización de la noción de angulo, a independizarla de sus lados, de las longitudes de sus lados. La comparación de los angulos de un triangulo equilatero da una primera idea de la igualdad de angulos, y la comparación de angulos respectivamente pertenecientes a dos triangulos equilateros de distinto tamaño (o sea, semejantes) hace ver que en esa igualdad de angulos lo importante es el angulo en sí, su abertura, y no las longitudes de los lados que lo componen.
Naturalmente una cierta dificultad respecto a la noción de angulo subsistira porque la innecesaria consideración de las longitudes de sus lados no sera definitivamente superada hasta que no se comprenda el caracter ilimitado de los lados de los angulos, su condición de semirrectas y no de segmentos. Comprensión que se ve obstaculizada por el hecho de que en la realidad material no aparecen semirrectas, sino segmentos y, lo que es peor, porque en los triangulos los lados del angulo (semirrectas) se confunden con los lados del triangulo(segmentos). Como se viene señalando, la noción de angulo es una noción difícil y sera su paulatina aplicación en contextos variados y de dificultad progresiva la que hara posible, en verdad, su construcción definitiva.
Con el estudio de los triangulos pueden, así mismo, repasarse otras nociones consideradas también en la unidad anterior, como las de paralelismo o perpendicularidad. Por ejemplo, construyendo en el geoplano triangulos con alguna



condición de paralelismo o perpendicularidad (triangulos rectangulos; paralela media de un triangulo, etc.).
Después de analizar los triangulos en sí mismos, sus propiedades, sus tipos, etc., puede pasarse a las relaciones entre los triangulos desde el punto de vista de sus posibles combinaciones para formar otras figuras, primero en el plano (el hexagono regular como combinación de triangulos equilateros; el cuadrado como combinación de triangulos rectangulos, etc.), y después en el espacio (poliedros de caras triangulares: tetraedro, octaedro, bipiramides), o de caras fundamentalmente triangulares (piramides). Estas relaciones entre figuras son importantes, no sólo por el desarrollo de la visión espacial, la intuición geométrica, que provocan, sino por la variedad de propiedades y proposiciones geométricas que inducen y que luego pueden ser retomadas, en el momento apropiado. Piénsese, por ejemplo, en la importancia de las relaciones de composición y descomposición de figuras para el calculo de areas y volúmenes, como un ejemplo paradigmatico de estas afirmaciones. A continuación se expone una sesión de psicomotricidad tipo. En esta sesión se busca fundamentalmente una vivencialúdica de los triangulos y de los poliedros de caras triangulares, antes de entrar en la construcción estrictamente intelectual de los mismos. Así, por ejemplo, el acercamiento lúdico a las piramides, viviéndolas como tiendas de campaña, tiendas de «indios», casas, etc., no impide el acercamiento meramente conceptual posterior a la noción de piramide, sino que, por el contrario, lo facilita al hacer mas asequible, mas cercana, esa noción.

Sesión de psicomotricidad: Noción de triangulo.
Figuras compuestas con triangulos. Poliedros de caras triangulares

Nos movemos por todo el espacio al ritmo de la música.
Nos seguimos moviendo, pero formando figuras con nuestro cuerpo, lo mas originales que podamos. Cuando pare la música nos convertimos en estatuas, nos quedamos quietos en la postura en que nos ha pillado.
Formamos grupos de tres y seguimos jugando a las estatuas.
Se reparten cintas elasticas cerradas, una a cada grupo de tres. Cada grupo juega con su elastico, como quiera.
Nos metemos dentro del elastico y jugamos de nuevo a las estatuas.
Mantenemos tenso el elastico y jugamos con la tensión del mismo, alejandonos, dejandonos llevar por su fuerza
Jugando con la tensión del elastico hacemos figuras de tres lados.
Se reparten varillas de madera de distinta longitudes. Hacemos ahora, con los palos, las mismas figuras que hemos hecho antes con el elastico. - — Construimos figuras de tres lados de distintas formas. — Formamos figuras en el suelo a base de combinar triangulos.
Se reparten articulaciones flexibles. Formamos figuras en el espacio a base de combinar triangulos.

Actividades complementarias

En elgeoplano, construir triangulos de diferentes tipos. ¿Cuantos lados tienen todos?,
¿cuantos vértices?, ¿cuantos angulos?
Construir con tres palillos de dientes todos los tipos posibles de triangulos, ídem con cuatro palillos; con cinco, seis, (un lado puede estar formado por varios palillos alineados).



(Este es un problema que da sorpresas a los alumnos. Por ejemplo, con cuatro palillos no se puede construir un triangulo, es decir, no hay un triangulo cuyos lados midan 1, 1 y 2. Una extensión de este problema es determinar ternas de números que correspondan a las longitudes de los lados y tratar de encontrar una relación entre ellas. Por ejemplo, con 5 palillos se puede formar un triangulo con la terna (1, 2, 2) que origina un triangulo isósceles, pero no con la terna (1, 1,3). Con 6 palillos sirve la terna (2, 2, 2), pero no
sirven las ternas (1, 1, 4) y (1, 2, 3),

Hasta la terna (2, 3, 4) no aparece el primer caso de un triangulo escaleno. Hasta la terna (3, 4, 5) no aparece el primer caso de triangulo rectangulo.)

Construir, sobre un geoplano, todos los tipos posibles de triangulos. Clasificar los triangulos construidos en los ejercicios anteriores.
Construir en el geoplano un triangulo con sus tres lados iguales (comprobar, si hace falta, con una regla la igualdad o desigualdad de sus lados). ¿Por qué no se puede? (introducir aquí geoplanos de malla triangular equilatera o representaciones graficas de los mismos).
Construir en el geoplano todos los triangulos posibles con dos lados iguales (isósceles).
¿Cuantos hay?, ¿cómo son sus angulos?, ¿son iguales?, ¿hay alguno agudo?, ¿recto?,
¿obtuso?, ¿quérelación hay entre los lados iguales y los angulos iguales?
-Construir con varillas de madera triangulos isósceles, con sus lados iguales siempre del mismo tamaño y el lado desigual cada vez mayor. ¿Cómo varia el angulo opuesto a la base? (introducir la noción de altura) ¿hay alguna relación entre la base y la altura?
Construir en el geoplano todos los triangulos posibles con lados desiguales. ¿Cuantos hay?, ¿cómo son sus angulos?, ¿son todos desiguales?, ¿puede haber alguno recto?,
¿obtuso?, ¿hay alguna relación entre el lado mayor y el angulo mayor?, ¿y entre el lado menor y el angulo menor?
Construir en el geoplano un triangulo que tenga sus tres angulos iguales (comprobar, si procede, con un medidor de angulos). ¿Por qué no se puede? Repetir sobre un geoplano de malla triangular. ¿Cómo son los lados?
Construir en el geoplano triangulos que tengan dos angulos iguales. ¿Cómo son sus lados?
Construir en el geoplano triangulos que no tengan ningún angulo igual. ¿Cómo son sus lados?
Construir un triangulo que tenga un angulo recto. Que tenga dos angulos rectos, ¿por qué no se puede?
(Introducir la noción de triangulo rectangulo.) Construir sobre el geoplano todos los triangulos rectangulos posibles. ¿Cuantos hay?, ¿cómo son sus angulos?, ¿hay alguno obtuso?, ¿cual es el angulo mayor?, ¿y el lado mayor?, ¿hay alguna relación entre ellos? (introducir las nociones de hipotenusa y cateto).
Construir en el geoplano un triangulo que tenga un angulo obtuso. Dos angulos obtusos, ¿por qué no se puede?
Construir en el geoplano todos los triangulos que tengan un angulo obtuso. ¿Cómo son sus otros angulos? (introducir lanoción de triangulo obtusangulo).
Construir en un geoplano un triangulo que tenga un solo angulo agudo. ¿Cuantos angulos agudos tiene como mínimo un triangulo? Y el tercer angulo, ¿cómo sera?;
¿puede haber un triangulo con sus tres angulos agudos? (introducir la noción de triangulo acutangulo).



Construir en un geoplano un triangulo equilatero y rectangulo. ¿Por qué no se puede?
Intentarlo sobre una malla triangular. ¿Por qué no se puede tampoco? ¿Cómo son los angulos de un triangulo equilatero?, ¿y los de un triangulo rectangulo?
Construir en el geoplano un triangulo isósceles y rectangulo. Todos los que se puedan.
¿Cuantos hay?, ¿cómo son los catetos?, ¿y sus angulos agudos?, ¿pueden ser iguales?,
¿hay alguna relación entre ellos?, ¿cuando uno de ellos crece, qué le pasa al otro?
Construir un triangulo rectangulo y obtusangulo. Rectangulo y acutangulo, Equilatero e isósceles ¿Por qué no se puede?
Descomponer un triangulo obtusangulo en dos triangulos acutangulos. ¿Por qué no se puede? (Primer acercamiento a la idea de angulos complementarios, a la idea de angulo llano, a la suma de angulos)
— Con varillas de madera y articulaciones flexibles construir triangulos equilateros de distinto tamaño. ¿Cómo son los angulos de estos triangulos entre sí?, ¿cómo son sus lados?, ¿qué importancia tienen las longitudes de los lados del angulo para determinar a éste?
-Construir con palillos de dientes un triangulo equilatero de lado 1, otro de lado 2,
¿Cuantos palillos hacen falta en cada caso? Continuar la tabla y estudiar sus propiedades
Longitud del lado 123 4 -
Número de 3 6 912 •••

Construir con varillas de madera y articulaciones flexibles un triangulo equilatero de lado 1, otro de lado 2. ¿Cuantos triangulos de lado 1 contiene? Otro de lado 3, ¿cuantos de lado 1 contiene? ¿Y los de lado 4, 5, 6,?. Continuar la tabla y estudiar sus propiedades


Longitud del lado
Núm. de triangulo de lado 1
1 2 3 4 …

1 4 9 16…


Construir con varillas de madera y articulaciones flexibles todas las figuras que resulten de componer, en el suelo, dos triangulos equilateros, ídem con 3, 4, 5, triangulos equilateros.




(El problema tiene una formulación muy general. Se pueden componer arista con arista, vértice con vértice, superpuestos)
La sucesión de figuras siguientes, resultantes de componer en fila un conjunto de triangulos equilateros: permite formular la siguiente tabla:



Número de triangulos Número de palillos
1 2 3 4
3 5 7 9


Continuar la tabla. Calcular el número de palillos correspondiente a 10, 100, 1000 triangulos. ¿Qué relación existe entre los números de una y otra fila?
Con las figuras del ejercicio anterior, continuar la tabla y encontrar la relación existente entre los números que aparecen:


Número de triangulos Número de vértices

1 2 3 4

3 4 5 6


En las figuras de los ejercicios anteriores encontrar ahora una relación entre el número de palillos y el número de vértices. (Generalizar a otros tipos de redes.)












Dada la malla triangular equilatera



Determinar el número de caminos posibles para llegar desde el vértice superior a cualquier vértice, siempre desplazandose en sentidodescendente (aparece, lógicamente, el triangulo de Pascal, del cual salen diferentes sucesiones:
1, 3, 6, 10, 15,21,



1, 4, 10, 20, 35,56,
1, 5, 15, 30, 70,126,)
Repetir los problemas anteriores, relativos a triangulos equilateros, con triangulos rectangulos isósceles, ídem con otro tipo de triangulos.
— Componer, con varillas de madera y articulaciones flexibles figuras compuestas de triangulos equilateros, pero en el espacio, no en el plano (poliedros de caras triangulares). Buscar la figura con el menor número de triangulos equilateros y después números paulatinamente crecientes (tetraedro, octaedro, bipiramide pentagonal). - ídem con poliedros troquelados.
Para construir 1, 2, 3 tetraedros regulares, ¿cuantas varillas hacen falta?, ¿cuantas articulaciones se necesitan? Continuar y estudiar la tabla:



Número de tetraedros
1
2
3
4

Número de varillas
6
12
18
24


Número de vértices 4
8 12 16 …




- Repetir el ejercicio anterior aplicado a octaedros, bipiramides,…




CUADRILATEROS. POLIEDROS DE CARAS CUADRILATERAS
Tiene esta unidad un desarrollo formalmente similar al de la anterior: lio de las propiedades elementales de los cuadrilateros, clasificación de Ion mismos, composición de cuadrilateros en el plano y en el espacio
Sin embargo, el estudio adquiere ahora mayor profundidad, porque este nuevo tipo de figuras, los cuadrilateros, incorpora elementos nuevos (diagonal), otras relaciones entre sus elementos (paralelismo o perpendicularidad Mire lados), nuevas posibilidades (cuadrilateros en el espacio, no sólo en el (Muño; concavidad o convexidad).
Conestas nuevas posibilidades los sistemas de clasificación resultan mas ihlortos, mas ricos. La introducción de elementos nuevos, como las diagonal«», incorpora nuevas posibilidades clasificatorias (según que las diagonales se corten o no en su punto medio, perpendicularmente,) Analogamente sucede con las nuevas relaciones entre elementos, que abren la posibilidad de atender no sólo a las relaciones de igualdad o desigualdad entre lados o angulos, sino también al paralelismo, la perpendicularidad, etc.
Es importante no reducir estos sistemas clasificatorios al caso de los cuadrilateros convexos, sino abrirlos a las diferentes posibilidades que comporta esta nueva categoría
de figuras. En niveles educativos en los que, basicamente, se persigue el desarrollo de la intuición espacial, es importante estimular la capacidad para imaginar o reconocer formas cuadrilateras diversas, de manera que no queden fuera de la cultura geométrica formas cuadrilateras tan usuales en la vida cotidiana como la forma de «diabolo» o la
«punta de flecha».

De esta manera se hace menos rígido, menos ligado a la percepción, mas racionalizado, el estudio de los mismos cuadrilateros convexos. Por ejemplo, el concepto de diagonal se hace mas flexible (¿una diagonal ha de ser, necesariamente, interior al correspondiente polígono?), se abren nuevas consideraciones respecto a los angulos (¿los angulos interiores han de ser siempre menores que un llano?), incluso se relativiza la misma noción de cuadrilatero (¿la forma de diabolo, que se puede construir con cuatro varillas de madera, corresponde a un cuadrilatero o a un hexagono?).
Una maneraatractiva de hacer surgir los diferentes tipos de cuadrilateros es pidiendo la construcción de todos los cuadrilateros posibles con varillas de madera, palillos de dientes, etc.… Con varillas de madera y articulaciones flexibles aparecen cuadrilateros tridimensionales. Con palillos de dientes sólo cuadrilateros planos.
Por ejemplo, con cuatro palillos de dientes no hay posibilidad de polígonos cóncavos, sólo cuadrados y rombos. Con 5 palillos aparecen ya los primeros polígonos cóncavos, pero con ciertas restricciones; aparecen también el trapecio isósceles, el trapezoide, etc., etc. En seguida se abren muy variadas posibilidades, de manera que conviene proceder de un modo sistematico, como, por ejemplo, explorando las diferentes cuaternas de números expresivas del entorno del cuadrilatero. Por ejemplo, la cuaterna (1, 1, 1, 3) correspondería un cuadrilatero tal que las longitudes de sus lados fuesen 1, 1, 1 y 3 (tal cuadrilatero no puede existir, por razón analoga a la imposibilidad de existencia del triangulo de lados (1, 1, 2); también en los cuadrilateros, un lado ha de ser menor que la suma de los restantes).



La clasificación de los cuadrilateros es un tema importante, tanto por el valor pedagógico que ofrece a los alumnos, como por la utilidad diagnóstica tic la evolución conceptual de los alumnos que ofrece al profesor.
En el tratamiento tradicional de este problema, se reduce la cuestión a ofrecer a los alumnos un sistema de clasificación ya construido por el profe-r, basado en primer lugar en la relación de paralelismo (según la cual los cuadrilateros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides, segúntengan dos, uno o ningún par de lados paralelos), complementada por otros elementos (los paralelogramos se clasifican, a su vez, atendiendo a las relaciones de igualdad o desigualdad entre sus lados y entre sus angulos; entre los trapecios se distingue algún tipo particular, como el isósceles o el rectangulo, atendiendo a ciertas relaciones entre sus lados y sus angulos). Esa clasificación es buena, porque integra en ella y diferencia las principales categorías de cuadrilateros, las mas regulares (aunque deja indiferenciada, confundida dentro de una categoría muy poco selectiva, a un tipo interesante de cuadrilateros, los «cometas», cuadrilateros cuyos lados son iguales dos a dos, no alternadamente como en los paralelogramos, sino lados consecutivos; son cuadrilateros que presentan simetría y que resultan muy familiares a los alumnos). Pero, aunque buena, es una clasificación que se da, sin mas, a los alumnos, como si fuera una clasificación natural, la única posible. Y, sin embargo, cabe hacerse estas preguntas: ¿por qué se ha de atender primero al paralelismo y no a las relaciones de igualdad y desigualdad entre los lados?, ¿o las relaciones entre sus angulos?, ¿o entre sus diagonales?, ¿Cual es la utilidad de ese sistema de clasificación?
Dado su valor formativo, parece conveniente considerar diferentes sistemas clasificatorios y analizar las posibles ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos, antes de elegir uno concreto.
Por ejemplo, se puede considerar las relaciones de igualdad y desigualdad entre los lados, según tengan los cuatro lados iguales, tres iguales y uno desigual, iguales dos a dos, dos iguales ylos otros dos desiguales, y todos desiguales.
Si se atiende al criterio de que un sistema clasificatorio es bueno cuando sus diferentes categorías se corresponden con figuras que presentan algún tipo de regularidad, el sistema anterior se puede simplificar considerando sólo los posibles casos de que los cuatro lados sean iguales o que sean iguales dos a dos, e incluyendo todos los restantes casos en una misma categoría.
Si se procediese analogamente con los angulos y se construye una tabla de doble entrada, para atender simultaneamente a ambos criterios, resultaría:




Cuatro lados
iguales
Lados dos a dos
iguales
Otros casos
Cuatro angulos
iguales
Cuadrado
Rectangulo
No es posible
Angulos dos a
dos iguales
Rombo
Romboide
Trapecio
isósceles
Otros casos
No es posible
Cometa
Diferentes
posibilidades



manifestandose como un buen sistema clasificatorio, que atiende primero a los lados para señalar las grandes categorías y después a los angulos para las subcategorías. Es un buen sistema clasificatorio porque diferencia como grandes categorías las correspondientes a las figuras mas regulares (tampoco es completo, pues no destaca explícitamente a los trapecios rectangulos; no tiene mayor importancia, en cambio, que no diferencie a los trapecios no isósceles ni rectangulos, que no es una categoría muy interesante, aunque sea utilizada por el sistema habitual).
Este sistema clasificatorio pone de relieve, ademas, algunos teoremas geométricos importantes (como que si un cuadrilatero tiene sus cuatro angulos iguales tiene que tener sus cuatro lados iguales dos a dos, cuando menos; si tiene sus cuatrolados iguales ha de tener sus angulos iguales dos a dos, cuando menos, etc.) teoremas que expresan propiedades geométricas que los alumnos deben conocer y, mas tarde, intentar explicar.
De esta manera se habra construido un sistema clasificatorio alternativo al habitual, igualmente valido.
De forma parecida se podrían estudiar otros sistemas clasificatorios también interesantes, atendiendo, por ejemplo, a la simetría de las figuras, a las relaciones entre sus diagonales, etc., así como buscar relaciones entre los distintos sistemas, lo que da mucha profundidad al conocimiento sobre los cuadrilateros.
Otro campo importante de estudio es el de composiciones y descomposiciones posibles de cuadrilateros, bien en el plano, bien en el espacio, en principio con criterios plasticos, y después con criterios geométricos.
En el caso plano resultan las combinaciones a base de cuadrados, que pueden dar lugar a figuras de gran belleza plastica, a ciertas combinaciones de bastante caracter lúdico (los poliminós, por ejemplo), y a las redes cuadradas, con toda su aritmética subyacente.
Pueden considerarse también las figuras resultantes de la descomposición del cuadrado, que dan lugar a relaciones geométricas muy formativas. Una descomposición particularmente importante es la que da lugar al juego del tangram, que supone, por sí misma, toda una línea de trabajo, dado el elevado grado de exploración de sus posibilidades de que se dispone.
En el caso tridimensional, las combinaciones de los cuadrilateros hacen destacar a poliedros como los prismas, el cubo, etc. El cubo presenta, como el cuadrado, variadas posibilidades didacticas. Porejemplo, las redes cúbicas; la aritmética de las redes cúbicas; las combinaciones de cubos (policubos); los desarrollos modulares del cubo; juegos analogos al tangram, ahora en el espacio, como el soma, etc.



Sesión de psicomotricidad

— Nos movemos por el espacio, al ritmo de la música.
Formamos grupos de cuatro. Nos seguimos moviendo al ritmo de la música, pero ahora en grupo.
Se reparten cintas elasticas cerradas, una por grupo. Jugamos con la cinta elastica.
Nos metemos dentro de la cinta elastica y formamos figuras, al ritmo de la música.
Hacemos figuras de cuatro lados.
Se reparten varillas de madera. Hacemos con los palos, sobre el suelo, las figuras que hemos formado antes.
Formamos, con los palos, figuras que resulten de componer cuadrados.
Se reparten articulaciones rígidas. Hacemos figuras, en el espacio, resultantes de componer cuadrados.
Se reparten telas. Cubrimos las construcciones con telas, haciendo casas.

Actividades complementarías

En el geoplano construir figuras de cuatro lados (cuadrilateros) de diferentes tipos.
¿Cuantos vértices tienen?, ¿cuantos angulos?, ¿cuantos lados? Trazar líneas rectas que unan vértices no consecutivos (diagonales), ¿cuantas diagonales tienen todos?
Construir con cuatro palillos de dientes todos los tipos de cuadrilateros posibles, ídem con cinco, seis palillos.
Clasificar, con distintos criterios, los diferentes cuadrilateros construidos en el ejercicio anterior.
Construir en el geoplano cuadrilateros que tengan todos sus lados iguales. Ademas de los cuadrados, ¿encuentras algún otro tipo de cuadrilatero? (rombo). ¿Qué diferencias encuentrasentre el cuadrado y el rombo?, ¿cómo son los angulos del cuadrado?, ¿y los del rombo?, ¿qué relaciones encuentras entre los lados del cuadrado?, ¿y entre los del rombo? ¿Cómo son las diagonales del cuadrado?, ¿y las del rombo?
Construir en el geoplano todos los cuadrados de lado 1 (explicar el significado) Hacerlo para geoplanos de dimensiones distintas y continuar la tabla:

Núm. de puntos por fila en el geoplano Núm. de cuadrados
2 3 4
1 4 9 16


¿Qué relación hay entre los número de ambas filas?
- Repetir el ejercicio anterior para cuadrados de lado 2. Ídem para cuadrados de lados 3, 4, 5,
- Repetir calculando el número total de cuadrados.
- Repetir el ejercicio anterior pero con rombos, en lugar de con cuadrados.
- Construir en el geoplano 5x5 todos los cuadrilateros posibles que tengan tres lados iguales entre sí y el cuarto desigual. ¿Cuantos hay? Repetir en geoplanos 6x6, 7x7,
- Construir cuadrilateros que tengan los lados iguales dos a dos. ¿Cuantos tipos diferentes encuentras?
- Construir un cuadrilatero que tenga sus lados iguales dos a dos y todos sus angulos iguales (rectangulo). Construir un cuadrilatero con sus lados iguales dos a dos y tres de sus angulos iguales. Con lados iguales dos a dos y angulos iguales dos a dos. Etc.
(En esta misma línea se pueden plantear una variedad muy grande de problemas que vayan siguiendo implícitamente la clasificación de los cuadrilateros de acuerdo con las relaciones de igualdad y desigualdad entre sus lados y sus angulos comentadas anteriormente. Analogamente para otros criterios clasificatorios.



El objetivo basico de estos problemas es irfacilitando, implícitamente, el descubrimiento por los alumnos de los diferentes tipos de cuadrilateros, los sistemas de clasificación, las propiedades mas significativas de cada tipo de cuadrilatero, etc.
Paralelamente se pueden plantear ejercicios de tipo aritmético, al intentar calcular el número total de cuadrilateros de cada clase que se pueden construir en el geoplano, en geoplanos de dimensiones variables.
Ligados a las redes cuadradas que aparecen en estos ejercicios, surgen de manera natural los números cuadrados, que obtienen así un doble significado, aritmético y geométrico.)
Construir con palillos de dientes un cuadrado de lado 1. ¿Cuantos palillos se necesitan?
¿Y para un cuadrado de lado 2, 3,? Completa la siguiente tabla y estudia sus propiedades:
Longitud del lado 1 2 3 4
Número de palillos 4 8 12 16


(Evidentemente es la tabla de multiplicar por cuatro. En el geoplano se podría haber obtenido de forma analoga substituyendo el número de palillos por el número de gomillas necesarias.)
Construir con palillos de dientes un cuadrado de lado 1, otro de lado 2 y dentro de éste cuatro de lado 1. Construir otro cuadrado de lado 3 y en su interior nueve de lado 1. Continuar con los cuadrados de lados 4, 5,





Completar la tabla siguiente:
Longitud del lado 1 2 3 4
Número de cuadrados | 1 4 9 16
(Da lugar a la aparición de los números cuadrados.)

En la sucesión de figuras

resultante de componer cuadrados a lo largo de una fila, completar la tabla y encontrar relaciones entre los números de las diferentes filas:
Número de cuadrados
1
2
3
4
Número de aristas
4
7
10
13

Número de vértices
4
6
8
12



Generalizar los ejercicios anteriores a otros tipos de redes cuadradas.
En los geoplanos 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4,, formar todos los triangulos posibles. Comparar la cantidad de superficie de cada uno de ellos con la del cuadrado de lado 1 (mitad, tercio, doble, triple). Representar numéricamente esas cantidades (1/2, 1/3,). Compararlas, asimismo, con la cantidad de superficie del cuadrado de lados, 2, 3 (es un ejercicio interesante, que inicia el problema de la medida de superficies, que sera desarrollado de modo mas completo en el ciclo superior).



Construir sobre el geoplano un rectangulo. Señalar su diagonal. ¿A cuantos cuadrados de lado 1 corta? Dar valores numéricos a la cantidad de superficie de cada triangulo que se forme.

Generalizar la situación a diferentes rectangulos. (Este ejercicio es muy interesante por la cantidad de relaciones aritméticas que implica):

Llamaremos dominó, triminó, tetraminó,, y en general poliminó a una figura resultante de unir varios cuadrados iguales por sus lados.
Encontrar todos los tipos posibles de poliminós de los diferentes órdenes. ¿Existe alguna relación entre el número de poliminós de un cierto orden y el número que expresa ese orden?
Encontrar diferentes descomposiciones de un cuadrado en poliminós de un mismo orden, ídem para un rectangulo.




Dada la descomposición del cuadrado, sugerida por la figura


Construir otras figuras mediante composición de las partes del cuadrado. (Es el juego del tangram. A sus muy variadas posibilidades nos remitimos.)
Encontrar diferentestipos de figuras que correspondan a la cuarta parte de un cuadrado.

(Problema muy abierto, puesto que no precisa el sentido concreto de la expresión
«cuarta parte de un cuadrado». Una primera aproximación es la determinación de figuras «iguales» cuya superficie sea la cuarta parte de la del cuadrado. Posteriormente puede suprimirse esa condición de igualdad de las figuras y mantener sólo la equivalencia. Ya la primera forma de abordar el problema es suficientemente abierta, dado que existe una infinidad de posibilidades de cortar mediante rectas las cuatro partes iguales, o mediante cuatro curvas La segunda forma abre una línea interesante, como es la de equivalencia de figuras desde el punto de vista de su equisuperficialidad, línea que puede ser aprovechada en la unidad tematica siguiente, en el estudio de mosai- cos, en el estudio de las transformaciones equisuperficiales de los mosaicos.)
Combinar cubos de lado 1 para formar cubos de lados 2, 3, 4, ¿Cuantos se necesitan en cada caso? Continuar y estudiar la correspondiente tabla (tabla de números cúbicos). Componer cubos iguales, en número creciente, buscando las diferentes formas posibles (la composición se hara inicialmente pegando caras, con lo que resultaran los policubos. Explorar después otras posibilidades).



Componer figuras con policubos del mismo orden, buscando diferentes posibilidades, ídem con policubos de órdenes distintos. Intentar formar un cubo.
Descomponer un cubo en dos policubos iguales, de todas las maneras posibles, ídem en cuatro policubos iguales.



4.6. OTROS POLÍGONOS Y POLIEDROS. POLÍGONOS Y POLIEDROS REGULARES

En estaunidad se generaliza el estudio de los polígonos y poliedros iniciado en las unidades anteriores, al caso de polígonos y poliedros de un número cualquiera de lados y caras.
Se considera, entonces, la posible extensión al caso general de propiedades observadas en los polígonos y poliedros, propiedades relativas a lados, angulos, diagonales,
Así, por ejemplo, se puede reconocer la igualdad numérica entre vértices y lados en los polígonos, las relaciones numéricas existentes entre vértices, aristas y caras en los poliedros; la existencia de relaciones entre las longitudes de los lados de los polígonos y, así mismo, entre las cantidades de superficie de las caras de los poliedros; la posibilidad de dividir un polígono en tantos triangulos como lados tiene y un poliedro en tantas piramides como caras; la posibilidad de relacionar el número de diagonales de un polígono con el número de sus lados
El problema de la clasificación general de los polígonos puede abordarse desde diferentes puntos de vista, ademas de la habitual por el número de lados. Puede, por ejemplo, hacerse la clasificación atendiendo al número de angulos rectos (lo que da lugar a interesantes conjeturas geométricas), a las relaciones de igualdad entre sus angulos, a las relaciones de paralelismo entre sus lados Una interesante categoría de polígonos es, por ejemplo, la de los polígonos equiangulos, que resultan ser polígonos de lados paralelos dos a dos (inversamente: ¿es equiangulo un polígono de lados paralelos dos a dos?, ¿cuando lo es?)
De todas maneras, dada la extrema generalidad de tipos de polígonos y poliedros, es aconsejable acotar el estudioal caso de polígonos y poliedros regulares.
La regularidad de los polígonos y poliedros es causa de la belleza plastica de las figuras y cuerpos que pueden crearse con ellos, de manera que el estudio de las combinaciones de polígonos y poliedros, de claro valor geométrico, puede ser inducido a partir de construcciones de valor plastico.
Se estudiaran, así, entre otras posibles creaciones plasticas, los mosaicos, comenzando por los mosaicos regulares y semirregulares, que conduciran de modo natural a los poliedros regulares y semirregulares, al extender la combinación de polígonos al caso tridimensional.
Ademas de los polígonos y poliedros regulares convexos, se consideraran también los polígonos y poliedros regulares estrellados. Los primeros surgiran de considerar relaciones entre las diagonales de los polígonos regulares convexos, los segundos de una generalización de estas relaciones.
La combinación de polígonos regulares iguales para formar mosaicos regulares esta limitada al caso de cuadrados, triangulos equilateros y hexagonos regulares (lo que en estos niveles no puede justificarse inicialmente mas que de forma experimental). Sin embargo, las redes triangulares y cuadrangulares correspondientes puede enriquecerse extraordinariamente, considerando motivos plasticos en las celdas unidad de la red, jugando con la forma, y con el color, haciendo transformaciones equisuperficiales de la celda unidad, etc., de manera que sobre las dos redes basicas, triangular y cuadrada, pueden crearse infinidad de mosaicos diferentes. Del mismo modo se puede enriquecer la creación de mosaicos semirregulares.
En el espacio, laúnica red regular posible es la cúbica, pues no es posible una red tetraédrica. Pero pueden generarse diferentes estructuras modulares jugando con las transformaciones del módulo unidad, en la misma forma que en el caso plano.



Esta es una unidad de un altísimo valor lúdico, que puede ser iniciado desde el juego psicomotriz, con poliedros «gigantes», de tamaño apropiado para el juego corporal (incluso en el interior del poliedro). El juego con el icosaedro, por ejemplo, resulta de una riqueza lúdica extraordinaria, dada su facilidad para cambiar de posición, para rodar, para girar, etc., sin desmontarse, como consecuencia de la estabilidad de su estructura.
La sesión de psicomotricidad puede ser planteada en términos de juego libre con estos poliedros regulares, bien a partir de las construcciones espontaneas de los propios alumnos (caso del cubo y del tetraedro), bien con modelos ofrecidos por el profesor (caso del icosaedro). Lo verdaderamente interesante es ese primer contacto lúdico con estos poliedros, el descubrimiento espontaneo de sus primeras propiedades a partir del juego, propiedades que luego podran ser profundizadas desde otras situaciones de aprendizaje, mas apropiadas para la reflexión individual.

Actividades complementarias

Construir con cinco varillas de madera iguales y articulaciones flexibles, tipos diferentes de polígonos de cinco lados (pentagonos). Reconocer sus analogías (todos tienen cinco lados, cinco vértices, cinco angulos, cinco diagonales). Reconocer sus diferencias (unos son cóncavos y otros convexos; unos son regulares y otros no).
Construir en el geoplano tipos diferentesde pentagonos. Clasificarlos. Construir en el geoplano tipos diferentes de pentagonos que tengan un angulo recto. Ídem con dos angulos rectos. Con el mayor número posible de angulos rectos.
-Construir en el geoplano un pentagono. Construir todos los tipos diferentes de pentagonos que tengan los angulos iguales que aquél.
Con palillos de dientes construir la siguiente combinación de figuras:





Continuar las tablas siguientes y estudiar sus propiedades:



Longitud del lado 1 2 3
Núm. total de palillos 5 10 15



Núm. de pentagonos en la
1
2
3
Num. total de palillos en la
5
13
24
Núm. total de vértices en la
5
9
13

Construir sobre el geoplano pentagonos que resulten de componer tres triangulos isósceles. Tres triangulos rectangulos. Un cuadrado y un triangulo isósceles, Construir, en cada caso, el mayor número posible de pentagonos
Generalizar los ejercicios anteriores al caso de polígonos de 6, 7, 8 lados.

Construir, con varillas de madera y articulaciones flexibles, polígonos que tengan todos sus lados iguales y todos sus angulos iguales (polígonos regulares). Dar estabilidad a la construcción, cuando sea necesario, colocando diagonales (elegir las longitudes apropiadas). ¿Cómo son estas diagonales entre sí?
Descomponer los diferentes tipos de polígonos regulares como combinaciones de triangulos isósceles, paralelogramos o trapecios.
En la sucesión de figuras:






completar y estudiar la tabla
Núm. de hexagonos 1 2 3

Núm. de vértices
6
10
14
Núm. de aristas
6
11
16


Componer figuras mediante la combinación de polígonosregulares iguales, polígonos regulares de dos tipos diferentes, de varios, jugando con la repetición de un motivo, introduciendo variaciones a partir del color (mosaicos).

Combinar polígonos regulares de la misma clase para formar poliedros, buscando la regularidad de la figura resultante (los polígonos regulares como caras de los poliedros regulares).

Combinar polígonos regulares de distinta clase para formar poliedros. Buscar la regularidad de la figura resultante (poliedros semirregulares).



4.7. LA CIRCUNFERENCIA. FIGURAS Y CUERPOS REDONDOS
Estudiados los polígonos regulares, procede considerar ahora la circunferencia, que presenta una relación muy estrecha con ellos.
La circunferencia se estudia como lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno dado, y como trayectoria del movimiento seguido al recorrer esos puntos. Pero ese movimiento no se reconoce aún como giro, al menos de forma explícita. No se estudia aún el giro (para después reconocer la circunferencia como un efecto de ese giro), lo que se hara en la unidad siguiente. Se parte simplemente del reconocimiento de la circunferencia y del círculo, como figuras ya dadas, habituales en la vida cotidiana, que empiezan a ser analizadas, desde sus elementos, sus propiedades.
Algo analogo se hace con los cuerpos redondos, que en la unidad siguiente se estudian como cuerpos de revolución, pero que aquí simplemente se consideran como figuras dadas en sí mismas.
El estudio de la circunferencia puede ser precedido de una amplia fase de juego psicomotriz y de actividades complementarias en el salón de psicomotricidad, toda vez que la circunferencia puederesultar de juegos relativos a la proximidad, mediante la consigna «situarse todos igual de cerca de A, a la misma distancia de A».
De la división regular de la circunferencia (que puede plantearse ya en las sesiones de psicomotricidad), pueden hacerse derivar directamente los polígonos regulares, la inscripción y circunscripción entre polígonos regulares y circunferencia, el estudio de los angulos en la circunferencia, la generalización de la idea de angulo,
La consideración de las relaciones entre circunferencia (tangencia, intersecciones, concentricidad, etc.) dan lugar a construcciones geométricas con un fuerte caracter plastico.
De la división regular de la circunferencia (que puede plantearse desde las mismas sesiones de psicomotricidad), pueden hacerse derivar los polígonos regulares, la inscripción y circunscripción entre polígonos regulares y circunferencia, el estudio de los angulos en la circunferencia
De la circunferencia se puede pasar al estudio de los cuerpos redondos, a nivel de mero reconocimiento de las relaciones existentes entre aquélla y éstos, en continuidad con la línea de trabajo emprendida de relacionar permanentemente las geometrías del plano y del espacio.




Posteriormente, se pueden considerar, también, las relaciones existentes entre los poliedros y los cuerpos redondos.
Se describe, a continuación, una sesión de psicomotricidad y se detallan las correspondientes actividades complementarias.



Iniciación a la circunferencia
Nos movemos libremente por el espacio.
Nos movemos cerca del suelo. Lejos del suelo.
Cerca de la puerta. Lejos de la puerta.
Cerca de un compañero.Lejos de ese compañero.
Cerca de todos. Lejos de todos.
Cerca de «X» (un alumno señalado). Lejos de «X». Ni cerca ni lejos de «X», pero todos a la misma distancia.
Jugamos con la distancia a «X». Nos acercamos y nos alejamos, pero manteniendo todos la misma distancia respecto a él.
Nos volvemos a mover libremente por el espacio.
(Se pone una tablilla en el suelo.) Nos movemos por donde queramos, pero siempre a la misma distancia de la tablilla.
Nos movemos a la misma distancia de la tablilla. Tratamos de acompasar nuestros movimientos, buscando un movimiento único del grupo alrededor de la tablilla. Se trata de iniciar el conocimiento de la circunferencia, presentandola en forma estatica, como conjunto de puntos a igual distancia de uno dado, y en forma dinamica, como trayectoria del movimiento que conserva la distancia a un punto dado.
Actividades complementarias
Colocarse todos a igual distancia de un punto marcado en el suelo.
Comprobar la igualdad de distancias a ese punto. Discutir procedimientos para comprobar la igualdad.
Moverse todos alrededor del punto central, conservando la distancia respecto a él. Dibujar la trayectoria seguida en el movimiento. Discutir procedimientos para dibujar correctamente esa trayectoria.
-Moverse libremente por el espacio, pero con la condición de estar siempre a menos de cinco metros de un punto, ídem a mas de cinco metros, ídem a cinco metros. Delimitar sobre el suelo los recorridos posibles.
Moverse por el espacio, a menos de tres metros de un punto A, y a menos de cuatro metros de otro punto B. Delimitar la zona de movimiento. Repetir el ejercicio situando los puntos A y Bseparados menos de siete metros, exactamente a siete metros, a mas de siete metros. Discutir las diferentes posibilidades del ejercicio.
Con los puntos del ejercicio anterior, situarse a menos de tres metros de A, y a mas de cuatro metros de B. A menos de 4 m de B y a mas de de 3 m de A. A mas de 3 m de A y mas de 4 m de B.
Situarse a mas de 2 m de un punto P, y a menos de 5 m del mismo. Delimitar en el suelo la zona de movimiento.
Analizar, con ayuda de aros de distintos tamaños, las posiciones relativas posibles entre dos circunferencias.
Con ayuda del compas, dibujar en papel distintos tipos de circunferencias.
Dibujar en papel circunferencias secantes y no secantes, tangentes, interiores, concéntricas (introducir previamente los conceptos, en relación con los ejercicios anteriores).
Dibujar circunferencias iguales que pasen todas por un mismo punto. ¿Qué figura determinan los centros de esas circunferencias?
Situarse en el espacio, a igual distancia de dos puntos dados. Ocupar todas las posiciones posibles y moverse por todas ellas. Representar sobre el suelo la trayectoria seguida en el movimiento. ¿Qué relación hay entre la línea que expresa esa trayectoria y el segmento recto que une aquellos dos puntos? (introducción a la noción de mediatriz).



-Tratar de encontrar un procedimiento para hallar, con ayuda del compas, un punto que esté a igual distancia de otros dos puntos dados, ídem para hallar varios, ídem para hallar la mediatriz.
(Si no encontraran el procedimiento, plantear como ejercicio previo el dibujar dos circunferencias iguales secantes y preguntar por la relación de los puntos deintersección de ambas circunferencias con sus centros.)
Dibujar un triangulo isósceles. Dibujar un triangulo equilatero.
-Dibujar diferentes circunferencias que pasen por dos puntos dados. ¿Qué figura forman los centros de todas las circunferencias que pasan por dichos puntos? Rehacer el problema, construyendo primero la línea de centros.
Dibujar dos circunferencias tangentes. Unir sus centros mediante un segmento. ¿Qué relación tienen los centros de ambas circunferencias con el punto de tangencia?, ¿cómo son sus distancias a ese punto? Rehacer otra vez el problema, tratando de encontrar un procedimiento sistematico para resolverlo.
Dibujar diferentes circunferencias iguales tangentes a una dada, ¿Qué línea determinan los centros de todas las circunferencias tangentes a una dada?
-Con ayuda de una moneda, dibujar tres circunferencias iguales tangentes entre sí (tangentes dos a dos). ¿Qué figura se formara al unir los centros de estas circunferencias?
De acuerdo con la conjetura del problema anterior, dibujar, con ayuda del compas, tres circunferencias iguales tangentes entre sí.
-Dibujar todas las circunferencias posibles iguales y tangentes a una dada. ¿Cuantas hay?, ¿qué figura resulta de unir sus centros con segmentos rectos?
Con ayuda de una moneda, dibujar el mayor número de circunferencias iguales y tangentes a una circunferencia dada. Después, todas las circunferencias tangentes a cada dos circunferencias de las anteriores. Después todas las circunferencias tangentes a cada dos nuevas circunferencias tangentes, y así sucesivamente. ¿Cuantas circunferencias hay en cada nuevo conjunto de circunferencias? Estudiar ycompletar la siguiente tabla:

Orden» del piso 1 2 3 …

Núm. de circunferencias tangentes 6 12 18 …



Dibujar una circunferencia sobre papel. Recortar una parte del círculo correspondiente, mediante un corte rectilíneo. Dar otros cortes rectilíneos de igual longitud. Comparar las partes resultantes en esos cortes. (Introducir la noción de cuerda y segmento circular. El ejercicio sugiere que cuerdas iguales determinan segmentos circulares iguales.)
Dividir un círculo en dos partes iguales (introducir la noción de diametro, como cuerda maxima, o como cuerda que pasa por el centro).
Dividir una circunferencia en cuatro partes iguales. Dividir un círculo en cuatro partes iguales. Discutir distintos procedimientos posibles, con ayuda de regla y compas, mediante plegado
Dividir una circunferencia en partes mediante cortes rectos que pasen por el centro.
Continuar la tabla y estudiar sus propiedades:

Núm. de cortes 1 2 3

Núm. de trozos 2 4 6



Dividir una circunferencia sobre el suelo. Dividirla en parte iguales. Al recorrer media circunferencia se da media vuelta. Al recorrerla entera se dan dos medias vueltas. Al recorrerla dos veces se dan cuatro medias vueltas Continuar la tabla y estudiar sus propiedades:
Núm. de vueltas


Núm. de medias vueltas
1 2 3
2 4 6

Dividir la circunferencia en cuatro partes iguales. ¿Cuantos cuartos de vuelta se dan al dar 1, 2, 3,, vueltas sobre la circunferencia? Continuar y estudiar la tabla:
Núm. de vueltas mas un cuarto


Núm. de cuartos de vuelta
5 9 13

Al dar dos vueltas y un cuarto, ¿cuantos cuartos de vuelta se dan?; ¿y en tresvueltas y un cuarto? Continuar y estudiar la tabla:
Núm. de vueltas mas un cuarto


Núm. de cuartos de vuelta
1 2
5 9 13

Dibujar una circunferencia en el suelo. Con dos varillas de madera y una articulación flexible, construir un angulo variable con vértice en el centro de la circunferencia. Mantener uno de los lados del angulo fijo, y girar el otro un cuarto de vuelta, ¿qué angulo forman?, ¿y girando dos cuartos de vuelta?, ¿y girando tres, cuatro, cinco, cuartos de vuelta? (sirve para generalizar la noción de angulo).
-Dividir una circunferencia en ocho partes iguales. Generalizar los problemas anteriores a este caso.
(La división en ocho partes iguales puede hacerse continuando con la idea de mediatriz. La tabla de multiplicar que resulta es la del ocho. El angulo recto que antes aparecía como un cuarto de vuelta, ahora aparece como dos octavos, el llano, que aparecía como media vuelta y como dos rectos, aparece ahora como cuatro octavos de vuelta. Estan así poniéndose las bases naturales para la introducción de la equivalencia de fracciones.)
Dividir una circunferencia en cuatro partes iguales. Unir los puntos de corte con segmentos rectos. ¿Qué figura resulta? Señalar las diagonales. ¿En qué punto se cortan?, ¿cuantos triangulos resultan?, ¿cómo son esos triangulos?, ¿cuanto valen sus angulos? (Proceder analogamente con otros números de partes iguales, haciendo en su caso una división aproximada.)

Formar grupos de seis alumnos. Cada grupo de alumnos se reparte regularmente sobre una circunferencia dibujada en el suelo, dividiéndola en partes iguales. Cada alumno pasa la pelota al de al lado (elegir elsentido de giro), éste al siguiente, y así sucesivamente. ¿Qué figura forma la trayectoria de la pelota?, ¿y si cada alumno la envía al siguiente del siguiente?, ¿y si la envía al tercero después de él?, ¿y al cuarto?, ¿y al quinto? Representar graficamente las situaciones de juego. Generalizar el enunciado a las diferentes situaciones de división regular de la circunferencia en siete, ocho, partes (polígonos regulares y estrellados).
Dado un cuadrado, dibujar una circunferencia que pase por sus cuatro vértices, ídem para un hexagono y un octógono. Generalizar a otros polígonos.
Dado un triangulo equilatero, dibujar una circunferencia interior que sea tangente a sus tres lados, ídem para un cuadrado y otros polígonos regulares.
Calcular, en fracciones de vuelta, los angulos centrales de un polígono regular (introducir previamente la noción de angulo central).
Obtener figuras derivadas del círculo.



(Se trata de un enunciado muy abierto que se puede orientar mas todavía. Por ejemplo, puede precederse componiendo círculos. O partiendo círculos. O buscando intersecciones del círculo con otras figuras Es un problema con una clara dimensión plastica.)
Generar con varillas rectas y varillas curvas (flexibles) figuras que representen cilindros, conos, troncos de cono, etc. Generar, con varilla flexibles, figuras que representen esferas.
Construir, con varillas de madera y articulaciones flexibles, piramides cuyas bases sean polígonos regulares con número creciente de lados.
Analogo enunciado para la relación entre el cilindro y los prismas.
Construir diferentes poliedros regulares y semirregulares y relacionarloscon la esfera.
(Se trata de inducir una relación semejante a la que existe entre los polígonos regulares y la circunferencia, a la progresiva aproximación a la circunferencia desde los polígonos regulares.)
Formar con esferas (pelotas de tenis, de ping-pong, de corcho sintético), un apliamiento constituido en cada piso por filas de 1, 2, 3,4,, esferas. Continuar y estudiar la correspondiente tabla:
Número de fila

1 2 3 4
Número
de
1 4 10 20

Estudiar otros apilamientos posibles. Estudiar en cada apilamiento diferentes cuestiones: número de intersecciones, número de esferas en diferentes direcciones, número de esferas por piso

Estudiar, con vasijas de formas apropiadas, llenas parcialmente de líquido, las secciones planas del cilindro, el cono y la esfera (mediante los movimientos apropiados aplicados a las vasijas, las secciones vienen dadas por la forma de la superficie del líquido en cada caso).

Obtener, con esferas de corcho sintético, figuras derivadas de la esfera (analogamente al caso del círculo.)



4.8. REGULARIDADES EN LAS FIGURAS. INICIACIÓN AL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS
Se plantea este bloque con el objetivo de iniciar el estudio de los movimientos y de aplicarlo al estudio de las regularidades de las figuras.
Se comienza la unidad planteando el estudio de los giros, a partir de los objetos del entorno; el estudio de los giros en el plano; reconocimiento de figuras con simetría rotacional; construcción plastica de rosetones, etcPosteriormente se generaliza al caso de los giros en el espacio.
El estudio de las simetrías rotacionales se aplica, en particular, a unconocimiento mas profundo de los polígonos y poliedros regulares y semirregulares.
Se estudian después las simetrías axiales y especulares, mediante la utilización de espejos, recortando sobre papel plegado, etc. Se reconocen las simetrías en las figuras y cuerpos geométricos, apareciendo figuras simétricas de diferentes órdenes de simetría, en función del mayor o menor número de ejes o planos de simetría presentes. En particular se estudian las simetrías de los polígonos y poliedros regulares y semirregulares.
Con ayuda del libro de espejos (un par de espejos formando un angulo diedro variable), se pueden relacionar las simetrías axiales y rotacionales, ya que dando a los
espejos angulos fracción de un llano, pueden originarse figuras dotadas de simetría
rotacional, de distintos órdenes. Analogamente, recortando sobre papel plegado, dando las dobleces oportunas en forma y número.
Las figuras y cuerpos de revolución pueden aparecer entonces como figuras dotadas de infinitos ejes o planos de simetría, que es lo que les proporciona una regularidad completa, lo que se traduce en unas condiciones óptimas para la rodadura.
Si los espejos se disponen paralelamente entre sí, y entre ellos se coloca una figura simétrica, aparecen tipos sencillos de frisos, iniciandose así una consideración intuitiva de las traslaciones. También pueden hacerse aparecer los frisos recortando sobre papel plegado.

Si combinamos tres espejos, formando angulos iguales entre sí, resulta un tipo simple de mosaicos, que extiende la infinitud de los frisos a las dos dimensiones del plano. Dando otros angulos a los espejos (siempre divisores de un llano) oaumentando el número de espejos, pueden hacerse aparecer otros tipos de mosaicos.
Se explicitan, a continuación, dos ejemplos tipo de sesiones de psicomotricidad, una dedicada a los giros y otra a las simetrías, cada una de las cuales va seguida de una relación de actividades complementarias.
Giros
— Nos movemos libremente por el espacio.
Nos movemos dando vueltas sobre nosotros mismos, girando (hay que cambiar el sentido de giro para evitar mareos). Seguir girando pero en el suelo.
Nos ponemos por parejas y buscamos diferentes formas de girar juntos. Buscamos giros que impliquen un desplazamiento y giros sin desplazamiento.
Nos movemos por grupos y buscamos distintas formas de girar juntos. Buscamos giros con desplazamientos y giros sin desplazamientos.
Nos juntamos todos y buscamos distintas formas de girar juntos, con desplazamiento o sin desplazamiento.
Buscamos objetos de la clase que puedan girar y jugamos con ellos, con su giro.
Buscamos objetos de la clase que puedan girar y donde quepamos dentro nosotros, para girar con ellos (se procurara que haya neumaticos viejos, cestas de mimbre, cajas cilíndricas, etc.).



Actividades complementarias
Analizar los diferentes tipos de giros encontrados en los objetos del entorno, y las condiciones que favorecen los giros.
(Se trata de inducir la idea de que hay giros con y sin desplaza-í miento del eje de giro, y que la regularidad y rigidez de la figura. favorece su rodadura, su giro con desplazamiento).
Dibujar un punto en la base de un cilindro y tratar de determinar su posición al girar el cilindro un cuarto de vuelta
Repetir para distintas posiciones delpunto.
(El cilindro puede ser materializado, por ejemplo, con un tambor de detergente de lavadora. Se trata de encontrar, intuitivamente, las propiedades basicas de los giros. El cilindro se hara primero rodar y, luego, girar sobre sí mismo, sobre su eje.)
Dibujar un segmento en la base del cilindro y determinar su posición al aplicar giros de diferente amplitud.

(Se trata de aprovechar los resultados del ejercicio anterior, determinando la posición final del segmento en función de sus puntos extremos. Conviene distinguir los diferentes casos posibles según la direccionalidad del segmento.)
Analogo enunciado tomando un triangulo como figura original.
Analogo enunciado para otras figuras poligonales y, mas general aún, figuras compuestas de segmentos rectos.
Analogo enunciado para figuras curvas.
Analogo enunciado para figuras curvas, simples, con un extremo sobre el eje de giro.
Reconocer, en flores variadas, su simetría rotacional, indicando el centro y el angulo de giro de dicha simetría rotacional, así como el número de veces que hay que aplicar dicho giro para generar la figura completa, desde una parte de la misma (orden de simetría).
Diseñar figuras dotadas de simetría rotacional.
Construir figuras poligonales con simetría rotacional de órdenes crecientes. Probar sus posibilidades de rodadura.
Construir prismas rectos, de base poligonal dotada de simetría rotacional, y generalizar la simetría rotacional al caso tridimensional. Aplicar analogamente a piramides, figuras compuestas de prismas y piramides Aumentar progresivamente el orden de simetría y acercar la idea de la simetríarotacional a las figuras y cuerpos de revolución.
Construir poliedros regulares y semirregulares y encontrar en ello sus ejes de giro, sus simetrías de rotación, el orden de la simetría
Simetrías axiales y especulares
Nos movemos libremente por el espacio al ritmo de la música.
Nos colocamos delante de un espejo grande (que habra en clase), nos seguimos moviendo por el espacio y nos vemos en el espejo. Nos alejamos y acercamos al espejo, movemos una mano u otra, etc.
Nos ponemos por parejas y jugamos a los juegos de imitación. Uno se pone delante y se mueve como quiere. El otro se pone detras e imita su movimiento. Después se intercambian las posiciones.
Seguimos por parejas jugando a los juegos de imitación, pero ahora al «juego de los espejos». Al igual que antes, uno imita el movimiento de otro, pero ambos se ponen frente a frente, de manera que el que imita ; hace las veces de imagen reflejada por un espejo.
Se reparten varillas de madera. Seguimos jugando al espejo, pero ahora intervienen también los palos.



Nos ponemos por grupos. Unos hacen de figura y los otros de figura imagen. Hacemos las figuras con nuestro cuerpo y con los palos.
Continuando con el ejercicio anterior, la figura original se hace con los palos en el suelo. Se coloca una cuerda en el suelo (haciendo las veces de espejo), separando la figura original de su «imagen reflejada».
Analogo al anterior, pero por parejas y con palos pequeños. Actividades complementarias
Colocar un espejo sobre un geoplano, perpendicularmente a él, en una determinada posición. Seleccionar un punto del geoplano y hacerlo notar convenientemente (conplastilina, por ejemplo). Buscar el punto real del geoplano que aparece como imagen del punto original en el espejo. (Mejor, sustituyendo el espejo por un vidrio transparente ahumado, que refleja y refracta la luz; este espejo permite ver a su través y comprobar directamente la exactitud de la respuesta ofrecida.)
Cambiar el punto de posición y tratar de hallar su nueva imagen, sin ayuda del espejo (quitar, incluso, el espejo, provisionalmente, mientras se realiza el ejercicio). Comprobar, luego, la corrección de la respuesta, con ayuda del espejo. Modificar a voluntad las posiciones del espejo y del punto.
Repetir los ejercicios anteriores, sustituyendo el punto por un segmento recto, ídem por un triangulo, ídem por un polígono.
Repetir los ejercicios anteriores, pero dibujando sobre un folio de papel cuadriculado las figuras y el eje de simetría (la recta que, sobre el folio, indica la posición del espejo).
Repetir el ejercicio anterior, pero sobre un folio liso (no de papel cuadriculado). Cuidar la exactitud de las figuras y sus posiciones con ayuda de los instrumentos geométricos apropiados (regla, compas).
Hallar, sobre un geoplano, con ayuda de un espejo, la imagen de una Línea poligonal cuyos extremos estén situados sobre el eje de simetría (introducir la denominación de figura simétrica para referirse a figuras,
»' como la que aparece ahora en el geoplano, limitada por la línea poligonal original y por su imagen, que admiten un eje de simetría).
Construir, sobre papel, doblandolo y recortandolo convenientemente, figuras simétricas.
Mediante el procedimiento del ejercicio anterior, obtener un cuadrado, dando elmenor número posible de cortes. Obtener, analogamente, un triangulo isósceles, un triangulo equilatero, un rombo, un cuadrado
Colocar dos espejos sobre un geoplano, perpendiculares entre sí y con el geoplano.
Observar las imagenes de una figura cualquiera situada entre los espejos.
Tratar de determinar, a priori, las imagenes que resultarían de figuras dadas (punto, segmento, triangulo), al situarlas entre los dos espejos, variando a voluntad sus posiciones. Comprobar experimentalmente la corrección de las respuestas.

Repetir el ejercicio anterior, sustituyendo el geoplano por un folio de papel cuadriculado.
Analizar la imagen que aparece al situar entre los espejos una línea poligonal que tenga sus extremos situados sobre los correspondientes ejes de simetría. ¿Cuantos ejes de simetría tiene? Construir en papel, doblandolo y recortandolo convenientemente, figuras simétricas dotadas de dos ejes de simetría. Construir, mediante el procedimiento del ejercicio anterior, polígonos dotados de dos ejes de simetría.



Colocar los espejos de manera que aparezcan tres ejes de simetría y seis figuras (entre la figura original y sus imagenes). ¿Qué angulo forman los espejos? Obtener figuras simétricas dotadas de tres ejes de simetría.
Colocar los espejos de manera que aparezcan cuatro, cinco, seis ejes de simetría.
¿Qué angulo forman los espejos? Obtener figuras simétricas dotadas de números crecientes de ejes de simetría.
Analizar la simetría de las figuras construidas, tratando de comprobar si, ademas de simetría axial, tienen simetría rotacional y tratando de encontrarrelaciones entre uno y otro tipo de simetrías.
Dada una figura dotada de simetría axial de orden cuatro (dos ejes de simetría), determinar la línea mas simple que, por efecto de las simetrías, genera la figura completa. Comprobarlo experimentalmente con ayuda de los espejos. Repetir el ejercicio con otras figuras y otros órdenes de simetría.
Dada una figura dotada de simetría axial, situarla entre dos espejos paralelos al eje de simetría de la figura y observar el resultado. (Introducción a los frisos)
-Con ayuda de espejos, diseñar tipos diferentes de frisos. Obtenerlos materialmente sobre papel, plegando y recortando convenientemente.
-Combinar tres espejos iguales, uniéndolos por una arista, formando un prisma triangular equilatero. Situar distintas figuras (puntos, segmentos, polígonos,) en el espacio interior y observar las figuras resultantes. Intentar explicar la repetición de figuras que se produce en función de las reflexiones que se producen en los espejos. Determinar las simetrías de las figuras que aparecen.
Con los espejos del ejercicio anterior, obtener distintos tipos de mosaicos periódicos (composición de figuras, llenando el espacio, con una repetición regular de las figuras). Analizar las figuras que los conforman.
-A partir de una plantilla, en la que se muestre un mosaico que se pueda formar con la disposición de espejos anterior, determinar una figura que colocada entre los espejos reproduzca el mosaico dado (figura mínima).
Generalizar los ejercicios anteriores a otras disposiciones de espejos que generen mosaicos. Aumentar progresivamente el número de espejos.