PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

1.- Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con los 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 9 si
a) Los números pueden repetirse
b) Si los números no pueden repetirse
c) Si el último numero tiene que ser 0 y los números no pueden repetirse.








2.- Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los sitios pares, De cuantas formas pueden sentarse?








3.-De cuantas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila?
De cuantas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también?
De cuantas maneras pueden sentarse en fila, si justamente las niñas se sientan juntas?

De cuantas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 3 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?








Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.
a) Cuantas maneras de escoger tiene?
b) Cuantas maneras si las 3 primeras preguntas son obligatorias?





6.-De cuantas formas puede dividirse un grupo de 8 hombres y 8 mujeres en grupos de 4 personas formados por 2 hombres y 2 mujeres?








7.-En cuantas formas pueden sentarse en una fila 4 africanos, 3 europeos y 5 asiaticos, de manera que las personas de un mismo continente queden juntas?








8.-Cuantos grupos de mas de 7 personas pueden formarse con 10 personas?








9.-Una caja contiene 2 bolas rojas y 3azules. Hallar la probabilidad de que si dos bolas se extraen aleatoriamente (sin reemplazamiento
a) Ambas sean azules
b) Ambas sean rojas
c) Una sea roja y otra azul.










10 De cuantas maneras pueden ser los resultados de unas elecciones si hay 3 candidatos para presidente, 4 para vicepresidente y 5 para tesorero.




11.- En cuantas formas pueden acomodarse 6 niños huérfanos en 10 casas si entre ellos hay unos gemelos y unos triates, los cuales no deben ser separados de sus hermanos y si cada casa puede acomodar cuanto mas ya sea un niño o un grupo de hermanos.
Ax1+By1+Cz1+D=0
Ax2+By2+Cz2+D=0

Por resta de ecuaciones resulta;

A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0

Si se agrega otro punto cualquiera P3(x3,y3,z3) otro punto cualquiera, diferente de los otros dos. Por lo tanto los números directos de l a partir de de P1 y P3 son:
[x1-x3,y1-y3, z1-z3]

Al resultar:

A(x1-x3)+B(y1-y3)+C(z1-z3)=0 al restarle las constantes con función de x1,y1,z1
Obtenemos:
Ax3+By3+Cz3+D=0

al Demostrar que P3 también se encuentra en el mismo plano.

Ejemplo:
1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P1(-2,-1,5) y es perpendicular ala recta l determinada por los puntos P2(2,-1,2) P3(-3,1-2).

Solución
Los números directosde l son: [-3-2,1+1,-2-2], ósea, [5,-2,4]. Como l es perpendicular al plano, los números directores de su normal son también [5,-2 ]. Por tanto P1(-2-1,5], tenemos que la ecuación buscada del plano es:

5(x+2)-2(y+1)+4(z-5)=0
5x-2y+4z-12=0






2 Rectas en el espacio.
2.1 Distancia entre un punto y un plano.

Sean:
,

La ecuación de un plano, un punto exterior a él y d la distancia del punto P al plano.
Supóngase otro plano, paralelo al interior, apoyado en P. la ecuación de este plano es:
.

Por ser el punto Pa‚ del plano, se tiene:


De donde :


Por tanto: para obtener la distancia de u punto a un plano, iguálese a cero la ecuación del plano y luego sustitúyase, en el primer miembro, las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado.
Teniendo presente que


Y que el resultado (1) se escribe también:





Observación. Es útil en vista de ciertas aplicaciones, expresar la distancia de un punto a un plano, introduciendo u determinante de cuarto orden, como se indica a continuación.
Si el plano se apoya en los puntos su ecuación es, según se dijo:

= 0.

Luego, para obtener el numerador de (2) bastara, según se acaba de indicar, sustituir las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado; resulta, por tanto, que la distancia buscada puede escribirseen la forma siguiente:



= 0.




Ejemplo
sCuál es la distancian del punto p (3, 5,7) al plano 6x + 9y + 2z = 22?
divide cada termino de la ecuación entre:

;

Resulta:

En que: