Instituto Tecnolgico de Costa Rica
Ecuaciones Diferenciales
Escuela de Matemtica
II Semestre de 2012
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1. Problemas de enfriamiento
La razn de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo es proporcional
a la
diferencia entre la temperatura del cuerpo y
la del medio
ambiente.
Sea:
T:
temperatura del cuerpo
Tm: temperatura del medio ambiente
dT
: razn de cambio de la temperatura del cuerpo
dt
Entonces se tiene que:
dT
k (T - Tm )
dt
donde k es una constante de proporcionalidad positiva.
2. Problema de crecimiento y decrecimiento
Si N(t) denota la cantidad de sustancia (o poblacin) presente en un tiempo t
determinado y si
la razn de cambio de esta sustancia con respecto al tiempo es proporcional a
la cantidad de
sustancia presente, entonces se tiene que:
dN
kN(t )
dt
donde:
dN(t )
: denota la razn de cambio de la sustancia
dt
k: denota la constante de proporcionalidad
3. Cada de cuerpos con resistencia del aire
Consideremos un cuerpo de masa m que cae verticalmente. En esta cada influye
la gravedad
y existe una resistencia del
aire (la cual en muchos problemas se asume que es proporcional a
la velocidad del
cuerpo). En este tipo de problemas, tambin se asume que tanto la gravedad
como la masa
permanecen constantes. Adems por conveniencia se asume que la direccin
hacia abajo es positiva.
Segunda ley de Newton: La fuerza neta que acta sobre un cuerpo esigual a la
razn de
cambio en el tiempo del momentum, o para una masa constante:
dv
(1)
Fm
dt
1
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donde:
F: es la fuerza neta que se ejerce sobre el cuerpo
v: es la velocidad del cuerpo.
Para la situacin considerada existen dos fuerzas que actan sobre el cuerpo:
a. La fuerza g de impulso, debida a la gravedad, la cual viene dada por el peso
w del cuerpo,
y por lo tanto viene descrita por mg, o sea que w = mg.
b. La fuerza de resistencia debido al aire, dada por kv, donde k 0, es la
constante de
proporcionalidad
Como la fuerza neta F se descompone como: F = Fimpulso + Fresistencia se tiene
que:
F = mg kv
(2)
De acuerdo a (1) y (2) se tiene que:
dv
= mg kv
m
dt
(3)
La cual simplificada conduce a:
dv k
vg
dt m
(Ecuacin del movimiento)
Cuando no se conoce la masa del cuerpo, sino ms bien su peso, entonces (3) se
puede
expresar as:
w dv
(4)
w - kv
g dt
Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces k = 0, y la
ecuacin del
movimiento se reduce a:
dv
g
dt
Notas:
a. En las ecuaciones anteriores se supone que el sistema de medidas es el CGS
(centmetros,
gramos, y segundos) aunque los resultados son vlidos para el sistema PLS (pie,
libra y
segundos) y para el sistema MKS( metro, kilogramo, segundo).
b. En el sistema CGS, la gravedad viene dada por g = 980cm/seg2.
En el sistema PLS, lagravedad viene dada por g = 32pies/seg2.
En el sistema MKS, la gravedad viene dada por g = 9,8 mts/seg2.
2
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4. Problemas de soluciones qumicas
Considrese un tanque, el cual inicialmente contiene V0 galones de solucin
salina y a libras
netas de sal. Otra solucin salina que contiene b libras de sal por galn, se
vierte en el tanque
a razn de e galones por minuto, mientras que simultneamente, la solucin
mezclada sale a
una razn de f galones por minuto.
Problema: Encontrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier
instante.
Sea:
Q: cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
dQ
: razn de cambio de Q con respecto al tiempo.
dt
V0 + et - ft: volumen de la solucin salina en cualquier tiempo t.
fQ
: razn de cambio a la cual sale la sal al tanque (cantidad de sal que sale
V0 et ft
por minuto).
be: razn de cambio a la cual entra la sal en el tanque (cantidad de sal que
entra al
tanque por minuto).
Por lo que:
dQ
fQ
con la condicin Q(0) = a
be dt
V0 et ft
O sea:
dQ
fQ
be , con la condicin Q(0) = a
dt V0 et ft
5. Circuitos elctricos
I. Trminos Generales:
a. Tensin
Es la expresin ms utilizada para designar la presin elctrica existente
entre dos
puntos y que es capaz de provocar la circulacin de una corriente al cerrar el
mecanismo de conexin entre ambos.
Las expresiones fuerzaelectromotriz, potencial, diferencia de potencial y cada
de
voltaje se usan como
sinnimos de tensin.
Acta como una fuente de energa, tal como una batera.
3
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b. Inductancia.
Propiedad de un circuito o elemento de ste que se opone a la variacin de la
corriente. La inductancia determina, por tanto, variaciones de corriente
retrasadas
respecto a las variaciones de tensin.
c. Inductor
Un determinado nmero de vueltas de alambre enrollados en forma de espiral, el
cual
es utilizado para aportar inductancia a un circuito elctrico y para producir
flujo
magntico, o para reaccionar mecnicamente ante una variacin del flujo magntico.
d. Corriente.
Circulacin de electricidad de un punto a otro. La corriente consiste por lo
general de
un desplazamiento de electrones.
La corriente elctrica en un hilo (mediante
electrones) va desde el polo negativo al
positivo, aunque en algunos contextos se usa una direccin convencional.
e. Carga elctrica
Cantidad de electricidad que circula en una corriente elctrica. Cantidad de
energa
elctrica almacenada en un condensador.
Las cargas elctricas pueden ser positivas o negativas.
f. Resistencia
Propiedad de los circuitos o componentes de ste, que transforman la energa
elctrica
en energa calorfica (como
una bombilla, tostador, etc).
g. Capacitancia
Propiedad de un condensador que determina cuntacarga es capaz de almacenar,
para
una tensin determinada entre sus terminales.
II. Smbolos y Unidades
Trmino
Voltaje, fem, tensin
Resistencia
Inductancia
Capacitancia
Corriente
Carga
Smbolo
EoV
R
L
C
I
Q
Unidad
Voltio
Ohmio
Henrio
Faraday
Amperio
Coulomb
La unidad de corriente el amperio, corresponde a una carga de un coulomb que
pasa por un punto dado del
circuito por segundo.
III. Planteo del problema
4
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La corriente es la razn de cambio de la carga con respecto al tiempo, esto es:
I
dQ
dt
Ley de Kirchhoff
La suma algebraica de todas las cadas de voltaje alrededor de un circuito
elctrico es cero.
Otra manera de enunciar esta ley, es que el voltaje suministrado (fem) es igual
a la suma de
las cadas de voltaje.
Caso 1: Circuito RL (resistencia-inductor)
Considrese un circuito elctrico que consiste de una fuente de voltaje E
(batera o
generador), una resistencia R, un inductor L
(bobina) como se indica en siguiente figura:
Donde se conviene que la corriente fluye del
lado positivo (+) de la batera o generador a
travs del
circuito hacia el lado negativo (-). Bajo las condiciones anteriores, se tiene
segn la
Ley de Kirchhoff que:
L
dI
RI E
dt
con I la corriente que fluye a travs de la resistencia,
y adems:
L
dI
: denota la cada del voltaje a travs del inductor
dt
RI: denota lacada del voltaje a travs de la resistencia.
Caso 2: Circuito RC (resistencia-condensador)
Suponga que se tiene un circuito elctrico que consiste de una batera o
generador de E
voltios en serie, con una resistencia de R ohmios y un condensador de C
faradios, tal y como
se muestra en la siguiente figura:
5
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Bajo las condiciones anteriores se cumple que:
dQ Q
R
E
dt C
donde Q es la carga elctrica en el condensador en el instante t, y adems:
R
dQ
: denota la cada del voltaje a travs de la resistencia.
dt
Q
: denota la cada del
voltaje a travs dl condensador.
C
PROBLEMAS RESUELTOS
1. La fuerza de resistencia del agua sobre un bote es proporcional a su
velocidad instantnea, y
es tal que a 20 pies/seg. la resistencia del agua es de 40 lb.
El bote pesa 320 libras y el nico pasajero 160 libras y el motor puede ejercer
una fuerza
estable de 50 libras en la direccin del movimiento. Si se asume que el bote
parte del reposo,
encuentre la distancia x(t) y velocidad v(t) del bote en cualquier tiempo t.
Solucin:
Ecuacin a utilizar:
w dv
Fimpulso kv . Sistema de medidas: PLS
g dt
Condiciones iniciales:
v(0) = 0 ; x(0) = 0
i.Clculo de la constante de proporcionalidad k.
Como FR = kv, entonces 40 = k20, o sea que k = 2
ii. Fuerza de impulso: FR = 50
iii. Problema a resolver:
480 dv
50 2v , con v(0) = x(0) = 0
32dt
480 dv
50 2v
32 dt
dv
15 50 2v
dt
6
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15dv
dt
50 2v
15
ln 50 2v t c1
2
2t 2
ln 50 2v
c1
15 15
50 2v e 2t 15 e 2c1 15
50 2v ce 2t 15
c
v(t ) 25 e 2t 15 , v(0) = 0
2
c
0 = 25 , por lo que c = 50, o sea que v(t ) 25 25e2t 15
2
Como v(t) = x(t) , entonces integrando v(t) se tiene que x(t ) 25t
Usando el hecho de que x(0) = 0 se tiene que c2 =
De donde x(t ) 25t
375
2
375 2t 15
e
c2
2
375 2t 15 375
e
2
2
2. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de
solucin salina
y 0.2 libras de sal por galn. Para t = 0, otra solucin que contiene 1 libra
de sal por galn se
agrega en el tanque a una razn de 2 galones por minuto, mientras que la
solucin bien
mezclada sale a una razn de 3 galones por minuto. Determine:
a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.
b. La cantidad de sal presente cuando el tanque contenga la mitad de la
solucin original,
y la concentracin de sal en ese instante.
Solucin:
dQ
fQ
Ecuacin a utilizar:
be , con la condicin : Q(0) = a.
dt V0 et ft
Para este caso V0 = 50, a = 10, b = 1, e = 2, f = 3
Sustituyendo estos valores en la ecuacin anterior, obtenemos:
(*)
dQ
3Q
2 , con la condicin Q(0) = 10
dt 50 t
La cual es una ecuacindiferencial lineal con factor integrante:
3dt
u(t) = e 50t e
3 ln 50 t
3
eln(50t ) (50 t )3
Multiplicando la ecuacin (*) por el factor integrante u(t) se tiene que:
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dQ
(50 t ) 3 3(50 t ) 4 Q 2(50 t ) 3
dt
'
Q(t ) (50 t )3 2(50 t )3
Q(t )(50 t )3 2 (50 t )3 dt
(50 t )2
c
2
Q(t )(50 t )3 (50 t )2 c
Q(t ) 50 t c(50 t )3 ,
Q(t )(50 t ) 3 2
Como Q(0) = 10 , entonces Q(0) = 50 + c(50)3 = 10, de donde c
40
0.00032
(50)3
As: Q(t ) 50 t 0.00032(50 t )3
Para determinar la cantidad de sal en el tanque para cuando este contenga la
mitad de la
solucin original determinemos el tiempo t, para el cual 50 t = 25, esto se
logra cuando t =
25.
Por lo que Q(25) = (50 25) 0.00032(25)3 = 25 5 = 20
La concentracin cuando t = 25 se obtiene calculando el cociente
Q(25) 20
0.8
50 25 25
3. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de
solucin salina
y 0.2 libras de sal por galn. Para t = 0, otra solucin que contiene 1 libra
de sal por galn se
agrega en el tanque a una razn de 3 galones por minuto, mientras que la
solucin bien
mezclada sale a una razn de 2 galones por minuto. Determine:
a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.
b. La cantidad de sal presente cuandoel tanque este lleno, y la concentracin
de sal en
ese instante.
2000
Respuestas: a. Q(t ) 2(50 t )
(50 t ) 2
b. El tanque se llena cuando t = 20. sPorqu? y la concentracin en
Q(20)
ese instante se obtiene calculando el cociente
. Justifique
70
4. Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta a una altura de 1000 pies, sin
velocidad inicial.
El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a
su velocidad instantnea. Si la
velocidad lmite vl es de 320 pies/seg. , determine:
a. La velocidad v(t) y posicin x(t) del cuerpo en cualquier tiempo t
mg
Nota: vl
k
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Solucin:
Para resolver este problema utilizaremos la ecuacin: m
dv
w kv
dt
(*)
La informacin dada es m = 10, g = 32, vl = 320.
Como w = mg entonces w = (10)(32) = 320
mg
320
Adems de vl
se tiene que 320
, de donde k = 1
k
k
Realizando las correspondientes sustituciones en (*) se obtiene:
dv
10 (10)(32) v
dt
dv
10 (10)(32) v
dt
dv 1
v 32 , ecuacin lineal, con factor integrante u(t ) et 10
dt 10
dv t 10 1 t 10
e e v 32et 10
dt
10
'
vet 10 32et 10
vet 10 320et 10 c
v(t ) 320 ce t 10 , como v(0) = 0, se tiene que c = -320
De donde v(t ) 320 320et 10
Integrando v(t) se tiene que:
x(t ) 320t 3200et 10 c , usando que x(0) = 0
x(0) = 0 + 3200 + c = 0, por lo que c =-3200
Por consiguiente x(t ) 320t 3200et 10 3200 .
5. La velocidad de desintegracin del
radio (elemento qumico) es proporcional a la cantidad
presente. Si el radio tiene una vida media de 2000 aos. sQu tiempo tomar
para que su
masa inicial se reduzca en un 30%?
Solucin:
N(t): denota la cantidad de radio presente en el tiempo t.
N0 : masa inicial del radio
Condicin inicial N(0) = N0
1
Informacin: N(2000) = N 0
2
dN
Ecuacin diferencial:
kN
dt
Solucin general de la ecuacin diferencial: N (t ) ce kt o N (t )
N0ekt
Calculemos el valor de k:
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Como N (2000)
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1
N 0 entonces
2
1
N 0 N 0e2000k
2
1
ln( 2)
e 2000k , de donde ln(1 2) k (2000) , o sea k
2
2000
Por lo que N (t ) N0et ln 2 2000
Se debe determinar t, tal que N (t ) N0 0.3N0 0.7 N0
0.7 N0 N0et ln 2 2000
0.7 et ln 2 2000
ln 2
ln(0.7)
t
2000
(2000)ln(0.7)
t
1029
ln2
6. Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una razn proporcional a
la cantidad
presente. Si despus de una hora se observa que el 10% del
material se ha desintegrado, hallar
la vida media del
material.
Respuestas: N (t ) N0e0.105t ; Vida Media: 6.6 hrs.
1
de libra de sal por
8
galn. Para t = 0, otra solucin salina que contiene 1 libra de sal por galn
se agrega en el
tanque a una razn de 4 gal/min. Mientras que unasolucin bien mezclada sale
del tanque a
una razn de 8 gal/min. Determine:
a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.
b. La cantidad de sal en el tanque cuando ste contiene exactamente 40 gal. de
solucin
salina
7
Respuestas: a. Q(t )
(20 t )2 4(20 t )
40
b. Primero verificar que el tanque contiene 40 galones de solucin
salina en t = 10 y que en este tiempo el tanque contiene 22.5 libras
7. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solucin salina con
8. Un cuerpo cuya temperatura inicial se desconoce es colocado 10:00 am en un
refrigerador el
cual tiene una temperatura constante de 00. Si a las 10:10 am la temperatura del cuerpo es de
300F y a las 10:25 am la temperatura del
cuerpo es de 200F. Determine la temperatura inicial
del cuerpo.
Solucin:
Para simplificar el trabajo con las horas, digamos que las 10:00 am dentro del problema
corresponde a t = 0, las 10:10 a t = 10 y las 10:25 a t = 25.
T(t): corresponde a la temperatura del cuerpo en el tiempo t.
10
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Tm : temperatura del refrigerador.
dT
k (T Tm )
dt
Solucin general: T (t ) ce kt Tm
Informacin:
Tm = 0; T(10) = 30; T(25) = 20
Ecuacin diferencial:
Como Tm = 0, se obtiene que T (t ) ce kt
Adems:
T (10) ce 10k 30 , por lo que ce 10k 30 (*)
T (25) ce 25k 20 , por lo que ce 25k 20 (**)
30
De (*) se tiene que c 10k 30e10ky sustituyendo este valor de c en
(**) obtenemos:
e
25k
10k 25k
ce
25 30e e
20
20 2
e 15k
=
30 3
ln2 3
2
15k ln( 3) , o sea que k
0.027031
15
)
Como c 30e10k entonces c 30e10(0.027031 39.31112
t
As T (t) 39.31112e0.027031
De donde T(0) = 39.31112 (temperatura inicial).
9. Se sabe que la poblacin de un estado crece a una razn proporcional al
nmero de habitantes
que viven actualmente en el estado. Si despus de 10 aos la poblacin se ha
triplicado y
despus de 20 aos la poblacin es de 150 000 habitantes, hallar el nmero de
habitantes que
haba inicialmente en el estado.
Respuesta: N (t ) 16.620e0.11t , N0 = 16.620
10. Un paracaidista y su paracadas pesan 200 libras. En el instante en que el
paracadas se abre,
l est viajando verticalmente hacia abajo a 40 pies/seg. Si la resistencia del aire
vara
directamente proporcional a la velocidad instantnea y la resistencia
del aire es
de 80 libras
cuando la velocidad es de 20 pies/seg. Encuentre la distancia recorrida y la
velocidad de cada
del paracaidista en el tiempo t.
Solucin:
Ecuacin: F m a ; donde F FPROPULSIN FRESISTENCIA
En este problema nos dan el peso, usemos que W mg para calcular m
W
200
25
m
m m
g
32
4
En este caso la fuerza de propulsin la da el peso W del cuerpo, donde W
200
11
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Fuerzade resistencia: FR k v
Como FR 80 cuando v 20
80 k 20
k 4
Ecuacin diferencial
25 dv
200 4v , con la condicin v(0) = 40, x(0) = 0
4 dt
25 dv
200 4v
4 dt
dv
25 800 16v
dt
dv
dt
800 16v 25
1
1
ln 800 16v
t C
16
25
16
ln 800 16v
t 16C
25
800 16v e
16
t
25
800 640 e 16C
800 16v e
16
t
25
16
e 16C , como v(0) 40 se tiene que_
1
160 e 16C ln 160 C
16
e
16
1
ln 160
16
t
800 16v e 25 160
50 v e
16
t
25
10
Por lo que la velocidad viene dada por
16
t
25
v(t ) 50 10e
Si x(t ) denota la distancia recorrida, entonces tenemos que resolver:
16
t
dx
50 10e 25
dt
16
t
25
x(t ) 50t 10 e 25 C
16
Como x(0) 0
25
0 0 10
C
16
125
C
8
16
125 25 t 125
Por lo que la distancia recorrida viene dada por: x(t ) 50t
e
8
8
12
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11. Un tanque A contiene 50 galones de una solucin en la que se ha disuelto 50
lb. de sal. Agua
pura a razn de 2 gal/min. entra en el A, y se mezcla uniformemente. Esta
mezcla pasa a la
misma velocidad del
tanque A a un segundo tanque B que contiene inicialmente 50 gal. de
agua pura. La mezcla uniforme resultante sale del tanque B a razn de 2 gal/min.
a. Determine la cantidadde sal en el tanque A en cualquier instante.
b. Determine la cantidad de sal por galn que contiene el tanque A.
c. Determine la cantidad de sal en el tanque B en cualquier instante.
Solucin
Sea Q(t ) : la cantidad de sal en el tanque A, en cualquier instante
a. Determinemos la cantidad de sal en el tanque A en cualquier instante.
dQ 2Q
(0) (2)
dt 50
dQ Q
0
dt 25
dQ dt
0
Q 25
t
ln Q
C
25
Q(t ) e
t
25
e C , como Q(0) 50
0
50 e 25 e C
C ln 50
50 e C
t
t
Por lo que Q(t ) e 25 e ln 50 e 25 50
t
Respuesta: La cantidad de sal en el tanque A viene dada por Q(t ) 50e 25
b. Determine la cantidad de sal por galn que contiene el tanque A.
Cantidad de sal por galn es igual a la cantidad de sal dividida entre volumen
del lquido, es
Q (t )
decir
V0
t
25
C s. p. g
t
50e
e 25
50
Respuesta: La cantidad de sal por galn en A, en el instante t viene dado por e
c. Determinemos la cantidad de sal por galn que contiene el tanque B.
Sea R(t ) la cantidad de sal presente en el tanque B en cualquier instante
t
dR 2 R
2e 25
dt 50
13
t
25
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t
dR R
2e 25
dt 25
t
25
e R'
t
25
e
R2
25
t
e 25 R =2
t
e 25 R 2t C
t
t
Respuesta: La cantidad de sal presente en eltanque B viene dada por R(t )
2te 25 Ce 25
12. Una pequea gota de aceite de 0,2 g de masa, cae en el aire desde el
reposo. Para una
velocidad de 40 cm/seg. la fuerza debido a la resistencia
del aire es
de 160 dinas. Asumiendo
que la fuerza de resistencia del
aire es proporcional a la velocidad determine la velocidad y la
distancia recorrida como una funcin del tiempo.
Solucin:
dv k
Ecuacin
v g , v(0) = 0, x(0) = 0
dt m
En este caso: m 0,2 g , g 980 cm
. Adems se sabe que FR 160
seg
Como FR kv
160 k 40 k 4
Por lo que
dv
4
v 980
dt 0,2
dv
20v 980
dt
dv
dt
980 20v
1
ln 980 20v t C
20
ln 980 20v 20t 20C
980 20v e 20t e 20C
Como v(0) = se tiene que 980 e 20C
C
1
ln 980
20
980 20v e 20t 980
49 v 49e 20t
v(t ) 49 1 e 20t
49
Adems: x(t ) 49t e 20t C , como x(0) 0
20
14
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0 0
49
C
20
C
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49
20
Por lo que la distancia viene dada por x(t ) 49t
49 20t 49
e
20
20
13. Un tanque tiene 100 gal de agua salada con 40 lb. de sal disuelta. Agua
pura entra a 2
gal/min. y sale con la misma tasa. sCundo la concentracin de sal ser 0,2
lb/gal?
Solucin
Sea Q el nmero de libras
de sal en el tanque despus de t minutos.
dQ
es la razn de cambio de la cantidad de sal conrespecto al tiempo.
dt
dQ tasa de cantidad tasa de cantidad
dt de sal ganada de sal perdida
Puesto que entran 2 gal/min conteniendo 0 lb/gal. tenemos que la razn con la
sal ganada es 0
Qlb 2 gal Q lb
y la prdida es de
100 gal min 50 min
dQ Q
dt
50
dQ dt
Q
50
t
ln Q
C
50
Qe
t
50
eC
Como Q(0) 40 entonces 40 eC ln 40 C
Concentracin 0,2 lb/gal
t
50
Q 40e
2 t
e 50 0, 2
100 100
5
t
50
2e 1
t
1
50
e
2
t
1
ln
50
2
t 50 ln
t 34,657
1
2
15
t
Q(t ) 40e 50
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14. Una partcula se mueve a lo largo del
eje x de tal manera que su velocidad es proporcional al
producto de su posicin instantnea x (medida desde x = 0) y el tiempo t
(medido desde t =
0). Si la partcula est localizada en x = 54 cuando t = 0 y x = 36 cuando t
=1, determine x(t).
Solucin
dx
kxt
dt
dx
kxt
dt
dx
tk dt
x
dx
kt dt C
x
t2
ln x k C
2
Como x(0) 54
ln 54 C
t2
ln x k ln 54
2
Adems x(1) 36
k
ln 36 C
2
k 2 ln 54 ln 36 k 2 ln
3
2
3 t2
ln x 2 ln ln 54
2 2
3
ln x ln t 2 ln 54
2
15. La fuerza de resistencia del agua que acta sobre un bote es
proporcional a su velocidad
instantnea, y es tal que a 20pies/seg. la resistencia del agua es de 40lb. Si
el bote pesa 320 lb
y el nico pasajero 160 lb y si el motor puede ejercer una fuerza estable de 50
lb en la
direccin del movimiento. Encuentre la distancia recorrida y la velocidad en
cualquier tiempo
si se asume que el bote parte del
reposo.
Solucin
Fuerza de resistencia
FR kv . Entonces 40 k 20 k 2
Fuerza de propulsin FP 50
Masa W m g 480 m 32
480
m
m 15
32
16
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a. Calculemos la velocidad del bote.
dv
15 50 2v
dt
dv 2
10
v
dt 15
3
15dv
dt
50 2v
15
ln 50 2v t C
2
2t 2
ln 50 2v
C
15 15
50 2v e
2 t
15
e
2
C
15
Como v(0) 0 entonces
15
C
ln 50
2
Entonces
2t
50 2v e 15 50
2t
25 v e 15 25
2 t
v(t ) 25 1 e 15
Integrando la velocidad obtenida con respecto a t tenemos que : x(t ) 25t
375 2t
e 15
2
16. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solucin salina que
contiene 1 lb de sal.
Parte t = 0 otra solucin salina que contiene 1 lb de sal por galn se agrega
al tanque a una
razn de 3 gal/min mientras que otra solucin bien mezclada sale del tanque a lamisca
razn.
Halle:
a. La cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
b. El tiempo en el cual la mezcla que est en el tanque contiene 2 lb de
sal.Solucin:
En este caso V0 100 , a 1, b 1, e f 3
Por lo que:
dQ
fQ
be
dt V0 et ft
dQ
3Q
3
dt 100 3t 3t
dQ
3
Q3
dt 100
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dQ
3 0, 03Q
dt
dQ
dt
3 0, 03Q
Q Ce0,03t 100
Si t 0 a 1 por lo que C 99
Respuesta: Q(t ) 99e0,03t 100
b. Q(t ) 2 entonces
2 99e0,03t 100
t 0,338 min
17. En t = 0 una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un
inductor de 2 henrios
en serie con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en t=0.
Determine la
corriente para cualquier instante.
Solucin
En este caso E 20, L 2, R 40
Ecuacin
dI
L RI E
dt
dI
2 40 I 20
dt
dI
2 40 I 20
dt
dI
10 20 I
dt
dI
dt
10 20 I
1
ln 10 20 I t C
20
1
I (t ) Ce20t
2
Como condicin inicial I (0) 0
1
0 Ce200
2
1
C
2
1
I (t ) 1 e20t
2
18
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18. Una resistencia
de 200 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0,01 faradios y una
fem en voltios dada por 40e3t 20e6t . Si Q 0 en t 0 , muestre
que la cada mxima en el
condensador es de 0,25 colombios.
Solucin:
dQ Q
E
dt C
R 20, C 0.01, E 40e3t 20e6tR
dQ
Q
40e3t 20e 6t
dt 0,01
dQ
20
100Q 40e3t 20e 6t
dt
dQ
5Q 2e3t e 6t
dt
e5t Q ' 2e2t et
Qe5t e2t et C
Q(t ) e3t e6t Ce5t
20
Como la condicin inicial Q(0) 0
Q(t ) e3t e6t
Ahora
Q' (t ) 3e3t 6e6t
3e3t 6e6t 0
3e3t 1 2e3t 0
2e3t 1
1
e 3t
2
1
3t ln
2
1 1
t
ln
3
2
19. Se sabe que la poblacin de ciertas bacterias aumenta a una razn
proporcional al nmero de
bacterias presentes en el tiempo t. Para t = 0
la poblacin inicial es N 0 . Si despus de 2 aos
la poblacin se ha duplicado y despus de tres aos la poblacin es de 20 000
bacterias,
determine al poblacin inicial N 0 .
Solucin
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Sea N poblacin presente en el tiempo t
dN
kN
dt
N Cekt
t 0
N0 C
t2
N 2 N0
N N0ekt
2 N 0 N 0e 2 k
2 e2 k
ln 2 2k
1
k ln 2 .
2
t 3
N 20000
1 ln 2
20000 N0e 2 3
1 ln 2
20000e 2
N0
3
N0 70,71
20. Un circuito tiene una fem de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una inductancia de
1
henrio y no tiene corriente inicial. Halle
la corriente en el circuito para cualquier tiempo t.
Solucin:
E 5,
R 50 ,
L 1,
dI
50 I 5
dt
I (t ) Ce 50t
1
10
Comola condicin I (0) 0
0C
1
10
1
10
1 50t 1
I (t )
e
10
10
C
21. Un tanque que contiene 100 litros de una solucin que consta de 100 kg de
sal disueltos en
agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razn de 5 lit/seg y la mezcla se
extrae a la
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misma razn. sCunto tiempo transcurre antes que queden solamente 10 kg de sal
en el
tanque?
Solucin:
Q : cantidad de sal en el tiempo t
e : razn a la cual entra el lquido
f : razn a la cual sale el lquido
a : la cantidad de sal en el tanque si t=0
b : la cantidad de sal por litro que hay en el lquido que entra.
En este caso
e f 5
a 100
b0
Por lo que la ecuacin diferencial viene dada por:
dQ 5Q
0
dt 100
dQ Q
0
dt 20
t
(t ) e 20
t
t
dQ Q 20
e 0
dt 20
t
20
Qe 0
e 20
Qe
t
20
C
t
Q(t ) Ce 20
Como la condicin inicial es Q(0) 100
t
Q(t ) 100e 20
Ahora sabemos que Q(t ) 10
t
10 100e 20
t
1
20
e
10
21
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1
t
10 20
1
20 ln
t
10
ln
22. Un tanque contiene inicialmente 10 gal de agua pura. Para t=0 una solucin
salina que
1
contiene
libra de sal por galn. Se agrega en eltanque a una razn de 2 gal/min mientras
2
que una solucin bien mezclada sale del tanque a la misma razn. Hallar
a. La cantidad de sal en el tiempo t
b. La concentracin de sal en tanque en cualquier tiempo t
Solucin:
V0 10 , a 0 ,
b
1
,
2
e 2,
f 2
dQ
2Q
1
dt 10 2t 2t
dQ Q
1
dt 5
1t
1t
Qe 5 e 5
1t
1t
Qe 5 5e 5 C
1t
Q(t ) 5 Ce 5
Como Q(0) 0 entonces C 5
1t
Q(t ) 5 5e 5
Se sabe que V V0 et ft por lo que V 10
Q(t ) 1 1 1 t
e5
V
2 2
23. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solucin salina, 8 libras de
sal por galn. Para
t = 0, otra solucin salina que contiene 1 libra de sal por galn se agrega en
el tanque a una
razn de 4 gal/min mientras que la solucin bien mezclada sale a una razn de 8
gal/min.
Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando ste contiene exactamente 40 gal
de solucin.
Solucin:
22
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Tenemos que V0 80 , a 10 , b 1 , e 4 y f 8 .
dQ
8Q
4
dt 80 4t 8t
dQ
8Q
4
dt 80 4t
dQ
8Q
4
dt 80 4t
2 dt
1
(t ) e 20t
(20 t )2
Q
2Q
4
2
3
(20 t ) (20 t )
(20 t ) 2
Q
S
4 (20 t )2
2s
(20 t )
Q
4 (20 t )1 C
(20 t )2
Q(t ) 4 (20 t ) C(20 t ) 2
Como Q(0) 10
10 80 400C
7C
40
7
(20 t ) 2
40
40 80 4t
Por lo que Q(t ) 4(20 t )
40 80 8t 4t
t 10
7
7
2
Q(10) 4 20 10 20 10 40 100
40
40
40
1
de libra
5
de sal por galn. Para t=0 se vierte agua pura en el tanque a una razn de 5
gal/min mientras
que sale del tanque una solucin bien mezclada a la misma razn. Halle la
cantidad de sal en
el tanque en el tiempo t.
24. Una tanque contiene inicialmente 100 galones de una solucin salina que
contiene
Solucin:
V0 100 ,
a 20 ,
b 0,
e5
dQ
5Q
0
dt 100 5t 5t
23
y
f 5
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dQ Q
0
dt 20
1 t
Qe 20 0
1 t
Q(t ) Ce 20
Como Q(0) 20
C 20 .
1 t
Q(t ) 20e 20
25. Un cuerpo a una temperatura de 50F se coloca al aire libre donde la
temperatura es de
100F. Si despus de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 60F , encontrar
a) sCunto tiempo le tomar al cuerpo llegar a 75F?
b) La temperatura del cuerpo despus de 20 minutos
Solucin:
T la temperatura del cuerpo
Sea:
Tm la temperatura del medio ambiente
dT
kT kTm
dt
dT
kT 100k
dt
Condiciones:
t 0, T 50 (condicin inicial)
t 5, T 60
T (t ) 50e kt 100
a) T 75 t 15, 4 .
b) t 20 T 79,5F
26. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se
mantienea una
temperatura constante de 30F. Si despus de 10 minutos la temperatura del
cuerpo es de 0F y
despus de 20 minutos es de 15F. Hallar la temperatura inicial del cuerpo.
Solucin:
dT
kT 30k
dt
T Ce kt 3
24
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Ce10 k 30 k 0, 069
20 k
t 20, T 15 Ce
15 C 60
t 0,
t 0
T 0
T 30F
27. Un condensador de 5 103 faradios est en serie con una resistencia de
25 ohmios y una fem
de 50 voltios. El interruptor se cierra en t=0. Asumiendo que la carga en el
condensador es
cero en t=0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.
Solucin:
En este caso E 50 ,
R 25 ,
C 5 103
Ecuacin
dQ Q
E
dt C
dQ
Q
25
E
dt 5 103
dQ
25
200Q 50
dt
dQ
8Q 2
dt
dQ
2 8Q
dt
dQ
dt
8Q 2
1
Q(t ) Ce8t
4
Como Q(0) 0 entonces
R
0C
1
4
C
1
4
1
1 e8t
4
I (t ) Q(t ) 2e8t
Q(t )
28. Una resistencia de 20 ohmios y un inductor de 5 henrios se conectan en
serie en un circuito
elctrico en el cual hay un flujo de corriente de 20 amperios en el tiempo t =
0. Encuentre la
corriente para t 0
25
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Solucin:
R 20 ,
L 5,
E 0dI
5 20 I 0
dt
dI
4 I
dt
1 dI
dt
4 I
1
ln I t C
4
ln I 4t 4C
I e4C e4t
I (t ) C e4t
Como I (0) 20 C 20
y
I (0) 20
I (t ) 20e4t
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Ejercicios propuestos
1. Supongamos que un termmetro ha marcado700F dentro de la casa,
posteriormente el
termmetro se pone en el exterior de la casa, donde la temperatura del aire es
de 100F. Si
3 minutos despus se encuentra que el termmetro marca 250F, determine la
temperatura
del termmetro fuera de la casa para cualquier tiempo.
2. La fuerza de resistencia del agua que acta sobre un bote es proporcional a
su velocidad
instantnea, y es tal que a 20 pies/seg la resistencia del agua es de 40
libras. El bote pesa
320 libras y el nico pasajero pesa 160 libras. El motor puede ejercer una
fuerza estable
de 50 libras en la direccin del movimiento. Encuentre la velocidad del bote en
cualquier
instante, si se supones que ste parte del reposo.
88
pies/seg. En el momento t = 0 que
3
se suelta la cuerda del remolque, un hombre que est en la lancha comienza a
remar
siguiendo la direccin del movimiento y ejerciendo una fuerza estable de 20
libras. Si el
peso conjunto del hombre y la lancha es de 480 libras y la resistencia del agua
es igual
1,75v, donde v est en pies/seg. Determine la velocidad de la lancha despus de
minuto.
3. Se est remolcando una lancha a una velocidad de
4. Una masa es arrastrada por el hielo sobre un trineo, incluido el trineo el
peso total es de
80 libras. Suponiendo que el trineo parte del reposo, que la resistencia del
hielo es
despreciable y que el aire opone una resistencia es libras igual a 5 veces la
velocidad (v
pies/seg), determine:
a. La fuerza constante ejercida por el trineo, si se sabe que la velocidad
lmite
44(velocidad cuando el tiempo tiende a infinito) es de
pies/seg.
3
b. La velocidad del trineo al cabo de 48 seg.
5. Un cuerpo con un peso de 320 libras se suelta desde una cierta altura, sin
velocidad
inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad.
Si la velocidad lmite es de 320 pies/seg determine:
a. La velocidad del cuerpo en cualquier instante
b. Tiempo requerido para alcanzar la velocidad de 160pies/seg.
6. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua
salada con 15
libras de sal por galn entra a 3 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la
misma razn.
a. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
b. Encuentre la concentracin de sal despus de 10 minutos.
7. Un tanque contiene 100 galones de una solucin que consta de 100 libras de
sal disueltas
en la solucin. Se bombea solucin pura hacia el tanque a una razn de 5
gal/min y la
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mezcla se extrae a la misma razn. sCunto tiempo transcurre antes de quedar
solamente
10 libras de sal en el tanque?.
8. Se disuelven inicialmente 50 libras de sal en un tanque que contiene 300
galones de agua.
Posteriormente se bombea agua con sal a razn de 3 galones por minuto y luego
la
solucin adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razn de 2 galones
por
minuto. Si la concentracin de sal en el agua que entra es de 2lib/gal,
determine la
cantidad de sal en cualquier instante. sCunta sal hay despus de 50 minutos?.
1
de libra de sal por
8
galn. Para t = 0, otra solucin que contiene 1 libra de sal por galn se
agrega en el tanque
a una razn de 4 gal/min mientras que la solucin bien mezclada sale a la misma
razn.
Hallar la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante.
9. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solucin salina con
10. Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una razn proporcional a
la cantidad
presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 miligramos de material
presente y
despus de dos aos se observa que el 5% de la masa original se ha
desintegrado, hallar:
a. Una expresin para la masa presente en cualquier instante.
b. El tiempo necesario para que se haya desintegrado el 10% de la masa
original.
11. Se sabe que la poblacin de una cierta especie crece a una razn
proporcional al nmero
de habitantes que viven actualmente. Si despus de 10 aos la poblacin se ha
triplicado y
despus de 20 aos la poblacin es de 150 000, determine el nmero de
habitantes
iniciales.
12. Una fem de 200 voltios se conecta en serie con una resistencia de 100
ohmios y un
condensador cuya capacitancia es de 5 x 10-6 faradios. Sabiendo que la
corriente es de 0.4
amperios cuando t = 0, determine la carga y la corriente, para cualquier
tiempo.
13. Una resistencia de 20 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0.01
faradios y
una fem en voltios dada por 40e 3t 20e6t . Si Q = 0 en t =
0,determine la carga y la
corriente en el tiempo t. Demuestre que la cada mxima en el condensador es de
0.25
coulombs.
14. En t = 0 una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un
inductor de 2
henrios en serie con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en t
= 0,
determine la corriente para cualquier instante.
15. Un condensador de 5 x 10-3 est en serie con una resistencia de 25 ohmios y
una fem de
50 voltios. El interruptor se cierra en t = 0. Asumiendo que la carga en el
condensador es
cero en t = 0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.
16. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 voltios a un circuito RC, en que
la resistencia
es de 1000 ohmios y la capacitancia es de 5 x 10-6 faradios. Encuentre la carga
Q(t) del
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capacitador si I(0) = 0.4 amperios. Determine la carga y la corriente para t =
0.005
segundos. Halle la carga cuando t .
17. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es L = 0.1 y la
resistencia es de 50 ohmios,
se le aplica una fem de 30 voltios. Determine I(t) si I(0) = 0. Determine I(t)
cuando t .
18. Se est remolcando una barca a una velocidad de 12 millas por hora. En el
momento t = 0
que se suelta la cuerda del remolque, un hombre, que est en la barca, comienza
a remar
siguiendo la direccin del movimiento y ejerciendo una fuerza de 20 libras.Si
el peso
conjunto del hombre y la barca es de 480 libras y la fuerza de resistencia (en
libras) es
igual a 1.75 veces la velocidad instantnea (la velocidad est en pies/seg.) .
Determine la
velocidad de la barca despus de 0.5 minutos.
19. Desde una cierta altura se deja caer un objeto cuyo peso es de 96 libras
con una velocidad
inicial de 10 pies/seg.
Asumiendo que la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad
instantnea y que a una velocidad de 20 pies/seg. la fuerza debida a la
resistencia del
aire es de 60 libras, determine la velocidad y la distancia recorrida como
funcin del
tiempo. Determine la velocidad lmite.
20. Un depsito contiene 100 galones de agua en las que hay disueltas 40 libras
de sal. Se
desea reducir la concentracin de sal hasta 0.1 libras por galn introduciendo
agua pura en
el depsito a razn de 5 galones por minuto y permitiendo que la mezcla salga a
la misma
razn. sEn cunto tiempo se lograr el propsito?
21. Un tanque contiene 50 galones de una solucin en la que se ha disuelto 50
lib. de sal.
Agua pura a razn de 2gal/min entra en el tanque A, y se mezcla uniformemente.
Esta
mezcla pasa a la misma velocidad del tanque A a un segundo tanque B que
contiene
inicialmente 50 galones de agua pura. La mezcla uniforme resultante sale del
tanque B a
una razn de 2 gal/min.
a.
b.
c.
d.
Determine la cantidad de sal en el tanque A en cualquier tiempo.
Determine la cantidad de sal por galn que contiene el tanque A.
Determnela cantidad de sal en eltanque B, en cualquier tiempo.
Determine la cantidad de sal en el tanque B, al cabo de una hora.
22. El istopo radiactivo plutonio 241 decae de modo que satisface la ecuacin
diferencial:
dQ
0.0525Q(t )
dt
donde Q est en miligramos y t en aos.
a. Determine la vida media del plutonio 241.
b. Si se tienen en este momento 50 miligramos de plutonio, sCunto quedar al
cabo de
10 aos?.
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23. Un tanque contiene 100 galones de agua y en los cuales se disuelven 10
libras de sal. Una
solucin salina que contiene 0.5 libras de sal por galn se bombea al tanque a
una rapidez
de 6 galones por minuto y la solucin adecuadamente mezclada, se bombea hacia
fuera
del tanque a una razn de 4 galones por minuto.
a. Determine la cantidad de sal en el tanque como funcin del tiempo.
b. sCul es la cantidad y la concentracin de sal que hay en el tanque cuando
ste
contiene 200 galones de solucin?
24. Determinacin de fechas por medio del carbono radiactivo. Una herramienta
importante en la investigacin arqueolgica es la determinacin de fechas por
medio del
carbono radiactivo. Este es un medio de determinacin de la edad de ciertos
rboles y
plantas y, por lo tanto, de huesos de animales y humanos o de artefactos que se
encontraron enterrados en los mismos niveles. El procedimiento fue desarrollado
por el
qumico americano Willard Libby en los primerosaos de la dcada de 1950 y tuvo
como
resultado que ganara el premio Nbel de qumica en 1960. Este mtodo se basa en
el
hecho de que ciertas maderas o plantas siguen conteniendo cantidades residuales
de
carbono 14, un istopo radiactivo del carbono. Este istopo se acumula durante
la vida de
la planta y empieza a decaer a su muerte. Puesto que la vida media del carbono
14 es larga
(aproximadamente 5600 aos), despus de muchos miles de aos, permanecen
cantidades
mensurables de carbono 14. Entonces Libby demostr que, por medio mediciones
aproximadas de laboratorio, si est an presente aproximadamente 0.002 o ms de
la
cantidad original de carbono 14, puede determinarse con exactitud la proporcin
de la
cantidad original que persiste. En otras palabras, si Q(t) es la cantidad de
carbono 14 en el
Q (t )
instante t y Q0 es la cantidad original, entonces puede determinarse la razn
al
Q0
menos si esta cantidad no es demasiado pequea.
dQ
a. Suponiendo que Q satisface la ecuacin diferencial
kQ(t ) verifique que
dt
k = -0.00012378.
b. Si Q(0) = Q0 calcule Q(t)
c. Suponga que se descubren ciertos restos en los que la cantidad residual
actual de
carbono 14 es el 20% de la cantidad original, determine la edad de estos
restos.
25. Suponga que una gota de lluvia esfrica se evapora a una rapidez
proporcional a su rea
superficial. Si el radio original es de 3mm y una hora despus se redujo a 2
mm, verifique
que el radio viene dado por r(t) = 3 t, donde 0 < t < 3.
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