Matematicas I: Algebra

Elementos

1.-Traduce 6 expresiones del lenguaje común al algebraico y viceversa (3 para cada una de ellas)

Lenguaje común lenguaje algebraico

a) el triple de un número 3x+y²
mas el cuadrado de otro

b) el doble de la suma de 2(m+n)
dos números cualquiera

c) la suma de tres números x+x+1+x+2=66
consecutivos es igual a 66

Lenguaje algebraico Lenguaje común

d) a²+2ab+b² el cuadrado de un número mas el
doble del mismo por otro número
mas el cuadrado del segundo número.

e) 3(y+y+1+y+2) el triple de tres números consecutivos

f) x²-y² la diferencia de los cuadrados de dos
números.

2,-Selecciona cuatro ejercicios en los que demuestres el calculo de variación directa e inversa (dos para cada una).

Variación directa:

a) Si 4 automóviles cuestan $ 496000. ¿Cuanto costaran 7 automóviles?

Automóviles costo
4 $496000
7 x

4/7= 496000/x
x 496000 (7) )/4=3472000/4

X= 868 000 R.- $868 000


b) Un móvil consume 12 lts. de gasolina al recorrer 108km. ¿Cuantos litros consume al recorrer 72 km?

Lts. de gasolina distancia (km
12 108
X72

12/x =108/72 x=(12(72))/108

X=8 Respuesta=8 litros

Variación inversa:

c) 12 obreros tardan 60 días en construir una casa. ¿Cuantos obreros se requieren para hacer la misma casa en 20 días

Obreros días
12 - 60
X - 20

Es de variación inversa porque a – cantidad de días, se requiere + cantidad de obreros

Inversa a directa
12/x =60/20 12/x=20/60 x=60 Respuesta= 60 obreros

d) un bulto de alimento lo consumen 15 gallinas en 30 días. En cuantos días consumiran el mismo bulto 18 gallinas

gallinas días
15 30 es inversa porque a + cantidad de gallinas – cantidad
18 x de días

Inversa a directa
15/18=30/x 18/15=30/x

x 15(30))/18 x=25 R=25 días


3.- Situaciones cotidianas de problemas con ecuaciones algebraicas con una variable (explicar el procedimiento).

a) Pagué $468 por un libro de matematicas y uno de inglés. ¿Cuanto costó cada libro?
X precio del libro de inglés
X+52 precio del libro de matematicas
$468 precio total de los dos libros entonces queda la sig ecuación

X+x+52=468

Reduciendo términos y despejando la variable x

2x+52=468 Solución:
2x =468-52 $libro de inglés x=$208
2x = 416 $libro matematicas x+52=208+52=260
X = 416/2
X = 208

b) 2 canastas contienen 99 manzanas, la mayor de ellas tiene 15 manzanas mas que la menor ¿cuantas manzanas hay en cada canasta?
X número de las manzanas de la canasta menor
x+15numero de mayor
99 es el total de manzanas
Queda la sig. ecuación x+x+15=99

Reduciendo términos y despejando la variable x

2x+15=99
2x =99-15 canasta menor
2x =84 x=42manzanas
X =84/2 canasta mayor
X = 42 x+15=57 manzanas






4.- aplicación de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables en una situación cotidiana.

Problema: el patrón de Luis manda Luis para que cambie $1200 en billetes de $50 y de $20. Si el cajero le entrega en total 33 billetes sin que le sobre cambio ¿Cuantos billetes son de $50 y cuantos de $20?

X= el número de billetes de $50
Y= el número de billetes de $20
Se tiene la primera ecuación:
1) x+y=33 cantidad de billetes de 50 y de $20

Con x billetes de $50 se tienen $50x
Y con y billetes de $20 se tienen 20y ;
El total de la cantidad de dinero es de $1200

Se tiene la segunda ecuación

2) 50x+20y=1200

Juntando la 1) y 2) ecuaciones, se forma el sistema de ecuaciones con dos variables
1) x+y=33
2) 50+20y=1200

Resolviendo por el método de igualación, despejando x en las dos ecuaciones
1) x+y=33 2)50x+20y=1200
X=33-y 50x=1200-20y
33-y=(1200-20y)/50 x=(1200-20y)/50

50(33-y)=1200-20y
1650-50y=1200-20y
1650-1206=-20y+50y
450=30y
450/30=y
15=y es el número de billetes de $20, sustituyendo y en ecuación 1)

X+Y=33
X+15=33
X=33-15
X=18 es el número de billetes de $50

5.- Los tipos de variación lo determino de la sig. forma: cuando dos magnitudes varían aumentando o disminuyendo al mismo tiempo, se determina que varían directamente; y cuando una magnitud aumenta y la otra disminuye, decimos quevarían inversamente.

Para verificar la solución de un problema de ecuaciones con una incógnita o de un sistema de ecuaciones con dos variables, lo comprobamos sustituyendo el valor o valores de las variables en la ecuación o sistema.

en este trabajo he aprendido a traducir expresiones algebraicas al lenguaje común y viceversa; identificar problemas de variación directa e inversa y a resolver problemas de variación directa e inversa y a resolver problemas con ecuaciones con una variable y sistema de ecuaciones con dos variables



Trabajo Integrador 2– Matematicas I: Algebra

Elementos

8.-Elabora una situación cotidiana donde apliques sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.

Problema.-Las señoras Tere, Luisa y María van de compras a Wal Mart. Doña Tere compró 3 frascos de café de 200 gr de café cada uno, 2 Kg de azúcar y 4 lts. de aceite comestible pagando un total de $367 por todos los artículos ; Doña Luisa pagó $244 por 2 frascos de café,3kg de azúcar y 2 litros de aceite y doña María pagó $366 por 4 frascos de café, 5 lts de azúcar y 1 litro de aceite
¿Cual era el precio de cada frasco de café, de un kg de azúcar y de un litro de aceite?

X precio del frasco de café
Y precio del Kg de azúcar
Z precio del litro de aceite

SISTEMA DE ECUACIONES


3X +2Y +4Z = 367
2X +3Y +2Z = 244
4X +5Y + Z = 366


PROCEDIMIENTO

3X +2Y +4Z = 367
2X +3Y +2Z = 244
4X +5Y + Z = 366
-------- ----- ------ -

Reducción por suma y resta en ecuaciones 1) y 2) y en las ecuaciones 2) y 3)


Multiplicamos por 3 y -2 para eliminar la variable “y”

(3x+2y+4z=367) 3
(2x+3y+2z=244) -2

9x +6y+12z =1101
-4x -6y- 4z = -488

5x +8z = 613

Reduciendo por suma y resta las ecuaciones 2) y 3)
Multiplicamos por 5 y -3 para eliminar “y”

( 2x+3y+2z=244) 5
( 4x+5y+ z=366) -310x+15y+10z=1220
-12 -15y -3z=-1098

-2x +7z= 122

Se forma el sistema de ecuaciones
4) y 5)

4) 5x + 8 z=613
5) -2 + 7z=122
Reduciendo por suma y resta, multiplicamos por 2 y 5 para eliminar la variable “x”

( 5x + 8 z=613) 2
( -2 + 7z=122) 5

10x+16z= 1226
-10x+35z= 610

51z= 1836

Despejando, obtenemos el valor de la variable z

51z=1836
Z= 1836/51

Z= 36 precio del litro de aceite

Sustituyendo “z” en la ecuación 4), se obtiene el valor de “x”

4) 5x+8z=613
5x+8(36)=613
5x+288= 613
5x = 613-288
5x = 325
X =325/5
X = 65 precio del frasco de café

Sustituyendo los valores “x” y “z” en la ecuación 1) se obtiene el valor “y”

1) 3x+2y +4z= 367
3(65)+2y +4(36)=367

195+2y+144=367
339+2y =367
2y =367-339
2y =28
Y =28/2
Y = 14 precio del kg de azúcar


9.- Selecciona un ejercicio de aplicación de Productos Notables (uno para cada tema).

a) Binomio al cuadrado

Problema: Se tiene un terreno cuadrado donde cada lado mide x-80 mts
Si el area total es de 32400 m2
¿Cuanto mide el area del cuadrado mayor y del cuadrado menor?
b) ¿Cuanto mide las areas de los rectangulos iguales?

Sabemos que la fórmula del area de un cuadrado es
A=L X L
A=l^2
L= x-80 A=32400 m²

Entonces

A= (x-80)² es un binomio al cuadrado aplicando la regla general, se obtiene un trinomio cuadrado perfecto

(x-y) ²= x²-2xy+y²
(x-80)²= x²-2x (80)+80²=32400
x²-160x+6400=32400

Factorizando y simplicando:
X²-160x+6400=32400
X-80) ²=32400
X-80=√32400
X-80=180
x=180+80
x=260

Del valor x se concluye que:
(x-80) ²= x²-2x (80)+80

X² es el cuadrado mayor
80² es el cuadrado menor
2x (80) sonlos rectangulos iguales
Sabemos que x=260 entonces

Cuadrado mayor x²= (260)²=67600
Cuadrado menor y²= (80)=6400
Dos rectangulos iguales 2x (80)= 2(260)(80)=41600

Comprobando
A=x²-2x (80)+y²
32400=67600-41600+6400
32400=32400

b) diferencia de cuadrados

Problema: el producto de un numero aumentado en 7 unidades por el mismo número disminuido en 7 unidades es igual a 72 ¿cual es el numero buscado)
X es el número
X+7 es el número aumentado en 7 unidades
X-7 es el mismo número disminuido en 7 unidades
El producto sería
(X+7) (x-7)=72

Los factores (x+7) (x-7)

son binomios conjugados; ello origina una diferencia de cuadrados
(X+7) (x-7)= x²-7²=72

Reduciendo y despejando
X²-49=72
X²=72+49
X²=121
x=√121
x= 11
x= -11 cualquiera de los dos es el resultado por ser una ecuación de segundo grado

Comprobando x=11
(X+7) (x-7) = 72
(11+7) (11-7) = 72
(18) (4)=72

c) Productos de binomios con un término común
(x+a) (x+b)
X es el término común
a,b son los términos no comunes.

Problema: el producto de un número aumentado en 4 unidades multiplicando por el mismo número disminuido en 2 unidades es igual a 40.
¿Cual es el número buscado?

X+4 número aumentado en 4 unidades
X-2 “ disminuido en 2 unidades
El producto=40

Se origina el producto notable
(X+4) (x-2)= x²+ (4-2) x+ (4) (-2)=40

Simplificando
X²+2x-8=40
X²+2x=40+8
X²+2x=48
X²+2x-48=0
(X+8) (x-6)=0

Factorizando el primer miembro
(X+8)=0 (x-6)=0
X+8 =0 x-6 =0
X = -8 x=6

-8 o 6 es el número buscado por ser una ecuación de segundo grado

10.- Selecciona 3 ejercicios de factorización (3 polinomios)

Ejercicio: factoriza los sig. Polinomios

a) x²+10x+25= (x+5) (x+5)
b) y²-7y-30 = (y-10) (y+3)
c) x²+2x-48 = (x+8)(x-6)

11.-Concluye y describe en equipo que fue lo que aprendiste, ademas contesta las siguientes preguntas: ¿Cómo determinas que tipo de Producto Notable es?


Aprendí a resolver problemas de productos notables como los binomios al cuadrado, binomios conjugados y productos de binomios con un término común aplicando las reglas para su resolución sin necesidad de hacer el procedimiento completo.

Si el producto notable es un binomio al cuadrado (x+8)²=(x+8) (x+8)

Concluyo o determino que es un producto de binomios iguales; entonces aplico la regla general

(a+b)²= (a+b) (a+b) =a²+2ab+b²

(X+8) ²=(x+8) (x+8)= x²+2(x)(8)+8²
= x²+16x+64

Si es un producto como (x+7) (x-7) concluyo que son binomios conjugados y la solución es un producto igual a una diferencia de cuadrados (x+7) (x-7)= x²-7²
= x²-49
Y si es un binomio con un término común aplico la regla para resolverlo

(x+a) (x+b)= x²+ (a+b) x+ ab
(x+4) (X-2)= x²+ (4-2) x+(4) (-2)
=x²+2x-8

Relación con la factorización

PRODUCTOS FACTORIZACION

A) x²+16x+64 (x+8) (x+8)
Trinomio cuadrado perfecto binomio al cuadrado

B) x²-49 (x+7) (x-7)
Diferencia de cuadrados binomios conjugados

C) x²+2x-8 (x+4) (x-2)
Trinomio de segundo grado no perfecto con un término común