Fracciones Irreducibles
se ha visto que es posible encontrar una fracción equivalente a otra dada, multiplicando numerador y denominador de esa fracción dada por un mismo número:

Si la fracción dada fuera  y se quisiera encontrar una fracción equivalente a ella, puede obtenerse dividiendo el numerador y el denominador por 3:

En este caso, ya se sabía que dividir por 3 numerador y denominador produciría una fracción equivalente a 6/9, pues sólo se realizó el proceso inverso al anterior.
En general, para poder encontrar fracciones equivalentes a una dada, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número, es necesario que numerador y denominador sean múltiplos de ese número. Por ejemplo:

En este caso, 4 y 6 son ambos múltiplos de 2. Si se considera esta otra fracción:

En este caso, no existe ningún número mayor que 1 que sea divisor de 5 y 8 a la vez.

No es posible, entonces, encontrar fracciones equivalentes a   dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Cuando esto ocurre, se dice que la fracción es irreducible. El proceso de encontrar fracciones equivalentes a una dada, dividiendo numerador y denominador por el mismo número, se llama simplificación de fracciones.
De nuevo se considerarán las fracciones impropias. Se ha visto que una fracción impropia representa una cantidad que es mayor o igual que la unidad. También se sabe que en toda fracción impropia, el numerador es mayor o igualque el denominador.
Para realizar ciertas operaciones, es conveniente escribir una fracción impropia como un número natural más una fracción propia, como por ejemplo:

 

En este caso es fácil ver por qué es cierta esa igualdad.
Se sabe que cada 3/3 equivale a la unidad y al tomar 8/3 se está tomando dos veces 3/3, es decir, 2 unidades y quedan 2/3 más.
En otras palabras, se usa el hecho de que    con resto 2.
Por eso,

Para escribir la fracción impropia  como un número natural más una fracción propia, se hace lo siguiente:
se divide

se obtiene un cociente igual a 7 y resto igual a 6, lo cual quiere decir que

Esto se hace porque una fracción cualquiera también representa una división:

Cuando se piensa que una fracción representa también una división se hace más clara la razón por la cual dos fracciones como 3/5 y 18/30 son equivalentes.
Para algunos resulta un poco extraño el hecho de que 3/5 = 18/30, siendo 3 distinto de 18 y 5 distinto de 30.

Lo que ocurre es que si se divide 3/5 el resultado será igual al que se obtiene al dividir 18/30, sencillamente porque 18/30 = [(3 6)] / [(5)(6)].

En toda división de un número entre otro, si se multiplican el dividendo y el divisor por un mismo número, el resultado de la división no se altera.

Algo parecido ocurre con la resta: 14 - 6 = 8 se suma 7 al minuendo y al sustraendo
(14+7) - (6+7) = 8 La diferencia no se altera.

 
Bibliografía:Guelli, O. (1992). Contando a Historia da Matemática. Sao Paulo: Editora Atica.
García, V., Villaseñor, R., Waldegg, G. (1998). Matemáticas en Contexto. México: Grupo Editorial Iberoamérica, S. A. de C. V
Bibliografía recomendada:
Paredes, B., Salcedo, A. (1997). Matemáticas 7s. Caracas: Santillana.
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  Glosarios (Términos)
  | Expresión decimal |

103 | de | 294
 

Las expresiones decimales constituyen una forma peculiar de denotar las fracciones, dividiendo el numerador entre el denominador de una fracción es posible obtener su expresión decimal correspondiente.  En toda expresión decimal se distingue una parte entera y otra parte decimal.
La fracción se representa en notación decimal mediante la expresión 0,375 que tiene parte entera 'cero' y parte decimal 375.
La coma decimal es la encargada de delimitar a su izquierda la parte entera y a su derecha, la parte decimal. El valor de una expresión decimal no se altera cuando le agregamos ceros a la derecha, de este modo 3,579 = 3 . La diferencia entre ambas expresiones decimales radica en la aproximación que expresan.
3,579 indica una aproximación en los cálculos o la medición hasta las milésimas 3,579 0 indica una aproximación en los cálculos o la medición hasta las diez milésimas.
Las expresiones decimales se pueden obtener como resultado de efectuar la división entre dos números naturales, cuando la división es inexacta. 

MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oxford University Press 2002
EXPRESIONES DECIMALES Y FRACCIONES GENERATRICES

1. Relaciona

Número periódico mixto
1,8

Número decimal

Número periódico puro

67,548

2. Ordena los siguientes números decimales

3. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

a) 0,131313 b) 1,121121121 c) d)

e) –1,3434 f) g) 40,0404 h) 5

4. Calcula, expresando el resultado en forma fraccionaria las siguientes operaciones

EXPRESIONES DECIMALES Y FRACCIONES GENERATRICES (Soluciones)

1. Relaciona

Número periódico mixto
1,8

MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oxford University Press 2002

Número decimal

Número periódico puro

67,548

3. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales

a) 0,131313 =

b) 1,121121121 =

c) =

d) =

e) –1 =

f)

g) 40 =

h) 5 =

4. Calcula, expresando el resultado en forma fraccionaria las siguientes operaciones:

MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oxford University Press 2002

El concepto de fracción
y sus diversas formas
de representación
Después de esta breve introducción histórica podemos plantear el concepto de fracción como la expresión de la relación entre una parte y el todo. Para definirlo, necesitamos tres elementos:
1. Un todo, considerado como uni-
dad
2. Una partición de ese todo enb
partes congruentes (b> 0)
3. La referencia a un númeroa de
esas partes.
En Matemática, los conceptos re- quieren necesariamente algún modo de representación que ha de ser pertinente, es decir, que permita mostrar adecua- damente y con cierta simplicidad el concepto y sus propiedades, así como las posibles operaciones y transformaciones a las que puede someterse posteriormen- te. En este sentido, algunos conceptos son polimorfos, es decir, pueden adoptar diversas formas de representación. Tal es el caso del concepto de fracción.
En efecto, existen varios campos o
sistemas de representación para el con-
cepto de fracción. Vamos a presentarlos –tomando como referencia un todo frac- cionado en5 partes congruentes, de las que consideramos2– y, posteriormente, a describirlos:
Una fracción, en general, es la expresión de una cantidad dividida por otra, y una fracción propia representa las partes que tomamos de un todo.

El ejemplo clásico es el de un queso que partimos en porciones. En el dibujo, hemos hecho 8 porciones, 3 rosas y 5 verdes.

Si tomamos las 3 rosas, representan 3 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir   3 / 8  del queso,
y si tomamos las 5 verdes, representan 5 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir   5 / 8  del queso.

Las partes que tomamos ó 5 ) se llaman   numerador  y las partes en que dividimos el queso  ( 8 ) denominador.
Clasificación De LasFracciones
Las fracciones se pueden clasificar de distintas formas; en la siguiente tabla se muestran las características de las más importantes.

Tipo | Características | Ejemplos |
Propia | El numerador es menor que el denominador | 1 / 2, 7 / 9 |
Impropia | El numerador es mayor que el denominador | 4 / 3, 5 / 2 |
Homogéneas | Tienen el mismo denominador | 2 / 5, 4 / 5 |
Heterogéneas | Tienen distinto denominador | 3 / 7, 2 / 8 |
Entera | El numerador es igual al denominador
representan un entero | 6 / 6 = 1 |
Equivalentes | Cuando tienen el mismo valor.
Dos fracciones son equivalentes
si son iguales sus productos cruzados | 2/3 y 4/6
2x6 = 3x4 |

Si en una fracción multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador por un mismo numero, obtenemos una fracción equivalente a la primera, pues ambas tienen el mismo valor. Por ejemplo:
1 (1 x 4) 4 3 (3 : 3) 1 |
— | = | ——— | = | — | = | 0,5 ; |       | — | = | ——— | = | — | = | 0,2 |
2 (2 x 4) 8 15 (15 : 3) 5 |

Simplificar o Reducir una fracción consiste en hallar la fracción equivalente más pequeña posible; para ello, lo primero que hacemos es buscar el mayor número que divide exactamente (resto = 0) al numerador y al denominador (mayor divisor común) y después dividimos el numerador y el denominador por este mayor divisor común, ya que como hemos visto antes, dividiendo elnumerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente (de igual valor).

Por ejemplo: Simplificar 30/42
Los números que dividen exactamente a 30 (divisores) son: 2, 3, 5, 6, 10 y 15.
Los números que dividen exactamente a 42 (divisores) son: 2, 3, 6, 7, 14 y 21.
Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6. El mayor divisor común es 6, por tanto, dividimos numerador y denominador por 6.
30 30/6 5 |
—— | = | ——— | = | — |
42 42/6 7 |

Cuando en una fracción, el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común, se dice que es una fracción irreducible.

Suma Y Resta De Fracciones

Si las fracciones tienen el mismo denominador (homogéneas), se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
Ejemplo:
3 2 (3 + 2) 5 5 2 (5 – 2) 3 |
— | + | — | = | ——— | = | — | ;      | — | – | — | = | ——— | = | — |
6 6 6 6 7 7 7 7 |

Si las fracciones tienen distinto denominador (heterogéneas), lo primero que tenemos que hacer es igualar los denominadores. Para conseguirlo, buscamos dos fracciones equivalentes a las dadas, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra. Una vez obtenido el mismo denominador, procedemos como en el caso anterior, sumamos los numeradores y ponemos el denominador común.
Ejemplo:
2 3 (2 x 7) (3x 5) 14 15 29 |
— | + | — | = | ——— | + | ——— | = | —— | + | —— | = | —— |
5 7 (5 x 7) (7 x 5) 35 35 35 |

Multiplicación De Fracciones

El producto de varias fracciones es igual a otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.
Ejemplo:
3 4 2 (3 x 4 x 2) 24 | 2 |
— |   x  | — |   x  | — | = | ———— | = | —— |   simplificando | = | — |
4 5 3 (4 x 5 x 3) 60 | 5 |

Fracción De Un Número

Calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción por ese número.
Ejemplo: Calcular los 2 / 3 de 60:
2 2 (2 x 60) 120
— |   de   | 60 | = | — |  x  | 60 | = | ——— | = | —— | = | 40 |
3 3 3 3 |

División De Fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
Ejemplo
4 3 (4 x 5) 20 |
— |  :  | — | = | ——— | = | —— |
9 5 (9 x 3) 27 |
En este video tutorial podrás ver la lección de las fracciones y sus principales operaciones.
En los juegos escribiremos la raya de fracción con la barra inclinada  ', por sencillez en el manejo del teclado.