Geometría intuitiva desde el cuarto de
baño
Resumen
Describimos una experiencia de geometría intuitiva, que relaciona la
geometría tridimensional con la bidimensional a partir de la
manipulación de los cilindros de cartón de papel
higiénico. Con estas actividades se fomenta el reconocimiento de
distintas formas geométricas y la simetría, y se contribuye a
desarrollar la visión espacial y plana. Se puede realizar en cualquier
nivel educativo (incluso con adultos) y se plantea de manera esencialmente practica
y lúdica. Geometría, Manipulación, Visión espacial,
Experiencia de aula.
R I
Palabras clave
E
Abstract
We describe an experience of intuitive geometry, which relates the three
dimensional geometry to the two-dimensional one from the manipulation of the
cylinders of carton of hygienic paper roles. With these activities it is
fomented the recognition of different geometric forms and the symmetry, and it
helps to develop the spatial and flat vision. It can be carried out in any
educational level (even with adults) and it is done in a practical and playful
way. Geometry, Manipulation, Spatial vision, Experience of classroom. El mejor
método para mantener despierto a un estudiante es seguramente proponerle
un juego matematico intrigante, un pasatiempo, un truco magico,
una chanza, una paradoja, un modelo, untrabalenguas o cualquiera de esas mil
cosas que los profesores aburridos suelen rehuir porque piensan que son
frivolidades. Martin Gardner, Carnaval Matematico, Prólogo
(1975).
N C I
Keywords
A S D
1. Introducción
Durante años, la geometría ha estado relegada a los
últimos lugares del
currículo que se desarrolla en el aula y que nunca da tiempo de abordar
porque se acaba el curso. Cuando esto no sucede, ocurre con cierta frecuencia
que la geometría enseñada (y aprendida) es una geometría
algebraizada, consistente basicamente en la memorización de
fórmulas y su aplicación inmediata. Es común ver
cuadernos, ejercicios o examenes de geometría en los que no hay
dibujos, sino que el alumno pasa directamente del enunciado a la fórmula
magica que resuelve el problema sin necesidad de visualizarlo y, por
supuesto, sin comprender realmente lo que esta haciendo. El resultado
final de este tipo de enseñanza-aprendizaje es deficiente. Al cabo de un
cierto tiempo (por lo general bastante corto), los alumnos olvidan las
fórmulas y entonces no saben nada de geometría. No desarrollaron
en su momento una adecuada visión espacial, no manipularon las figuras,
los cuerpos, ni otros elementos geométricos, no son capaces de ver,
dividir, deformar, predecir Esta
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última es la verdadera geometría, la que queda en el conocimiento
una vez que las fórmulas se olvidan (y parece inevitableque se olviden).
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En los últimos años observamos una tendencia a recuperar el
pensamiento geométrico y la intuición espacial en los
currículos de Matematicas. Muchos autores consideran inaplazable
la recuperación de algunos contenidos espaciales e intuitivos de las
Matematicas, y en particular de la geometría. Nosotros
también, y en esa línea se inscribe la actividad que presentamos,
intentando que los niños se convenzan de que las matematicas no
son simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que, por
el contrario, tienen sentido, son lógicas y son divertidas 1 . Esta
actividad pretende que los alumnos desarrollen su visión
geométrica, sin necesidad de aprender fórmulas, usando
permanentemente una lógica geométrica que debe ser practicada,
pues no siempre se adquiere espontaneamente. La teoría y las
fórmulas geométricas también pueden usarse e incorporarse
a la actividad, en la medida que cada profesor estime conveniente y en
función del nivel de los alumnos y del tiempo que se le
quiera dedicar. En este artículo describimos la actividad y su puesta en
practica, y exponemos algunas impresiones, respuestas, anécdotas
y conclusiones fruto de nuestra experiencia en el aula. La hemos llevado a cabo
en 3 cursos escolares y en 3 niveles diferentes de la Enseñanza
Secundaria Obligatoria (ESO): 2.º curso (13 años), 3.º curso
(14 años) y 1.º curso del
PCE 2 (15 y 16 años).
U
2. Objetivos y metodología
El objetivo principal es contribuir al desarrollo de la visión
geométrica delalumnado, imaginando, intuyendo y prediciendo situaciones
que contrastaran de forma manipulativa. Se repasan, ademas, las
características de varias figuras planas (triangulo, cuadrado,
rectangulo, rombo, romboide, trapecio, hexagono…).
También se inician en el conocimiento del cilindro, la elipse y el número
Pi. 2.1. Material Cada alumno debe tener el siguiente material, aunque el
profesor decide si debe tenerlo todo desde el comienzo o se le va suministrando
a medida que vaya siendo necesario:
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Estandares
curriculares y de evaluación para la Educación Matematica
(1992). 2 Programa de Capacitación profesional inicial Conducente al
título de graduado en ESO. Este programa consta de dos años y los
alumnos que lo cursan han repetido uno o los dos cursos del primer ciclo de ESO, sin haber superado
en la mayoría de los casos practicamente ninguna asignatura. Es
una de las modalidades de los PCPI (Programas de Capacitación
Profesional Inicial).
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Cilindros de cartón (de papel higiénico), como mínimo 5
por alumno. Mejor si son 10 ó mas. Tijeras. Cinta métrica,
preferentemente de papel (como
las que ofrecen algunos comercios de muebles o bricolaje para que sus clientes
tomen las medidas por sí mismos). Lapiz y regla. (*) Calculadora.
(*) Transportador de angulos. (*) Folios (para escribir, recortar plantillas
de angulos, experimentar).(*) Cinta de papel (rollo de papel de
maquinas sumadoras). Para el póster o mural que cierra la
actividad, sera necesario también disponer de cartulinas y
pegamento, así como
rotuladores, acuarelas, o los elementos de pintura y decorativos que se estimen
convenientes.
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La actividad puede ser simplificada, y no usar los materiales marcados con
asterisco (*). En nuestras primeras practicas lo hicimos así, y
lo hemos ido ampliando en función de nuestra propia experiencia. 2.2.
Temporalización
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Lo ideal sería dedicarle a esta actividad 3 sesiones de clase completas,
si bien puede recortarse y hacer solamente 1 ó 2. En función del
curso, de las preferencias del profesor, de la dinamica y respuesta de los
alumnos y del tiempo disponible, se seleccionan las cuestiones que se quieren
llevar al aula, de entre las que componen la actividad completa. En el anexo
incluimos una temporalización real para dos sesiones de la experiencia
llevada a cabo con 2.º curso de ESO. 2.3. Organización del aula
• En forma de U para el trabajo individual y por parejas. Así se
destaca el papel central del profesor, como director de la actividad, se propicia la
atención del
alumnado y es mas facil el seguimiento de la sesión en el
aula. El uso de la pizarra como
apoyo a las explicaciones e instrucciones es también importante. •
Con los pupitres agrupados en 2 ó 3 para realizar los murales al final
de la actividad. 2.4. Tratamiento de la diversidad
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Ningún alumno se quedara parado o descolgado en las tareasa
realizar. Todos saben trazar líneas y cortar con unas tijeras. Unos lo
hacen midiendo con exactitud y buscando la perfección, otros a ojo. A
estos últimos les pedimos reflexionar sobre el resultado obtenido, y
repetir el corte para que salga mejor. Es importante que aprendan solos, que
vean el resultado de su trabajo, sea correcto o erróneo. El
método de ensayo y error es fundamental en esta actividad.
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2.5. Método de trabajo Todas las actividades deben ser pensadas e
imaginadas antes de realizarlas. Primero se comprende lo que hay que hacer; luego
se imagina cómo sera el resultado; a continuación, se
traza sobre el cilindro las líneas que marcaran los cortes;
finalmente se realizan los cortes y se comprueba si todo ha salido bien.
3. Desarrollo de la experiencia
3.1. Sin cortar el cilindro
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1.
Mostrar un cilindro a los alumnos y pedir que lo describan. Conseguir, entre
todos, una descripción verbal correcta y completa, que incluya los
términos matematicos y geométricos que sean necesarios.
Reconocimiento del objeto como
figura geométrica. Descripción por comparación o similitud
con otros objetos conocidos. Lógicamente, no surge en las descripciones
de los alumnos el cilindro como «cuerpo de revolución», que
es la mas típica de las definiciones que encontramos en los
libros de texto. Este cilindro sin tapas surgecomo cuerpo de revolución
a partir de un segmento paralelo al eje de rotación. Nos parece un nivel
de abstracción innecesario y hemos prescindido de esta visión.
Surgen muchas palabras y expresiones llenas de imprecisiones («redondo»
es la mas frecuente), pero sí es rica la colección de
objetos que ellos encuentran con forma cilíndrica: latas de conserva, un
cd-rom («es casi plano, pero es en realidad un cilindro,
¿verdad, profe?»), un euro, un pedazo de farola de la calle, el
bote donde vienen las pelotas de tenis, las patas de los pupitres
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2. Medidas del cilindro. ¿Qué medidas lo definen?
¿Cuantas? Tomar las medidas con la maxima precisión
posible. Hacer notar que obtendremos con seguridad medidas diferentes por parte
de distintos alumnos, fruto de que no todos los cilindros seran
completamente iguales (diferencias en el proceso de fabricación), no
todos estan en perfectas condiciones, y errores en el proceso de
medición. La colección de datos obtenidos de las medidas
realizadas por todos los alumnos nos facilita realizar una incursión en
el mundo de la estadística. Probablemente la medida mas acertada
sea la media de todos los datos. La moda, si se dispone de una clara
mayoría, también es adecuada. La respuesta típica es que
son suficientes dos medidas: el alto del
cilindro y el diametro. Es correcto, pero el diametro tiene mucho
margen de error, porque el cilindro es flexible y la presión de la mano
al cogerlo y medirlo hace que la circunferencia del borde se
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deforme en mayor o menor medida. Ver que las medidas de los diametros
tomados por todos tienen mayor variabilidad que si miden el contorno de la
circunferencia.
3.
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Calcular area y volumen. Recordar la fórmula del volumen del
cilindro. Comparar con una lata de refresco, ¿cuanto refresco
mas (o menos) cabría en el cilindro de cartón que en la
lata? Para calcular el area, provocar su deducción como rectangulo.
¿Y si tuviera tapas? circunferencia. Estimarlo midiendo circunferencia y
diametro con la mayor precisión posible. Observar,
también, que se obtendran muchos valores diferentes. La misma
incursión estadística es valida aquí. Aportar otros
cilindros (cd-rom, tubo donde se guardan los cd-rom, pedazo de tubería
de plastico o pvc, lata de refresco, barra de pegamento, lata de
conservas, el borde de un vaso…). Llegar a la conclusión de que
cuanto mas grande sea el diametro del cilindro (y mas rígido,
para que no se deforme la circunferencia en el momento de la medición)
mejor aproximación de pi conseguiremos… ¿por qué?
Estas dos últimas tareas se apartan de la esencia de la actividad
(manipulativa, lúdica, centrada en la visión geométrica).
Sólo las abordamos si vamos a disponer de las tres sesiones y si
estimamos que el grupo de alumnos puede ser receptivo a este
«formalismo».
4. Definir el número pi (π) como
el cociente entre la longitud y el diametro de cualquier3.2. Cortando el
cilindro sin doblarlo
C
Todas las actividades de recorte deben ser planteadas de forma verbal,
mostrando el cilindro y apoyandonos con dibujos en la pizarra. Con esa
descripción verbal el alumno debe imaginar qué sucedera al
cortar y expresarlo verbalmente. Es interesante provocar una discusión
en la clase y ver si ellos llegan a una conclusión clara, si hay alumnos
que son capaces de convencer a otros de sus conclusiones, y observar
cómo expresan verbalmente situaciones y resultados de tipo claramente
geométrico. Se puede pedir a los alumnos que tomen notas en su cuaderno
de clase, y que formalicen (en la medida de lo posible) lo que van
descubriendo. Nosotros no somos partidarios de hacerlo. Esto le resta
espontaneidad y sentido lúdico a la experiencia y conduce a los alumnos
al demasiado frecuente cartesianismo escolar, que intentamos evitar en esta
actividad.
5. ¿Qué figuras obtendremos si realizamos un corte recto, sin
doblar ni deformar el cilindro?
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Buscar similitudes con situaciones conocidas, por ejemplo, el corte inclinado
típico de las lonchas de salchichón. ¿Cómo se
llaman las figuras obtenidas (tridimensionales y planas)?
Longitudinal
Transversal
Oblicuo
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6. Si realizamos un corte longitudinal, ¿qué obtendremos, un
cuadrado, un rectangulo apaisado
o un rectangulo vertical?, ¿cómo podemos estar
completamente seguros de la respuesta antes de cortar? (midiendo, por
supuesto).
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Es importante exigir un minuto de silencio para pensar las respuestas. Hay
alumnos que tienen una buena visión espacial y dan rapidamente la
respuesta correcta. Esto impide que otros alumnos mediten sobre la
situación planteada. Esta reflexión es la que verdaderamente
contribuye a desarrollar la visión geométrica que perseguimos.
Aparecen siempre las tres respuestas: cuadrado, rectangulo horizontal y
rectangulo vertical. Para llegar a la conclusión de que
saldra un rectangulo horizontal hay que medir la longitud de la
circunferencia, que sera precisamente el lado horizontal del rectangulo
resultante. Mostrar el cartón alternativamente en forma de
rectangulo y de cilindro aclara de forma evidente cómo se calcula
el area del
cilindro y hace innecesario memorizar una fórmula. ¡UN MINUTO PARA PENSAR! A partir de aquí hay que repetir
continuamente esta frase. Los alumnos que «ven» una respuesta
quieren decirla rapidamente en voz alta.
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7. ¿Y si hacemos un corte oblicuo, qué figura obtendremos?
¿siempre la misma? ¿da igual lo
inclinado que hagamos el corte? Comparamos los resultados de diversos cortes
inclinados que han hecho varios alumnos. Seran distintos
romboides… Para no gastar demasiados
cilindros, pedimos a tres alumnos que hagan cada uno un corte con distinto
grado de inclinación (poco, medio y muy inclinado). El resto de la
discusión se hace mostrando los 3romboides obtenidos, apoyandonos
con dibujos en la pizarra y, si es necesario, cortando algún cilindro
mas.
8. Provocamos la discusión del
calculo del
area de todas las figuras obtenidas hasta ahora:
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rectangulo y distintos romboides… Aquí es importante llegar
con los alumnos a estas conclusiones: (a) el area del romboide es b · h,
¡exactamente igual que el rectangulo! No importa la
inclinación que tengan los lados laterales (los lados horizontales son
siempre iguales y coinciden con la longitud de la circunferencia del cilindro); (b) las
areas son todas iguales… ¡porque todas tienen la misma
cantidad (y por tanto superficie) de cartón!
9. ¿Se podra obtener un rombo? ¿Podrías marcar la línea por la
que hay que cortar para que la
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figura plana que resulte sea un rombo?
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No siempre surge espontaneamente la idea de que si inclinamos
suficientemente el corte conseguiremos un rombo. En caso necesario la inducimos
a partir del
dibujo de un romboide en la pizarra, al que le vamos inclinando cada vez
mas los lados laterales, hasta que se hacen iguales que los lados
superior e inferior. Normalmente el trabajo de medir y trazar la línea
de corte no lo puede hacer un alumno solo, es complicado colocar la cinta
métrica de forma oblicua sobre el cilindro, de manera que el 0 se
sitúe en el borde inferior y el punto de los 15 cm (aprox. mide 15 cm la
circunferencia delcilindro) se sitúe en el borde superior. Una vez que
se ha conseguido colocar la cinta hay que trazar la línea, uno sujeta la cinta y el
otro hace el trazado.
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Si el grupo de alumnos es receptivo, en este momento podemos mostrar otra
manera de calcular el area del
rombo. En lugar de la clasica fórmula A=(D·d)/2, o de la
división del rombo en 2 ó 4 triangulos, también lo
podemos calcular como si se tratara de un caso particular de romboide (A = base
· altura), lo que a su vez coincide con la suma de las areas de
los dos triangulos rectangulos iguales y el rectangulo en
que se divide el rombo (ver figura). No es, en absoluto, la mejor forma de
calcular el area, pero se trata de darles siempre ejemplos de que
«muchas cuestiones se pueden hacer bien de maneras distintas, siguiendo
diferentes caminos».
10. ¿Y al revés? ¿Si unimos los lados inclinados de
cualquier romboide obtendremos siempre un
cilindro? ¿Y a partir de un rombo?
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3.3. Cortes con el cilindro doblado También aquí se debe imaginar
primero y cortar después. El doblado del cilindro es siempre el mismo:
aplastar el cilindro, de forma que quede plano, quedando dos rectangulos
verticales superpuestos que tienen sus lados izquierdo y derecho unidos.
11. Doblamos, hacemos un corte recto (longitudinal u horizontalmente) y
desdoblamos. ¿Quéfigura(s) se obtiene se cada caso?
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Corte longitudinal
Corte transversal
El corte transversal no presenta ninguna dificultad. Obtendremos dos cilindros
igual de «anchos» pero la mitad de altos. Esto lo ven
rapidamente todos los alumnos.
12. Seguimos trabajando con el corte longitudinal
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Se producira la discusión sobre si lo que sale son dos cuadrados
o dos rectangulos. Resulta sorprendente comprobar que muy pocos alumnos
ven que el resultado del corte longitudinal por el centro es un par de
rectangulos iguales del mismo tamaño que el que vemos al observar
el cilindro aplastado. Una vez aclarado y demostrado que son
rectangulos, la siguiente pregunta sera: ¿por dónde
debemos cortar para obtener un cuadrado? Lógicamente, saldra un
cuadrado y un rectangulo vertical mas estrecho, que
«sobra»… esto no lo ven de forma inmediata algunos alumnos.
Puede desarrollarse así, mas o menos: a. b. c. d. ¿Salen
las dos piezas del mismo tamaño? ¿Son cuadrados o
rectangulos? ¡Compruébalo! ¿Y si «rodamos»
el corte? Si quiero obtener una pieza (cuadrado o rectangulo) que tenga,
por ejemplo, 4 cm de base (la altura sera la altura total del cilindro),
¿por dónde hay que cortar? e. ¿Por dónde hay que
hacer el corte para que obtengamos un cuadrado? f. ¿Por dónde
debemos hacer el corte para que una pieza sea el doble de grande que la otra?
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13. Aplastamos el cilindro, realizamos un corte recto inclinado y desdoblamos.
¿Qué figuras se
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pueden obtener? Debemos guiar a los alumnos sucesivamente por los distintos
tipos de cortes que se pueden realizar:
a)
Pasando por el centro del rectangulo visible (cilindro aplastado) y sin
llegar a las esquinas. Siempre saldran dos trapecios iguales, invertidos
uno con respecto a otro. A muchos alumnos les salen los trapecios de
tamaños diferentes, porque no marcaron con exactitud el punto medio o no
hicieron un corte recto y preciso (con el doble cartón y una tijera
pequeña es facil torcerse). Si hacemos el mismo corte, pero hacia
el otro lado, ¿qué figuras obtendremos?
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b)
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c)
Si el corte supera las esquinas quedaran dos «troncos»
de cilindro con la peculiaridad de que el borde cortado no sera
elíptico; tendra «picos», producto de que el cilindro
estaba «aplastado» cuando se cortó.
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d)
¿Qué ocurre si, partiendo del caso (a), vamos inclinando el corte
cada vez mas? Los lados paralelos del trapecio se van ensanchando y
estrechando. ¿Y si cortamos justo de esquina a esquina? ¡Dos
triangulos! ¿Seran triangulos rectangulos?
Muchos alumnos responden afirmativamente (lo que se ve antes de cortar tiene
efectivamente un angulo recto), pero es facil deducir lo
contrario, pues al abrir el doblez, el angulo superior (que es menor de
45º) se duplica. Volvemos al caso (a), pero realizamos un corte sin pasar
por el centro. ¿Qué obtenemos? Dos trapecios invertidos…
pero noiguales. ¿Y si el corte inclinado toca solamente una de las
esquinas? ¡Un triangulo y un trapecio! En función del
tiempo y la cantidad de cilindros disponibles se pueden realizar todos estos
últimos cortes, o ninguno, o sólo algunos, y dejar el resto
exclusivamente para la discusión verbal. En este caso es importante el
apoyo de la pizarra, aunque primero intentamos que los alumnos
«vean» las figuras propuestas sólo con nuestra
descripción verbal.
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14. Doblamos, realizamos un corte con esquina y desdoblamos. ¿Qué
figuras se podran obtener?
Si conseguimos un buen dominio de la figura cilíndrica aplastada,
¿podremos definir los cortes necesarios para obtener cualquier
polígono regular o irregular?
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Cuadrado
Pentagono
Rombo
Hexagono
Octógono
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Pentagono regular mas grande posible
En estos cortes juega un papel fundamental la simetría. En el momento en
que los alumnos descubren que basta con «imaginar» la mitad de la
figura y trazarla sobre el cilindro aplastado, se les abre un mundo de
posibilidades.
− Profe, ¿y se pueden hacer líneas curvas? − Claro
¿por qué no? ¿Qué figura quieres − ¡Una
mariposa!
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obtener?
Todos estos polígonos (y mas) los abordamos de la siguiente
manera: proponemos y realizamos uno de ellos con la explicación del
profesor, los comentarios delos alumnos, el apoyo de la pizarra, comparando los
distintos resultados obtenidos y «desvelando» cómo debemos
hacer el corte para obtener un resultado «perfecto». Nosotros lo
hicimos con el cuadrado. A continuación, proponemos todas las
demas figuras, con una muy breve explicación y un dibujo en la
pizarra. A partir de ese momento, cada alumno (o pareja) trabaja a su ritmo y
elige la figura que prefiere. Les pedimos siempre que una vez trazada la
línea de corte, pero antes de cortar, avisen al profesor. Nos deben
explicar cual ha sido su reflexión y cómo han trazado las
líneas. Normalmente les dejamos cortar, incluso cuando sabemos que el
resultado no va a ser correcto el siguiente intento saldra mejor.
Apuntamos a continuación algunos comentarios breves sobre la
realización de estos polígonos: Cuadrado: superponiendo la
esquina de un folio (que nos ofrece rapidamente un angulo recto)
se consigue un cuadrado. Para que sea maximo debemos meter la mayor
cantidad posible de folio dentro del cartón. Normalmente, el primer
intento sale mal, pues no es tan evidente para ellos tener la precaución
de que la esquina del folio esté sobre la línea horizontal que
divide en dos mitades el cilindro plegado. En el segundo intento les proponemos
que dibujen la línea sobre la que se debe apoyar la esquina del folio.
Octógono: es el mas facil (aparentemente), a partir del
cuadrado y cortando las esquinas. No de este último cuadrado, sino del
realizado anteriormente, con un único corte vertical sobre el cilindro
aplastado. En su primerintento, los alumnos dividen en tres partes iguales el
lado del cuadrado, pero ¡el octógono no es regular! Sólo
a los mas avanzados o interesados les proponemos que realicen los
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calculos para conseguir un octógono regular. El resto (la gran
mayoría) realizan un segundo intento a ojo, que sale suficientemente
aproximado. Hexagono: midiendo lados y angulos, recortando uno o
dos angulos de 120º en el folio y superponiéndolos al
cilindro doblado, de forma similar a lo realizado con el cuadrado. Los
angulos de 120º se pueden conseguir de dos formas: midiendo con el
transportador sobre el folio y recortando una plantilla, o bien doblando la
esquina del folio en tres partes iguales (esto se hace a ojo, pero normalmente
sale con una aproximación bastante buena). Con esto conseguimos un
angulo de 60º. Dos angulos de 60º (o uno de 90º
mas otro de 30º) forman uno de 120º. Pentagono:
mediante ensayo y error, cortando varios cilindros, cada uno mejor que el anterior.
Es un buen método, indica que el alumno ha comprendido y va
perfeccionando y ajustando los elementos geométricos (longitudes de los
lados y angulos). Utilizando la misma idea del cuadrado y del
hexagono, necesitamos recortar un angulo de ¡a calcular!
(108º). Es un momento excelente para enseñarles a construir un
pentagono regular a partir de una tira de papel.
E X P E R I E N C I A S D3.4. Para terminar, un mural Como trabajo final
encargamos a los alumnos, en grupos, realizar un mural con las distintas
figuras que obtuvieron en esta experiencia. Deben dar nombre a todas las
figuras y puede decorarse de forma libre. Incluso pueden añadirse
definiciones, explicaciones, o cualquier otro tipo de texto. La perspectiva de
hacer el mural y exponerlo es motivador y varios alumnos decidieron realizar mas
figuras (no tan matematicas) para mejorar su mural. Comenzamos a hacerlo
en la segunda mitad de la tercera sesión de clase, y los alumnos lo
terminaron en casa.
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4. Elementos del currículo
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Por supuesto, aunque planteemos esta experiencia como eminentemente
lúdica, sin registro en el cuaderno de clase del alumno, ni
evaluación formal, las actividades desarrolladas tienen relación
con distintos elementos de los currículos de la ESO, tanto en sus
objetivos y contenidos como en las competencias basicas que contribuye a
desarrollar. La idea de competencia descrita en el Proyecto PISA se manifiesta
a través de la capacidad de los alumnos para emplear el conocimiento en
la practica al resolver tareas matematicas en contexto. A
continuación relacionamos algunos de estos elementos (objetivos,
contenidos y competencias basicas) que se trabajan directamente con las
actividades descritas en esta experiencia:
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Objetivos (LOE) para el area de Matematicas en la E.S.O. •
Incorporar el razonamiento y las formas de expresión matematica
(numérica, grafica, geométrica, algebraica,
estadística, probabilística, etc.) al lenguaje y a los modos de
argumentación habituales en los distintos ambitos de la actividad
humana. • Reconocer situaciones susceptibles de ser formuladas en
términos matematicos, y analizar y emplear diferentes estrategias
para abordarlas aplicando adecuadamente los conocimientos matematicos
adquiridos. • Localizar y describir formas y relaciones espaciales en la
vida cotidiana, analizar propiedades y relaciones geométricas y utilizar
la visualización y la modelización, tanto para contribuir al
sentido estético como para estimular la creatividad y la imaginación.
• Proceder ante problemas que se plantean en la vida cotidiana, mostrando
actitudes propias de las matematicas tales como el pensamiento
reflexivo, la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas, la
exploración sistematica, la flexibilidad para modificar el punto
de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones. •
Manifestar una actitud positiva y confianza en las propias habilidades ante la
resolución de problemas que permitan disfrutar de los aspectos
lúdicos, creativos, estéticos, manipulativos y practicos de
las matematicas. Tabla 1. Objetivos delcurrículo que se trabajan
en esta experiencia Contenidos (LOE) para el area de Matematicas
en la E.S.O. • Estrategias generales y técnicas simples de la
resolución de problemas: el analisis del enunciado, el ensayo y
error, la resolución de un problema mas simple y la
comprobación de la solución obtenida. • Perseverancia y
flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas. •
Sensibilidad y gusto por las experimentaciones y la resolución de
problemas. • Determinación y confianza en las propias capacidades
para afrontar problemas, comprender las relaciones matematicas y tomar
decisiones a partir de ellas. • Descripción, construcción
y/o trazado de figuras planas elementales: triangulos,
cuadrilateros, otros polígonos, circunferencia y círculo.
Propiedades características y clasificación de figuras atendiendo
a diferentes criterios (número de lados, número de
vértices, características de los angulos, regularidades).
Medida y calculo de angulos en figuras planas. •
Movimientos en el plano: simetría de figuras planas. Apreciación
de la simetría en la naturaleza, la arquitectura y el arte. •
Figuras elementales en el espacio: poliedros, prismas, piramides,
cilindros y conos. Propiedades características y clasificación
atendiendo a distintos criterios (n.º de lados, n.º de caras o
vértices, angulos, simetrías, regularidades…).
Obtención e identificación de desarrollos planos de cuerpos
geométricos. • Utilización de la visualización, el
razonamiento espacial y la modelización geométrica con
procedimientos tales como lacomposición, descomposición,
intersección, truncamiento, dualidad, movimiento o desarrollo de
poliedros para analizarlos u obtener otros. • Volúmenes de cuerpos
geométricos. Resolución de problemas que impliquen la
estimación y el calculo de longitudes, superficies y
volúmenes. • Utilización de la terminología y
notación adecuadas para describir con precisión situaciones,
formas, propiedades y configuraciones geométricas. Utilización de
propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo
físico. • Curiosidad e interés por investigar sobre formas,
configuraciones y relaciones geométricas en contextos reales. Tabla 2.
Contenidos del currículo que se trabajan en esta experiencia
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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matematicas
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Geometría intuitiva desde el cuarto de baño
C. Duque Gómez, E. Quintero Núñez
A
Competencias basicas, subcompetencias e indicadores Competencia en
comunicación lingüística:
− −
A
− − − − −
Dialogar: escuchar y hablar. Expresar e interpretar de forma oral y escrita,
pensamientos, emociones, vivencias, opiniones, creaciones. Adaptar la
comunicación al contexto. Generar ideas, hipótesis, supuestos,
interrogantes. Formular y expresar los propios argumentos de una manera
convincente y adecuada al contexto. Adoptar decisiones. Tener en cuenta
opiniones distintas a la propia.
Competencia social y ciudadana: − Ser conscientes de la existencia de
diferentes perspectivas para analizar la realidad.− Tomar decisiones y
responsabilizarse de las mismas. Competencia cultural y artística: −
Poner en funcionamiento la iniciativa, la imaginación y la creatividad
para expresarse mediante códigos artísticos. − Disponer de
habilidades de cooperación y tener conciencia de la importancia de
apoyar y apreciar las iniciativas y contribuciones ajenas. − Emplear
algunos recursos para realizar creaciones propias y la realización de
experiencias artísticas compartidas. Competencia para aprender a
aprender: − Plantearse preguntas. − Identificar y manejar la
diversidad de respuestas posibles. − Aceptar los errores y aprender de
ellos.
− − − − − − −
U S D E
L
N
Competencia matematica: − Conocer los elementos matematicos
basicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos,
elementos geométricos, etc.). − Manejar los elementos
matematicos basicos (distintos tipos de números, medidas,
símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o
simuladas de la vida cotidiana. − Poner en practica procesos de
razonamiento que llevan a la obtención de información o a la
solución de los problemas. − Conocimiento e interacción con
el mundo físico. − Aplicar el pensamiento científico
técnico para interpretar, predecir y tomar decisiones con iniciativa y
autonomía personal. − Planificar y manejar soluciones
técnicas. − Comprender e identificar preguntas o problemas y
obtener conclusiones. − Interpretar la información que se recibe
para predecir y tomar decisiones
C
Autonomía e iniciativa personal: Afrontar los problemas yaprender de los
errores. Elegir con criterio propio. Ser creativo y emprendedor. Ser
perseverante y responsable. Buscar las soluciones y elaborar nuevas ideas.
Identificar y cumplir objetivos. Valorar las posibilidades de mejora.
I
A
Tabla 3. Competencias basicas e indicadores que se trabajan en esta
experiencia
E
5. Conclusiones
I
La experiencia que hemos expuesto en este artículo es eminentemente
lúdica. No es necesario plantearse metas concretas, e incluso existe la
opción de realizar sólo algunas partes de la misma. Podemos
terminarla cuando queramos, cuando se acabe el tiempo que nos habíamos
reservado para esto o cuando se acaben los cilindros que hayamos conseguido
recopilar (nuestras familias y amigos saben que los coleccionamos y nos los
guardan durante todo el año). Tres sesiones de clase sin aparentes
contenidos curriculares, sin evaluación ¡merece la pena! La
visión espacial y el gusto por la geometría no se adquieren
aprendiendo fórmulas y realizando examenes.
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Geometría intuitiva desde el cuarto de baño
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Los alumnos disfrutan mientras manipulan elementos geométricos, piensan
en ellos y desarrollan su visión espacial. Los profesores disfrutamos
viéndolos participar y pasarlo bien mientras hacen matematicas.
Con eso nos basta. No hemos diseñado ninguna evaluación para esta
actividad, ni queremos hacerlo (¿por qué tenemos que evaluar de
manera formal todo lo que hacemos?). Una semana despuésde terminada la
actividad preguntamos cuantos alumnos cogieron en casa un cilindro de
cartón cuando se acabó el papel higiénico o el rollo de
servilletas de la cocina, y cuantos de ellos le mostraron a sus padres
qué cosas se pueden hacer con ellos. El número de manos
levantadas y las sonrisas mostradas constituyen la verdadera evaluación
del trabajo realizado. La realización de esta experiencia nos deja la
sensación (y la satisfacción) de estar en sintonía con
Miguel de Guzman: «Al hablar del pensamiento geométrico no
me refiero a la enseñanza de la geometría mas o menos
fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho mas
basico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la
matematica que provienen de y tratan de estimular la capacidad del
hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la
figura, la forma física».
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Anexo
En las siguientes tablas presentamos la temporalización exacta de
algunas actividades llevadas a cabo con un curso de 2.º de ESO. Los
tiempos fueron medidos en la realización de la experiencia realizada en
marzo de 2009. Pretendemos que sirva, a título orientativo, para
rediseñar la estructura de las sesiones de clase, en función del
tiempo disponible, las características de los alumnos y el enfoque que
quiera imponer cada profesor.
Act iv idad - Descripción del cilindro y ejemplos - Discusión
sobre el calculo de las dimensiones - Discusión de los cortes
rectos sin deformar el cilindro: longitudinal, transversal, oblicuo -
Cortelongitudinal. Rectangulo. Medidas. Superficie. Dibujar 1 cm2.
Comprobar que caben 139 cm2 en el rectangulo - Corte oblicuo. Romboide.
Comparación de su area con la del rectangulo - Corte oblicuo
necesario para obtener un rombo. Dibujos en la pizarra y discusión.
Trazado y corte Tabla 4. Primera sesión con 2.º curso de ESO Tiempo
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5 minutos 5 minutos 10 minutos 10 minutos
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10 minutos 15 minutos
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Act iv idad - Corte vertical con el cilindro plegado para obtener un cuadrado.
Discusión, trazado y corte - Corte inclinado con el cilindro plegado para
obtener dos trapecios iguales. Discusión, trazado y corte - Propuesta y
discusión de todas las formas posibles de cortes oblicuos.
Discusión, trazado y corte para obtener trapecios y triangulos -
Propuesta y discusión para la obtención de polígonos, teniendo
en cuenta la simetría. Trazado y corte de uno ó dos Tabla 5.
Segunda sesión con 2.º curso de ESO
A
Tiempo 10 minutos 10 minutos 20 minutos 15 minutos
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Carlos Duque Gómez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesor
de Enseñanza Secundaria (Matematicas). Eva M.ª Quintero
Núñez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesora de
Enseñanza Secundaria (Matematicas).
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