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Geometria analitica ipn
INSTITUTO
POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y
TECNOLÓGICOS “JUAN DE DIOS BATIZ PAREDES” PROBLEMARIO
Elipse e Hipérbola
Temas: Formas de las ecuaciones de la Elipse y la Hipérbola. Aplicaciones
Instrucciones: para cada problema realiza el grafico correspondiente.
60. Encontrar la ecuación de la elipse si un extremo del eje menor es el punto (0,3) y pasa por el punto (5,-2). 61. Utilizando la
definición de elipse, hallar la ecuación de la elipse a partir de
los datos dados. Redúzcase la ecuación a la
primera forma ordinaria. Vértices (-3,-1) y (5,-1); excentricidad
= ¾. 62. El
centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus
vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4,
hallese la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud
de su eje menor y la de cada lado recto. 63. Hallar la ecuación del
lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia
a la recta es siempre igual al doble de su distancia al punto (0,-2). 64. Una
galería tiene paredes verticales de 1.5m de altura y un
techo abovedado en forma de medio elipsoide. Los focos que
estana una altura de 1.5 metros sobre el piso estan separados 4
metros. Si la altura de la construcción en el centro de la
bóveda es de 3.5 m. ¿Cuanto mide su eje mayor? 65. Los
vértices de una hipérbola son los puntos y Hallar la
ecuación de la hipérbola y los demas elementos. 66. Hallar
la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos origen y el
eje transverso coincide con el eje X y su
excentricidad es igual a 3/2.
67. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son
perpendiculares entre sí, la hipérbola es equilatera. 68.
Reducir la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación
de la hipérbola y determinar todos sus elementos. 69. Hallar la
ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (4 ), tiene eje focal paralelo al eje X, y sus
asíntotas son las rectas y . 70. Un observador estacionado en el punto P
oye el estampido de un rifle y el golpe de la bala
sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el
lugar geométrico es una hipérbola. 71. Encontrar la
ecuación de una hipérbola cuya asíntotas son paralelas a
los ejes coordenados y pasa por , y
Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras
de la antigüedad pusieron a punto un método que se
convertiría mas adelante en el método matematico
por excelencia: la demostración.
Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir
un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas
cadenas de razones -
como
dijo Descartes- a algunos principios primeros.
Este
'corpus' es la geometría euclidiana.
Precisamente, el valor estético de la construcción
elucídela y la trascendencia intelectual de su programa consiste en
haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y
razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de
intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclides seleccionaba
unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos
conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde aquí, pasar a
la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones
entre ellos.
La geometría de Euclides, la geometría de Descartes,
lageometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas
teorías deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y
podemos dar de
ellas diversas imagenes que nos
permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas imagenes pueden ser
símbolos figurativos, ecuaciones, etc.
* La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es
valido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de
Euclides).
* La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea
en la cual el postulado de las paralelas se sustituye por otro según el
cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos
paralelas a ella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto
en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que
no tienen puntos comunes con esa recta.
* La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en
la cual el quinto se sustituye por otro el cual desde
un
punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.
* La Geometría proyectiva: Geometría cuyos objetos son los
espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades
¿Qué son rectas paralela?
En geometría, el paralelismo es una relación
que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o
igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demas).
Clasicamente, son dos rectas definidas
como las que,
'por mucho que las prolongues', nunca se tocan. En geometría
afín, expresando la variedad como V = p + E, p punto y E espacio
vectorial, A = a + F es paralela a B = b + G si Festa contenido en G
ó G esta contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales
de la misma variedad lineal V y F y G son su espacios vectoriales del mismo
espacio vectorial E.
Obsérvese que, en
un espacio afín tridimensional,
una recta y un
plano
pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades
lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en
un plano, son paralelas si o
bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no
comparten ningún punto.
De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y
el mismo
plano
o bien no comparten ningún punto
¿Qué son rectas perpendiculares?
En geometría, la perpendicular de una línea o
plano, es la que
forma angulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
* Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse,
dividen al
plano
en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un angulo recto.
Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie
de cada una de
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