Departamento de Matematica y Estadística
Universidad de la Frontera
TAREA OPCIONAL
“Ley de enfriamiento de Newton resuelta por Runge-Kutta de orden 4”
RESUMEN
El tema propuesto es “maquinas frigoríficas” en
relación a ello esta la famosa Ley de enfriamiento de newton, es
aquel proceso de enfriamiento que sigue una ley determinada experimentalmente
por Isaac Newton, según la cual la velocidad de enfriamiento de un
cuerpo calido en un ambiente mas frío
cuya temperatura es , es proporcional a la diferencia entre la
temperatura instantanea del cuerpo y del ambiente.
Esta ley en este presente trabajo sera llevada a cabo por el
método de runge –kutta , donde es un
método genérico de resolución numérica
de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue
inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por
los matematicos C. Runge y M. W. Kutta.
Para comprender y obtener un
mayor conocimiento con respecto a este Tema se invita al lector a continuar el
analisis de este Informe, ya que mas adelante se explicara de
forma mas detalla este método propuesto.
INTRODUCCION
El tema seleccionado es la ley de enfriamiento de Newton, y lamotivación
de la elección de este es la experiencia de aplicación y
comprensión ya obtenida en el curso de Ecuaciones Diferenciales .La
relación entre la carrera cursada (Ingeniera Civil Industrial
Mención Mecanica) por el creador del documento y el tema elegido
es muy compatible, debido a la aplicación que se da en cuanto a procesos
de enfriamiento por medio de maquinas. Dentro de la malla curricular existe una
asignatura llamada “procesos térmicos” la cual toca el tema
de cadena de frio, esta es una de las razones mas importantes de la
elección ó bien otro factor de este Conservación por baja
temperatura: congelación y/o enfriamiento y se puede ver por ejemplo una
Industria que fabrica Neumaticos ya que en algún momento
determinado del proceso de producción se necesitara enfría o
disminuir la temperatura del cuerpo para que este adquiera un estado
sólido permitiéndole a este obtener un caracter mas
resistente a las exigencias que se sometera mas adelante y que
requieren el maximo de rendimiento bajo fuerzas externas.
También cabe agregar que el Método sera dado a conocer con
el código de Matlab, el cual contendra los respectivos
comentarios para que el lector pueda sacar el maximo de conocimiento de este presente Informe.
DESARROLLO
1. La ley de enfriamiento de newton
(1)
,donde r es una constante de
proporcionalidad.
Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólouna
aproximación valida para pequeñas diferencias entre y . En todo caso la expresión
superior es útil para mostrar como
el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento
exponencial
Esta expresión resulta de resolver la ecuación diferencial (1).
Una formulación mas precisa del enfriamiento de un cuerpo en un medio
necesitaría un analisis del
flujo de calor del
cuerpo calido en un medio inhomogéneo de temperatura. La
aplicabilidad de esta ley simplificada viene determinada por el valor del número
de Biot.
En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utilizado especialmente en
modelos climaticos como una forma rapida y
menos cara computacionalmente de calcular la evolución de temperatura de
la atmósfera. Estos calculos son muy útiles para
determinar las temperaturas así como para predecir los
acontecimientos de los fenómenos naturales.
2. Metodos de Runge-Kuta
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un
conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos)
para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales
ordinarias, concretamente, del problema
de valor inicial.
Sea
una ecuación diferencial ordinaria, con donde es
un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de
ƒ sea
Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente
expresión, en su forma mas general:
,
donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el
incremento entre los sucesivospuntos y . Los
coeficientes son términos de
aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local
con coeficientes propios del
esquema numérico elegido, dependiente de la regla de
cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser
explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del
esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos
de la diagonal principal iguales a cero; es decir, para ,
los esquemas son explícitos.
2.1 Método de runge kuta orden 4
Un miembro de la familia de los métodos
Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método
Runge-Kutta».
Definiendo un problema de valor inicial como
Entonces el método RK4 para este problema esta dado por la
siguiente ecuación:
Donde
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn)
mas el producto del tamaño del intervalo (h) por
una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes,
donde es la pendiente al principio del intervalo, es la pendiente en el punto
medio del
intervalo, usando para determinar el valor de y en el
punto usando el método de Euler. es otra vez la pendiente del
punto medio, pero ahora usando para determinar el valor
de y; es la pendiente al final del intervalo, con el valor
de y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le
asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio
Esta formadel método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden
lo cual significa que el error por paso es del orden de , mientras que el error
total acumulado tiene el orden . Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de ,
razón por la cual es usado en los métodos computaciones.
A partir de la ley de enfriamiento de newton se pudo lograr la
aplicación del método de runge-kuta de orden 4 con los siguientes
parametros:
Parametros
-Temperatura inicial= 0 segundos
-Tiempo final o de resultado= 60 minutos
-Temperatura Inicial = 37 Celsius
-Pasos para obtener el resultado = 150 pasos
-Temperatura del ambiente= 14° Celsius
-Constante del material x que se esta enfriando= 0.035
-Función=0.035(14-y)
Algoritmo del programa (MATLAB)
Este programa permite obtener el valor de la temperatura de un material x
sacado de un procesos de maquiniaras frigoríficas.
%metodo runge kutta orden 4
%ley de enfriamiento de newton
% 0 60 37 150 0.035*(14-y)
function f
fprintf('n tLEY ENFRIAMIENTO DE NEWTON POR MEDIO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN
4n')
f=input('n Ingrese la ecuacion diferencialn','s');
t0=input('n Ingrese el primer punto t0:n');
t1=input('n Ingrese el segundo punto t1:n');
y0=input('n Ingrese la condicion inicial y(t0):n');
n=input('n Ingrese el numero de pasos n:n');
h=(t1-t0)/n;
ts=t0:h:t1;
fprintf('n''it t0 y(t1)');
tiempo=zeros(1,n);
altura=zeros(1,n);
z=zeros(1,n);
for i=1:n
it=i-1;t0=ts(i);
t=t0;
y=y0;
k1=h*eval(f);
t=t0+h/2;
y=y0+k1/2;
k2=h*eval(f);
t=t0+h/2;
y=y0+k2/2;
k3=h*eval(f);
t=t0+h;
y=y0+k3;
k4=h*eval(f);
y0=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
fprintf('n%2.0f%10.6f%10.6fn',it,t0,y0);
tiempo(i)=t0;
altura(i)=y0;
end
plot(tiempo, altura,'ro');
hold on
fprintf('n El punto aproximado y(t1) es = %8.6fn',y0);
system('pause');
%solucion analitica de la ecuacion
for i=1:n
z(i)=14+23*exp(-0.035*tiempo(i));
end
plot(tiempo,z)
Fig.1: Grafica de la función (comparación con el
método de Newton)
Línea azul es el resultado exacto obtenido por la ley de enfriamiento de
Newton, puntos rojos aproximación de “runge–kuta orden
4”.
CONCLUSION
Luego de desarrollar y terminar este trabajo he
llegado a la conclusión sobre el maravilloso mundo de las
matematicas como todas las cosas se
relacionan, en particular como
estos dos métodos pueden obtener resultados tan similares aun cuando
tiene orígenes y bases distintas.
La aplicación en matlab fue fundamental para obtener resultados
esperados, fue un muy ventajoso trabajar con este
programa por que se tiene una variedad de herramientas necesarias para
transformar una simple idea en un programa computacional.
BIBLIOGRAFIA
1. “Calculo Científico Con MATLAB Y Octave”;
Alfio Quarteroni,Fausto Saleri.
2. “Métodos numéricos aplicados con software”;
Soichiro Nakamura
