EJERCICIOS DE MATEMATICAS 2º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.- Completa el siguiente cuadro:

POLINOMIO
GRADO
TERM. INDEP.
ORDENAR
COMPLETAR
2x-x4+2+3x3




8-x4




x+4x4




2x-1+x5





2.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:







3- Efectúa las siguientes sumas y restas:








-
4.- Efectúa las siguientes multiplicaciones:
























e) (3x-2)·(-5x+3)·(x+4)=







f) (2x-3)3=





5.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:

6.- Efectúa las siguientes operaciones utilizando la fórmula correspondiente
a) (2x+7y)2

b) (2xy+5a2b3)2

c) (5a2-3b)2

d) (x-m7)2

e) (6x+4a)·(6x-4a)

f) (8xy5-3a)·(8xy5+3a)




























EJERCICIOS DE MATEMATICAS 2º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.- Completa el siguiente cuadro:
POLINOMIO
GRADO
TERM. INDEP.
ORDENAR
COMPLETAR
2x-x4+2+3x3




8-x4




x+4x4




2x-1+x5





2.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:

3- Efectúa las siguientes sumas y restas:


4.- Efectúa las siguientes multiplicaciones:


e) (3x-2)·(-5x+3)·(x+4)=
f) (2x-3)3=

5.- Efectúa las siguientes divisiones de monomios (indicando si en algún caso el resultado no es un monomio):



6.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomioentre monomio:


7.- Efectúa las siguientes operaciones utilizando la fórmula
a) (2x+7y)2 b) (3x+y3)2 c) (2xy+5a2b3)2 d) (5a2-3b)2 d) (x-m7)2
e) (2x-6y)2 f) (6x+4a)·(6x-4a) g) (8xy5-3a)·(8xy5+3a) h) (4x2-9y6)·(4x2+9y6)
+








REPASO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS MATEMATICAS 2º E.S.0.

1.- Dado el polinomio: 3x-x6-3+2x3 se pide indicar:
grado:
término independiente:
completar:
ordenar:
coeficiente del término de mayor grado:
2.- Calcular el valor numérico de la expresión para a=-3 b=-1 c=4





3.- Efectuar las siguientes operaciones:

a) (2ab-5a+3b)-(-2a-5b+3ab)-(b-a+ab)=





b) (-3x2-4x+2)·(x3+2x2-5x-7)=






c) (2x2-4)·(-3x+2)·(5x-3)=






d) 2x(-3x2-4x-5)-(2x-6)2=





e) (3x-y)3=





f) 4x2(-3x2-x+5)-(5x-3)·(2x2+4x)=


4.- Efectuar las siguientes operaciones con productos notables:

a) (3x2-4y)2=



b) (3a2z+2b5)2=



c) (2a+5b)2-(4a+b)·(4a-b)+(3a+2b)2=




5.- Efectuar las siguientes operaciones:




6.- Escribir un polinomio que cumpla todo lo siguiente:
que tenga tres término,
que sea de grado 5,
que el término independiente sea –6,
que algún coeficiente del algún término sea 4.



7.- Expresar en lenguaje algebraico:
el doble de la suma de dos números
la tercera parte del cuadrado de un número mas el triple de dicho número.












EXPRESIONES ALGEBRAICAS


1.- DEFINICIONES

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras ligadaspor las operaciones aritméticas.
Ejemplo:

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de dicha expresión por números determinados y efectuar las operaciones correspondientes.
Ej: calcular el v. n. de 2a3b – 5 para a=2 y b=-3 es 2·23·(-3)-5=-53

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que intervienen son la multiplicación y la potenciación de exponente natural.
Todo monomio esta formado por:
parte numérica llamada coeficiente, y
una parte literal constituida por letras y sus exponentes (también llamadas variables)
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir las mismas letras con los mismos exponentes (puede variar el orden de las letras).


Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o mas monomios. Un polinomio puede tener una o mas letras. Cada uno de los monomios que intervienen se llaman términos del polinomio.
Atendiendo al número de términos, los polinomios se pueden clasificar en:
binomio, trinomio, etc.

El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado dentro del polinomio. Atendiendo al grado los polinomios se pueden clasificar en:
polinomios de primer grado, de segundo grado, etc.


Notación:
Cuando el exponente de una letra es 1, no se pone: x1=x
Cuando el coeficiente de un monomio es 1, no sepone: 1x=x
Los números son monomios de grado cero: 4x0=4·1=4
Se llama término independiente al de grado 0 (el que no tiene parte literal, es un número)
Un polinomio esta completo cuando tiene los términos de todos los grados desde 0 hasta el mayor.
Un polinomio esta ordenado cuando los términos van en orden creciente o decreciente con respecto al grado.






2.- OPERACIONES


2.1.- SUMA Y RESTA

En general dos monomios no se pueden sumar o restar en el sentido de que su suma o diferencia sea otro monomio, para que esto sea posible tienen que ser semejantes. La suma o diferencia de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes. Reducir términos semejantes es sumarlos o restarlos.
Para sumar dos polinomios se suman los monomios semejantes.


2.2.- PRODUCTO

Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales entre sí (recordar como se multiplican potencias que tienen la misma base)

Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva: se multiplica dicho monomio por cada término del polinomio.

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva doblemente: se multiplica cada término de uno de ellos por todos los del otro y se reducen los términos


3.- PRODUCTOS Y POTENCIAS NOTABLES

La potencia enésima de un polinomio consiste en multiplicar dicho polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente.Veamos a continuación algunas potencias que por su frecuente uso se acostumbra a calcular con fórmulas:

CUADRADO DE UNA SUMA: (a+b)2 =a2+b2+2ab
Se lee: el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, mas el cuadrado del segundo, mas el doble del producto del primero por el segundo.


CUADRADO DE UNA DIFERENCIA: (a-b)2=a2+b2-2ab
Se lee: el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, mas el cuadrado del segundo, y menos el doble del producto del primero por el segundo.

SUMA POR DIFERENCIA (a-b)2 =a2-b2
Se lee: suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.


Pasos a seguir para realizar operaciones con polinomios:
1º) Suprimir paréntesis.
2º) Agrupar términos semejantes.
3º) Operar.






MATEMATICAS 2º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS


1.- Indicar grado, término independiente, completar y ordenar los siguientes polinomios:
a) 2x2-5+6x3-4x5 b) 3y-2+7y2 c) –4x3+7x4-1+x d) 2-y3


2.- De los siguientes monomios, indicar cual es el coeficiente, el grado con respecto a cada una de las letras y el grado del monomio:
a) 2x3 y4 b) –5xy7 c) x4 y3 z2 d) –x5

3.- Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios para x=2 y=-1 z=
a) 3x2-5x+3 b)2x-y+xy c) 3xy3-2x2y2-1 d) z2-5z+3


4.- Dados los siguientes polinomios:
P(x)=2x2-3x+1 Q(x)=5x2+x-3 R(x)=4x-3 S(x)= x3+2x2-x+3
Efectuar las siguientes operaciones:

a) P(x)+Q(x) b) P(x)-Q(x)-S(x) c) Q(x)-R(x)+S(x) d) R(x) · P(x)
e) R(x)· Q(x) f) P(x) · Q(x) g) R(x) · S(x) h) P(x) · S(x)


5.- Utilizando la fórmula: (a+b)2=a2+b2+2ab , efectuar las siguientes operaciones:

a) (x+5)2 b) (y+3)2 c) (2x+3y)2 d) (5a+3b)2
e) (3x+7)2 f) (2y+4)2 g) (6x2+y5)2 h) (3x4+2a3)2


6.- Utilizando la fórmula: (a-b)2=a2+b2-2ab , efectuar las siguientes operaciones:

a) (y-3)2 b) (a-5)2 c) (5x-3y)2 d) (x-7y)2
e) (3x-4y)2 f) (5a-3b)2 g) (3x4-5)2 h) (2x5-y6)2

7.- Utilizando la fórmula: (a+b) · (a-b) = a2-b2 , efectuar las siguientes operaciones:

a) (x+4)(x-4) b) (y+3)(y-3) c) (2x+3y)(2x-3y) d) (7x+y)(7x-y)
e) (5x+2y)(5x-2y) f) (x+6y)(x-6y) g) (2x2-3)(2x2+3) h) (5x2+3y3)(5x2-3y3)

8.- Efectuar y simplificar:
a) (2x2-5x+3) - (x-2) (2x-5) b) 3x(5x2-4) + (x2-5)(2x+3)
c) (5x-3)(x-2) – (3x-4(-2x+7) d) 4x – x(5x-3) – (-5x2-3x)
e) 2x(3x2-5x+2) – (3x3-5x2+x-1) f) (2x-3)(-5x+2)(5x+1)
g) (3x2y-2xy2+xy) – (5x2y-8xy2-3xy)-(x2y+2xy) h) (2x-y) (3x+2y) –(x2+3xy-4y2)
i) (3x-2)(-x2+5x-2) – (2x-4)2 j) (3x+2)2- 5x(x2-4x+1)
k) (4x+3)(-2x2-2x+1) – (5x+3)2 l) (x-3)2- 2x(3x2-x+3)
m) (x-y)2-(x+y)2-(x+y)(x-y) n) (2x+3y)2-(4x-y)2
ñ) (5x-3y)2-(4x+6y)2 o) (3x+y)(3x-y) +(5x+2y)2-(2x-4y)2
p) (3x-2)·(5x+3)·(-2x-4) q) (2x-3y)3
r) (5x+3y-2z)2 s) (a-b-c)2-(a+b-c)2
9.- Efectuar las siguientes multiplicaciones de monomios:

a) (2x3y)·(-3xy4)·(-4x3y5) b) (-5ab3)·(-3a3b)·(-2a)
c) 2x·(-4x3)·3x d) (5x2y3z4)·(-xyz)·(2xy3z6)

10.- Realizar las siguientes potencias demonomios:

a) (2x3y5)3 b) (5x2y4z5)2 c) (-3xy6z2)3 d) (-5x2yz3)2


11.- Realizar las siguientes divisiones de monomios:



12.- Realizar las siguientes divisiones de polinomios entre monomios:



13.- Realizar las siguientes divisiones de polinomios:

a) (2x2-6x+3): (x-2) b) (7x3-5x2+3x-2) : (x2-2x-1) c) (4x2-x+5) : (x+4)
d) (x3-2x2+x-3) : (x2-3x-2) e) (2x4-3x2+5x+2) : (x2+x-3) f) (3x4+2x3-x2+5) : (x2-x+2)


14.- Escribir una expresión algebraicas con las siguientes características:
a) Monomio con coeficiente 3 y grado 2.
b) Binomio de grado 5.
c) Trinomio de grado 2.
d) Polinomio de grado 3 con término independiente 5.
e) Dos monomios semejantes a 5x2y4.
f) Tres monomios con las letras x e y que no sean semejantes.
g) Tres monomios de grado 5 con las letras x e y , que no sean semejantes.


15.- Expresar en lenguaje algebraico las siguientes frases:
a) La mitad del cuadrado de un número.
b) La suma de los cuadrados de dos números.
c) El cuadrado de la suma de dos números.
d) La mitad de un número menos el doble de dicho número.
e) La mitad de un número mas su quinta parte.ç
f) La mitad de la suma de dos número.
g) El cubo de un número.
h) Tres números consecutivos.
i) El número natural siguiente a n.
j) El número natural anterior a n.
k) El producto de dos números.
l) La edad de una persona dentro de 5 años.
m) La edad de una persona hace 4 años.


EJERCICIOS DE MATEMATICAS 2º E.S.O. POLINOMIOS

1.- Calcular los valores numéricos de lasexpresiones algebraicas siguientes para los valores que se indican:
a) 3x2-5xy3-3y para x=-2 y=5




b) a2-b2+3ab para a=2 b=1/2




c)




2.- Completar el siguiente cuadro:

POLINOMIO
GRADO
TÉRM. INDEPEND.
ORDENAR
COMPLETAR
2x2-5x+6x3-4x5




3x-2-7x4




7x2-8x4









EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En este tema vamos a estudiar una forma diferente de expresarnos en matematicas. Se trata de utilizar un lenguaje especial que llamamos algebra, el cual nos permite usar, de una manera mas general, las reglas y leyes que hemos visto para los números.
Al principio parecera difícil pero luego te acostumbraras y te daras cuenta de que es sencillo y se puede aplicar en muchos casos y situaciones diferentes.
¿Cual es doble de 4?
¿Cual es doble de un número cualquiera?
En matematicas empleamos letras en lugar de números muchas veces para generalizar razonamientos y expresar y demostrar propiedades. Operamos con estas letras como si fueran números.
Son expresiones algebraicas las combinaciones de letras y números unidos entre sí por los signos de las operaciones aritméticas.
Cuando no aparecen letras en el denominador se llaman enteras.
El lenguaje numérico expresa la información mediante operaciones en las que sólo aparecen números. El lenguaje algebraico utiliza operaciones donde aparecen números y letras, y expresa la información de manera mas breve:
El lenguaje algebraico es mas conciso que el numérico: puede expresar los enunciados de una formamas breve.
El lenguaje algebraico permite generalizar: no es posible expresar las relaciones y propiedades numéricas de forma general con el lenguaje numérico, por ejemplo la propiedad conmutativa de la suma.
El lenguaje algebraico permite expresar números desconocidos y operar con ellos: ecuaciones.

El lenguaje algebraico permite expresar de forma simbólica y abreviada ideas matematicas que en nuestro lenguaje habitual pueden ser complejas. Para aprender este lenguaje tienes que saber utilizar letras, números y signos. Con las letras se representan cantidades desconocidas, y con los signos las relaciones entre ellas.

VALOR NUMÉRICO

Consiste en sustituir las letras por valores numéricos y realizar las operaciones indicadas. Conviene poner entre paréntesis los valores sustituidos y realizar las operaciones indicadas, siguiendo la jerarquía de las operaciones.

MONOMIO
Cuando el coeficiente es uno, no suele ponerse.
Cuando una letra tiene exponente uno tampoco suele ponerse.

Dos monomios son opuestos cuando son semejantes y su suma es cero.
La suma de monomios no semejantes da lugar a un polinomio.
Se llaman monomios semejantes a los que tienen la misma parte literal

POLINOMIOS
Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo componen.
Llamamos grado de un polinomio al mayor de los grados de sus términos.
El grado de un polinomio respecto a una letra es el mayor exponente con que figura dicha letra.
Los polinomios se pueden ordenar de formacreciente o decreciente respecto a una determinada letra.
Diremos que un polinomio esta ordenado de forma decreciente respecto a una letra si los exponente de dicha letra decrecen de izquierda a derecha.
Analogamente se ordena de forma creciente.
Siempre que se ordene respecto a una letra, ésta se llama ordenatriz.
Cuando un polinomio esta ordenado respecto a alguna letra y ésta figura con todos los exponentes desde el grado cero hasta su mayor grado, se denomina completo.

OPERACIONES CON POLINOMIOS
Cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa, elemento neutro, distributiva.

Propiedad distributiva
Con un dibujo:



a(b+c)=ab+ac
Cuando esta igualdad se lee de derecha a izquierda, se dice que se saca factor común.

SACAR FACTOR COMÚN
PRODUCTO NOTABLES
Tanto en matematicas como en otras areas donde se utiliza el calculo, es necesario realizar operaciones con cierta rapidez y habilidad. Hay operaciones que encontramos con bastante frecuencia y que se ha dado en llamar productos notables.

POTENCIA
La potencia de un polinomio consiste en multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

EJERCICIOS DE POLINOMIOS
1.- Calcular el valor numérico con fracciones.

2.- En los siguientes monomios indicar cual es el coeficiente, el grado con respecto a cada una de las letras y el grado del monomio.

3.- Multiplicar los siguientes monomios:
a) (3ax3y) · (2ax) · (-3x2y)

4.- Realizar las siguientes potencias de monomios:
a) (3x5y)6

5.- En lossiguientes polinomios, indicar los términos, sus coeficientes, el grado total del polinomio y el grado respecto a cada letra:
a) 2x2-3xy+xy3-x4y-(4/3)x5

6.- Ordenar y completar los siguientes polinomios según las potencias decrecientes de x:

7.- Dados los polinomios: A= B= C=
Calcular:
a) A-B+C

8.- Expresar con letras los siguientes enunciados:
a) La suma de los cuadrados de dos números es igual a 45.
b) El cuadrado de la suma de dos números es igual a 144.
c) La diferencia de los cuadrados de dos números es igual a 27.
d) El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a 16.

9.- Observa el ejemplo y saca factor común:
a)x2+2xy=x(x+2y)



NOMBRE:………………………………………………………………….. GRUPO:…………..

EJERCICIO DE MATEMATICAS 2º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS (25-I-06)

1.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica 3x2y-2y3+3x para x=-5 e y=-2

2.- Efectuar la siguiente división:


3.- Efectuar y simplificar:

(9a2b-2ab2+3ab) - (6ab2+5a2b+ab) - (a2b-5ab+3ab2)=

4.- Efectuar y simplificar:

(3x2-5x+3) · (-x2-2x+4)=

5.- Calcular directamente (aplicando la fórmula correspondiente) el siguiente producto:

(x4-5y)2 =

6.- Efectuar y simplificar:

(2x+3y)2 - (4x+5y)(4x-5y) =

7.- a) Expresar la siguiente diferencia de cuadrados como producto

x2-9=

b) Completar el siguiente trinomio para que sea un cuadrado prefecto y a continuación escribir el binomio al cuadrado correspondiente:

x2+ ….. + 25 = ( …………. )28.- Indicar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Escribir a la derecha el valor correcto de las que estén mal.


a) x+x = x2 Corrección: x+x =


b) x·x·x = 3x Corrección: x·x·x =


c) (x2)3=x5 Corrección: (x2)3=


d) (a·b)2=a2b2 Corrección: (a·b)2=


e) (a-b)2=a2-b2 Corrección: (a-b)2=
NOMBRE:………………………………………………………………….. GRUPO:…………..

EJERCICIO DE MATEMATICAS 2º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS (25-I-06)

1.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica 3x2y-2y3+3x para x=-5 e y=-2










2.- Efectuar la siguiente división:











3.- Efectuar y simplificar:

(9a2b-2ab2+3ab) - (6ab2+5a2b+ab) - (a2b-5ab+3ab2)=










4.- Efectuar y simplificar:

(3x2-5x+3) · (-x2-2x+4)=









5.- Calcular directamente (aplicando la fórmula correspondiente) el siguiente producto:

(x4-5y)2 =




6.- Efectuar y simplificar:

(2x+3y)2 - (4x+5y)(4x-5y) =










7.- Efectuar y simplificar:

a) (-3x2y3z5) · (4xy4z3) · (-5y2z) =





b) (-2a6b2z)3 =





8.- Indicar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Escribir a la derecha el valor correcto de las que estén mal.


a) x+x = x2 Corrección: x+x =


b) x·x·x = 3x Corrección: x·x·x =


c) (x2)3=x5 Corrección: (x2)3=


d) (a·b)2=a2b2 Corrección: (a·b)2=


e) (a-b)2=a2-b2 Corrección: (a-b)2=