Universidad del Zulia
Facultad Experimental de Ciencias
Departamento de Biología
estadística aplicada

Analisis de covarianza

El analisis de covarianza, generalmente conocido como ANCOVA, es una técnica estadística intermedia entre el analisis de varianza (ANOVA) y el analisis de regresión. El propósito fundamental del ANCOVA es comparar dos o mas líneas de regresión. Recuerde que la línea de regresión tradicional es la de la línea recta simple, la cual viene expresada clasicamente como (donde es la variable dependiente, es la variable independiente, es la pendiente y es el intercepto o punto donde la recta corta el eje ). El ANCOVA es una forma de comparar la variable entre grupos mientras que se controla estadísticamente la variación en causada por la variación en la variable . Por ejemplo, digamos que deseamos saber si la rana gris de Cope, Hyla chrysoscelis, tiene una tasa de vocalización diferente a la de la rana gris oriental, Hyla versicolor, la cual tiene el doble de cromosomas que H chrysoscelis pero es morfológicamente idéntica a esta.

Se ha demostrado que la tasa de vocalización de la rana gris oriental esta correlacionada con la temperatura, de modo que se requiere controlar esto. Una forma de controlar el efecto de la temperatura sería llevar las dosespecies de ranas al laboratorio y mantenerlas a la misma temperatura, pero tendríamos la duda de si el comportamiento en condiciones artificiales equivaldría al comportamiento en la naturaleza. Adicionalmente, nos interesaría saber si una especie tiene una mayor tasa de vocalización a una temperatura o varias temperaturas, mientras que la otra la tenga a otras temperaturas. Por lo tanto, sería mejor medir la tasa de vocalización de cada especie de rana a diferentes temperaturas en la naturaleza, y usar un ANCOVA para determinar si la línea de regresión tasa de vocalización vs. temperatura es significativamente diferente entre las dos especies.

En un ANCOVA se comprueban dos hipótesis nulas. La primera es que las pendientes de las líneas de regresión son iguales. Si no se rechaza esta hipótesis, se comprueba la segunda hipótesis nula, es decir, que el valor del intercepto de las líneas de regresión es el mismo. Aunque el uso mas común del ANCOVA es para comparar dos líneas de regresión, es posible comparar tres o mas. Si las pendientes son iguales, entonces es posible hacer comparaciones planificadas o no planificadas de los interceptos, al igual a las comparaciones de medias en un ANOVA.

El primer paso de un ANCOVA es obtener cada línea de regresión. En el ejemplo de las ranas, hay dos valores de la variable nominal, H. chrysoscelis and H.versicolor, de modo que se calcula la línea de regresión tasa de vocalización vs temperatura para cada especie. A continuación se comparan las pendientes de las líneas de regresión, siendo la hipótesis nula que las pendientes son iguales (H0: pendiente de H. chrysoscelis = pendiente de H. versicolor). El paso final del ANCOVA, comparar los interceptos, no puede efectuarse si las pendientes son significativamente diferentes entre si. Si las pendientes de las líneas de regresión son diferentes, las líneas se entrecruzan en algún punto, lo que implicaría que un grupo tendría un mayor intercepto que el otro. Si las líneas son significativamente diferentes, el ANCOVA se finaliza, y lo único que podemos decir es que las pendientes son significativamente diferentes. Si las pendientes no son significativamente diferentes, el siguiente paso del ANCOVA es dibujar una línea de regresión para cada grupo de puntos, todos con la misma pendiente. El paso final de un ANCOVA es comprobar la hipótesis nula sobre los valores de los interceptos de las líneas de regresión, es decir, determinar si las líneas cruzan el eje en puntos diferentes.

Veamos este ejemplo. En la especie de coleóptero Photinus ignitus, el macho transfiere un gran espermatóforo a la hembra durante el apareamiento. Rooney y Lewis (2002) deseaban saber si los recursos extras provistos poreste regalo nupcial capacitaban a la hembra a producir mas descendencia. Para eso, recolectaron 40 hembras vírgenes y aparearon 20 de ellas con un macho y las otras 20 con tres machos, y contaron el número de huevos que cada hembra depositó. Debido a que la fecundidad varía con el tamaño de la hembra, analizaron los datos con ANCOVA, utilizando el peso de la hembra (antes del apareamiento) como la variable categórica y el número de huevos depositados como la variable de medición. La relación entre las variables se muestra en la Figura 1.















Figura 1. Huevos depositados vs peso de la hembra para el coleóptero Photinus ignitus. Los círculos negros representan hembras que se han apareado con tres machos; los círculos blancos representan hembras que se han apareado con un macho.
Las pendientes de las dos líneas de regresion (una para las hembras que se aparearon con tres machos y otra para las hembras que se aparearon con un solo macho) no fueron significativamente diferentes (F1 = 1,1; P = 0,30). Los interceptos fueron significativamente diferentes (F1 = 8,8; P = 0,005); las hembras que se aparearon con tres machos tuvieron significativamente mas descendencias que las hembras que se aparearon con un solo macho.

Veamos ahora este otro ejemplo. A los paleontólogos les gustaría poder determinar el sexo de losdinosaurios a partir de sus huesos fosilizados. Para determinar si esto es factible, Prieto-Marquez y col. (2007) midieron varias características que se piensa sirven para distinguir sexos en el caiman Alligator mississipiensis, el cual es uno de los parientes vivientes mas cercano a los dinosaurios. Una de las características medidas es el ancho del canal pélvico, el cual ellos desean estandarizar usando la longitud nariz-ano.

Las pendientes de las líneas de regresión no son significativamente diferentes (P = 0.9101) y los interceptos si son significativamente diferentes (P = 0,027), indicando que los machos de una cierta longitud tienen una anchura del canal pélvico significativamente mayor que las hembras. Sin embargo, la inspección de la grafica (Figura 2) muestra que existe un considerable solapamiento entre los sexos incluso después de estandarizar los valores por sexo, de modo que no es posible determinar con seguridad el sexo de un individuo utilizando solamente este caracter.


Figura 2. Relación longitud nariz-ano vs ancho pélvico para el caiman Alligator mississipiensis. La línea continua (círculos negros) representa los machos, la línea punteada (círculos blancos) a las hembras.


Veamos ahora cómo efectuar un ANCOVA en SAS utilizando los datos de Prieto-Marquez y col. (2007). El programa es elsiguiente:

DATA CAIMANES;
INPUT SEXO$ NARIZANO ANCHOPELVICO;
CARDS;
MACHO 1.10 7.62
MACHO 1.19 8.20
MACHO 1.13 8.00
MACHO 1.15 9.60
MACHO 0.96 6.50
MACHO 1.19 8.17
MACHO 1.06 7.20
MACHO 0.70 4.65
MACHO 0.70 5.04
MACHO 1.04 8.83
MACHO 1.15 8.01
MACHO 1.10 6.84
MACHO 1.15 8.37
MACHO 1.15 7.36
MACHO 0.91 6.43
MACHO 1.45 9.43
MACHO 1.22 7.70
MACHO 1.33 10.20
MACHO 1.38 9.14
HEMBRA 1.24 7.64
HEMBRA 1.02 6.31
HEMBRA 0.93 5.90
HEMBRA 0.71 4.48
HEMBRA 1.03 6.03
HEMBRA 1.02 6.60
HEMBRA 0.95 5.88
HEMBRA 1.03 6.77
HEMBRA 0.96 6.47
HEMBRA 1.16 7.56
HEMBRA 0.93 6.13
HEMBRA 1.04 6.76
HEMBRA 1.03 6.63
HEMBRA 0.93 5.93
HEMBRA 0.85 6.52
HEMBRA 1.23 9.23
;
PROC GLM DATA=CAIMANES;
CLASS SEXO;
MODEL ANCHOPELVICO = NARIZANO SEXO NARIZANO*SEXO;
PROC GLM DATA=CAIMANES;
CLASS SEXO;
MODEL ANCHOPELVICO = NARIZANO SEXO;
RUN;
El primer GLM incluye en el modelo el término de interacción NARIZANO*SEXO. Esta parte evalúa si las pendientes de las líneas de regresión son significativamente diferentes. La hipótesis nula (H0) se plantea de la siguiente forma: H0: no existe interacción entre la longitud nariz-ano y el sexo. Si esta H0 no puede ser rechazada, entonces concluimos que las pendientes son iguales, lo cual significa que las líneas son paralelas; es decir, no se cruzan.Si esta H0 se rechaza, entonces concluimos que las líneas no son paralelas y que por lo tanto se cruzan en algún punto. Recuerde que las líneas que se evalúan son las de la relación longitud nariz-ano vs ancho pélvico para ambos sexos (ver Figura 2). Veamos que nos dice los resultados del programa SAS; es decir, los resultados del primer PROC GLM
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

NARIZANO 1 33.94905462 33.94905462 88.05 F

NARIZANO 1 41.38769082 41.38769082 110.76 F

DOSIS 2 16.84380342 8.42190171 2.42 0.1083

Observemos que P = 0,1083 (>0,05), indicando que la dosis de VIAGRA no tiene efecto sobre la líbido del paciente (recuerde que H0: líbidoplacebo = líbidodósis baja = líbidodosis alta). Este resultado nos asegura que el VIAGRA no es un estimulante efectivo de la actividad sexual, ya que el placebo tiene el mismo efecto que dosis bajas y/o altas de la droga. Sin embargo, como se indicó arriba, se piensa que la disposición sexual de la pareja tiene un efecto significativo sobre la respuesta sexual de un paciente que toma VIAGRA. Veamos ahora qué sucede cuando incluimos en el analisis el efecto del estado anímico sexual de la pareja (es decir, la covariable). Elprograma SAS que nos indica esto es el siguiente:

DATA VIAGRA;
INPUT DOSIS$ LIBIDOPACIENTE LIBIDOPAREJA;
CARDS;
PLACEBO 3 4
PLACEBO 2 1
PLACEBO 5 5
PLACEBO 2 1
PLACEBO 2 2
PLACEBO 2 2
PLACEBO 7 7
PLACEBO 2 4
PLACEBO 4 5
BAJA 7 5
BAJA 5 3
BAJA 3 1
BAJA 4 2
BAJA 4 2
BAJA 7 6
BAJA 5 4
BAJA 4 2
ALTA 9 1
ALTA 2 3
ALTA 6 5
ALTA 3 4
ALTA 4 3
ALTA 4 3
ALTA 4 2
ALTA 6 0
ALTA 4 1
ALTA 6 3
ALTA 2 0
ALTA 8 1
ALTA 5 0
;
PROC GLM DATA=VIAGRA;
CLASS DOSIS;
MODEL LIBIDOPACIENTE = DOSIS LIBIDOPAREJA;
RUN;

Observemos aquí que ahora aparece en MODEL la variable LIBIDOPAREJA. El resultado de este analisis es el siguiente

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

DOSIS 2 25.18519421 12.59259710 4.14 0.0274
LIBIDOPAREJA 1 15.07574771 15.07574771 4.96 0.0348

Observemos que en presencia de LIBIDOPAREJA el P para DOSIS ahora es 0,0274 ( F

DOSIS 2 36.55755997 18.27877998 7.48 0.0030
LIBIDOPAREJA 1 17.18222420 17.18222420 7.03 0.0139
LIBIDOPAREJA*DOSIS 2 20.42659366 10.21329683 4.18 0.0277

El P para el término de interacción es 0,0277 (