* DISTRIBUCIN NORMAL
La vida media de los habitantes de un pas es de 68
aos. Con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequea ciudad de 10000
habitantes
a) sCuntas personas superarn previsiblemente los 75 aos?
1s- Calculo P( Z>75)
P( Z>75) = 1- P[(Z-68)/25 < (75-68)/25] = 1 - Fz (1,4) = 1 - 0'9192 =
0'0808
2s- El 8'08% de la poblacin vivir ms de 75 aos.
b)sCuntos vivirn menos de 60?
1s- Calculo P( Z<60)
P( Z<60) = P[(Z-68)/25 < (60-68)/25] = Fz (-1'6) = 1- Fz(1'6) = 1-
0'9452= 0'0548
2s- Como el nmero que queda al tipificar es negativo, caculo el equivalente,
que es igual a 1 menos la imagen del nmero.
3s- El 5'48% de la poblacin no superar esa edad.
32. El nmero de pinchazos en los neumticos de cierto vehiculo industrial
tiene una
distribucin de Poisson con media 0.3 por cada 50000 kilmetros .Si el vehiculo
recorre
100000 km, se pide
a) probabilidad de que no tenga pinchazos
b) Probabilidad de que tenga menos de tres pinchazos
c) Nmero de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningn
pinchazo
sea 0.4066
SOLUCIN:
Si λ = 0.3 para 50000 km, entonces para 10000km tendremos una X→Po(0.6).
a)P(X=0) = 0.5488
b) P(x<3) = P(X=0) + P(x=1) + P(X=2) =0.5488 + 0.3292 + 0.09878 = 0.9767
c) P(X=0) = e-λ =0.4066. Por tanto, ln e-λ = ln 0.4066 y λ= 0.9
Si 0.3→ 50000 km, 0.9→ x km, y por tanto x = 150000km
45.
55. Una empresa electrnica observa que el nmero de componentes que fallan
antes de
cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el
nmero
promedio de estos fallos es ocho
a)scul es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?
b)sy de que fallen no ms de dos componentes en 50
horas?
c)scul es la probabilidad de que fallen por lo menos
diez en 125 horas?
6.Un restaurante prepara una ensalada que contiene en
promedio 5 verduras diferentes, encuentre la probabilidad de que la ensalada
contenga ms de 5 verduras:
a)en un determinado da,
Datos: promedio = 5 = l x = nmero de verduras que contiene la ensalada
Distribucin de Poisson:
=
=
R/ La probabilidad es de 0.3840. |
b)en tres de los siguientes 4 das,
Datos: p = 0.3840 n = 4
q = 0.6160 x = 3
Distribucin binomial:
R/ La probabilidad es de 0.1395. |
c)por primera vez en el mes de abril en el da 5.
Datos: p = 0.3840 x = 5para la primera vez
q = 0.6160
Distribucin geomtrica
R/ La probabilidad es de 0.0553. |
7.Una cierta rea del este de Estados Unidos es afectado en promedio por 6
huracanes al ao, encuentre la probabilidad de que en un determinado ao esta
rea ser afectada por
a)menos de 4 huracanes,
Datos: Promedio = 6 = l x = nmero de huracanes
Distribucin de Poisson:
R/ La probabilidad es de 0.1512. |
b)cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.
R/ La probabilidad es de 0.4015. |
8.Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha ha sido
contaminada por la mosca del
mediterrneo, encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 frutas:
a)las 4 estn contaminadas por la mosca,
Datos: p = 2/3 n = 4
q = 1/3 x = nmero de frutas contaminadas
Distribucin binomial:
R/ La probabilidad es de 0.1975. |
b)cualquier cantidad entre 1 y 3.
R/ La probabilidad es de 0.7901. |
Un video club tiene 12 pelAculas infantiles para alquilar a diario. Para este grupo se estima que la demanda sigue un proceso
de Poisson con tasa 10 pelAculas/dAa. Se pide
a). Probabilidad de que en un dAa se hayan alquilado todas las pelAculas.
b). sCuantas pelAculasdeberAa haber en existencia para que la probabilidad
de no satisfacer la demanda de un dAa solo fuese del 0 %?
2. Las alturas de los individuos de dos poblaciones A y B siguen distribuciones
normales de media 1 metros y de desviaciones
respectivas , con ( ) Cuando se escoge un individuo
al azar de cada poblacisn, di en cusl de las dos poblaciones es mss
probable que el individuo elegido mida entre 1,68 m y 1,72 m. Razona la
respuesta.
Solucisn
Sea X la variable aleatoria que mide la altura de los individuos de la
poblacisn A y sea Y la variable que mide la altura de los individuos de la
poblacisn B. X sigue una N(1,70; e Y sigue una
normal N(1,70; con ( ) para ver cusl de
estas probabilidades es mayor: p[1,68<X<1,72] y p[1,68<Y<1,72] ;
tipifiquemos ambas variables y comparemos.
Puesto que el intervalo 1s es mss amplio que el 2s y ambas variables son
normales N(0,1).
Intuitivamente es claro, como tienen la misma media, el porcentaje de individuos
que se concentra alrededor de la media es tanto mayor cuanto mss pequesa
sea la dispersisn de los individuos alrededor de la media, es decir, la
desviacisn tspica. Por tanto, para unmismo intervalo centrado en la media,
el srea bajo la curva de la normal, sers tanto mayor cuanto mss pequesa
sea la desviacisn tspica.
3. Se ha comprobado que determinada prueba cultural es superada por el 70% de
las personas con estudio de grado medio y por el 55% de las personas con
estudios primarios. Un total de 10 personas (seis con
estudios de grado medio y cuatro con estudios primarios) realizan dicha prueba
cultural. Calcular:
a) La probabilidad de que exactamente cuatro de las personas con estudios de
grado medio superen la prueba.
b) La probabilidad de que al menos una de las personas
con estudios primarios supere la prueba.
c) Si consideramos la variable snsmero de personas que superan la prueba
entre las 10 que la realizans, sseguirsa un
modelo binomial de probabilidad? Razona la respuesta.
Solucisn
a) Podemos suponer que el nsmero de sxitos para las 6 personas con estudios
de grado medio sigue un modelo binomial con n =6 y p =0 .
La probabilidad de tener exactamente 4 sxitos vendrsa dada por:
b) Anslogamente para las 4 personas con estudios primarios. Sea X el nsmero
de sxitos
c) No, pues una de las condiciones del modelo de binomial es que
laprobabilidad de sxito, en cada prueba, permanezca constante.
4. En recientes estudios realizados sobre pacientes portadores del SIDA se ha podido determinar que el 70% consume algsn
tipo de drogas. En la sala de espera de una consulta especializada en esta
enfermedad se encuentran en un determinado momento
seis personas. sCusl es la probabilidad de que
ninguno haya consumido drogas?
Solucisn
La variable X sigue una binomial de parsmetros n=6 y p=0 .
Por tanto, la probabilidad p[X =0] =0 =0,000729.
5. Segsn informs DIARIO 16 el dsa 22 de noviembre de 1992, de un total de
2.847 asuntos presentados en el Tribunal Constitucional en el persodo
1-1-1991 hasta 31-10-1992, sslo se han podido resolver 2.147, lo que equivale
aproximadamente al 75% de los presentados. sCusl
es la probabilidad de que de diez asuntos elegidos al azar todos hayan sido
resueltos?
Solucisn
Sea X la variable aleatoria que nos da el nsmero de sxitos en 10 pruebas.
X sigue un modelo binomial de parsmetros n =10 y p =0 .
La probabilidad p[X=10] =0 =0,0563
6. Segsn un informe de la OCDE, en el aso 1981 el 35% de la poblacisn
mundial tensa menos de 15 asos. Si fuera posible elegir una muestra
aleatoria dela poblacisn mundial formada por diez personas, scusl es la
probabilidad de que a lo sumo haya tres individuos con
edad inferior a 15 asos?
Solucisn
Sea X la variable aleatoria snsmero de individuos cuya edad es inferior a
15 asos en una muestra aleatoria de 10 individuoss. X sigue una
binomial de parsmetros n =10 y p =0 . La
probabilidad que nos piden es p[X s 3]=p[X=0]+p[X=1]+p[X=2]+p[X=3]=
7. En un test destinado a medir la capacidad espacial
de un grupo de alumnos de la Escuela de Arquitectura se ha podido saber que el
20% tienen una capacidad espacial insuficiente. sCusl
es la probabilidad de que de tres alumnos elegidos al azar los tres hayan dado
resultados insuficientes en el test?
Solucisn
Sea X la variable aleatoria que da el nsmero de sxitos (el sxito aqus
es tener capacidad espacial insuficiente) en las 3 pruebas. X sigue una
binomial de parsmetros n=3 y p=0 . Por tanto, la
probabilidad p[X=3 0,23=0,008.
8. Supongamos que la probabilidad de nacer varsn en Espasa es de 0,512. Si durante un aso en una determinada regisn se han
producido 2.000 nacimientos, scusl es la probabilidad de que el nsmero de
varones ests entre 1.000 y 1.080?
Solucisn
Sea X lavariable aleatoria snsmero de nacidos varones en 2000
nacimientoss. X sigue una binomial de parsmetros n=2000 y p=0,512. Como n es un nsmero
suficientemente grande, la distribucisn binomial puede aproximarse por una
distribucisn normal de media n.p y desviacisn tspica (n.p.q)1/ Por tanto, la variable X sigue una normal N(1024,
22,35); luego la p[1000<X<1080] =p[1000,5<X<1079,5] =
0,9935-0,1465=0,847.
9. En un centro escolar se ha observado que el 55% de
los alumnos superan unas determinadas pruebas de psicomotricidad. Si este porcentaje es constante, y teniendo en cuenta que se
pasa la prueba a 100 alumnos, hallar la probabilidad de que la superen
exactamente mss de 50.
Solucisn
El nsmero X de alumnos que superan la prueba de los 100 presentados sigue una
binomial de parsmetros n=100; p=0 . Como n.p es grande, esta distribucisn se puede aproximar por una
normal de media n.p y desviacisn tspica (n.p.q)1/2. Luego X sigue
una normal N(55, 4,975). La probabilidad p[X>=50 ]=1-p[X s
10. El porcentaje de fracaso escolar en Bachillerato, en una determinada
regisn, es del
40%. Sobre un total de 1.000 individuos:
a) sCusl es la probabilidad de que seproduzcan exactamente 400 fracasos?
b) sCusl es la probabilidad de que no superen los
400 fracasos?
Solucisn
X sigue una binomial de parsmetros n=1000; p=0 .
Distribucisn que se puede aproximar por una normal N(400;
15,492). Teniendo en cuenta que como
variable discreta tiene sentido hablar de p[X=400]; pero como variable continua no tiene sentido. Se
conviene en considerar que la p[X=400 p[399,5<X<400,5]=0,5129-0,4871=0,0258.
b) Anslogamente, para calcular la p[X<400], calculamos la p[Xs
11. Hallar el primer y el tercer cuartil en una distribucisn N(25,3).
Solucisn
El primer cuartil sers el valor x 0 de la
variable aleatoria tal que p[X<x 0,25]=0,25, es decir que deja a la
izquierda de la curva a un cuarto de la poblacisn. Tipificando la variable:
Anslogamente para el cuartil tercero p[X<x 0 ]=0,75;
se obtiene x 0,75=27,0235
12. Un almacsn de camisas ha determinado que el cuello de, los varones
adultos se distribuye normalmente con media 38 cm y desviacisn tspica 1 cm. Con el fin de poder preparar la produccisn de la
prsxima temporada, y teniendo en cuenta que su produccisn ests en 10.000
camisas:
a) sCusntas camisas de losnsmeros 35, 36, 37, 38 y 39 tendrsn que
fabricar?
b) sCusntas camisas habrsn de fabricar del 43? e) sY del
33?
Solucisn
Sea X la variable aleatoria que mide el cuello de los varones adultos. X
sigue una normal N(38; 1,5).
a) La p[X=35] es nula; pero puede considerarse que los hombres que utilizan la
talla 35 van a ser aquellos varones cuyas medidas de cuello estsn
comprendidas entre 34 y 35,5. Por tanto, asignamos
la talla 35 a todos aquellos cuya p[34,5<X<35,5]=0,0478-
0,0098=0,0380= 3,8%. Para la talla 36
consideramos la p[35,5<X<36,5]=0,1586-0,0478=0,1106.
Para la talla 37 p[36,5<X<37,5]=0,3694-0,1586=0,2108.
Para la talla 38: p[37,5<X<38,5]=0,6306-0,3694=0,2612.
Y, para la talla 39: p[38,5<X<39,5] =0,8413 s
0,6306=0,2107.
Como son 10.000 el nsmero de camisas que se van a fabricar, se harsn 380 de
la talla 35; 1.106 de la talla 36; 2.108 de la talla 37; 2.612 de la talla 38 y
2.107 de la talla 39.
b) De la talla 43, se fabricarsn p[42,5<X<43,5]=0,9999-0,9986=0,0013;
se fabricarsn 13 y de la talla 33: p[32,5<X<33,5]=0,0014-0,0001=0,0013,
se fabricarsn 13.
13. En la asignatura de psicologsa evolutiva se ha podidodeterminar que las
calificaciones se distribuyen segsn una N(5,5; 1,2).
a) sEntre qus valores, en torno a la media, se
encontrars el 95% de los alumnos?
b) sEntre qus valores, en torno a la media, se
encontrars el 50% de los alumnos?
e) sA partir de qus nota se encontrars el 10 por
100 de los alumnos mejor calificados?
Solucisn
a) Se trata de calcular el intervalo tal que:
Por tanto el intervalo pedido es (5,5-2,35; 5,5+2,35)=(3,15; 7,85); es decir
entre 3,15 y 7,85.
b)
Por tanto el intervalo pedido es (5,5-0,8094; 5,5+0,8094)=(4,6906; 6,3094); es
decir entre 4,6906 y 6,3094.
c) Hay que calcular el valor de x tal que P[X>x 0,1;
es decir: p[X s x]=0,9; este valor se corresponde con 7,0379
14. La distribucisn de sociabilidad de un colectivo
sigue una distribucisn normal de media 20 y de desviacisn tspica o
estsndar 2. Si elegimos un individuo al azar,
hallar:
a) La probabilidad de que tenga un coeficiente como msximo de 25.
b) La probabilidad de que tenga un coeficiente entre 22
y 25, sabiendo que sste ests por encima de 21.
c) sDsnde habrsa que poner el valor de la variable para hacer dos grupos
(menos sociables, mss sociables), con la condicisn de queen el primer grupo
estuvieran el 30% del colectivo, y en el segundo el 70% restante?
Solucisn
Sea X la variable aleatoria que mide el coeficiente de sociabilidad, X sigue
una N(20; 2). Por tanto:
a) p[X s25]=0,9938.
b)
c) El valor de la variable es el valor x tal que p[X<x 0,3.
Tal valor se corresponde con 18 .
15. El peso de los adultos de una poblacisn numerosa se distribuye normalmente
con media 65 kg y desviacisn tspica 3 kg. Se eligen dos
individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades,
justifica qus es mss probable:
a) Que cada uno de los individuos tenga un peso comprendido entre 63 y 66,5 kg.
b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62
y 68 kg y el otro tenga un peso no comprendido entre 62 y 68 kg.
Solucisn
Sea X la variable aleatoria resultado de elegir un individuo al azar y pesarlo;
X sigue una normal N(65; 2). Sea Y la variable
aleatoria resultado de elegir otro individuo al azar y pesarlo; Y sigue una N(65; 2). Evidentemente, X e Y son
independientes. Por tanto:
a) p[(63,5<X<66,5)s(63,5<Y<66,5)]=
p[(63,5<X<66,5)].p[(63,5<Y<66,5)]=[0,7734- 0,2266]2=0,54682=0,2990.
b) p[(62<X<68)s( (Y s 62)s(Y s 68))] =
p[(62<X<68)].p[( (Y s 62)s(Y s 68))]
=0,8664.(1-0,8664)=0,1157.
Es mas probable el caso a).
16. En una manzana de casas hay 10 aparcamientos. En cada aparcamiento puede
encontrarse o no un automsvil con independencia de
lo que ocurra en los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento ests
ocupado es de 0 ; se pide:
a) Identificar y describir el modelo de probabilidad.
b) Calcular la probabilidad de que en cierto dsa se encuentren ocho automsviles
aparcados.
Solucisn
Sea X la variable aleatoria snsmero de aparcamientos ocupados de los 10
existentess. X sigue una binomial de parsmetros n=10; p=0 .
a) X sigue B(10; 0,4).
b) p[X=8]=45. 0 . 0,62 =
0,0106
17. Se sabe que dos poblaciones distintas, X e Y, se distribuyen normalmente con media 0. Ademss:
p[Xs 2] = p[Ys 3] = 0,1587 Se pide que calcules
sus respectivas varianzas.
Solucisn
Sea X una variable aleatoria N(0; 1) e Y otra
variable N(0; 2). De p[Xs 2] = 1-p[X<2] y p[Ys 3]=1-p[Y<3];
obtenemos p[X<2]=0,8413 y p[Y<3]=0,8413. Sea Z1 =X/1 y Z2 =Y
/2; las variables Z1 y Z2 son N(0; 1); por tanto p[X<2]=0,8413 equivale a
p[Z1<(2/1)]=0,8413; dedonde 2/1=0,9998 y de aqus 1=2,0004. De
otro lado, p[Y<3]=0,8413 equivale a que p[Z2<(3/2)]=0,8413; de donde
3/2=0,9998 y de aqus que 2=3,0006.
18. Un ascensor admite como peso msximo 300 kg. La
poblacisn de usuarios tiene un peso que se
distribuye segsn una ley normal de media 70 kg y desviacisn tspica 10 kg.
Calcula la probabilidad de que cuatro personas cualesquiera de dicha
poblacisn que suban al ascensor superen el peso msximo.
Solucisn
Sea X1; X2; X3; X4 cuatro variables aleatorias N (70; 10) correspondientes al
peso de cada una de las personas que suben al ascensor; la variable aleatoria Y
= X1+ X2+ X3+ X4 sigue una distribucisn normal de media E[Y] y desviacisn
tspica [Var(Y)]1/2. Como
E[Y E[X1]+ E[X2]+ E[X3]+ E[X4]=4.70=280. y Var(Y)= Var[X1]+ Var[X2]+ Var[X3]+ Var[X4]=4.102=400;
luego, la desviacisn tspica de Y: y=(400)1/2=20. Por tanto Y sigue una N(280; 20). La probabilidad de que p[Y>300 1-p[Y s 300]=1-0,8413=0,1587.
19. El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie se distribuye segsn una
normal de media = 52 y desviacisn tspica = 6 .
a) Hallar la probabilidad de que una pieza fabricada pese
mss de 68 gramos.
b) Si el 30 por 100de las piezas fabricadas pesa mas
que una pieza dada. sCusnto pesa esta sltima?
Solucisn
Sea X la variable aleatoria; X sigue una N(52; 6,5).
a) p[X>68]=0,0069.
b) Sea xp el peso de la pieza. P[X>xp 0,3; luego,
p[X s xp]=0,7 de donde xp =55,4086.
20. Un examen tipo test consta de diez preguntas, las cuales tienen cuatro
posibles respuestas, siendo solo una de ellas
correcta. Si una persona contestase al azar , es
decir, eligiese de forma aleatoria una de las cuatro respuestas posibles de
cada una de las 10 preguntas:
a) sCusl sersa el nsmero esperado de respuestas correctas?
b) sQus probabilidad tendrsa de acertar la
respuesta correcta de al menos seis preguntas?
c) sQus probabilidad tendrsa de no
contestar ninguna pregunta correctamente?
Solucisn
Sea X la variable aleatoria snsmero de respuestas correctas de las 10
preguntass. X sigue una binomial B(10; s)
es decir B(10; 0,25).
a) La E[X] =n .p =10.1/4=10/4=2,5.
b) p[X s 6] que es igual a:
c) p[X=0]=0,7510=0,0563
21. Se sabe que un determinado medicamento produce
mejorsa de cierta enfermedad a dos de cada tres pacientes. Se les administra a siete enfermos.
a) Calcular la probabilidad de quemejoren cuatro
b) Calcular la probabilidad de que mejoren al menos
cuatro personas.
Solucisn
Sea X la variable aleatoria nsmero de sxitos del medicamento en
7 pacientes. X sigue una binomial de parsmetros n=7; p=2/3: B(7; 2/3).
22. En un restaurante se sabe que la duracisn sin
rotura de las copas en uso sigue una distribucisn normal. Se sabe que las
copas duran, por tsrmino medio, 50 dsas, con una desviacisn tspica de
ocho dsas.
a) Calcular la probabilidad de que una copa dure menos de 35 dsas.
b) Calcular la probabilidad de que una copa dure mas de 60 dsas.
Solucisn
Sea X la variable aleatoria sduracisn sin roturas, en dsas, de una
copas. X sigue una N(50; 8). a) p[X<35]=0,0304. b) p[X>60]=0,1056.
23. La probabilidad de que una pieza, elegida al azar de una gran poblacisn
de piezas, sea defectuosa es 0,25. Se extraen 5
piezas
a) Calcular la probabilidad de obtener al menos una
pieza defectuosa.
b) Calcular la probabilidad de obtener un nsmero
impar de piezas defectuosas.
c) Calcular la probabilidad de obtener como
msximo tres piezas defectuosas.
d) Calcular el nsmero medio de piezas defectuosas.
Solucisn
Sea X la variable aleatoria snsmero depiezas defectuosas en una muestra de
5s. X sigue una binomial B(5; 0,25)
a) p[X s1]=0,7627
b) p[(X=1)s[(X=3)s[(X=5)]=0,3955+0,0879+0,0010=0,4844.
c) p[Xs 3]=0,9844
d) E[X] =n . p=5.0 =1,25.
24. La distribucisn de la duracisn de un embarazo
en es aproximadamente normal, con media 266 dsas y desviacisn tspica 16
dsas. Calcular:
a) La proporcisn de embarazos con una duracisn msxima de 244
dsas.
b) Los percentiles del 25%, del 50% y del 75% de la distribucisn
considerada y comenta su significado.
Solucisn
Sea X la variable aleatoria sduracisn en dsas de un
embarazos. X sigue una N(266; 16).
a) p[Xs 244]=0,0846
b) p[X<P25]=0,25 se obtiene P25=255,2081; p[X<P50]=0,5 se obtiene
P50=266; p[X<P75]=0,75 se obtiene P75=276,7919.
25. Supongamos una distribucisn normal de media 50 en la que la probabilidad
de obtener un valor por encima de 70 es 0 . sCusl es la desviacisn tspica? sCusl
probabilidad de los valores por debajo de 45?
Solucisn
Sea X una variable aleatoria que se distribuye normalmente con N(50; ). Si la p[X>70 0,0228;
se deduce que
Luego =10,0045. La p[X<45 0,3086.
La distribucin normal es una de las distribuciones msusadas e importantes. Se
ha desenvuelto como
una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia
, la industria y el comercio. Muchos eventos reales y
naturales tienen una distribucin de frecuencias cuya forma es muy parecida a
la distribucin normal.
La distribucin normal es llamada tambin campana de Gauss por su forma
acampanada.
Propiedades de la distribucin normal
* La distribucin normal tiene forma de campana.
* La distribucin normal es una distribucin de probabilidad que tiene media =
0 y desviacin estndar = 1.
* El rea bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a ms infinito
vale 1.
* La distribucin normal es simtrica, es decir cada mitad de curva tiene un rea de 0.5.
* La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estndar.
* La forma y la posicin de una distribucin normal dependen de los parmetros , en consecuencia hay un nmero infinito de
distribuciones normales.
Existe una relacin del porcentaje de poblacin a la
desviacin estndar. En la figura observamos por ejemplo que el rea bajo la
curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y
