ANUALIDAD ADELANTADA O
ANTICIPADA
Es una anualidad cuyo pago periódico se hace al principio de cada intervalo de
pago.
1. CÁLCULO DEL
MONTO O VALOR FUTURO:
Ejemplo:
* Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de S/. 100 son
pagaderos al principio de cada trimestre durante un
año, a una tasa efectiva trimestral del
9%.
R = 100 n = 4
I = 0 /4 = 0,09 S =?
0 1 2 3 4
100 100 100 100 S =?
S = 100 (1 + 0,09)a´ + 100 (1 + 0,09)³ + 100 (1 + 0,09)²
S = 498,47
DEDUCCIÓN DE FORMULA
Simbólicamente tenemos lo siguiente:
S = R (1 + i)a´ + R (1 + i)³ + R (1 + i)² + R (1 + i)
Sacando factor común “R” e invertirlo el orden de los factores, tenemos que:
S = R [ (1 + i) + (1 + i)² + (1 + i)³ + (1 + i)a´ ]
Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que hallamos
su razón geométrica, para luego hallar la suma de sus términos.
Razón (r) = (1 + i)a´ = (1 + i)
(1 + i)³
Primer término: a = (1 + i)
Último término: u = (1 + i)a´
La formula de la suma de términos de una progresión geométrica finita es:
Suma (s) = (u * r) – a
r - 1
Suma = (1 + i)a´ * (1 +i) - (1 + i) = (1 + i)aµ - (1 + i)
(1 + i) – 1 i
Por lo tanto, reemplazando en la formula general, se tiene que:
S = R [ (1 + i)aµ - (1 + i) ]
i
Cuando cuatro es el numero de periodos; aumentándose “n” en 1 (n = 4 + 1 = 5).
La fórmula del monto de una anualidad adelantada cuyos pagos (R) son pagaderos
al inicio de cada periodo, durante “n” periodos y a una tasa de interés “i”,
seria:
S = R [ (1 + i)asas¹ - (1 + i) ]
I
En el ejemplo visto tenemos que:
S = 100 [ (1 + 0,09)a´as¹ - (1 + 0,09) ]
0,09
S = 498,47
2. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL (A
Con los datos del
ejemplo anterior, hallar el valor actual de dicha anualidad.
R = 100
i = 0 /4 = 0,09
n = 4
A = ?
0 1 2 3 4
A
100 100 100 100
A = 100 + 100 (1 + 0 )ˉ¹ + 100 (1 + 0,09) Ì„² + 100
(1 + 0,09)ˉ³
A = 353,13
DEDUCCIÓN DE
FORMULA
Para obtener la fórmula del
valor actual, seguimos el mismo procedimiento que seguíamos para hallar el
monto de una anualidad.
A = R + R (1 + i) Ì„¹ + R (1 + i)ˉ² + R (1 + i)ˉ³
Sacando factor común “R” e invertirlo el orden de los factores, tenemos:
A = R [ (1 + i)ˉ³ + (1 + i)ˉ² + (1 + i)Ì„¹ + 1 ]
Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que hallamos
su razón geométrica, para hallar luego la suma de sus términos.
Razón (r) = 1 = (1 + i)
(1 + i) Ì„¹
Primer término: a = (1 + i)ˉ³
Último término: u = 1
La fórmula de la suma de los términos de su progresión geométrica finita es:
Suma = (u * r) – a
r – 1
Suma = 1 * (1 + i) - (1 + i)ˉ³ = (1 + i) - (1 + i)ˉ³
(1 + i) – 1 i
Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:
A = R [ (1 + i) - (1 + i)ˉ³ ]
i
Cuando cuatro es el número de periodos; por lo que disminuye “n” en 1: (n - 4 –
1 – 3)
La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad anticipada, cuyos
pagos (R) son pagaderos al inicio de cada periodo durante “n” periodos y a una
tasa de interés “i” seria:
A = R [ (1 + i) – (1 + i)ˉa½as Ì„¹a¾ ]
i
Tomando como referencia el ejemplo anterior, tenemos que:
A = 100 [ (1 + 0,09) – (1 + 0,09) ˉa½a´ Ì„Ì„¹a¾ ] = 353,13
0,09
3. PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES ADELANTADAS O ANTICIPADAS
a) Una empresa de confecciones necesita adquirir una nueva máquina para poder
incrementar su producción por lo que hará un préstamo
de $.75 000 al Banco Norte que cobra una TEA del 25%. Si las cuotas mensuales iguales
anticipadas son de $.5 676 . sEn cuántas
mensualidades podrá cancelar este crédito?
(1 + 0,25)¹ = (1 + i)¹²
i = 0,018769 mensual
75 000 = 5 676,74 [ (1 + 0,018769) – (1 + 0,018769)ˉa½asˉ¹a¾
0,018769
-0, 77080 = -(1 + 0,018769)ˉa½asˉ¹a¾
Log. 0,77080 = (-n + 1) log. 1,018769
Log. 0,77080 / Log. 1,018769 = -n + 1
n = 15 meses
b) Un padre decide construir su casa cuando su hijo cumpla 25 años. Para ello decide ahorrar en una Caja de Ahorros, haciendo
el primer depósito el día de su nacimiento y el último depósito lo hará cuando
su hijo tenga 20 años y medio. El ahorro será de $.
350 cada seis meses y será depositado en una cuenta que le paga una TEA del
10%. sCuánto tendrá disponible su hijo a los 25 años?
TEA = 10% (1 + TEA)¹ = (1 + i)²
R = 350 (1 + 0.10)¹ = (1 + i)²
n = 42 i = 0,0488 semestral
i = 0,0488
S = 350 [ (1 + 0,0488)a´²as¹ - (1 + 0,0488) ] * (1 + 0,10)a´
0,0488
S = 70 474,74 (A los 25 años)
c) CRASA ha lanzado al mercado una campaña para la venta de lavadoras de marca
Moraveco, ofreciendo las siguientes condiciones:
* Precio cash : $.460, con dosmodalidades de pago:
1. Una cuota adelantada de $. 135 como cuota inicial y 4 cuotas
trimestrales restantes por la misma cantidad.
2. Una cuota adelantada de $. 110 como cuota inicial y 6 cuotas
trimestrales restantes por la misma cantidad.
Determinar que alternativa de crédito es la más barata.
a) 460
0 1 2 3 4
135 135 135 135 135
460 = 135 [ (1 + i) – (1 + i)ˉa½aµË‰¹a¾
i
Se iguala la ecuación a cero y luego, mediante iteraciones sucesivas o usando
una calculadora financiera, se obtiene el valor de “i” que en este caso es
igual a:
i = 23, 93% trimestral
b) 460
0 1 2 3 4 5 6
110 110 110 110 110 110 110
350 = 110 [ (1 + i) – (1 + i) ˉa½a·Ë‰¹a¾ ]
i
i = 21,79% trimestral
Le conviene la alternativa “b”, ya que cobra una tasa de interés menor.
d) Café Perales reserva $. 15 000 al principio de cada
año, durante cinco años para crear un fondo en caso de
futura expansión. Si el fondo gana el 8% efectivo anualmente.
s Cuál será el monto acumulado al termino del quinto año?
R = 15 000
i = 0
n = 5
S = 15 000 [ (1 + 0,08) ¹a°as¹ - (1 + 0,08) ]
0,08
S = 95 038,93
