CARATULA

INTRODUCCION

INTERSECCIONES
A) Intersección de una recta con un plano

Una superficie plana es penetrada por una recta en un punto, denominado punto de intersección. En la figura 1.1 se muestra una recta MN que penetra al plano ABC en un punto de intersección P.

Existen dos métodos para determinar el punto de intersección
1) METODO DE LA VISTA DE CANTO: El punto de intersección se localiza en la intersección de la recta con la vista de canto del plano dado.
2) METODO DEL PLANO CORTANTE: El punto de intersección se localiza en la intersección se localiza en la intersección del plano de corte con el plano dado.

1.-METODO DE LA VISTA DE CANTO

1.1-CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO O INTERSECCION DE RECTA CUALQUIERA CON PLANO AUXILIAR

En forma general, el concepto de plano auxiliar involucra la existencia de un plano de canto, que en general, puede considerarse como el plano proyectante de una recta del espacio. Según entonces nuestra terminología, consideraremos como plano auxiliares a los siguientes:
Planos de canto vertical, normal, horizontal, frontal y de perfil.

1.1.a- Intersección de recta con un plano vertical:

Consideremos un plano de canto vertical abc y una recta cualquiera mn.(Figura 1)

Procedimiento:
. Llamemos al punto de intersección de la recta y al plano: i

. El punto i pertenece al plano abc, luego debe tenerse que la proyección iH tiene que encontrarse en la proyecciónhorizontal aHbHcH del plano.

. Por otra parte, el punto i también pertenece recta, luego la proyección iH debe encontrarse sobre mHnH.
Por lo tanto: donde las proyecciones horizontales del plano y de la recta se corten, se encuentra la proyección horizontal del punto de intersección.

. La proyección frontal del punto de intersección se debera encontrar en la proyección frontal de la recta: esta se determina mediante una línea de referencia trazada desde iH hasta cortar a la proyección frontal de la recta.


Figura 1

1.1. b.-Intersección de recta con plano de canto normal:

Determinar la intersección de la recta ab con el plano de canto. (Figura 2)

Procedimiento
El proceso es semejante al ejecutado en el caso anterior:

.Donde las proyecciones frontales de la recta y el plano se corten, obtendremos la proyección frontal del punto de intersección: Donde mFnFsF y aFbF se corten: iF

.Mediante una línea de referencia hasta cortar a la proyección horizontal de la recta, determinaremos la proyección horizontal del punto de intersección iH.

1.1. c.-Intersección de recta con plano horizontal:

Encontrar la intersección del plano horizontal abc con la recta mn. (Figura 3)

Procedimiento Donde aFbFcF corte a la proyección mFnF obtenemos iF.
. Por la proyección iF se traza una referencia hasta cortar a la proyección mHnH y queda determinado la proyección iH.

Como podra observarse, el procedimientoseguido es semejante al seguido en el caso 1.1.b, ya que el plano horizontal es una posición particular del plano de canto normal. El estudiante debe analizar el caso.

1. 1. d.-Intersección de recta con plano frontal:

Encontrar la intersección de la recta cd con el plano frontal str. (Figura 4)

Procedimiento:

.Donde las proyecciones horizontales aHtHrH y cHdH se corten, determinamos facilmente iH.
.Por la proyección iH llevamos una referencia hasta cortar a la proyección cFdF, donde se encuentra iF.

Este proceso es semejante al empleado en el caso 1.1.a, debido a que un plano frontal es una posición particular de un plano vertical


Figura 4

1.1. e.-Intersección de recta con plano de perfil:

Determinar la intersección del plano d perfil zvx con la recta wt. (Figura 5)

Procedimiento:

. Donde zHvHxH y wHtH se corten, se obtiene la proyección iH
. Donde zFvFxF y wFtF se corten se obtiene iF.
Como el plano de perfil es a la vez vertical y normal, es que se emplea en su proyección correspondiente los métodos de los casos 1.1.a y 1.1.b.



Figura 5

1.2- CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO O INTERSECCION DE RECTA CUALQUIERA CON PLANO CUALQUIERA

Para la resolución de este tipo de problemas, detallaremos dos métodos existentes principales:

Método 1.2.a: De la vista auxiliar(o cambio de planos):

Determinar el punto de intersección i del plano cualquiera abc y la recta mn. (Figura6)Procedimiento Mediante un cambio de plano frontal, trasformamos el plano abc en uno de canto normal: La proyección frontal en el nuevo sistema aF´bF´cF´
. Se determina la nueva proyección frontal de la recta en el nuevo sistema: mF´nF´
. En el nuevo sistema H-F´ se determina la intersección de la recta con el plano (caso 1.1.b de intersección de recta cualquiera con el plano auxiliar), obteniendo la proyección iF´ del punto de intersección.
. Con una línea de referencia trazada por iF´ perpendicular al eje H- F´ cortar a mHnH obtenemos la proyección iH´
. Con una referencia desde iH hasta cortar a mFnF obtenemos la proyección iF.

Nota:

También puede transformase el plano dado en uno de canto vertical, para lo cual emplearemos el caso 1.1.a de intersección de recta cualquiera con plano auxiliar, previa ejecución del cambio de plano respectivo. El resto del método es igual al que hemos desarrollado anteriormente.

Método 2: METODO DEL PLANO CORTANTE O DEL PLANO AUXILIAR

Encontrar la intersección de la recta ab con el plano cualquiera szv. (Figura 7 y 8)

Procedimiento Por la recta ab hacemos pasar un plano auxiliar( que puede vertical normal) adecuado a las circunstancias.

. Se determina la intersección del plano auxiliar con el plano dado svz: recta mn.

. Como las rectas ab y mn se encuentran en un mismo plano, se deberan cortar en un punto i , que es el punto de intersección buscado.

Explicación del depurado Por la recta ab hacemos pasar un plano de canto auxiliar vertical: La proyección horizontal del plano auxiliar se tiene que confundir con la proyección horizontal aHbH de recta dada.
. Intersección del plano auxiliar con el plano dado vsz (para cual se intercepta las rectas sz y sv con el plano auxiliar que nos van a dar los puntos m y n.
. Los puntos m y n unidos, nos determinan la recta mn que es la intersección de los dos planos (auxiliar y dado).
. Donde las rectas ab y mn se cortan, se encontrara el punto i de intersección que se busca (donde aFbF y mFnF se corten, se debe hallar iF).
. Por la proyección frontal iF (que también se encuentra en la recta ab) llevamos una referencia hasta cortar a la proyección aHbH donde se hallara entonces la otra proyección iH del punto buscado.

Nota
La naturaleza del plano auxiliar empleado se puede determinar teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

a.-Cuando la recta dada tiene sus dos proyecciones inclinadas con respecto al eje H-F, el plano auxiliar debera ser: de canto vertical o normal.

b.-Cuando la recta dada es paralela a uno de los planos de proyección, el plano auxiliar también debera ser paralelo a uno de los planos de proyección para mayor facilidad de trabajo (planos horizontal, frontal o de perfil); aunque también podría emplearse uno vertical o normal. La practica del estudiante le hara ver posteriormente, el plano mas conveniente para la solución del problema.

Figura 8

B) Intersección deplanos
La intersección de planos que no son paralelos es una línea recta llamada recta de intersección, que contiene todos los puntos comunes a los dos planos. Se presentan dos tipos de intersecciones; por mordedura y penetración, tal como se observa en a y b de la figura respectivamente.

(a) (b)

Existen tres métodos para determinar la recta de intersección:
1) METODO DE LA VISTA DE CANTO: Este método se usa para planos limitados y se le conoce como el método del plano auxiliar.

2) METODO DIRECTO: Este método se usa para planos limitados y se le conoce como el método de la recta individual.

3) METODO DEL PLANO CORTANTE: Este método se usa para planos ilimitados.

1.-METODO DE LA VISTA DE CANTO

1.1- CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO O INTERSECCION DE PLANO CUAQUIERA CON PLANO AUXILIAR

Para determinar la recta de intersección de un plano cualquiera con un plano auxiliar, basta con encontrar la intersección de dos rectas del plano cualquiera con el plano de canto auxiliar (aplicación doble del caso 1 de intersección de recta con un plano).
En esta forma se encuentra dos puntos, los que unidos determinan la recta buscada.

Caso 1.1.a

Determinar la recta de intersección del plano cualquiera abc con el plano auxiliar de canto vertical mns. (Figura 9)

Procedimiento
· Se determina la intersección de la recta ab con el plano mns: punto i.
. Se determina la intersección de la recta bc con el plano mns: punto i´
. Uniendo los puntos i y i´ tenemos la recta deintersección buscada: recta ii`.


Figura 9
Caso 1.1.b

Determinar la recta de intersección del plano cualquiera msn con el plano auxiliar de canto normal abc. (Figura 10)

Procedimiento Se determina la intersección de la recta mn con el plano abc: punto i.
. Se determina la intersección de la recta ns con el plano abc: punto i´
. Uniendo los puntos i e i´ tenemos la recta de intersección buscada.

Figura 10

Caso1.1.c: Intersección del plano cualquiera abc con el plano auxiliar de canto horizontal mns. (Figura 11)


Caso1.1.d: Intersección del plano cualquiera abc con el plano auxiliar de canto frontal mns. (Figura 12)




Figura 12

Caso1.1.e: Intersección del plano cualquiera abc con el plano auxiliar de canto de perfil mns. (Figura 13
dibujo

1.2 -CUANDO NOSE CONOCE LA VISTA DE CANTO O INTERSECCION DE DOS PLANOS CUALQUIERA

Para resolver este problema, emplearemos tres métodos y que son los siguientes:

Método 1.2.a: De los cambios de planos

Problema:

Encontrar la reta de intersección de los planos cualquiera abc y mns. (Figura 14)

Procedimiento

·Mediante un cambio de plano frontal, transformamos uno de los planos dados (en nuestro caso el abc) en uno de canto normal.
.Se determina la nueva proyección frontal del otro plano.
·En el sistema cambiado H-F´ como uno de los planos es de canto, podemos encontrar la recta de intersección, aplicando el caso 1.1.b(intersección del plano cualquiera con uno auxiliar). En esta forma hemos encontrado la recta de intersección xy.
·Con referencias perpendiculares al eje H-F´, determinamos las proyecciones xH e yH y finalmente se obtiene xF e yF.

Nota:

También se puede trabajar, transformando uno de los planos a uno de canto vertical, hallando la intersección en el nuevo sistema H´-F y después determinarla en el sistema H-F.

Figura 14

2) METODO DIRECTO:

Para determinar la intersección de dos planos por este método no es necesario efectuar ningún cambio de planos para obtener las vistas auxiliares que favorezcan el hallazgo de la recta de intersección; sino, que aplicando el método de intersección de una recta cualquiera con un plano cualquiera (proceso 1.2.b), se encuentra la intersección de dos rectas de un plano con el otro plano, determinando en esa forma dos puntos de la recta buscada, puntos que al unirlos finalmente, formara la recta de intersección.

Aplicación:

Determinar la recta de intersección de los planos mns y wzu. (Figura 15)

Procedimiento

· Se halla la intersección de la recta sn con el plano wuz.
·Se halla la intersección de la recta wz con el plano mns. Estas intersecciones se encuentran aplicando el método ya explicado en la parte 1.2.b: Intersección de una recta cualquiera con un plano cualquiera.
· En esa forma queda hallada los puntos x e y respectivamente.

Nota

Es facil de comprender, que para determinar la recta de intersección buscada, sólo esnecesario encontrar dos puntos de ella. Ahora bien, para hallar estos dos puntos, se puede intersecar dos rectas (las dos rectas pueden ser de un mismo plano, o en su defecto una recta de cada plano, que por su posición resten completa facilidad para hacerlo. Ademas, el plano auxiliar que se emplee para la determinación de un punto de la intersección puede ser vertical o normal).

Figura 15

3) DE LOS PLANOS CORTANTES:

Generalmente, este método se emplea cuando la posición de los triangulos representativos de los planos, no presten alguna facilidad de posición entre ellos, que nos permitan aplicar algunos de los métodos ya expuestos anteriormente.

Aplicación:

Determinar la recta de intersección de los planos abc y mns.

Procedimiento general: (Figura 16)

·Tomemos un plano auxiliar, de preferencia que sea paralelo a uno de los planos de proyección: llamemos a este plano P.
·Se halla la intersección de los planos abc y mns con el plano auxiliar P : rectas x´ e y ´ respectivamente. Como estas rectas se encuentran en un mismo plano (en el plano auxiliar) se tienen que cortar en el punto i´ que es un punto de la intersección de los planos dados
·Se toma un segundo plano auxiliar de semejantes características que el anterior (paralelo a uno de los planos de proyección) que le llamaremos plano Q
·Determinamos la intersección de los planos abc y mns con el plano Q: rectas x´´ e y´´ respectivamente.
·Las rectas halladas, deberan cortarse en un punto i´´, que seraotro punto de la intersección de los planos dados.
·La unión de los planos dados i´ e i´´ determinan la recta de intersección de los planos abc y mns.

Nota
Es conveniente comprender, que los planos auxiliares tomados son generalmente paralelos a los planos de proyección, por la facilidad que prestan estos tipos de planos para determinar intersecciones. Esto quiere decir, que en la mayor parte de estos casos, debemos emplear como planos auxiliares: Dos planos horizontales; dos planos frontales o en su defecto un plano frontal y otro horizontal.
Esto no exime, que también pueda existir otros casos en que nos convenga emplear planos de canto normales y verticales.

Depurado:

1. Primero hemos trazado un Plano auxiliar de canto P cuya proyección frontal es paralela al eje H-F: le llamamos PF
2. La intersección de P con los planos abc y mns definen las rectas x' e y'; donde estas rectas se cortan se encontrara el punto i' buscado y que pertenece a la recta buscada.
3. Trazamos un segundo plano auxiliar de canto, esta vez uno frontal, cuya proyección horizontal QH es paralela al eje H-F.
4. La intersección del plano Q con los planos abc y mns determinan las rectas x'' e y''. Donde estas rectas se cortan se encontrara el punto i'' que pertenece a la recta de intersección buscada.
5. Las proyecciones dados son i'Hi''H e i'Fi''F horizontal y frontal de la recta de intersección de los planos







Figura 16





f

Figura 16EJERCICIOS

1.- Un avión sigue una trayectoria MQ como se muestra en la figura. En un momento determinado choca con una superficie representada por el plano ABC. Determinar el punto de choque

PROCEDIMIENTO

1. Por la recta mq hacemos pasar un plano de canto auxiliar vertical: la proyección horizontal del plano auxiliar se tiene que confundir con la proyección horizontal mHqH de la recta dada.
2. La intersección del plano auxiliar con el plano dado ABC (para cual se intercepta las rectas ab y bc) con el plano auxiliar que nos van a dar los puntos z y t
3. Los puntos z y t unidos, nos determinan la recta zt que es la intersección de los dos planos (auxiliar y dado).
4. Donde las rectas mq y zt se cortan, se encontrara el punto i de intersección que se busca (donde mFqF y zFtF se corten, se debe hallar iF.).
5. Por la proyección frontal iF (que también se encuentra en la recta mq) llevamos entonces la otra proyección iH del punto buscado.

Determinar la intersección del plano ABC y MNS.



PROCEDIMIENTO

· Se halla la intersección de la recta sn con el plano abc.
· Se halla la intersección de la recta ab con el plano mns. Estas intersecciones se encuentran aplicando el método ya explicado en la parte 3-b: Intersección de una recta cualquiera con un plano cualquiera.
· En esa forma queda hallada los puntos x e y respectivamente, que al unirlos vendría a ser la recta de intersección de los planos dados.