Maximos y mínimos
mediante el método de lagrange
Maximos y mínimos mediante el
método de Lagrange:
Sea una función continua y derivable de varias variables f ( x, y )
(“varias” variables, o sea , dos en este ejemplo). Sabemos que para
encontrar los extremos de la función (es decir, los puntos (x,y) donde f alcanza su maximo o mínimo valor),
debemos resolver las ecuaciones: ∂f ( x , y ) ∂f ( x, y ) = 0; =0 ∂x
∂y Esto es lo mismo que especificar el punto donde el gradiente de la
función en el plano XY se anula:
∇f
( x, y ) = 0. Como usted sabe (!), el gradiente
en este caso es un vector en el plano XY que indica la dirección hacia
donde hay que moverse para que la función aumente mas
bruscamente. El gradiente se anula en los puntos donde la
función es “horizontal” (donde la función no aumenta
hacia ningún lado).
En la figura se muestra una función con un
maximo bien notorio. Las curvas de nivel indican los puntos donde la
función tiene un valor dado. El gradiente de la
función en un punto dado tiene dirección
perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. En el maximo,
la curva de nivel degenera en un solo punto. En tal caso, el gradiente es cero: a partir de ese punto no hay
ninguna dirección hacia donde la función aumente. _______________
A veces no queremos buscarel maximo de la función en todo el
dominio (plano XY, en
este caso), sino sólo a lo largo de una curva en el plano XY (en el caso de una función de
3 variables, es decir en el volumen XYZ, la restricción puede ser una
curva o una superficie en el espacio XYZ). Nuestro problema es entonces
cómo encontrar los extremos de f si queremos limitarnos sólo a
puntos (x,y) que estén sobre una curva definida
por: g ( x, y ) = 0 . La forma mas directa (aunque no necesariamente la
mas simple de calcular) es usar la condición de
restricción g ( x, y ) = 0 para despejar y como función de x, y =
y ( x ) , y luego reemplazar este valor de y en la función f ( x, y ( x
)) . De esta forma, tenemos una función de una variable menos (en este caso una función que sólo depende de x)
sin restricciones. Para encontrar los
extremos, simplemente buscamos los puntos x tales que df ( x,
y ( x)) =0 dx Lo malo de este método es que en la practica no
siempre es posible despejar y = y ( x ) !!! Alternativamente, podemos definir
la curva g ( x, y ) = 0 en forma paramétrica, es decir, mediante un par
de funciones de un parametro t: x = x (t ) e y = y (t ) tales que g (
x(t ), y (t )) = 0 . En este caso, buscamos el extremo de la función f
(t ) = f ( x (t ), y (t ))usando, como siempre, la condición:
df =0 dt En la practica, esto a veces tampoco resulta facil de
hacer!!! Veamos entonces la otra alternativa: el método de Lagrange.
Graficamente, la función f ( x, y ) se
puede representar por un mapa de curvas de nivel en el plano XY, que en el ejemplo anterior son
curvas circulares. Como sabemos, el punto
maximo esta en el centro de las curvas de nivel.
Sobre este grafico podemos dibujar la curva de restricción g ( x, y ) = 0 , que es la
línea que atraviesa la figura. Note que en esta
figura, hemos dibujado la curva con un
parametro t, que avanza de izquierda a derecha. En el ejemplo, la
función es mayor mientras mas nos movemos hacia el centro de las
curvas de nivel. t El maximo de f a lo largo de
la curva ocurre en el punto tal que al avanzar sobre la curva no nos cambiamos
de nivel, es decir donde la curva es tangente a la correspondiente curva de
nivel. En otras palabras, el extremo de la función f sobre la curva g =
0 ocurre donde el gradiente de f es perpendicular a la curva g = 0. Hay otra
forma de especificar esto mas elegantemente: uno siempre puede definir
el gradiente de la función g, esto es ∇g , puesto que g ( x, y ) es
simplemente otra función mas en en plano XY, donde la
restricción g( x, y ) = 0 simplemente corresponde a una de las curvas de
nivel de g. Esto significa que ∇g , para puntos sobre la curva g = 0, es un vector
perpendicular a esta curva. La condición del extremo es, por lo tanto, un punto donde
el gradiente de f es paralelo al gradiente de g: Condición de extremo: ∇f = λ ∇g , donde λ es una
constante de proporcionalidad. Esta elegante condición corresponde
exactamente al Método de Lagrange para encontrar maximos y
mínimos de una función f ( x, y ) sujeto a la restricción
g ( x, y ) = 0 : a) Construya una nueva función f ( x, y ) = f ( x, y ) −
λ g ( x, y ) , donde λ es una cosntante (multiplicador de Lagrange),
hasta aquí desconocida. b) Extremice esta nueva función,
considerando las variables sin restricción, es decir: ∇f ( x,
y ) = 0 Las ecuaciones obtenidas seran funciones de las coordenadas x, y
y del
parametro λ . c) Use la ecuación de restricción g ( x, y ) = 0 para determinar λ .
La belleza de este método es que es
facil de aplicar y facil de generalizar a un número mayor
de variables y de restricciones.
En 3 dimensiones, con una restricción:: Queremos encontrar los extremos
de f ( x, y , z ) , sujeto a g ( x, y , z ) = 0 . Esto se generaliza en forma
muy simple: 1) Ahora trabajamos enel espacio XYZ en vez del plano
XY. 2) Ahora f ( x, y , z ) se puede representar en el
espacio XYZ por superficies de nivel, donde cada superficie es el lugar de
puntos donde la función tiene un valor dado. Tal como las curvas de nivel en dos dimensiones, las
superficies de nivel resultan como
hojas paralelas en cada vecindad, y el gradiente de la función es un
vector que apunta normalmente a las hojas en la dirección en la que la
función aumenta. 3) Ahora, la función de restricción g ( x, y , z ) = 0 es una superficie, que corresponde a una de
las superficies de nivel de la función g ( x, y , z ) . 4) Claramente,
el extremo de la función f sujeta a la restricción g = 0 ocurre
donde el gradiente de f es perpendicular a la superficie g = 0, es decir,
nuevamente los vectores gradiente de f y g son paralelos! En 3 dimensiones, con
dos restricciones: Qué pasa si hay dos ecuaciones de restricción?
(en 3 dimensiones, eso puede ocurrir). En tal caso,
tenemos una función f ( x, y , z ) , de la cual buscamos los extremos,
sujeto a las condiciones conjuntas: g1 ( x, y, z ) = 0 y g 2 ( x, y, z ) = 0 . Cada una de estas condiciones corresponde a una superficie en el
espacio XYZ. La restricción simultanea corresponde a los
puntos que son comunes aambas superficies, es decir, definen una curva en el
espacio XYZ, que es la intersección de las superficies (mas vale
que tal intersección exista, pues de otro modo
el problema es inconsistente!). En tal caso, el extremo de la función,
al igual que en el caso en dos dimensiones, ocurre donde la curva de
restricción es tangente a una superficie de nivel de la función
f. Ahora, todo el problema es expresar esa condición en término
de los gradientes: Sabemos que en cada punto, ∇f es un vector perpendicular a la superficie de
nivel donde yace tal punto. Por lo tanto, en el punto de
extremo, ∇f es perpendicular a la curva de
restricción. La última pregunta que nos queda es:
cómo defino la dirección de la curva de restricción? La
respuesta es que, en vez de definir la dirección de dicha curva, voy a
identificar el plano
normal a la curva. Cada superficie de restricción, en cada punto, tiene
definido un gradiente, que es un vector normal a dicha
superficie. Por lo tanto, la curva de intersección de ambas superficies
es normal a ambos vectores gradiente (ver figura). El plano normal a la curva,
por lo tanto, es aquél que contiene a todos los vectores que son
combinación lineal de los dos gradientes, ∇g1 y ∇g 2 . ∇g1 g1 = 0 ∇g 2 g2 = 0
Comoen el punto de extremo, ∇f debe ser normal a la curva, entonces dicho
gradiente debe yacer en el plano normal. Esto significa que ∇f es una
combinación lineal de los dos vectores gradiente ∇g1 y ∇g 2 :
∇f
= λ1 ∇g1
+ λ2 ∇g
2 , para algún λ1 y λ2 . Eso es nuevamente el método de
Lagrange! Generalicemos: Para encontrar el extremo de la función
multivariable f ( x1 , x2 , x3 ,) para valores x1 , x2 , x3 ,
restringidos a las condiciones g1 ( x1 , x2 , x3, ) = 0 , g 2 ( x1 , x2 ,
x3, ) = 0 , etc… a) Construya la función f ( x1 , x2 , x3 ,)
= f ( x1 , x2 , x3 ,) − λ1 g1 ( x1 , x2 , x3 ,) −
λ2 g 2 ( x1 , x2 , x3 ,) − y extremice considerando como
independientes a todas las variables y a todos los parametros λ1 ,
λ2 , es decir, imponga
∇f
= 0 b) Use las ecuaciones de restricción g1 = 0, para determinar los
valores de los parametros
λ1 , λ2 ,
Problemas: Encuentre el mínimo de la función f (
x, y ) = x 2 + y 2 para puntos x, y que yacen en la curva ( x − 4)
2 + y 2 = 1 . Haga un grafico de la
situación. Solucione el problema haciendo un
reemplazo de y en la función usando la restricción y encuentre la
solución al problema de minimización en una variable. Alternativamente, use el método de Lagrange.
