TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones

Isomorfismo de Espacios Vectoriales
En estas notas definiremos los isomorfismos de espacios vectoriales y mostraremos que el mapeo coordenado es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Definición de isomorfismo de espacios vectoriales. Sean V y V_ dos espacios vectoriales sobre un campo K. Una función, mapeo o transformación, T, inyectiva ysobreyectiva, y por lo tanto biyectiva, del espacio vectorial V sobre el espacio vectorial V_, es un isomorfismo de espacios vectoriales si
T : V → V_ es una transformación lineal; i.e. Si para todo _v1, _v2 V y para todo λ K la transformación

Satisface las siguientes propiedades:
1. Aditiva
T (_v1 +_v2) = T (_v1) + T (_v2).
2. Homogénea
T (λ_v1) = λT (_v1)
En otras palabras, un isomorfismo de espacios vectoriales es simplemente una transformación lineal
biyectiva.
Definición de espacios vectoriales isomorficos. Dos espacios vectoriales V y V_ se dice que son
isomŽorficos si existe un isomorfismo de espacios vectoriales T : V → V_.
Definición del mapeo coordenado. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea B =
1 una base de V y sea T : V → Kn el mapeo que asigna a cada _v V su vector
coordenado con respecto a la base B. Es decir
T (_v) = (a1, a2, . . . , an) donde _v = a1_v1 + a2_v2 + . . . + an_vn
Entonces T es el mapeo coordenado de V con respecto, o relativo, a la base B.
Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea B = una base de V.
Sea T : V → Kn el mapeo coordenado de V con respecto a la base B. Entonces el mapeo coordenado es
un isomorfismo de espacios vectoriales.
Prueba: En las notas de ŽAlgebra lineal IX:Vectores Coordenados se mostrŽo que el mapeo coordenado es inyectivo y sobreyectivo y, por lo tanto, biyectivo. De manera que Žúnicamente falta probar que el mapeo coordenado es una transformación lineal. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y
sea B = una base de V. Suponga además que _w, _w_ V tal que
T ( _w) = (a1, a2, . . . , an) y T ( _w
_) = (b1, b2 . . . , bn)
1Esta suposición significa que V es finito-dimensional.
1
Este resultado significa que
_w = a1_v1 + a2_v2 + • • • + an_vn y _w
_ = b1_v1 + b2_v2 + . . . + bn_vn
Por lo tanto
T ( _w + _w
_) = T [(a1_v1 + a2_v2 + . . . + an_vn) + (b1_v1 + b2_v2 + . . . + bn_vn)]
= T [(a1 + b1)_v1 + (a2 + b2)_v2 + . . . + (an + bn)_vn]
= ((a1 + b1), (a2 + b2), . . . , (an + bn))
= (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = T ( _w) + T ( _w
_)
y el mapeo coordenado es aditivo.
De manera semejante, si λ K,
T (λ_w) = T [λ(a1_v1 + a2_v2 + . . . + an_vn)]
= T [(λa1)_v1 + (λa2)_v2 + . . . + (λan)_vn]
= ((λa1), (λa2), . . . , (λan)) = λ(a1, a2, . . . , an) = λT ( _w)
y el mapeo coordenado es homogéneo. Por lo tanto, el mapeo es una transformación lineal biyectiva y es por lo tanto un isomorfismo de espacios vectoriales.
Corolario. Sea V un espacio vectorial n−dimensional sobre un campo K. Entonces V y Kn sonisomŽorficos, denotado por V =
Kn.
DefiniciŽon del mapeo identidad. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K .El mapeo
IV : V → V IV(_v)= _v _v V.
se denomina el mapeo identidad.
Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K el mapeo identidad
IV : V → V IV (_v) = _v _v V.
es un isomorfismo de V sobre si mismo.

Representación matricial de una transformación lineal
Sean V, W espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo cuerpo K, T :
V → W una transformación lineal, A = una base de V y B =
una base de W.
Los vectores T (v1) , T (v2) , . . . , T (vn) estŽan en W y por lo tanto, cada uno de
ellos se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base B:
T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . . + am1wm
T (v2) = a12w1 + a22w2 + . . . + am2wm
T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . . + amnwm.

Matriz Asociada
a) Matriz asociada a una aplicación lineal, f: Em ï‚Ÿï‚® Fn , de un espacio vectorial de dimensión m, E, en otro de dimensión n, F, en las bases determinadas, Mf: matriz de dimensión nxm que tiene por columnas las componentes de las imágenes de los vectores de la base de Em en la base de Fn(ver matrices).
a-1) Ejemplo: en la aplicación lineal f: R3 ï‚Ÿï‚® R2
(x, y, z)  (x + y –z, 2x – y),
f(1, 0, 0) = (1, 2), f(0, 1, 0) = (1, -1) y f(0, 0, 1) = (-1, 0). De esta forma la matriz asociada sería
Mf = .
b) Expresión matricial de una aplicación lineal, Mf(u) = (w): si f: Em ï‚Ÿï‚® Fn y Mf su matriz asociada, la aplicación lineal f(u) = w, se puede expresar en forma de producto de dos matrices, Mf , de orden nxm, y la matriz de orden mx1 formada por las componentes de u, (u):
Mf(u) = (w) (ver matrices. Operaciones con matrices. Producto de matrices).
b-1) Ejemplo: si f: R3 ï‚Ÿï‚® R2
(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y), entonces su matriz asociada es:
Mf = , y su expresión matricial: f(x, y, z) =  = (x + y – z, 2x – y).
c) Matriz asociada a la suma de aplicaciones lineales, Mf+g : Mf+g = Mf + Mg (ver matrices. Operaciones de matrices. Suma de matrices).
c-1) Ejemplo: : si f: R3 ï‚Ÿï‚® R2 y g: R3 ï‚Ÿï‚® R3
(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y) (x, y, z)  (2x, 3y), entonces:
Mf = , Mg = y Mf+g = Mf + Mg = + = .
Entonces (f + g x, y, z) =  = (3x + y – z, 2x + 2y).
d) Matriz asociada a la multiplicación de una aplicación lineal, f, por un escalar, ït, Mïtf :
Mïtf = ïtMf (ver matrices. Operaciones de matrices. Multiplicación por un escalar).
d-1) Ejemplo: : si f: R3 ï‚Ÿï‚® R2(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y), entonces:
Mf = , M3f = 3 = . Entonces la aplicación 3f :
(3f x, y, z) =  = (3x + 3y – 3z, 6x – 3y).
e) Matriz asociada a la composición de dos aplicaciones lineales, f y g, Mgsf : Mgsf = Mg Mf (ver matrices. Operaciones de matrices. Producto de dos matrices).
e-1 Ejemplo: : si f: R3 ï‚Ÿï‚® R2 y g: R2 ï‚Ÿï‚® R
(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y) (x, y)  (x + y), entonces:
Mf = y Mg = (1, 1).
Mgsf = (1, 1 — = (3, 0, -1). Y gsf se puede escribir
(gsf)(x, y, z) = (3, 0, -1) = (3x – z).



Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector .Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias.