Geometría Analítica

Grado-Grupo: III A TSMEC

Cruz Grande Guerrero a 6 de Enero de 2012
INTRODUCCION

La geometria analitica estudia las figuras geometricas mediante tecnicas basicas del analicis matematico y del algebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo historico comienza con la geometria cartesiana, impulsada con la aparicion de la geometria diferencial de Carl Friedrich Gauss y mas tarde con el desarrollo de la geometria algebraica.
Las dos cuestiones de la geometria analica son
1._ Dado el lugar geometrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuacion.
2._ Dada la ecuacion en un sistema de coordeanadas determinar la grafica ó lugar geometrico de los puntos que verifican dicha ecuacion.
Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f (x,y) = 0, donde f es una función u otro tipo de expresión matematica: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).

Cuerpo Solido

Cuerpo solido: uncuerpo solido, es uno de los cuatro estados de agregacion de la materia, se caracteriza por que opone resistencia a cambios de foroma y volumen. Las moleculas de un solido tienen una gran cohesion y adoptan formas bien definidas. Existen varias disciplinas que estudian los liquidos.
La fisica del estado solido: estudian como emergen las propiedades fisicas de los solidos apartir de su estructura de la materia condensada.
La ciencia de los materiales: se ocupa principalmente de las propiedades de los solidos como su estructura y transformaciones de fase.
Los solidos presentan propiedades especificas
Elasticidad
Fragilidad
Dureza
Forma definida
Volumen definido
Alta densidad
Inercia
Tenacidad
Moleabilidad

Angulo: es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexagecimal o el grado sentesimal.
Pueden estar definidos entre dos superficies planas o curvas.

Sistemas de Coordenadas

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir univocamente la posicion de cualquier punto de un espacio eclídeo o mas generalmente variedad diferenciable.
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
En un espacio eclideo unsistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema de bidimensinal ó tridimencional. El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual ala proyeccion ortogonal del vector de posicion de dicho punto (rA=OA) sobre un eje determinado
rA=OA=(xA,yA,zA)
Sistema de Coordenadas Polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimencional en el cual cada punto o posicion del plano se determina por angulo y una distancia.
De manera mas precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r,a) donde “R” es la distancia del punto al origen o polo y “O” es el angulo positivo en sentido antihoritario medido desde el eje polar. La distancia se reconoce como la =coordenada radial= ó “radio vector” mientras que el angulo es la “ coordenada angular” o “angulo polar”.
Conversion de Coordenadas
En el plano de ejes “x,y” con centro de coordenadas en el punto “0” se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto “m” del plano definidad por la distancia “r” al centro de coordenadas, y el angulo “O” del vector de posicion sobre el eje “X”.
Conversión de Coordenadas polares o rectangulares
Definido un punto en coordenadaspolares por su angulo O sobre el eje X, su distancia R al centro de coordenadas, se obtiene

Conversion de coordenadas rectangulares o polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares(x.y), se tiene que la coordenada polar es:
(aplicando el Teorema de Pitagoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos cosas:
_ Para r= θ , el angulo θ puede tomar cualquier valor real.
_Para r+ θ, para obtener un unico valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Plano Cartesiano
Esta formado por dos rectas numericas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje, eje de las obsicas o de las equis(x).

Preguntas

1._Quien fue el descubridor de la Geometria analítica?
R= Jacques Descartes en Francia en 1619

2._Que entiendes entre distancia de dos puntos?
R= cuando los puntos se encuentran ubicados en el eje x o una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluta de la distancia de sus absicas.

Ejemplo: la distancia entre los puntos (-4 )y( 5,0) es 4+5=9 unidades.

Perimetro
Es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana;matematicamente se representa con la letra P

Semiperimetro

Es la mitad del perimetro; se representa con la letra S y matematicamente se hace notar por S=P/2.

Linea recta
Se extiende en una misma direccion, existe en una sola dimencion y contiene infinitos puntos, esta compuesta de infinitos segmentos. Tambien se describe como la sucesion continua e indefinida de puntos en una sola dimension, osea, no posee principio ni fin.
Las lineas rectas pueden ser expresandas mendiante una ecuacion del tipo Y=MX+B, donde x,y son variantes de un plano. En dicha expresion m es denominada “la pendiente de la recta” respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado “termino independiente u ordenada en el origen” y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical del plano.
a) Pendiente y angulo de inclinacion
Se denomina pendiente ala inclinacion de un elemento ideal, natural o constructivo respeto ala horizontal( la tangente inversa del valor de la m es el angulo de radianes).
La pendiente de una recta es un sistema de representación triangular( de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra “m”, y es definido como el cambio o diferencia en el eje. “y” dividido por el respectivo cambio en eleje “x”, entre dos puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe

La inclinación de una recta cualquiera es el angulo menor que la recta forma con la diferencia positiva del eje “x”, y se mide desde el eje “x” hacia la recta en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

b) Paralelismo y perpendicularidad
El paralelismo es una relación que es establece entre cualquier variedad de dimensión mayor o igual que
1(rectas, planos, hiperplanos, y demas

La perpendicularidad de una línea plano, es la que forma angulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre.
Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de las cuales es de un angulo recto.
Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando forman cuatro angulos dietros 90° .

c) Ecuación de una recta
La ecuación de una reta tiene como forma y=mx+n, donde “m” es la pendiente de la recta y “n” el termino independiente.

d) Ecuación cartesiana
La ecuación de cartesiana de una superficie cuadratica es de la forma

La definición de las cuadraticas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico sin vínculo con el tema.

e) Reducida aabscisa y ordenada en el origen
Abscisa: coordenada x de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas; es la distancia horizontal de un punto al eje vertical o, y
Por ejemplo un punto con coordenadas(4,2) tiene una abscisa de cuatro.
Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen
Consideramos una recta I cuya pendiente es “m” y cuya ordenada en el origen, es decir, su intersección con el eje “y”, es b. como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0.b) esta sobre esta recta. Por lo tanto, el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto (0.b) y tiene una pendiente dada. Según el teorema, la ecuacion buscada es
y-b=m(x.0)
o sea
y=m x + b

Angulo entre dos rectas
Dos rectas al cruzarse forman cuatro angulos, siendo iguales los angulos opuestos y se define como el angulo que forma dicha recta. Al angulo positivo mas pequeño que tiene su lado inicial ne R, el lado final R2. Este angulo se identifica como 0.
Es el caso de Tan a1 >Tan a2, se tiene que 0= a2-a1.
Se tiene una diferencia de angulos y como una suma o diferencia de angulos es:
Tan (a+ b)= tang A+tan B/ 1+ tan A tan B
Por lo tanto tan 0= (a2-a,.-)=tan a2-tan a / 1+tan a2 tan a,
Por lo tanto tan 0= m2 –m1/1+m2m1m para (10)