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Ecuaciones Diferenciales - Problemas De Ecuaciones Diferenciales



Una bola de nieve se derrite de forma que la razón de cambio de su volumen es proporcional al area de su superficie. Si el diametro inicial de la bola es de 4 pulgadas y al cabo de 30 min. Es de 3 pulgadas, ¿cuando sera de 2 pulgadas? ¿Cuando desaparecera la bola de nieve? Si suponemos que la bola se derrite tal que la razón de cambio de su diametro es proporcional al area de su superficie, con los minutos dados, ¿Cuando sera su diametro de 2 pulgadas? En términos matematicos ¿Cuando desaparecera la bola de nieve?
Analisis
d=4pulg, t=0
d=3pulg, t=30min
d=2pulg, t=?
d=0pulg, t=?

En el analisis del problema se identifica que una bola de nieve se derrite de forma, que la razón de cambio de su volumen es proporcional al area de su superficie


dvdt=A

Por lo tanto el area de una esfera es =4πr2

Para resolver la ecuación diferencial que resulta se le añade una constante k
1)

dvdt=k.4πr2

Como los datos que se obtienen estan en términos del diametro de la esfera y no en el radio se cambia la fórmula del area en términos del diametro de la esfera como:
2)
ddt(πd36)=k.4π(d2)2

Nota* el volumen de unaesfera (bola de nieve) es =43πr3
v=43π(d2)3 v=43π(d38) v=π(d36)
Simplificando la ecuación 2) el 4 que multiplica al π se elimina con el dividendo que esta al cuadrado.
3)

ddt(πd36)=k.π(d)2

Despejando v=π(d36) de la ecuación diferencial 3) para dejar diametro =D con respecto al tiempo se obtiene:ddtD3=kπd2(6π) se simplifica eliminando el π

Obtenemos la ecuación diferencial 4) ddtD3=6kD2para dejar una sola variable D la pasamos dividiendo D2 entre D2 y nos queda 5) ddtD=6k .
Dibujos isométricos simular un objeto 3D desde un punto de vista particular, mediante la alineación en torno a tres ejes principales.Al establecer la Resolución isométrica / Grid, usted puede facilmente alinear objetos a lo largo de uno de los tres planos isométricos, sin embargo, aunque el dibujo isométrico 3D parece ser, en realidad es una representación 2D. Por lo tanto, no se puede esperar para extraer distancias y areas en 3D, visualizar los objetos desde puntos de vista diferentes, o eliminar las líneas ocultas de forma automatica.

Tema 3

Si el angulo de referencia es 0, los ejes de los planos isométricos son 30 grados, 90 grados y 150 grados. Una vez que se establece el estilo de resolución de isométrico, ustedpuede trabajar en cualquiera de los tres planos, cada uno con un par de ejes relacionados
• a la izquierda. Alinea el complemento y la red a lo largo de 90 - y los ejes de 150 grados.
• La parte superior. Alinea el complemento y la red a lo largo de 30 - y los ejes de 150 grados.
• Derecho. Alinea el complemento y la red a lo largo de 30 - y los ejes de 90 grados

Tema 4
La elección de uno de los tres planos isométricos causa Orto y el punto de mira para ser alineados a lo largo de los ejes isométricos correspondientes. Por ejemplo, cuando esta en modo Orto, los puntos especificados alinean a lo largo del avión simulado que esta dibujando. Por lo tanto, se puede dibujar el plano superior, ponga el plano izquierdo para dibujar otro lado, y pasar al plano de la derecha para completar el dibujo.

Representar a los círculos en los planos isométricos utilizando elipses.
Si sobre la base de planos isométricos, el uso de una elipse que represente un círculo visto desde un angulo oblicuo. La forma mas facil de dibujar una elipse con la forma correcta es utilizar la opción Isocircle de la elipse. La opción Isocircle sólo esta disponible cuando la opción Estilo de modo de referencia se establece en isométrico 
Nota :Para representar círculos concéntricos, dibujar otro elipse con el centro de la misma en lugar de contrarrestar la elipse original. La compensación produce una tira de forma ovalada que no representan las distancias acortadas, como usted esperaría.

La ecuación diferencial 5) ddtD=6k podemos resolverla mediante el método de variables separables.
En la ecuación 5) pasamos del otro lado de la igualdad la diferencial del tiempo (dt) e integrando en ambos lados nos queda:
6)
D=6kt+c
Sustituyendo el diametro de la esfera (bola de nieve) que es igual a 4 pulgadas cuando el tiempo es igual a 0 en la ecuación 6) 4= c. se determina que la constante de integración c es igual a 4
7)
D=6kt+4
Para poder determinar la constante k , se sustituye cuando el diametro de la esfera(bola de nieve) es igual a 3 pulgadas en un tiempo de 30 minutos.
3=6k30+4
Despejando k se obtienek=-1180 con esto ya podemos determinar cual sera el diametro de la esfera que se describe en el problema en un tiempo determinado o conocer también el tiempo en que la esfera llega a ese diametro despejando el tiempo de la ecuación.
8)
D=-130t+4

Cumpliendo con las condiciones iniciales del problema para darle solución a las interrogantes que se plantean
1. ¿En cuanto tiempo la bola de nieve sera de 2 pulgadas?
Se entiende que el diametro de la esfera va disminuyendo con respecto al tiempo, entonces despejando la ecuación 8) para conocer el tiempo y sustituyendo el diametro nos da.
t=D-4(-30
Simplificando:9)
t=120-30(2)
t=60min
El tiempo en el que la bola de nieve es igual 2 pulgadas es de 60 min.

2) ¿Cuando desaparecera la bola de nieve?
Se entiende que cuando el diametro de la bola de nieve sea o es cuando desaparece entonces sustituyendo el diametro=0 en la ecuación 9) para conocer el tiempo nos arroja

t=120-300
t=120min
En un tiempo de 120 minutos la esfera desaparecera en relación con las condiciones iniciales dadas en el problema.

Grafica del diametro de la bola de nieve con respecto al tiempo.


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