Teoría
“Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje paralelo a los ejes coordenados”.
Cuando el vértice se localiza en cualquier punto, al que por convención se le
Asignan las coordenadas (h,k), y éste es distinto al origen, la ecuación que
Describe a la parábola cambia en función de la posición de este punto y
Además de la orientación de la curva respecto de los ejes coordenados.

Otra forma de obtener la ecuación
De la parábola horizontal con vértice
Fuera del origen es aplicando los
Significados de los segmentos B M y A M
Vistos con anterioridad y que aplicados a
La Figura 8, tenemos:
(C M) 2 = 2 p B M
Solamente que en la Figura 8 se

Tiene
B M = A M - A B = x - h
C M = D M - D C = y - k
Así que la ecuación es:
(y - k) 2 = 2 p (x - h). (III
Es decir que, hemos obtenido la misma ecuación ordinaria (III) de la parábola horizontal
Con vértice en V (h, k).
Método.
De acuerdo a la Figura 9 y el significado de los segmentos BM y AM ya vistos y aplicados.
En este caso tenemos que la expresión x2 = 2py, se puede escribir de la siguiente manera
CM = 2p BM 2 (1
Pero:
BM AM AB y k
CM DM - CD x - h
= − = −
= =
Sustituyendo en (1):
(X −h)2 = 2p (y − k) (IV
Como se ve hemos obtenido la misma ecuación (IV).
En estos dos últimos casos sigue siendo verdad que del signo del parámetro p, depende
Hacía donde está dirigida la concavidad de la curva.
Así mismo en los cuatro casos tratados, la ecuación representativa de la parábola
Solamente contiene una de las variables a la segunda potencia, pues la otra aparece a la primera.

CONCEPTO
A diferencia de las Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a estas últimas se les designa con el nombre de Parábolas con Vértice Fuera del Origen.

DEFINICIÓN
Vértice fuera del origen
En el caso en que el vértice de una parábola no esté en el
Origen, se recurre a una traslación de ejes (ver figura 1), en la cual los ejes x, y se desplazan a posiciones indicadas por x yŽ y quedan paralelos a sus posiciones originales.

Figura 1
Todo punto en el plano, tiene ahora dos representaciones por
Pares ordenados: P(x,y) en el sistema xy, y PŽ(xŽ,yŽ) . Si el origen
del nuevo sistema xŽyŽ tiene coordenadas (h,k)en el plano xy, como se ve en la figura 1, entonces:

.. x = xŽ + h
y = yŽ+ k o de forma equivalente xŽ = x - h
yŽ = y – k

Si consideramos la ecuación (Ž) 4 Ž 2 x = py que es la ecuación de
Una parábola con vértice en 0Ž del plano xŽyŽ así aplicando a esta
Ecuación las fórmulas de translación de ejes, se ve que:

( ) 4 ( ) 2 x - h = p y – k

De igual manera, si se empieza con (Ž) 4 Ž 2 y = px y se vuelven a
Usar las fórmulas de translación de ejes tenemos

( ) 4 ( ) 2 y - h = p x – k

La parábola. Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado.

Y Y (h, k) O X O X (h, k) (y – k)2 = 4p(x – h) (x – h)2 = 4p(y – k)
Ecuación de la parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje x.
Ecuación de la parábola con vértice (h, k) y eje paralelo al eje y.
Hallar la ecuación de la parábola con los puntos (-4, 3) como vértice y (-1. 3) como foco.
Obtención de parábolas, por medio de una ecuación.
Una ecuación de segundo grado, en las variables x y y que carezca del término xy, puede escribirse en la forma
1. Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Si A = 0, C ' 0 y D ' 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje x.
2. Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Si en cambio D = 0, lo ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y
3. Cy2 + Ey + F = 0
Dos rectas coincidentes paralelas en el eje x, o ningún lugar geométrico según que las raíces de la ecuación son reales ydesiguales, reales e iguales o complejas.
Si A ' 0, C = 0 y E '0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y
4. Ax2 + Dx + Ey + F = 0
Si en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y, dos rectas coincidentes paralelas al eje y, o ningún lugar geométrico según que las raíces de
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
Demostrar que la ecuación 4x2 - 20x - 24y + 97 = 0 es una parábola.
Demostrar que las siguientes ecuaciones son parábolas
• X2 - 4y - 4 = 0
• y2 - x + 4y + 6 = 0
GRAFICAS

Ecuación Grafica para p > 0 Grafica para p < 0
( ) 4 ( ) 2 x h p y k


( ) 4 ( ) 2 y h p x k
Horizontal y vertical con vértice fuera del origen.

Vertical Horizontal
Ax2 +Dx + Ey + F = 0 Ecuación General Cy2 +Dx +Ey + F = 0
(x - h)2 = 4p (y - k) Ecuación Ordinaria (y - k)2 = 4p (x - h)
Vértice: V (h, k) Directriz: y = k - p Vértice: V (h, k) Directriz: x = h - p
Foco: F (h, k+ p) Lado recto: LR = ç4p ç Foco: F (h + p, k)Lado recto: LR = ç4p ç
Para transformar la ecuación general a ecuación ordinaria, se debe completar a un trinomio cuadrado perfecto y factorizar. En el caso inverso, sólo se desarrolla el cuadrado, el producto, se factoriza y se iguala a cero.

PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2, 3) y B (-1, 12).


2.-Determinar las coordenadas del foco de la parábola .
Solución: Reescribiendo la ecuación propuesta en su forma ordinaria se concluyen algunas situaciones interesantes:
• La forma de ecuación que corresponde es .
• El eje de la parábola coincide con el de las ordenadas.
• La parábola abre hacia abajo, por lo que el foco estará en la parte negativa del eje , y sus coordenadas serán de la forma .
De esta forma se tiene


Las coordenadas del foco son: .

3.- PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN, EJEMPLO:


4.- Encontrar el vértice de la ecuación de la parábola x2 - 6x - 12y - 51 = 0
El primer paso consiste en dejar únicamente a la incógnita que este elevada al cuadrado
X2 - 6x = 12y + 51
Posteriormente completar cuadrados: x2 - 6x + 9 = 12y + 51 +9
Factorizar: (x - 3)2 = 12y + 60
Factorizar: (x - 3)2 = 12(y + 5)
Obtener el vértice V (3, - 5)