Conservación del momento (dos dimensiones)
En esta practica pretendemos resaltar una parte muy importante de la
experimentación: la comprobación de resultados teóricos.
Como en una practica anterior ya hemos deducido de forma completamente
experimental una de las ecuaciones mas importantes de la
mecanica, a saber, la segunda ley de Newton y llegamos a una
expresión de la forma
a=KFM-1
Donde K es una constante obtenida debido a las unidades trabajadas, y como
éste fue el SI, entonces K=1 y ésta expresión puede ser
escrita en la forma
Fext=ma
Donde Fext representa la fuerza aplicada sobre un cuerpo o sistema. Ahora, si
la aceleración se expresa como la derivada de la velocidad en el tiempo,
entonces,
Fext=mdvdt=ddtmv=dρdt
La expresión ρ se define como la cantidad de movimiento lineal y se
determina como el producto de la masa del cuerpo por su velocidad
ρ=mv
Si la fuerza externa aplicada sobre el sistema es cero, es decir, Fext=0,
entonces
dρdt=0 ρ=constante
Y se concluye que la cantidad de movimiento lineal es una constante.
Si profundizamos mas sobre este aspecto desde
el punto de vista teórico, encontramos que éste resultado
esvalido para todo sistema de partículas sobre el cual operan las
llamadas fuerzas conservativas y constituye lo que se conoce como el principio de conservación de
la cantidad de movimiento lineal, una de las leyes fundamentales de la
naturaleza.
Nuestro objetivo ahora es comprobar experimentalmente si el
resultado teórico obtenido es valido o no. Debemos tener
en cuenta que las fuerzas externas que actúan sobre el sistema que se va a usar debe ser cero, algo difícil de realizar
teniendo en cuenta que la fuerza de la gravedad siempre estara presente.
Por lo tanto, se debe buscar un sistema o método
que elimine o disminuya el maximo la influencia de la fuerza de gravedad
en el experimento.
Una forma de conseguirlo es trabajando con fuerzas impulsivas, es decir,
aquellas que actúan sobre los cuerpos durante
un intervalo de tiempo muy corto y cuya magnitud varía con el tiempo
alcanzando valores maximos muy grandes. Este tipo de fuerzas se
presentan, por ejemplo, durante un choque entre los
cuerpos en el que generalmente las fuerzas repulsivas son mucho mas
grandes que las fuerzas externas (como
la gravedad), que actúa sobre los cuerpos durante lacolisión y de
esta forma se pueden despreciar.
Consideremos el choque en dos dimensiones, para ello se hara el montaje
siguiente
En nuestro experimento no usamos un cañón, sólo una
superficie curva que permitía, por gravedad, que la primera esfera
saliera disparada.
Un lanzador desde el que se dispara una esfera
metalica de masa m1. La esfera se hace colisionar con una segunda
esfera, m2, colocada en reposo en el extremo de salida del lanzador
mediante una rejilla soporte colocada bajo el lanzador y un tornillo sobre el
cual se coloca la esfera. Se coloca la esfera, m2 en posición de
colisión no frontal, moviendo el tornillo que la soporta hacia un lado;
las esferas después de la colisión salen en direcciones diferentes
y el resultado obtenido sobre el papel que se encuentra sobre la mesa es (en
diagrama) el siguiente
Teóricamente se encontró que el momento lineal se debe conservar,
esto es, antes y después de la colisión la magnitud del momento
lineal debe ser la misma.
Ya sabemos que en un movimiento parabólico, la
velocidad en x es siempre la misma.
Si el principio de conservación del momento lineal es
valido, se tienem1v1+m2v2=m1u1+m2u2
Donde v1, v2, u1 y u2 son las velocidades (en x) antes y después de la colisión
para las masas m1 y m2 respectivamente. Como v2=0, entonces
m1v1=m1u1+m2u2
Por definición y ayudandonos de las expresiones para el
movimiento parabólico, la velocidad de la esfera 1 antes de la
colisión:
v1=x1t1=x1g2h=kx1
De forma analoga,
u2=d1t1=d1g2h=kd1
u2=d2t2=d2g2h=kd2
Aquí debemos determinar también los angulos θ1 y
θ2 con lo que:
ρix=m1v1x=ρfx=m1u1cosθ1+m2u2cos(θ2)
Y
ρiy=0=ρfy=m1u1senθ1+m2u2sen(θ2)
Lanzamos la primera masa sin colisionarla y obtuvimos las siguientes
distancias.
X(cm) |
34,9 |
35 |
35,2 |
35,5 |
36,1 |
36,4 |
35,3 |
35,4 |
35,5 |
34,9 |
Ahora, dado que m1=12g y m2=7g (m1>m2) y después de hacerse
colisionar se obtuvimos las siguientes distancias que representamos como la
distancia y su proyección sobre un eje arbitrario escogido de tal suerte
que podemos calcular los angulos:
a<0 | a>0 |
20,4 | 32,8 |
16,6 | 35,3 |
18,4 | 37,8 |
18,6 | 34,3 |
19,1 | 39,2 |
19,9 | 38,4 |
19,9 | 36,4 |
20,1 | 36,2 |
20,8 | 35,4 |
20,6 | 33,8 |
Vector: distancia para los cuerpos 1 y 2respectivamente: aquí a<0 y
a>0 nos indica el angulo que formó (si es positivo o negativo
respecto de nuestro eje arbitrario)
Projection | projection |
19,5 | 26,95 |
19 | 27,45 |
18,2 | 28,7 |
17,6 | 30,35 |
17,4 | 30,75 |
16,6 | 31,35 |
16,5 | 32,55 |
16,4 | 32,8 |
14,9 | 33,3 |
16,4 | 34 |
Que son las proyecciones de las distancias anteriores.
Ahora, como:
cosφ=proyeccionesdistancia a nuestro origen
φ=arccosproyeccionesdistancia a nuestro origen
Angulo para la masa m1 en rad | Angulo para la masa m2 en rad |
0.45652 | 0.60650 |
0.47058 | 0.62300 |
0.49130 | 0.57950 |
0.52788 | 0.53597 |
0.58417 | 0.51834 |
0.50666 | 0.52360 |
0.50407 | 0.46409 |
0.46870 | 0.52019 |
0.39673 | 0.52127 |
0.35542 | 0.52095 |
Para calcular las velocidades en x nos valemos del hecho que la altura fue h=30
cm = 0.30 m. Las velocidades iniciales en x son:
vix en ms-1 | ρix | u1 |
1.410 | 0.01692
1.414 | 0.016968
1.423 | 0.017076
1.435 | 0.01722
1.459 | 0.017508
1.471 | 0.017652
1.427 | 0.017124
1.431 | 0.017172
1.435 | 0.01722
1.410 | 0.01692
