Magnetismo


Aparte del campo eléctrico que vimos en la primera parte, ahora necesitamos el concepto de campo magnético que se origina debido al movimiento de las cargas.
El origen del magnetismo se remonta al descubrimiento de la magnetita
(Fe3 O4 ) que es capaz de atraer pedazos de hierro. También se descubrió
que cualquier magneto (imán) no importa su forma, tiene dos polos, llamados polo norte (N) y polo sur (S), los cuales ejercen fuerzas sobre otros
polos magnéticos similarmente como lo hacen las cargas eléctricas entre
ellas. Al igual que las cargas eléctricas, los polos iguales se repelen y los
polos distintos se atraen. El nombre “polo” viene del hecho de que una
brújula se orienta de acuerdo al campo magnético de la tierra y los polos
magnéticos son cercanos a los polos geográficos (Fig. 1).
La designación tradicional de polos norte y sur tiene su analogía con las
cargas positivas y negativas. En el caso eléctrico podemos tener cargaspositivas o negativas aisladas, pero en el caso magnético no es posible

aislar los polos. Si uno considera un imán con sus dos polos es imposible
separarlos. Si partimos el imán en dos partes aparecerán dos nuevos polos
norte y sur en cada uno de los trozos. Si después partimos estos dos imanes
en dos trozos tendremos cuatro imanes cada uno con un polo norte y sur.
Podríamos seguir así casi indefinidamente. En consecuencia no se pueden
aislar los polos magnéticos.

N

Figura 1: Lineas de campo magnético de la tierra apuntan desde el polo
norte magnético a polo sur magnético.
Además el polo sur magnético no coincide exactamente con el polo geográfico
norte, hay una desviación de 11°.
N

N

N
S
N

S

S

N

N
S
N

S

S

S

Figura 2: La división sucesiva de una
barra magnética vuelve a formar los polos norte y sur.

1 Campo magnéticos y fuerzas
A continuación vamos a estudiar los campos magnéticos estáticos, pero, por el momento, sin preocuparnos cuál es el origen de ellos. En la
primera parte vimos que si poníamos una carga de prueba q en presencia
de una campo eléctrico E, la carga experimenta una fuerza dada por
Fe = q E
Ahora si ponemos la misma carga en movimiento con velocidad v en
presencia del campo magnético, experimentalmente se demuestra que la
carga experimenta una fuerza
Fm = qv × B
donde el vector B se llama inducción magnética.1 La unidad de B es el
Tesla (T) o Weber por metro cuadrado (Wb/m2 ) donde
1T = 1

N
A.m

En otros textos también se usa eltérmino densidad de flujo magnético.
1


114

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Figura 3: Fuerza magnética sobre una
carga en movimiento. Si q > 0 la fuerza
apunta hacia arriba. Si q < 0 la fuerza
se invierte.

(a)

(b)

Como hay un producto cruz involucrado el vector Fm es perpendicular
a v y a B (Fig. 3). La magnitud de la fuerza magnética sobre la carga
es
Fm = |q| vB sin θ
donde θ es el ángulo menor entre v y B. De esta expresión se desprende
que la fuerza es nula si v es paralelo o antiparalelo a B (θ = 0 o θ = 180°)
y es máxima cuando v y B son perpendiculares (θ = 90°).
También se pueden usar reglas gráficas para recordar la dirección de
la fuerza, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:
z

F

B

B

v
+

x

Figura 4: Regla de la mano derecha
para determinar la dirección de la fuerza sobre q. Notar que la dirección de F
cambia si la carga cambia de signo.

v

v

+

B

-

y

F

F

Si sumamos la fuerza eléctrica y la magnética obtenemos la fuerza de
Lorentz:
F = q (E + v × B )

Figura 5: Otra versión de la regla de
la mano derecha.

2 Fuerza magnética sobre un conductor con
corriente
Ya vimos que existe una fuerza sobre una carga en movimiento en presencia de un campo magnético. Ahora si tenemos una alambre por el cual
pasa una corriente, entonces es de esperar que se ejerza una fuerza sobre
el alambre, pues después de todo una corriente son cargas en movimiento. La fuerza total sobre el alambre será la suma vectorial detodas las
fuerzas sobre cada una de las cargas.
Consideremos un conductor con una sección de área A (Fig. 6). El
volumen del trozo de largo aˆ†x es Aaˆ†x. Si n representa el número de
portadores de carga2 móviles por unidad de volumen (densidad de portadores de carga), entonces el número de portadores de carga en la sección

Figura 6: Sección de un alambre por
donde se mueven los portadores de carga con velocidad vd .
2
Los portadores de carga son los responsables de la corriente eléctrica: cargas positivas o negativas.


magnetismo

115

de largo aˆ†x es nAaˆ†x. En consecuencia la carga total en esa sección es
aˆ†Q = (número de portadores)×(carga del portador) = (nAaˆ†x)q
Si los portadores se mueven con velocidad de arrastre3 vd entonces en un
intervalo de tiempo aˆ†t estos se desplazarán una distancia

En algunos libros de texto se utiliza
“velocidad de deriva”.
3

aˆ†x = vd aˆ†t
si suponemos que este tiempo es el mismo que se demoran los portadores
para pasar de una cara a la otra:
aˆ†Q = (nAvd aˆ†t)q
al dividir ambos lados por aˆ†t, obtenemos la corriente en un conductor en
términos de cantidades microscópicas
I=

El campo entra
en la página

aˆ†Q
= nAvd q
aˆ†t

Consideremos ahora un campo magnético perpendicular al segmento
de alambre tal como muestra la figura 7. La fuerza magnética sobre una
carga q con velocidad vd es
Fq = qvd × B
Para encontrar la fuerza total sobre el segmento multiplicamos qvd ×
B por el número de cargas en el segmento de alambre. El volumen del
segmento es AL, lo quesignifica que el número de cargas es nAL

Figura 7: Sección de segmento de
alambre por donde se mueven los portadores de carga con velocidad vd . el
campo magnético es perpendicular al
segmento y va entrando en la página.

Fm = nAL(qvd × B )
pero ya sabemos que la corriente es I = nAvd q y si la reemplazamos en
la expresión anterior
Fm = I L × B

Fuerza sobre un segmento de alambre
cuando es campo magnético es perpendicular al alambre.

donde L es un vector de magnitud L y apunta en la misma dirección que
la corriente.
El resultado anterior es muy importante y nos vamos a encontrar frecuentemente con campos magnéticos que son perpendiculares a un segmento de alambre. La expresión Fm = I L × B indica claramente que la
fuerza es perpendicular al campo magnético y a la dirección de la corriente. Esto queda ilustrado en la figura 8 donde el campo magnético
se muestra entrando en la página o apuntando hacia arriba. La magnitud
de la fuerza es:
Fm = IBL
Un ejemplo es el mostrado en la figura 9. En (a) el alambre es paralelo
al campo magnético, entonces para cada carga q con velocidad v se cumple
que qv × B = 0. El resultado es que la fuerza neta sobre todo el alambre
es cero. En (b) el alambre es perpendicular y cada carga q en el alambre,
experimenta una fuerza neta hacia la izquierda de magnitud qvB. Así
todo el alambre experimenta una fuerza hacia la izquierda y esta fuerza
es perpendicular al campo y a la dirección de la corriente. En (c) la
dirección de la corriente y la fuerza es hacia laderecha.

Fuerza saliendo

Figura 8: En ambos casos el campo magnético uniforme es perpendicular al alambre. La magnitud de la fuerza magnética es F = IBL.


116

(a)

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

(b)

(c)

En el caso general donde el alambre no necesariamente está en una linea recta y B y puede tener
cualquier dirección. La referencia es la figura 10 y
supongamos que por el elemento de linea dl pasa una
corriente I. La fuerza sobre ese segmento es
dFm = Idl × B
donde dFm se dirige hacia afuera de la página. La ecuación anterior
puede ser integrada sobre un circuito parcial o completo.
ˆb
dl × B

Fm = I
a

donde a y b representan los extremos del alambre. Si el circuito es
cerrado
˛
Fm = I
dl × B
C

Un caso especial es cuando B es uniforme, pues este puede salir fuera
de la integral
˛
Fm = I
dl × B
C

La integral de linea cerrada es fácil de evaluar, pues la suma de
vectores infinitesimales que forman un circuito cerrado es cero. De
este modo
˛
Fm = I
dl × B = 0
(B uniforme)
C

Esto está ilustrado en la figura 10.

Figura 9: (a) No hay fuerza sobre el
conductor que lleva una corriente paralela al campo magnético. (b) Un alambre que lleva corriente perpendicular
al campo magnético, experimenta una
fuerza en la dirección dada por la regla
de la mano derecha. (c) Al invertir la dirección de la corriente, la fuerza apunta
hacia la derecha.

Figura 10: Caso general de un alambre con corriente en presencia de una
campo magnético.


magnetismo117

Figura 11: Una espira, de forma arbitraria, con corriente en un campo magnético. Si el campo magnético es uniforme entonces la fuerza magnética neta
sobre la espira es cero.

no uniforme

uniforme

EJEMPLO 1
Un alambre que se dobla en forma de un semicírculo de radio R forma un
circuito cerrado y lleva una corriente I. El alambre está obre el plano xy,
y un campo uniforme se dirige a lo largo del eje +y como se muestra en
la figura. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza sobre la parte
recta del alambre y sobre la parte curva.
Solución: Como el campo magnético uniforme es perpendicular al segmento recto ab, la magnitud de la fuerza sobre ese segmento es simplemente Fab = ILB = I2RB, además la dirección de la fuerza es hacia afuera de la página. Sólo nos falta
calcular la fuerza sobre el segmento curvo. la respuesta es muy sencilla pues sabemos que la fuerza total
sobre el circuito cerrado es cero, entonces la magnitud de la fuerza es también es I2RB, pero con dirección
entrando en la página. En resumen, las dos fuerzas son:
ˆ
Fab = 2RIB k

ˆ
Fba = −2RIB k

Es un buen ejercicio obtener en forma explícita Fba .
EJEMPLO 2

a
d

b
c

En la figura, el cubo tiene un lado de 40.0 cm. Los cuatro segmentos
rectos de alambre ab, bc, cd, y da forman un circuito cerrado que
lleva una corriente I = 00 A, en la dirección mostrada. Un campo
magnético uniforme de magnitud B = 0.0200 T se dirige a lo largo
de la dirección y. Determinar la magnitud y dirección de la fuerzamagnética sobre cada segmento.
Solución: Este es un caso de un segmento de alambre recto en
presencia de un campo magnético uniforme. Entonces podemos usar
la ecuación Fm = I L × B para este problema.
En primer lugar, obtenemos las direcciones de las corrientes (en
unidades de metros):
ˆ
Lab = −0.400 j
ˆ
Lbc = 0.400 k


118

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

ˆ
ˆ
Lcd = −0.400 i + 0.400 j
ˆ
ˆ
Lda = 0.400 i − 0.400 k
ˆ
Considerando que el campo magnético es B = 0.0200 j , formamos los productos cruz para obtener la fuerzas
(en Newton). En el primer caso la fuerza es nula porque B es paralelo al segmento ab
Fab = I Lab × B = 0
Similarmente
ˆ
Fbc = I Lbc × B = −40.0 × 10−3 i
ˆ
Fcd = I Lcd × B = −40.0 × 10−3 k
ˆ ˆ
Fda = I Lda × B = 40.0 × 10−3 (i + k )
Notar que la fuerza total sobre el circuito es cero.
EJEMPLO 3
Un conductor es suspendido por dos alambres flexibles como se muestra en la figura. El conductor tiene
una masa por unidad de longitud de 0.0400 kg/m.
batería
Existe un campo campo magnético uniforme entrando en la página de magnitud 3.60 T. sCuál debe ser
la corriente en el conductor para que la tensión en
entrando
los alambres de soporte sea cero? sCuál es la dirección de la corriente?
Solución:
En ausencia de campo magnético, la tensión de los
cables debe igualar al peso del conductor. Para que
conductor
la tensión de los cables sea cero, la fuerza magnética
debe ser igual al peso del conductor. La figura muestra la dirección que debe tener la corriente para que lafuerza magnética apunte hacia arriba. Entonces la condición es
alambres flexibles

mg = Fm = ILB
donde L es el largo y m la masa del conductor. De
esta expresión obtenemos la corriente
I=
entrando

mg
LB

De esta expresión no conocemos ni L ni m. Sin embargo m/L = 0.0400 kg/m es la masa por unidad
de longitud. Luego
I=

0.0400 kg/m × 9.8 m/s2
= 0.109 A
3.60 T


magnetismo

119

3 Torque sobre una espira con corriente
En la sección vimos que un campo magnético ejerce una fuerza sobre
un conductor con corriente y también concluimos que si el el campo es
uniforme la fuerza neta sobre un circuito cerrado es cero. Sin embargo
a pesar que la fuerza neta es cero, eso no significa que el torque neto
sea cero. Por ejemplo la figura 12 muestra una espira rectangular en
presencia de una campo magnético uniforme B.
Figura 12: Una espira rectangular
donde el vector unitario n forma un ánˆ
gulo θ con el campo magnético uniforme B.

(a) Vista superior

(b) Vista de perfil

Las magnitudes, F1 , F2 , de las fuerzas sobre los segmentos de longitud a
son
F1 = IaB

F2 = IaB

pero con direcciones opuestas de tal manera que ellas forman una par de
fuerzas que ejercen un torque que hace girar la espira. Para cada fuerza,
b
el brazo de palanca es 2 sin θ, luego la magnitudes de los torques son:
τ1 =

b
b
sin θF1 = sin θIaB
2
2

y τ2 =

b
b
sin θF2 = sin θIaB
2
2

La magnitud del torque total sobre la espira es
τ = τ1 + τ2 = IabB sin θ = IAB sin θ
donde A = ab es el área de laespira. Si la espira tiene N vueltas el torque
es
τ = N IAB sin θ


120

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Este torque hace girar la espira de tal forma que n tiende a estar paralelo
ˆ
a B. Una forma conveniente de expresar este torque es en forma vectorial
τ = IA × B
donde A es un vector de magnitud A = ab y es perpendicular a la superficie formada por la espira.
El torque sobre una espira con corriente en presencia de un campo
magnético es la base como funcionan los motores eléctricos. Como muestra la figura 13, la armadura de un motor consiste en una espira de
alambre (con muchas vueltas) que puede rotar en un eje. Cuando una
corriente pasa a través de la espira, el campo magnético ejerce un torque sobre la armadura y causa que esta rote. La corriente no puede ser
constante porque la armadura solo oscilaría alrededor de la posición de
equilibrio. Para mantener el motor girando, se usa un conmutador, que
tiene como función revertir la dirección de la corriente cada 180°. La inversión de la corriente hace que el motor siempre e impide que este llegue
a la posición de equilibrio.

Rotación

N
S
Escobilla o
contacto fijo.

Escobilla o
contacto fijo.
El Conmutador invierte la corriente en la
espira cada medio ciclo. De ese modo la
fuerza en la parte izquierda de la espira
es siempre hacia arriba.

Figura 13: Principio básico de un motor eléctrico. Notar que el conmutador
está dividido en dos partes, de tal forma que el terminal positivo de la batería envía corriente a cualquiera delos
alambres que toque la mitad derecha
del conmutador.


magnetismo

121

4 La ley de Biot y Savart
La fuente de un campo magnético estático puede ser un magneto
(imán), un campo eléctrico que varía en el tiempo, o una corriente continua. Ya sabemos que una corriente eléctrica, no es otra cosa que una
carga en movimiento, así que en esta sección, vamos a considerar una
carga como fuente de campo magnético.
En la figura 14 se ve una carga q moviéndose con velocidad v. La
magnitud del campo magnético, en el punto P , producido por la carga es
Bq =

µ0 qv sin θ
4π r2

donde r es la distancia desde la carga al punto P y θ es el ángulo entre
v y r. Esta es la ley de Biot-Savart para una carga puntual.
La dirección del campo magnético está dada por el producto vectorial
entre v y r4
Dirección de B = Dirección de v × r

La carga genera un
campo magnético
en este punto

Carga puntual
con velocidad
Figura 14: El campo magnético de
una carga en movimiento.

Por supuesto que si la carga es negativa, el campo magnético apuntará en
la dirección contraria
4

Así que la ley de Biot-Savart se puede escribir en forma vectorial
Bq =

µ0 qv × r
ˆ
2
4π r

Donde r es un vector unitario que apunta al punto P .
ˆ
La cantidad µ0 se llama permeabilidad del espacio libre y está definida
como5
µ0
= 10−7 N/A2
4π

Esta constante juega un rol similar a
ε0 en electricidad.
5

En la práctica, nos interesa el campo magnético producido por una
corriente, pero como sabemos calcular el campomagnético de una carga,
podemos usar ese resultado y sumar todos los campos magnéticos individuales de cada carga (principio de superposición) para calcular el campo
magnético producido por un alambre con corriente.
Figura 15: Relación entre la velocidad de la carga y la corriente. La carga
aˆ†Q en un pequeño segmento de alambre puede considerarse como una carga
puntual.

(a)

(b)

Analicemos la figura 15 donde una pequeña carga aˆ†Q abarca una
longitud aˆ†l. Esta carga tiene una velocidad v = aˆ†l/aˆ†t. Si el segmento de


122

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

alambre es lo suficientemente pequeño, podemos tratar a aˆ†Q como una
carga puntual y escribir

(aˆ†Q)v = aˆ†Q

aˆ†l
aˆ†Q
=
aˆ†l
aˆ†t
aˆ†t

pero la corriente está definida como I = aˆ†Q/aˆ†t, entonces

(aˆ†Q)v = Iaˆ†l
Este resultado nos sirve para aplicarlo a la ley de Biot-Savart y establecer
la ecuación para el campo magnético de un segmento corto de alambre:
Bseg =

ˆ
µ0 Iaˆ†l × r
4π r2

I

Esta ecuación está en términos de la corriente y el vector aˆ†l apunta en
la dirección de la corriente.
Antes de ver un ejemplo vamos a mencionar que existe una regla gráfica para determinar la dirección del campo magnético, si conocemos la
dirección de la corriente. La figura 16 ilustra el método para un alambre muy largo con corriente, pero el método también se puede aplicar a
conductores con otra forma.

B
Figura 16: Regla de la mano derecha
para determinar la dirección del campo magnético alrededor de un alambre
largo que lleva una corriente.La punta
de los dedos da la dirección de B.

EJEMPLO 4: Campo magnético debido a un alambre largo
Considerar un alambre recto y delgado que lleva
una corriente constante I y colocado a lo largo
del eje x. Determinar el campo magnético en el
punto P debido a la corriente.
Solución: Vamos a obtener el campo magnético
en el punto P a una distancia y del eje x. El
procedimiento consiste en dividir el alambre en
i-ésimo segmento N segmentos de longitud aˆ†x y carga aˆ†Q. De
con carga
acuerdo a la figura el producto vectorial aˆ†x ×
r apunta en la dirección +z, así que podemos
ˆ
omitir la notación vectorial. De acuerdo a la ley
de Biot-Savart, la magnitud del campo magnético debido al segmento aˆ†x es
Bi =
Además
sin θi = sin(180 − θi ) =

y
ri

µ0 I aˆ†x sin θi
2
4π
ri



Bi =

µ0 I
yaˆ†x
µ0 I yaˆ†x
3 = 4π (x2 + y 2 )3/2
4π ri
i

La expresión anterior es para el campo magnético del i-ésimo segmento. Para obtener el campo total en P
debemos sumar las contribuciones de todos los segmentos (principio de superposición)
B=

µ0 Iy
4π

N

( x2
i
i=1

aˆ†x
+ y 2 )3/2


magnetismo

123

Para un alambre infinito deberíamos tomar el límite N → ∞, pero esta suma no es trivial. Debemos recurrir
al cálculo integral y convertir la variable discreta xi en la variable continua x (xi → x; aˆ†x → dx)
N
i=1

aˆ†x
→
(x2 + y 2 )3/2
i

+
ˆ∞
−∞

dx
(x2 + y 2 )3/2

Podemos buscar esta integral en una tabla:
ˆ

( u2

u
du
= √
2 )3/2
2 u2 + a2
+a
a

para obtener el campo

B

=µ0 Iy
4π

+
ˆ∞
−∞

=

µ0 Iy
2π

dx
µ0 Iy
=2
4π
(x2 + y 2 )3/2
+∞

1
y2

1 + (y/x)2

=
0

+∞

x
y2

µ0 Iy
2π

x2 + y 2

0

µ0 I
1
ˆ
−0 k =
y2
2πy

Entonces el campo magnético apunta en la dirección +z
B=

saliendo de
la página

µ0 I ˆ
k
2πy

El caso de un segmento de alambre se puede deducir del problema
anterior, donde solo es necesario cambiar los límites de integración y además definir el largo del segmento por medio de ángulos
apropiados.
µ0 I
(cos θ1 − cos θ2 )
B=
4πy
Con esta fórmula podemos encontrar el campo magnético de un
alambre infinito haciendo θ1 = 0 y θ2 = π
B=

µ0 I
µ0 I
µ0 I
(cos(0) − cos(π )) =
(1 − (−1)) =
4πy
4πy
2πy

Un caso especial es cuando el punto P se encuentra en la linea que bisecta el
segmento de alambre. Aquí θ1 = θ y θ2 = π − θ
B=

µ0 I
µ0 I
µ0 I
(cos θ − cos(π − θ )) =
(cos θ + cos θ ) =
cos θ
4πy
4πy
2πy

En función del largo del segmento el campo es
B=

µ0 I
4πy

L
L2 /4 + y 2


124

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

EJEMPLO 5: Campo magnético sobre el eje de una espira con corriente
Considerar una espira circular de radio a localizada en el plano xy y que lleva una corriente I. Calcular el
campo magnético en un punto axial a una distancia z del centro de la espira.

Solución: Dividimos el anillo en N segmentos de longitud aˆ†l. De acuerdo a la figura de la izquierda, el
vector aˆ†l es perpendicular al vector r que apunta desde el segmento al punto P . La dirección de aˆ†Bi
ˆen P será la dirección del producto cruz aˆ†l × r, es decir aˆ†Bi será perpendicular a aˆ†l y a r. Puesto que
ˆ
ˆ
aˆ†l × r = aˆ†l sin 90° = aˆ†l, la magnitud de aˆ†Bi es
ˆ
aˆ†Bi =

µ0 I aˆ†l
4π r2

de la figura r2 = a2 + z 2 y entonces

µ0 I aˆ†l
4π a2 + z 2
Por otro lado, si consideramos que para cada elemento de longitud, existe otro al lado opuesto que hace que
las componentes x del campo magnético se anulen. Por lo tanto el campo magnético solo tiene dirección z.
Esto es ilustrado en la figura de la derecha donde se muestran las lineas de campo. La línea que pasa justo
por el centro de anillo va en la dirección de eje z.
De la figura de la izquierda
aˆ†Bi =

(aˆ†Bi )z = aˆ†Bi cos θ =

µ0 I aˆ†l
µ0 I aˆ†l
a
µ0 I
aaˆ†l
√
cos θ =
=
4π a2 + z 2
4π a2 + z 2 a2 + z 2
4π (a2 + z 2 )3/2

Para obtener el campo total en P sumamos las contribuciones de todos los anillos
Bz =

µ0 Ia
2 + z 2 )3/2
4π (a

N

aˆ†l
i=1

El único término dentro de la sumatoria es aˆ†l pues el resto es constante. La suma de todos los aˆ†l es el
perímetro del circulo de radio a. Luego
Bz =

µ0 Ia2
µ0 Ia
2πa =
2 )3/2
2 + z 2 )3/2
+z
2(a

4π (a2


magnetismo

125

El campo magnético en el centro de la espira es cuando z = 0
Bz =

µ0 I
2a

5 La ley Ampère
Esta ley permite encontrar campos magnéticos en casos donde la ley
de Biot-Savart resultaría muy complicada de aplicar. La ley de Ampère
es útil cuando queremos calcular el campo magnético de distribuciones
de corriente de alta simetría.6
Consideremos el caso de unaalambre largo con corriente I. Ya hemos calculado que la magnitud del campo magnético, generado por la
corriente, a una distancia y del alambre está dado por al expresión
B=

Esta ley es análoga a la ley de Gauss
para encontrar el campo eléctrico de
distribuciones de carga de alta simetría.
6

µ0 I
2πy

Esta expresión nos muestra que la magnitud del campo magnético es
directamente proporcional a la corriente en el alambre.
En general, el campo magnético en el espacio alrededor de una corriente eléctrica es proporcional a la corriente eléctrica, la cual sirve como
fuente de campo magnético. Esto es en analogía como el campo eléctrico
en el espacio es proporcional a la carga que genera el campo.
Consideremos la figura 17 donde una corriente eléctrica I atraviesa
la superficie creada por una trayectoria cerrada C. Si dividimos la trayectoria en trozos pequeños de longitud aˆ†l entonces definimos los vectores
aˆ†l tangentes a la trayectoria. En cada punto del trozo de trayectoria tendremos un campo magnético B. La ley de Ampère establece que para
cualquier trayectoria cerrada debe cumplirse que
B aˆ†l = µ0 I

Trayectoria
cerrada

Donde B es la componente tangencial (paralela) a la trayectoria en todo
punto. Esta suma es para todos los trozos y no depende de la trayectoria.

Figura 17: Campo magnético B es generado por una corriente eléctrica atravesando una curva (trayectoria) cerrada C. La curva se divide en segmentos
pequeños aˆ†l y se suman los productos
B aˆ†l a través de toda la curva.


126electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

La expresión anterior se puede escribir en forma equivalente mediante
vectores
B aˆ†l =
B cos θaˆ†l = µ0 I
donde B cos θ = B y θ es el ángulo entre B y aˆ†l.
Por supuesto que la precisión de esta suma depende de cuantos trozos
aˆ†l se elijan para dividir la trayectoria entera. La forma más correcta de
la ley de Ampère es en su forma integral
ˆ
B aˆ†l
−→
B dl
Así tenemos la ley de Ampère
˛
C

B dl = µ0 I

Esta es una integral de línea para una trayectoria cerrada.

La ley de Ampère establece tres condiciones importantes para la
ž
suma
B aˆ†l (o integral C B dl):
Es independiente (no depende) de la forma de la curva C alrededor
de la corriente.
Es independiente por donde pase la corriente a través de la superficie rodeada por la curva C.
Depende solamente de la corriente total que pase a través de la
superficie que rodea la curva C.

EJEMPLO 6: Campo magnético debido a un alambre largo
Este problema se resuelve muy fácilmente usando la ley de Ampère
B · dl = µ0 I
Para ello elegimos una curva que rodee al alambre. En este caso
elegimos una circunferencia por conveniencia. Si observamos la
figura vemos que B es siempre paralelo al elemento de longitud
aˆ†l (B = B ), por lo tanto B · aˆ†l = Baˆ†l
B · aˆ†l =

Baˆ†l = µ0 I

El campo puede salir fuera de la suma pues este constante en cualquier punto de la trayectoria circular de
radio y. Entonces obtenemos
aˆ†l = µ0 I



B2πy = µ0 I



B=

µ0 I
2πy


magnetismo

127

EJEMPLO 7: Campo magnéticodebido a una alambre grueso
Calcular el campo magnético producido por un alambre largo de radio R y que lleva una corriente uniformemente a través de su sección.

Solución: Para r ≥ R elegimos un circulo de radio r. De la misma forma que en el ejemplo anterior, vemos
que B es paralelo al elemento de longitud aˆ†l y por lo tanto B · aˆ†l = Baˆ†l
B · aˆ†l =

Baˆ†l = µ0 I

donde I es la corriente que pasa a través de la superficie rodeada por la circunferencia de radio r. Obtenemos
el mismo resultado que para un alambre delgado
B=

µ0 I
2πr

r≥R

Para r < R la corriente que pasa a través del circulo no es la corriente total I sino que una fracción de ella.
Si aplicamos la ley de Ampère obtenemos el resultado similar
µ0 I
2πr
donde I es la corriente que pasa a través del circulo de radio r. Podemos establecer una proporcionalidad
directa entre las corrientes y las respectivas áreas de cada circulo
B=

I
r2
I
= 2 I =I 2
2
πR
πr
R
Esta proporcionalidad directa se justifica porque corriente/área no es otra cosa que la densidad de corriente
uniforme en el alambre. Entonces
B=

µ0
µ0 r2
µ0 I
I =
I 2 =
r
2πr
2πr R
2πR2

r 0) la entrada al inductor es más positiva y el
potencial disminuye (aˆ†VL < 0). Esto está ilustrado en la figura 30.
Figura 30: La diferencia de potencial
a través de una resistencia y una inductancia.

El potencial
siempre decrece

El potencial decrece
si la corriente
se incrementa

El potencial se
incrementa si la
corriente decrece

11 El transformador y laley de Faraday
Un transformador hace uso de la ley de Faraday y las propiedades
ferromagnéticas del hierro para elevar o disminuir los voltajes de corriente
alterna (CA).8 El esquema básico de un transformador ideal se visualiza
en la figura 31. La espira enrollada al lado izquierdo tiene N1 vueltas y se
llama primario. Esta espira está conectada a una fuente de voltaje variable
(alterna), la cual puede ser representada por la expresión V1 cos ωt. El
campo magnético generado por esta corriente sigue la forma del núcleo
de hierro y pasa a través de la espira secundaria. El propósito del núcleo
de hierro es incrementar el flujo magnético a través del la espira y también
para proveer un medio en donde casi todas las lineas de campo magnético
de una espira pasen también por la otra espira.

La corriente alterna (CA) es el tipo
de electricidad que se usa comúnmente
en casas y empresas a través del mundo. La corriente directa (CD) fluye en
una sola dirección a través del alambre
(por ejemplo la corriente suministrada
por una batería o pila ) mientras que
la corriente alterna cambia de dirección
entre 50 y 60 veces por segundo.
8


magnetismo

Este campo magnético es oscilante así que induce una fem en el secundario. La ley de Faraday establece que si se aplica un voltaje variable
en la espira primario, se producirá una fem inducida dada por9
aˆ†V1 = −N1

aˆ†Φ
aˆ†t

donde Φ es el flujo a través de cada vuelta. En el caso ideal que todas
las líneas de campo permanecen dentro del núcleo de hierro, podemosasegurar que el flujo a través del secundario debe ser igual a flujo a través
del primario. Por lo tanto el voltaje a través del secundario debe ser
aˆ†V2 = −N2

139

Estamos suponiendo que la resistencia en el primario es despreciable y podemos imaginarnos un circuito consistente en una fuente de voltaje y una
inductancia.
9

aˆ†Φ
aˆ†t

Esto nos permite deducir que
aˆ†V2 =

N2
aˆ†V1
N1

Dependiendo del factor N2 /N1 el voltaje a través de la resistencia puede
ser transformado a una valor mayor o menor que aˆ†V1 .
Núcleo de hierro

Figura 31: Un transformador ideal
consiste de dos espiras enrolladas al
mismo núcleo de hierro. Una voltaje alterno aˆ†V1 es aplicado a la espira primaria. El voltaje de salida aˆ†V2 es a través
de la resistencia R.


140

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

PROBLEMAS
1 Un campo magnético uniforme B, de magnitud 1.2 mT, apunta verticalmente hacia arriba a través del
volumen de una sala de laboratorio. Un protón con energía cinética de 3 MeV entra en la sala moviéndose
horizontalmente de sur a norte. sCuál es la fuerza que actúa sobre el protón cuando este entra en la sala?, sCuál
es la aceleración del protón?. La masa del protón es 1.67 × 10−27 kg y 1 eV = 1.602 × 10−19 J (Ignorar el campo
magnético de la tierra).
Sol.: 6.1 × 10−15 N; 3.7 × 1012 m/s2
2 Un protón viajando a 23.0a—Š con respecto a la dirección de un campo magnético de magnitud 2.60 mT,
experimenta una fuerza magnética de 6.50 × 10−17 N. Calcular (a) la rapidez del protón y (b) su energíacinética
en electron-volt (eV).
Sol.:(a) 4.00 × 105 m/s; (b) 835 eV
3 Un protón se mueve perpendicular a un campo magnético uniforme B a 1.00 × 107 m/s y experimenta
una aceleración de 2.00 × 1013 m/s2 en la dirección +x cuando su velocidad es en la dirección +z. Determine
la magnitud y dirección del campo.
Sol.: 2.09 × 10−2 T; dirección −y.
ˆ
ˆ
4 Un electrón se mueve a través de un campo magnético uniforme dado por B = Bx i + 3.0Bx j . En cierto
ˆ
ˆ
ˆ
instante, el protón tiene velocidad v = 2.0i + 4.0j y la fuerza magnética que actúa sobre el es (6.4 × 10−19 N)k.
Encontrar Bx .
Sol.: Bx = −2.0 T
5 En la figura, una partícula se mueve alrededor de un círculo en una región donde existe un campo
magnético uniforme (saliendo de la pagina) de magnitud B = 4.0 mT. La partícula podría ser un protón o un
electrón (usted debe decidir). La partícula experimenta una fuerza magnética de magnitud 3.20 × 10−15 N. (a)
sCuál es la rapidez de la partícula?, (b) sCuál es el radio del círculo?, (c) sCuál es el periodo del movimiento?

Sol.: (a) 4.99 × 106 m/s; (b) r = 0.00710 m; (c) T = 8.93×10–9 s.
ˆ
6 Una carga q = −3.64 nC se mueve con una velocidad de 2.75 × 106 m/s i. Encontrar la fuerza sobre
ˆ , (b) B = 0.75 T i + 0.75 T j , (c) B = 0.65 T i, y (d)
ˆ
ˆ
ˆ
la carga si el campo magnético es (a) B = 0.38 T j
ˆ
ˆ
B = 0.75 T i + 0.75 T k.
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: (a) F = −(3.80 mN) k, (b) F = −(7.51 mN) k, (c) F = 0, (d) F = (7.51 mN) k
ˆ
ˆ ˆ
7 Una carga positiva q = 3.20 × 10−19 C se mueve con una velocidad v= (2 i + 3 j − k ) m/s a través de una
región donde existen un campo magnético uniforme y un campo eléctrico uniforme.
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
(a) Calcular la fuerza total sobre la carga si B = (2 i + 4 j + k ) T y E = (4 i − j − 2 k ) V/m
(b) sQué ángulo forma el vector fuerza con el eje x positivo?
ˆ
ˆ
Sol.: (a) F = (3.52 i − 1.60 j ) × 10−18 N; (b) 24.4°
8 Un alambre de 2.80 m de largo lleva una corriente 00 A en una región donde existe un campo magnético
uniforme de magnitud 0.390 T. Calcular la fuerza magnética sobre el alambre asumiendo que el ángulo entre el
campo magnético y la corriente es (a) 60.0a—Š , (b) 90.0a—Š , (c) 120a—Š .
Sol.: (a) 4.73 N; (b) 46 N; (c) 4.73 N


magnetismo

141

9 El segmento de alambre de la figura lleva una corriente 1.8 A desde a hasta b. Hay un campo magnético
ˆ
B = 1.2 T k. Encontrar la fuerza total sobre el alambre y demostrar que la fuerza total es la misma si el alambre
fuera un segmento recto desde a hasta b.

ˆ
ˆ
Sol.: F = (0.0864 N)i − (0.0648 N)j
10 Un alambre horizontal rígido de longitud 25 cm y masa 50 g está conectado a una fuente de voltaje por
medio de alambres flexibles. Un campo magnético de 1.33 T es horizontal y perpendicular al alambre. Encontrar
la corriente necesaria para que el alambre flote; es decir, encontrar la corriente para que la fuerza magnética
balance el peso del alambre.
Sol.: 1.48 A.
11 Una barra metálica con masa por unidad de longitud λ (densidad de masa lineal) lleva una corriente
I. La barra cuelga de dos alambresverticales en un campo magnético uniforme y vertical como se muestra en
la figura. Los alambres forman un ángulo θ con la vertical cuando el sistema está en equilibrio. Determinar la
magnitud del campo magnético.

Sol.: λg tan θ/I
12 [*] Un alambre de 10 cm de largo lleva una corriente de 4.0 A en la dirección +z. La fuerza sobre este
ˆ
ˆ
alambre, debida a una campo magnético uniforme B, es F = (−0.2 i + 0.2 j )N. Si este alambre es rotado de
ˆ
tal forma que la corriente fluye en la dirección +x, la fuerza sobre el alambre F = 0.2 k N. Encontrar el campo
magnético B.
ˆ
ˆ
Sol.: B = (0.5 T)i + (0.5 T)j
13 [*] Un alambre de 10 cm de largo lleva una corriente de 2.0 A en la dirección +x. La fuerza sobre este
ˆ
ˆ
alambre, debida a una campo magnético uniforme B, es F = (3.0 j + 2.0 k )N. Si este alambre es rotado de tal
ˆ
ˆ
forma que la corriente fluye en la dirección +y, la fuerza sobre el alambre F = (−3.0 i − 2.0 k )N. Encontrar el
campo magnético B.
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: B = (10 T)i + (10 T)j − (15 T)k


142

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

14 Encontrar el campo magnético en el centro de una espira cuadrada de lado L = 50 cm, la cual lleva una
corriente 1.5 A.

Sol.: 3.39 × 10−6 T, hacia afuera de la página.
15 La figura muestra dos alambres largos y paralelos separados por una distancia d = 18.6 cm. Cada alambre
lleva una corriente de 4.23 A, saliendo de la página (alambre 1) y entrando en la página (alambre 2). sCuál es
el campo magnético neto en el punto P debido a las dos corrientessi R = 34.2 cm?
1

2

ˆ
Sol.: B = (1.25 × 10−6 T) i
16 Un alambre largo y recto lleva una corriente de I = 1.7 A en la dirección +z y se extiende a lo largo de
la línea x = −3 cm, y = 0. Un segundo alambre con I = 1.7 A en la dirección +z y se extiende a lo largo de la
línea x = +3 cm, y = 0. (ver figura).
(a) Encontrar el campo magnético en el punto P en y = 6 cm.
(b) Encontrar el campo magnético en el origen.
(c) Encontrar el campo magnético en el punto P en y = 6 cm si la corriente del alambre en x = +3 cm va en
sentido contrario (dirección −z).

ˆ
Sol.: (a) −9.07 × 10−6 T i, (b) 0, (c) 2.27 × 10−5 T j
17 En t = 0, una partícula con carga q = 12 µC está localizada en x = 0, y = 2 m; la velocidad de la
ˆ
partícula en ese tiempo es v = 30 m/s i. Encontrar el campo magnético en (a) el origen; (b) x = 0, y = 1 m; (c)
x = 0, y = 3 m; y (d)x = 0, y = 4 m.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: (a) −(9.00 pT) k; (b) −(36.0 pT) k; (c) (36.0 pT) k; (d) (9.00 pT) k


magnetismo

143

18 En la figura dos alambres largos son perpendiculares a la página y están separados por una distancia
d1 = 0.75 cm. El alambre 1 lleva una corriente de 6.5 A entrando en la página. El punto P está localizado a una
distancia d2 = 1.50 cm del alambre 2 y el campo magnético neto en P , debido a los dos alambres es cero. sCuál
es la magnitud y dirección de la corriente en el alambre 2?

1

2

Sol.: I2 = 4.3 A, saliendo de la página.
19 Una espira circular de alambre (con una sola vuelta) de radio 3 cm lleva una corriente de 2.6A. Encontrar
la magnitud del campo magnético en el eje de la espira en: (a) el centro de la espira; (b) a 1 cm desde el centro;
(c) a 2 cm desde el centro; (d) a 35 cm desde el centro.
Sol.: (a) 54.5 µT; (b) 46.5 µT; (c) 31.4 µT; (d) 33.9 nT
20 Se tiene una espira circular de alambre de radio R = 10.0 cm y con corriente I. Encontrar el punto del
eje de la espira donde el campo magnético es: (a) 10 % del campo en el centro; (b) 1 % del campo en el centro;
(c) 0.1 % del campo en el centro.
Sol.: (a) 19.1 cm; (b) 43 cm; (c) 99.5 cm.
21 La corriente en el alambre mostrado en la figura es de 8.0 A. Encontrar el campo magnético en el punto
P.

Sol.: 226 µT
22 Determinar el campo magnético en un punto P localizado a una distancia x desde la esquina de un
alambre infinito doblado en ángulo recto como se muestra en la figura. El alambre lleva una corriente I.

Sol.: B = µ0 I/4πx, entrando en la página.
23 Un conductor consiste en una espira circular de radio R y dos dos secciones largas y rectas como se
muestra en la figura. El alambre está sobre el plano de la página y lleva una corriente I. Encontrar el campo
magnético en el centro de la espira.

1
Sol.: B = (1 + π ) µ0 I , entrando en la página.
2R


144

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

24 El segmento de alambre en la figura lleva una corriente de 00 A, y el radio del arco circular es
R = 3.00 cm. Determinar la magnitud y dirección del campo magnético en el origen.

Sol.: 26.2 µT, entrando en la página.
25 Un alambre rectomuy largo lleva una corriente I. El alambre se ha doblado en el medio formando un
ángulo recto. El alambre doblado forma un arco de círculo de radio R, tal como muestra la figura. Determinar
el campo magnético en el centro del arco.

Sol.: B =

µ0 I
2R

1
π

+

1
4

, entrando en la página.

26 Dos alambres paralelos muy largos transportan corrientes I1 = 3.00 A y I2 = 3.00 A, ambas dirigidas
entrando en la página. Determinar el campo magnético resultante en el punto P .

ˆ
Sol.: B = −13.0 µT j
27 En la figura dos arcos semicirculares tienen radios R2 = 7.80 cm y R1 = 3.15 cm, transportan una
corriente I = 0.281 A y comparten el mismo centro de curvatura P . sCuál es la magnitud y dirección del campo
magnético en el punto P ?

Sol.: 1.67 × 10−6 T, entrando en la página.


magnetismo

145

28 La figura muestra un arreglo de espiras conocido como bobina de Helmholtz. Consiste en dos espiras
coaxiales cada una con 200 vueltas y radio R = 20 cm separadas por una distancia s = R. Las dos espiras
llevan corrientes iguales I = 12.2 mA en la misma dirección. Encontrar el campo magnético en el punto medio
entre las espiras.

ˆ
Sol.:BP = (8.78 × 10−6 T)i
29 Un alambre recto infinito es doblado como se muestra en la figura. La porción circular tiene radio 10 cm
con su centro a una distancia r de la porción recta. Encontrar el valor de r tal que la magnitud del campo
magnético en el centro de la porción circular sea cero.

Sol.: r = 3.18 cm
30 Un solenoide de largo 2.7 m tiene unradio de 0.85 cm y 600 vueltas. La corriente es de 2.5A. sCuál es
la magnitud aproximada del campo magnético en el eje del solenoide?
Sol.: 0.698 mT

31 Un solenoide de 1.30 m de largo y 2.60 cm de diámetro lleva una corriente de 18.0 A. El campo magnético
adentro del solenoide es 23.0 mT. Encontrar la longitud de alambre que forma el solenoide.
Sol.: 108 m

32 Un toroide de radio interior 2 cm y radio exterior de 1 cm tiene 1000 vueltas de alambre y lleva una
corriente de 1.5 A. (a) sCuál es el campo magnético a una distancia de 1.1 cm del centro?, (a) sCuál es el campo
magnético a una distancia de 1.5 cm del centro?
Sol.: (a) 27.3 mT; (b) 20.0 mT


146

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

33 Un toroide de sección cuadrada, 00 cm de lado y radio interior de R = 10 cm tiene 500 vueltas y
lleva una corriente de 0.800 A. sCuál es el campo magnético adentro del toroide en (a) el radio interior y (b) en
el radio exterior?

Sección cuadrada

Sol.: (a) 33 × 10−4 T; (b) 4.00 × 10−4 T

34 En la figura, una corriente es de 8 A entrando en la página, la otra corriente es 8 A saliendo de la página;
cada curva es una trayectoria circular.
ž
(a) Evaluar
B aˆ†l (o C B dl) en cada trayectoria indicada, donde cada suma (integral) es tomada con aˆ†l
(dl) en sentido antihorario.
(b) sCuál trayectoria, si existiera, puede ser usada para encontrar B en algún punto debido a estos corrientes?

Sol.: (a) C3 : 8µ0 A, C2 : 0; (b) Ninguna porque
35 La figura muestra dos curvas cerradas queenvuelven dos espiras conductoras con corrientes I1 = 0 A
ž
y I2 = 3.0 A. Evaluar
B aˆ†l (o la integral C B dl) para las curvas 1 y 2.

1
2

Sol.: (C1 ) −2.5 × 10−6 T.m; (C2 ) −1.6 × 10−5 T.m
36 Un cascarón cilíndrico y largo de radio R lleva una corriente I. Encontrar B adentro y afuera del cilindro.
Sol.: µ0 I/2πr; (r > R)


magnetismo

147

37 Un cable coaxial muy largo consiste de un alambre interior y una capa externa conductora y cilíndrica
de radio R. En un extremo el alambre es conectado a la capa externa. En el otro extremo el alambre y la capa
externa están conectados a los terminales opuestos de una batería, de tal forma que se establece una corriente
en el alambre y la misma corriente en sentido contrario en la capa externa. Asumir que el cable es recto.
(a) Encontrar B en puntos entre el alambre y la capa externa.
(b) Afuera del cable.
Cubierta plástica

Aislante

Alambre
Capa conductora
de radio

Sol.: (a) µ0 I/2πr; (r < R)
38 Considere la superficie hemisférica cerrada de la figura. La superficie está en un campo magnético
uniforme que forma un ángulo θ con la vertical. Calcular el flujo magnético a través de (a) la superficie plana
S1 y (b) la superficie hemisférica S2 .

Sol.: (a) −BπR2 cos θ
39 Un cubo de lado a = 2.50 cm está posicionado como se muestra en la figura. Un campo magnético
ˆ
ˆ
ˆ
uniforme dado por B = (5i + 4j + 3k ) T existe en la región.
(a) Calcular el flujo a través de la cara sombreada.
(b) sCuál es el flujo a través de las seis caras?

Sol.: (a)Φm = 3.12 mWb


148

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

40 Un solenoide de 2.50 cm de diámetro y 30.0 cm de largo tiene 300 vueltas y lleva una corriente de 12.0 A.
Calcular el flujo a través de la superficie de un disco de radio 00 cm que está posicionado perpendicularmente
y centrado en el eje del solenoide.

Sol.: 2.27 µWb
41 En la figura un campo magnético uniforme decrece a una razón de aˆ†B/aˆ†t = −K, donde K > 0. Una
espira circular de radio a, resistencia R y capacidad C es colocada con su plano normal al campo.
(a) Encontrar la carga en el condensador cuando está completamente cargado.
(b) sCuál placa está a mayor potencial?

Sol.: (a) Cπa2 K; (b) Placa de arriba.
42 En la figura, el imán de barra se mueve hacia la espira. sEl valor Va − Vb es positivo, negativo o cero?
Explique su razonamiento.
N
S
Movimiento hacia
la espira

Sol.: Negativo.


magnetismo

149

43 Un solenoide de longitud 25 cm y radio 0.8 cm con 400 vueltas está en un campo magnético externo de
0.06, T y que forma un ángulo de 50a—Š con el eje del solenoide.
(a) Encontrar el flujo magnético a través del solenoide.
(b) Encontrar la magnitud de la fem inducida en el solenoide si el campo magnético externo se reduce a cero
en 1.4 s.
Sol.: (a) 3.10 mWb; (b) 2.22 mV
44 La espira cuadrada de la figura está hecha de alambres con una resistencia total de 10.0 a„Š. La espira
es colocada en un campo magnético uniforme de 0.100 T, dirigido perpendicularmente entrando en la página.
La espira es estirada en cadaesquina tal como muestra la figura hasta que la separación entre los puntos A y
B es de 3.00 m. Si este proceso toma 0.100 s, sCuál es la corriente promedio generada en la espira? sCuál es la
dirección de la corriente?

Sol.: 0.121 A, sentido horario.
45 Un alambre es doblado en tres segmentos circulares, cada uno con radio r = 10 cm, como se muestra en
la figura. Cada segmento es un cuadrante de un círculo; los segmentos ab, bc y ca se extienden en los planos xy,
zy, y zx respectivamente.
(a) Si un campo magnético uniforme B apunta en la dirección positiva de x, scuál es la magnitud de la fem
inducida en el alambre cuando B se incrementa a una tasa de 3.0 mT/s?
(b) sCuál es la dirección de la corriente en el segmento bc?

Sol.: (a) 2.4 × 10−5 V; (b) Desde c a b.