GUIA DE FISICA GRADO 9
Nociones preliminares
En esta secci´n se presentar´n los conceptos b´sicos para el curso de F´ o a a A±sica; es importante que el estudiante se asegure de
entender cada uno de ellos, pues en estos se basar´n los temas a trabajar en
los periodos posteriores. a
1.
´ Algebra de Funciones
Una funci´n es una regla que asigna a cada uno de los elementos de un conjunto, o llamado dominio, un elemento de otro
conjunto, llamado recorrido. Esta regla de asignaci´n, por lo general, est´
dada por una expresi´n algebraica que involucra o a o las distintas operaciones
con las que se cuenta en el dominio de la funci´n. o Por ejemplo, la expresi´n
f(x) = 3+x representa una funci´n. Note que la manera o o de “presentar” una
funci´n tiene como inicio la letra con la que la “bautizareo mos” , en nuestro
caso es la letra f; luego aparece un par´ntesis encerrando una e letra
quetambi´n se encuentra en el lado derecho de la igualdad, la letra x. Esta e
escritura signiï¬ca que la funci´n f aplica a cada valor del dominio,
representado o con la letra x, la operaci´n de sumar 3. Por ejemplo, f(2) es igual a: o f(2) = 3 + 2 De igual forma, f(150) queda
como f(150) = 3 + 150 Es por esta raz´n que a la letra x se le denomina
variable, debido a que podemos o remplazarla, o hacerla variar, por cada uno de
los valores para los cuales la funci´n o o tiene sentido. Estos valores
constituyen el dominio de la funci´n. En nuestro caso, es posible remplazar la
variable x por cualquier n´mero real, pues al sumarle 3 u a cualquier n´mero
real, obtenemos de nuevo un n´mero real. Luego, el dominio u u de la funci´n
f(x) = 3 + x es el conjunto de los n´meros reales, R. o u
Para la funci´n o f(x) =
√
x
El dominio es el conjunto de los n´meros reales mayores o iguales a cero, R u pues aqu´ no tiene sentido hablar de la raiz cuadrada
de un n´mero negativo. La A± udeterminaci´n del recorrido de
una funci´n requiere de un poco m´s de an´lisis, o o a a pero se sale de los
prop´sitos de este curso. o
Ejercicio
1. Dada la funci´n f(x) = 3x3 − 24x2 + 8x − 3, determinar: o a) f(0) b) f 1 2
c) f(1) 2. Se deï¬ne g(x, y) = x3 − y; note que en este caso, hay dos
variables, x e y. Determine a) g(0, 0) b) g 1 ,2 2
c) g(1, 3) d ) g(a, a)
2.
Ecuaci´n de una recta o
Uno de los ejemplos m´s sencillos de funci´n es el de la funci´n lineal, de la
forma a o o y − y0 = m(x − x0) (1
que representa una recta, en donde m representa la pendiente, y (x0 , y0) es un
punto que pertenece a ella. Cuando hablamos de la pendiente de una recta,
hacemos referencia al ´ngulo de inclinaci´n de ´sta con el semieje positivo de
la X. La a o e ecuaci´n 1, nos da un m´todo para determinar la ecuaci´n de una
recta cuando o e o nos dan la pendiente y un punto que pase por ella. 2
Ejemplo 1. Determinar la ecuaci´n de la recta cuya pendiente es m = 2 y
que o pasa por elpunto (5, 9). Remplazamos directamente en la ecuaci´n 1,
teniendo en cuenta que m = 2, o x0 = 5 e y0 = 9; con lo que nos queda y −
9 =2(x − 5) =2x − 10 y =2x − 10 + 9 y =2x − 1
2.1.
Pendiente de una recta
Sin embargo, cuando no sabemos cu´l es pendiente de una recta, podemos detera
minarla a partir de dos puntos pertenecientes a la recta, (x0
, y0) y (x1, y1), por medio de la siguiente f´rmula: o m= y1 − y0
x1 − x0 (2)
Teniendo la pendiente de la recta, nos basta escoger uno de los dos puntos
dados, y remplazarlos en la ecuaci´n 1, para obtener la ecuaci´n pedida. o o Ejemplo 2. Determine la ecuaci´n de la recta que pasa
por los puntos (7, 4) y o (8, 2). Lo primero que debemos hacer es utilizar la
ecuaci´n 2, para determinar la peno diente de la recta; as´ A±, 4−2 2 = =
−2 7 − 8 −1 En este caso, escogimos (7, 4) como
el punto (x1, y1 ), y (8, 2) como (x0, y0). Sin embargo, esta escogencia
s´lo es caprichosa, en el sentido que hubieramos podido o llamar (x0, y0 ) al
punto (7, 4) y quesea (x1, y1 ) el punto (8, 2); en efecto, con esta
escogencia, la pendiente nos queda como: 2−4 −2 = = −2 8−7
1 en conlcusi´n, no importa en orden en que nombre los puntos. o 3
Rafael Angarita
Teniendo ya la pendiente de la recta, escogemos, por ejemplo, el punto (8, 2),
y como m = −2, remplazamos en la ecuaci´n 1, con lo que nos queda: o y −
2 = −2(x − 8) = −2x + 16 y = −2x + 16 + 2 y = 18 −
2x
Ejercicio
Dados los siguientes datos, determine la ecuaci´n de la recta en cada caso: o
1. m = 2, (4, 0); 2. m = 30 1 10 , ; 3 56
4. m = −3, (−5, −6); 5. 15 , 11
8 7 11 , ; 4 21
6. 1
, (8, 1); 89 7
3.
Derivada de Caratheodory
Diremos que una funci´n f es diferenciable en a, si existe una funci´n
Φ(x), tal o o que: f(x) − f(a) =
Φ(x)(x − a) (3) El valor de Φ en a, si Φ existe, es la
derivada de f en a. Para explicar c´mo se aplica la deï¬nici´n de la derivada
de Carathedory, daremos o o el siguiente: 4
Ejemplo 3. Halle
laderivada de la funci´n f(x) = x2 + 2x − 5, en el punto o a = 5. 1. Aplicamos
la f´rmula 3; empezamos por hacer: o f(x) − f(5) =[x2 + 2x − 5] −
[(5)2 + 2(5) − 5] =[x2 + 2x − 5] − [25 + 10 − 5] =x2 +
2x − 5 − 30 =x2 + 2x − 35 2. Tomamos el
polinomio resultante y lo dividimos por (x − 5). Nos queda: x2 +
2x − 35 x − 5 −x2 + 5x x+7 7x − 35 −7x + 35 0 De
donde se sigue que x2 + 2x − 35 = (x + 7)(x − 5) 3. De la f´rmula 3
se sigue que o Φ(x) = x + 7 pues es el t´rmino que est´ multiplicando a (x
− 5). e a 4. El valor de Φ(x) en 5, esla
derivada de f(x) en 5; luego 5) = 5 + 7 = 12
3.1.
Nuevamente la pendiente de una recta
Ahora n´tese lo siguiente: De la ecuaci´n 3, si despejamos Φ(x), nos queda
o o Φ(x) = sEst´ pensando lo mismo que yo? a 5
f(x) − f(a) x−a
Rafael Angarita
Exacto!!!!! Φ(x) es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x,
f(x)) y (a, f(a)); as´ al calcular Φ(a), lo que estamos haciendo es
calcular la pendiente de la recta A±, tangente a la funci´n f(x) en el puntox =
a. Como en el c´lculo de la derivada de o a Caratheodory tenemos que calcular
f(a), tendremos entonces el punto (a, f(a), junto con la pendiente de la recta
dada por Φ(a). Ejemplo 4. Halle la ecuaci´n de la recta tangente a la
funci´n f(x) = x2 +2x−5 o o en el punto x = 5. Sabemos que la pendiente
de la recta tangente en 5 es 5) = 12, y que f(5)
= 30, luego, tenemos el punto (5, 30) y m = 12. Con lo que nos queda que la
ecuaci´n o 2 de la recta tangente a la funci´n x + 2x − 5 en el punto x =
5, es o y − 30 =12(x − 5) =12x − 60 y =12x − 60 + 30 y
=12x − 30 Luego, la ecuaci´n de la recta es y = 12x − 30. o
Ejercicio
Encuentre la derivada de Caratheodory de las siguientes funciones, y halle la ecuaci´n de la
recta tangente a la funci´n en los puntos dados. o o
1. La funci´n f(x) = x + 2. En el punto x = 2. o 1 2.
La funci´n f(x) = 2x + 6. En el punto x o 3 3. La funci´n f(x) = x3 + 2x2 + x − 1. En el punto
x = 0. o 4. La funci´n f(x) = 2x3 − 3x2. En el
punto x = 4. o
