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Introducción……………………………………………………………………………………3
INTERES COMPUESTO…………………………………………………………………………………4
1. INTERÉS CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE…………………………………4
1.1. Calculando el capital inicial o principal (P
1.2. Calculando la tasa de interés (i
1.3. Calculando el tiempo (n
2. INTERÉS CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE……………………..7

3. MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE…………………………………………………………………………………………….9
4. MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPALCONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE…………………………………………………………………………………12
5. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE……………………………………………………………………………………………14
6. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE………………………………………………………………………….16
7. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE…………………………………………………………17
8. INTERÉS COMPUESTO CON TASA J CAPITALIZABLE……………………………………….19
8.1. Valor futuro con tasa j capitalizable
8.2. Valor presente o valor actual con tasa j capitalizable











INTRODUCCIÓN
El interés es compuesto si, a intervalos de tiempo preestablecidos, elinterés vencido es agregado al capital por lo que también gana intereses. Es decir, los intereses generados en cada periodo se integran al capital, y este monto gana intereses al siguiente periodo.
Su característica fundamental es que el interés generado en cada periodo de interés se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico, a diferencia del interés simple, donde su crecimiento es lineal o proporcional.













INTERES COMPUESTO

1. INTERES CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE
La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:
l = P[ - 1] (1)

Tabla 1
Plazos de la tasa de interés nominal
Tasa Nominal
Siglas
Anual
TEA
Semestral
TES
Cuatrimestral
TEC
Trimestral
TET
Bimestral
TEB
Mensual
TEM
Quincenal
TEQ
Diaria
TED
Fuente:

Ejemplo 1
Calculo del interés (I)
El BIF otorgo un préstamo a una empresa local por $10.000para que lo devuelva en un año a una TEA de 25%, ¿qué cantidad debera pagar por concepto de intereses?
Solución
Los datos son:
l = ?
P =$10.000
TEA = 25%
n = 1año
La unidad de tiempo i y n coincide. Por tanto, reemplazando los valores en la ecuación (1) se tiene
l = 10.000(1+0,25) -1] = $2.500
Esto significa que la empresa al final del plazo debera pagar por concepto de intereses la suma de $2.500.

1.1 Calculando elcapital inicial o principal (P
La fórmula que nos sirve para calcular el capital inicial o principal
P = (2)
Ejemplo 1
Calculo del capital inicial (P)
Por un préstamo se solicito al BIF a pagar en un año, una empresa pagó $2.500 de interés. ¿qué cantidad de pidió prestado si el banco aplica una TEA del 25%?
Solución
Los datos son:
P = ?
TEA = 25%
l = $2.500
n = 1 año
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene
P = = $10.000
$10000 fue lo que se pidió por estado al banco para que así final de un año se pague un interés de $2.500.

1.2 Calculando la tasa de interés (i
La fórmula a utilizar para calcular la tasa de interés es la siguiente:
i = (3)

Ejemplo 1
Calculo de la tasa de interés (j)
Por un préstamo de $10.000 que se solicitó al BIF a pagar en un año, una empresa pagó $2.500 de interés, ¿qué TEA aplicó el banco?
Solución
Los datos son:
i = ?
P = $10.000
l = $2.500
n = 1 año
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene
i = = 25%
El banco aplicó una TEA de 25%. ¿Por qué una TEA? Porque en la fórmula n es 1 (anual),por tanto i debe ser anual. Recuerde tanto i como n deben estar en la misma unidad de tiempo.

1.3. Calculando el tiempo (n
La fórmula que nos permite calcular e tiempo (n) es la siguiente:
n = (4)

Ejemplo 1
Calculo del tiempo (n)
El BIF otorgó un préstamo a una empresa local por $10.000 para que lo devuelva en un año, a una TEA del 25%. Si el banco nos cobra $2.500 de interés, ¿cuantosaños duró la deuda?
Solución
Los datos son:
n = ?
TEA = 25%
P = $10.000
l = $2.500
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (4), se obtiene
n =
La deuda tuvo una duración de un año.

2. INTERÉS CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE
La fórmula que calcula el interés generado en un horizonte temporal cuando las tasas o los períodos de tasa son variables es la siguiente
l = P[-1] (5)
Ejemplo 1
Calculo del interés cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés compuesto. La TEA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó al 25% el 09 de julio y al 22% el 20 de setiembre. L cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el interés en la fecha de cierre.
Solución
Los datos son:
l = ?
P = $5.000
= 28 %
= 25 %
= 22 %
= 146
= 73
= 68
Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene
l = 5.000[-1] = $1.003,62
El intéres generado asciende a $1.003,62



3. MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE
Un dólar disponible el día de hoy vale mas que un dólar que haya de recibirse el próximo año porque, si se tiene ahora, usted podría invertirlo, ganar interéses y terminar el próximo año con mas de un dólar. Esto se puede ver en la figura 1
Figura 1
Valor futuro compuesto en función del tiempo y diversas tasas de interés











La figura 1 muestra la forma en la que $1 ( o cualquier otra suma) crece con el tiempo a varias tasas de interés.Cuanto mas alta sea kla tasa de interés, mas veloz sera la tasa de crecimiento. La tasa de interés es, de hecho, una tasa de crecimeinto; si una suma es depositada y gana un 5%, entonces los fondos en depósito creceran a la tasa de 5% por período.
Ala suma del capital mas el interés compuestop ganado se llama monto compuesto o valor futuro compuesto, y se simboliza mediante la letra S, por tanto,
S = P +1 (6)
Al sustituir la ecuación (1) en la (6) se obtiene:
S = P+P[]
Factorizando la expresión anterior se tiene:
S =P[] (7)

Ejemplo 1
Calculo del monto o valor futuro (S)
El BIF otorgó u préstamo a una empresa local por $10.000 para que lo devuelva en un año, a una TEA de 25%, ¿qué monto debera pagar al final del plazo?
Solución
Los datos son:
S= ?
P = $10.00
TEA = 25%
n = 1 año
El monto o valor futuro se puede obtener de dos maneras, veamos cada una de ellas:

Método 1
En primer lugar hallamos el interés, el cual es como sigue:
l = 10.000[(1+0.25)-1]=$2.500
Utilizando la ecuación (6) para calcular el valor futuro, se obtiene:
S = 10.000 +2.500 =$12.500

Método 2
El monto o valor futuro se obtiene directamenteutilizando la ecuación (7)
S =10.000[(1+0,25)]= $12.500
La empresa pagara al final del plazo un monto de $12.500

Ejemplo 2
Calculo del monto o valor futuro (S)
Carrusel E.I.R.L, solicita un préstamo al Interbank por $10.000 pagar en cinco meses, a una TES de 18% ¿qué monto debera pagar al final del plazo?
Solución
Los datos son:
S =?
P = $10.000
TES = 18%
n = 5 meses
Reemplazando los valoresen la ecuación (7) se tiene
S = 10.000[]= $ 11.478,94
Esto significa que al final del plazo la empresa debera pagar un monto de $ 11.478,94

Ejemplo 3
Calculo del monto o valor futuro (S)
¿De qué monto compuesto podra disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a un TEM del 2%?
Solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene:
S =2.000[]= $ 2.417,16
Se podra disponer de un monto de $ 2.417,16

4 MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE
El monto final cuando se presentan variaciones en la tasa efectiva y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente:
S = P[] (8)


Ejemplo 1
Calculo del monto cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés compuesto.
La TEA vigente al momento del depósito fue de 28% la misma que bajó a 25% el 09 de julio y al 22% el 20 de Setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el monto en la fecha de cierre.
Solución
Los datos son:
S =?
P= $5.000
= 28 %
= 25 %
= 22 %
= 146
= 73
= 68
Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene
S = 5.000[] = $6.003,62
El monto asciende a $6.003,62.

Ejemplo 2
Calculo del monto cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés efectiva variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. A l término del plazo seconoce que las tasas de interés fueron

Tasa
A partir del
TEA
28,0%
13/02
TES
11,8%
09/07
TET
5,1%
20/09

Calcule el monto en la fecha de cierre.
Solución
Los datos son:
S =?
P=$5.000
= 28 %
= 11 %
= 5,1 %
= 146
= 73
= 68
Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene:
S = 5.000[] = $6.003,62
El monto asciende a $6.003,62.

5. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE
El siguiente ejemplo servira para mostrar el significado del concepto de valor presente, llamado también valor actual. (Ver figura 2)

Figura 2
Valor actual compuesto en función del tiempo y diversas tasas de interés








Suponga usted, el día de hoy recibe un préstamo de $20,000 a 10 meses de plazo y con una tasa de interés compuesta de 2% mensual. E l monto a pagar sera
S =$20.000[]= $ 4.379,89
Por el capital prestado usted debera pagar $24.379,89 dentro de 10 meses. $24.379 es el monto o valor futuro (S) de $20.000. Recíprocamente, se dice que $20.000 es el valor presente o valor actual (P) de $24.379 . Esto significa que $20.000 hoy es equivalente a $24.379 dentro de 10 meses a una tasa de interés compuesta del 2% mensual.
La figura 2 muestra que el valor presente de una suma que haya de recibirse en alguna fecha futura disminuye (1) a medida que la fecha de pago se extiende mas hacia el futuro y (2) a medida que aumenta la tasa de descuento.
La fórmula para hallar el valor actual compuesto, se puede hallar despejando P en la ecuación (7
P =S[ ] (9)

Ejemplo 1Calculo del valor presente o valor actual (P)
Una empresa local solicitó un préstamo al BIF a pagar en un año. Si el banco cobra una TEA de 25% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $12.500¿qué monto solicitó dicha empresa?
Solución
Los datos son:
P =?
S = $12.500
TEA =25%
n =1 año
Sustituyendo los valores en la ecuación (9), se tiene
P =12500[ ]
La empresa solicitó al BIF la suma de $10.000.

6. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE
El valor presente o valor actual cuando se presentan variaciones en la tasa efectiva y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente
P = S[] (10)

Ejemplo 1
Calculo del valor presente o valor actual cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable
El 13 de febrero de efectúa un depósito bajo un régimen de interés compuesto. La TEA vigente al momento del depósito fue de 28% , la misma que bajo al 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27de noviembre, la misma que ascendía a un monto $6.003 . Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 13 de febrero
Solución
Los datos son:
P = ?
S = $6.003
= 28 %
= 25 %
= 22 %
= 146
= 73
= 68
Reemplazando los valores en la ecuación (10) se tiene:
P= 6.003,62[]=$5.000
El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $5.000

7. ECUACINES DE VALOR EQUIVALENTES
Una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores deun conjunto de deudas propuesto para reemplazar al conjunto original, una vez que sus valores de vencimiento han sido trasladados a una fecha arbitrariamente elegida, llamada fecha focal.
En las ecuaciones de valor a interés compuesto, el resultado no se altera al tomar distintas fechas; por tanto, puede seleccionarse cualquier fecha para llevar a cabo la igualdad de las obligaciones, siendo el resultado siempre el mismo.
Las ecuaciones de valor a interés compuesto son una de las técnicas mas útiles de la matematica financiera para la resolución de diversos problemas financieros.

Ejemplo 1
Ecuaciones de valor equivalentes
Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente manera: $7.200 en este momento y $13.400 dentro de dos meses. Si desea pagar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuanto tendra que pagar, se la TEA es de 24 %?
Solución:
Como se menciono en el capítulo anterior, si el deudor desea saldar su deuda el día de hoy, no debera pagar $20.600 que es la suma de (7.200+13.400), pues los $13.400 son un valor futuro (vencen dentro de dos meses), mientras que los $7.200 vencen hoy (valor presente). Dos o mas cantidades no se pueden sumar mientras no coincidan en el tiempo sus valores de vencimiento. Lo que se puede hacer es calcular el valor presente de los $13.400 y solo entonces, podríamos sumarlos con los $7.200. Por tanto, el día de hoy parece una fecha focal “natural” en este problema; aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal y el resultado seria el mismo.
El diagrama de tiempo seríael siguiente:









El 0 representa el momento actual o presente y X representa la cantidad total por pagar el día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. La cantidad indica que el valor futuro de $13.400 se traslada al momento actual, debido a que este punto se ha tomado como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor actual del monto, dos meses antes de su vencimiento. Esto es:
P= 13.400[]=$12.921,85
Al trasladar el monto (valor futuro) a la fecha focal, todas las cantidades 87.200, 12.921,85 y X) se encuentran, ya en una fecha común en la que es posible su comparación y, por tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente:
Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas
Esto es:
7.200+13.400[]=X
X = $20.121,85
Esta persona tendra que pagar $20.121,85 el día de hoy y saldar así la deuda.

8. INTERÉS COMPUESTO CON TASA J CAPITALIZABLE
El interés compuesto también puede ser generado por una tasa nominal j capitalizable m veces (m es el número de períodos que capitaliza la tasa nominal en su respectivo plazo).
La fórmula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:
l = P[ - 1] (11)
Donde:
“j” es la tasa de interés nominal
“m” es la frecuencia de capitalización

Ejemplo 1
Interés con capitalización mensual
Kamila Romero deposita en una cuenta de ahorros del BWS la suma de $5.000. Calcule los intereses que obtendra Kamila después de un año si el banco aplica una TNA de 12%con capitalización mensual.
Solución
S =?
P = $5.000
i = 12%
n = 1 año
m =12
Sustituyendo los valores en la ecuación (12), se obtiene:
S = 5.000[]=$5.634,13
Al final del plazo Kamila obtendra un monto de $5.634,13

8.1 Valor futuro con tasa j capitalizable
La fórmula que nos permite calcular el valor futuro con una tasa j capitalizable es la siguiente:
S = P[] (12)
Ejemplo 1
Valor futuro con capitalización mensual
Kamila Romero deposita en una cuenta de ahorros del BWS la suma de $5.000. Calcule el monto que obtendra Kamila después de un año, si el banco aplica una TNA de 12% con capitalización mensual.
Solución
Los datos son:
S=?
P=$5.000
i=12%
n=1 año
m=12
Sustituyendo los valores en la ecuación (12), se obtiene:
S=5.000[]=$5.634,13
Al final de plazo Kamila obtendra un monto de $5.634,13

8.2 Valor presente o valor actual con tasa j capitalizable
La fórmula que nos permite calcular el valor futuro con una tasa j capitalizable es la siguiente:
P =S[] (13)

Ejemplo 1
Valor actual con capitalización mensual
Kamila Romero depositó en una cuenta de ahorros del BWS durante un año. Si el banco aplicó una TNA de 12% con capitalización mensual y el monto obtenido al final del plazo asciende a $5.634 . Calcule el principal depósito que Kamila hace en un año.
Solución
Los datos son:
P=?
S=$5.634
i=12%
n=1 año
m=12
Sustituyendo los valores en la ecuación (13), se obtiene:
P =5.634,13[]=$5.000
Kamila depositó un año un capital de $5.000.