UNAM FES- ARAGÓN INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
DINÁMICA DE FLUIDOS
FLUJO IRROTACIONAL BIDIMENSIONAL
ÍNDICE
TEAMA
PAG.
Flujo irrotacional y bidimensional ………………………………………………………………3
Vorticidad y circulación irrotacionalidad
Vorticidad…………………………………………………………………………………..3 Circulación
irrotacinalidad………………………………………………………………..4 Campo vectorial
irrotacional……………………………………………………………..5
Función de corriente, potencial de velocidad, propiedades. Función de
corriente……………………………………………………………………7 La Naturaleza de ψ y su relación
con φ………………………………………………..7 Algunos patrones de flujo
simple………………………………………………………..9 Ejemplos de potenciales de velocidad
3D……………………………………………..11
Fuentes de consulta……………………………………………………………………………15
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FLUJO IRROTACIONAL BIDIMENSIONAL
Se puede decir que un flujo es considerado irrotacional cuando ninguna de sus
partículas que lo componen sufre un giro. Sin embargo esta no es la manera
correcta de considerar a un flujo irrotacional, ya que
en un flujo irrotacional cualquier partícula tiene cierta velocidad angular,
que además puede variar. Por lo tanto la irrotacionalidad en un
flujo se puede determinar de acuerdo a la velocidad angular media de las
partículas que componen al flujo. Para que un flujo sea considerado irrotacional, la velocidad angular
delos segmentos rectilíneos que conforman al fluido, debe ser nula, y por
consiguiente se puede considerar que cada una de las partículas tiene una
velocidad angular igual a cero. En pocas palabras si un
flujo es irrotacional, no significa que el flujo no esté rotando; un flujo
irrotacional puede estar en movimiento rectilíneo o rotatorio de acuerdo con un
marco de referencia, al igual que de las partículas que lo componen. Entonces
decimos que un flujo es irrotacional si la velocidad angular promedio de todas
las partículas que conforman el fluido es cero: o mejor dicho el rotacional de
la velocidad es cero
VORTICIDAD
La rotación de una partícula de fluido está definida por el vector de rotación
ï·, que es la velocidad angular promedio de dos líneas anexadas a la partícula
del fluido, este vector rotación es igual a un medio la rotacional de la
velocidad. ï· La vorticidad Ω es dos veces el vector de
rotación. Ω=2ï· Por lo que la vorticidad es igual al rotacional de
la velocidad. Ω= Siendo en este caso un flujo irrotacional donde la
rotacional de la velocidad es nula; o sea . La
vorticidad en un fluido irrotacional es cero. Ω=0
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CIRCULACIÓN IRROTACINALIDAD
Flujo irrotacional: No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del
fluido respecto de cualquier punto. Flujo irrotacional: Al contrario que el
flujo rotacional, este tipo de flujo se
caracterizaporque dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero
para cualquier punto e instante. En el flujo irrotacional se exceptúa la
presencia de singularidades vorticosas, las cuales son causadas por los efectos
de viscosidad del
fluido en movimiento. Circulación La circulación se define como la integral de
línea, sobre una curva cerrada, de la componente tangencial de la velocidad a
lo largo de la curva, es decir,
Aplicando el teorema de Stokes se obtiene además que
Se ve que si el flujo es irrotacional, , entonces no existirá circulación. Como se verá más adelante la circulación posee gran importancia en la
teoría de la sustentación. En coordenadas cilíndricas
la ecuación de Laplace para la función de
corriente, la ecuación de continuidad y las componentes de la velocidad se
expresan respectivamente por las siguientes relaciones.
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Si un campo vectorial representa el flujo de un
fluido, entonces en un punto es el doble de la velocidad angular de un pequeño
sólido que rotase del
mismo modo que lo hace el fluido cerca de ese punto. En particular, = 0 en el
punto P significa que el fluido está libre de rotaciones rígidas en P, es decir
no tiene remolinos. Se puede decir informalmente que rot F = 0 significa que si
una pequeña rueda rígida dotada de paletas flota en el fluido, se moverá con
él, pero no rotará alrededor de su eje. Tal campo vectorialse
denomina irrotacional (ver Figura 1).
Figura 1- Una pequeña rueda rígida dotada de paletas que flota en un fluido, se mueve con él, pero no rota alrededor de su
eje.
Nota: Se ha determinado a partir de experimentos que el movimiento de un
líquido contenido en una cubeta, mientras esta se vacía por un desagüe en su
parte inferior, es usualmente irrotacional excepto justo en el centro, a pesar
de que el fluido esté girando alrededor del desagüe. Por lo que hay que estar
muy alertas en no confundir el concepto “irrotacional”
Campo Vectorial Irrotacional Se denomina campo vectorial irrotacional F, aquel
cuyo rotacional es nulo, es decir: rot F = 0
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como , si un campo es irrotacional podrá derivarse del
gradiente de una función escalar U, es decir: F = grad U las dos ecuaciones
anteriores nos conducen a la identidad: rot grad U = 0 que es siempre igual a
cero. Cuando la ecuación F = grad U se expresa como gradiente
negativo: F = - grad V entonces la función escalar V se denomina potencial
escalar. Si se aplica el teorema de Stokes al campo vectorial F resulta
pero teniendo en cuenta que F = grad U o F = - grad V, nos queda:
y teniendo en cuenta que
nos da:
se
considera
por
ejemplo
que
el
campo
vectorial F es
un
campo
de
fuerzas,
la
integral expresará el trabajo realizado por la fuerza F al moverse en
unatrayectoria cerrada. Se observa que el resultado es nulo, lo que significa
que no se gana ni se pierde energía al realizarse el
trabajo en un campoirrotacional. Por todo esto se dice también que un campo irrotacional es conservativo. Para determinar un campo irrotacional es preciso conocer su divergencia y
las condiciones de contorno en los límites del campo. Téngase en cuenta que según la
ecuación F = grad U y si se conoce la divergencia de F en toda la región del
espacio, se tendrá: div F = p y teniendo en cuenta que F = grad U y div F = p y
la identidad div (A+B) = div A + div B, resultará
la ecuación anterior se denomina ecuación escalar de Poisson. en el caso de que p sea igual a cero, la ecuación
correspondiente: se denomina ecuación escalar de Laplace. Ambas ecuaciones son del tipo diferencial en derivadas parciales de segundo
orden que determinan el campo escalar U
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conociendo las condiciones de contorno del
campo, que son necesarias para calcular las constantes que aparecen en la
integración.
FUNCIÓN DE CORRIENTE
La teoría de flujo potencial pretende describir el comportamiento cinemático de
los fluidos basándose en el concepto matemático de función potencial,
asegurando que el campo de velocidades (que es un campo vectorial) del flujo de
un fluido es igual al gradiente de una función potencial que determina el
movimiento de dicho fluido:
conEl signo menos en la ecuación de arriba es sólo una convención de signos
sobre la definición de φ. φ puede definirse sin el signo menos y la
formulación que se obtendría sería la misma. A un
fluido que se comporta según esta teoría se le denomina fluido potencial y a un
flujo flujo potencial. Una de las primeras personas en aplicar esta formulación
para el flujo de un fluido fue D'Alembert. Él estudió
la fuerza de resistencia producida por un flujo de fluido sobre un cuerpo que
se oponía a éste en dos dimensiones cuando este problema era completamente
obscuro y Newton, a pesar de haberlo estudiado, no había llegado a conclusiones
satisfactorias. D'Alembert definió la función de corriente, ψ, para
describir la trayectoria que tuviera cada partícula de un
fluido a través del
tiempo. Esta función corriente está determinada, en el plano, por dos variables espaciales y para
cada valor de ψ la igualdad ψ = ψ(x,y)
determina un lugar geométrico llamado línea de corriente.
La Naturaleza de ψ y su relación con φ Primeramente definiremos la
función corriente en el plano, para luego explicar sus
características. La función ψ se define como aquella que cumple con las siguientes
condiciones
y Las líneas de corriente determinan la trayectoria de una partícula de fluido
que se encuentra sobre éstas. Así, por ejemplo, si una partícula de fluido se
encuentra sobre la líneaequipotencial de ψ = 3, esta tendrá una
trayectoria que se situará exactamente sobre el lugar geométrico que determinará
la
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igualdad ψ(x,y) = 3. Ésta propiedad de las líneas
de corriente exige que las funciones ψ y φ estén
'sincronizadas' ya que la velocidad en cualquier punto del flujo de
fluido será siempre tangente a la trayectoria de la línea de corriente, y
fácilmente se puede demostrar que la familia de curvas determinadas por la
función corriente y la función potencial de velocidades forman una red
ortogonal como se verá a continuación: Partimos del diferencial total de la
función φ:
Así en cualquier curva equipotencial φ = constante se cumplirá que
Esto implica que:
La misma propiedad aplica para para cada línea de corriente:
y
por lo cual de determina que:
Esta propiedad de ambas funciones permite intercambiarlas para generar otros
patrones de flujo y, como las líneas de corriente no pueden cortarse entre sí,
no existe ningún caudal que las atraviesa perpendicular a estas. Esto permite
suponer a las líneas de corriente límites materiales, es decir, paredes u
obstáculos que restringen o determinan el flujo que se desea estudiar. Esto ya
lo supuso D'Alembert al estudiar el efecto de empuje de un
flujo corriendo sobre un objeto que lo obstaculiza. Él, estudiando las
propiedades de la función corriente y la función potencial determinó que podíansuperponerse
para generar así un patrón de fluido que combinara
diversos movimientos. Así superponiendo una fuente y un
sumidero de igual caudal obtuvo una circunferencia la que combinó con un flujo
uniforme para modelar el flujo de fluido sobre un cilindro de largo infinito. Una vez
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obtenido esto, demostró en la suma de las presiones sobre el cilindro se
anulaban, lo cual hacía que la fuerza resultante sobre el cilindro fuera cero,
esto es la llamada paradoja de D'Alembert. Algunos patrones de flujo
simple Flujo uniforme Un flujo el cual sea uniforme en
una misma dirección cumple con que donde es la dirección del flujo. Si tomamos esta dirección como la del eje x,
obtendremos que el campo de velocidades estará dado por
Con lo cual podremos encontrar la función potencial integrando:
Sabiendo que tenemos:
y que no existe componente vertical de la velocidad en ningún punto del flujo
En esta ecuación podemos tomar la constante de integración igual a cero.
Quedando las funciones potencial y corriente como: φ = − U0x ψ = − U0y
Fuentes y sumideros Una fuente o un sumidero de algún fluido tiene la
particularidad de que el flujo sólo sale o entra, lo que implica que el vector
velocidad para cada punto del
flujo será colineal al origen para ambos casos. Es mucho más
sencillo hallar esta función potencial usando coordenadas polares. Así
vθ = 0
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Donde Q es el caudal que sale si es positivo o entra si es negativo. Para
hallar la función potencial integramos:
Como la velocidad en θ es igual a cero sólo queda una constante de
integración la cual podemos hacer cero; entonces:
Para obtener la función corriente podemos realizar un procedimiento análogo
considerando la forma del operador gradiente en coordenadas polares:
entonces:
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Fuentes de consulta: ï‚· ï‚· ï‚· ï‚· ï‚· ï‚· ï‚· ï‚· ï‚· INTRODUCCION A LA
MECANICA DE FLUIDOS., 2da. Edición., Fernández
Larrañaga Bonifacio., Alfa omega Grupo Editorial., México 1999. MECANICA DE
FLUIDOS., Fay A. James, Editorial CECSA Cuarta Edición, México 1995 ELEMENTOS
DE MECANICADE FLUIDOS., Vernard J.K, Street R.L., Tercera Edición Versión 51,
Editorial CECSA, España 1998 FUNDAMENTOS BASICOS DE MECANICA DE FLUIDOS.,
Williams, Gareth, Tercera Edición Editorial Mc Graw Hill Interamericana, México
1996 https://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/
bernoulli/bernouilli.htm
https://www.uco.es/~m72esmae/Teoria/CamposVect/cargar.html
www.lfp.uba.ar/Julio_Gratton//06.%20Flujospotenciales.pdf
https://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/ bernoulli/bernouilli.htm
https://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo2/l2_5.htm
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