Análisis Ensayo n s 1

Números y |Álgebra y Funciones |Geometría y Trigonometría|Estadística y |
|Cursos |Proporcionalidad |Probabilidad |
|1s Medio |1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, |9, 10, 11, 12, 26 |35, 36, 39, 40, 41, 42, |55, 56, 57, 58, 59, 69 |
27, 32, 64, 67 44, 48, 51, 52, 54,
|2s Medio 13, 14, 16, 17, 18, 19, |37, 43, 45, 46, 49, 50
|20, 24, 25, 31, 66 |
|3s Medio 15, 22, 23, 28, 29, 30, |47, 68, 70
|33, 34, 65 |
|4s Medio 21 |38, 53, |60, 61, 62, 63, |

Instrucciones: 1) Anexaras en una carpeta:
a) Este cuadro
b) El ensayo
c) La corrección (DESARROLLO CORRECTO) de las preguntas correspondientes a
1s Medio. (Números y Proporcionalidad - Álgebra y Funciones )Fecha de revisión 23/06/10
d) La corrección (DESARROLLO CORRECTO) de las preguntas correspondientes a
2s Medio(Números y Proporcionalidad - Álgebra yFunciones ) Fecha de revisión 01/07/10

2) Esta carpeta recopilará todo material PSU Matemática desde 3s a 4s Medio.
3) Puedes hacer preguntas los 15 minutos finales de cada clase.
4) Cada revisión es una nota acumulativa, además se hará un mini ensayo el 01/07/10 c-2 Acumulativo,
de los temas corregidos , cuyo promedio será una nota c-1 a fin de semestre.

Análisis Ensayo n s 1

Números y |Álgebra y Funciones |Geometría y Trigonometría|Estadística y |
|Cursos |Proporcionalidad |Probabilidad |
|1s Medio |1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, |9, 10, 11, 12, 26 |35, 36, 39, 40, 41, 42, |55, 56, 57, 58, 59, 69 |
27, 32, 64, 67 44, 48, 51, 52, 54,
|2s Medio 13, 14, 16, 17, 18, 19, |37, 43, 45, 46, 49, 50
|20, 24, 25, 31, 66 |
|3s Medio 15, 22, 23, 28, 29, 30, |47, 68, 70
|33, 34, 65 |
|4s Medio 21 |38, 53, |60, 61, 62, 63, |

Instrucciones: 1) Anexaras en una carpeta:
e) Este cuadrof) El ensayo
g) La corrección (DESARROLLO CORRECTO) de las preguntas correspondientes a
1s Medio. (Números y Proporcionalidad - Álgebra y Funciones )Fecha de revisión 23/06/10
h) La corrección (DESARROLLO CORRECTO) de las preguntas correspondientes a
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Análisis Ensayo n s 1

Números y |Álgebra y Funciones |Geometría y Trigonometría|Estadística y |
|Cursos |Proporcionalidad |Probabilidad |
|1s Medio |1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, |9, 10, 11, 12, 26 |35, 36, 39, 40, 41, 42, |55, 56, 57, 58, 59, 69 |
27, 32, 64, 67 44, 48, 51, 52, 54,
|2s Medio 13, 14, 16, 17, 18, 19, |37, 43, 45, 46, 49, 50
|20, 24, 25, 31, 66 |
|3s Medio 15, 22, 23, 28, 29, 30,|47, 68, 70
|33, 34, 65 |
|4s Medio 21 |38, 53, |60, 61, 62, 63, |

Instrucciones: 1) Anexaras en una carpeta:
i) Este cuadro
j) El ensayo
k) La corrección (DESARROLLO CORRECTO) de las preguntas correspondientes a
1s Medio. (Números y Proporcionalidad - Álgebra y Funciones )Fecha de revisión 23/06/10
l) La corrección (DESARROLLO CORRECTO) de las preguntas correspondientes a
2s Medio(Números y Proporcionalidad - Álgebra y Funciones ) Fecha de revisión 01/07/10

2) Esta carpeta recopilará todo material PSU Matemática desde 3s a 4s Medio.
3) Puedes hacer preguntas los 15 minutos finales de cada clase.
4) Cada revisión es una nota acumulativa, además se hará un mini ensayo el 01/07/10 c-2 Acumulativo,
de los temas corregidos , cuyo promedio será una nota c-1 a fin de semestre.

RESUMEN PSU MATEMATICA
I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 )
Los elementos del conjunto lN = se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = llamado “conjunto de los números cardinales”.

NÚMEROS ENTEROS (Z)
Los elementos del conjunto Z = se denominan “números enteros”
Algunos subconjuntos de Z son:
Z+ = enteros positivos Z = enteros no negativos
Z- = enteros negativos Z = enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …
2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …

MÚLTIPLO Y DIVISOR
En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c
o bien b y c son divisores o factores de a.

REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
Por Cuando
2 Termina en cifra par.
3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son
Ceros.
5 La última cifra es cero o cinco.
6 Es divisible por dos y por tres a la vez.
7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las
Cifras restantes es múltiplo de siete.
8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son
Ceros.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
10 Termina en cero.
11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y
Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.

NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dosdivisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Se descomponen los números en factores primos:
1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.

OPERATORIA EN Z
ADICIÓN
i) Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común.
ii) Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
MULTIPLICACIÓN
i) Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.
ii) Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.
OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.

VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0

DEFINICIÓN:[pic]
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Si D: d = c, entonces D = d ( c + r
r //
D = dividendod = divisor
c = cuociente o cociente
r = resto
OBSERVACIONES:
1) 0 ≤ r < d
2) La división por cero no está definida.

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los paréntesis.
2. Realizar las potencias.
3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.

RELACIÓN DE ORDEN EN Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que:
i) a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.
ii) a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.
iii) a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
iv) a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

II. NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES


ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si (Q, entonces:

OBSERVACIONES
1. El inverso aditivo (u opuesto) de es -[pic], el cual se puede escribir también como
2. El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si (Q, entonces:
MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN
El inverso multiplicativo (o recíproco) de es

RELACIÓN DE ORDEN EN Q



OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos:
a) igualar numeradores.
b) igualardenominadores.
c) convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales

b) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período.
Ejemplo: 0,444. = 0,[pic]

c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período.
Ejemplo: 24,42323 = 24,4

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.
Así por ejemplo: 0,19
3,81
+ 22,2
26,20

2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.
Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3
963
642
7,383
3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia enbase 10.
Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como números enteros

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número.
Por ejemplo: 3,24 =
2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.
Por ejemplo: 2,[pic]=
3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
Por ejemplo: 5,3 =
III. POTENCIAS EN Z
DEFINICIÓN


PROPIEDADES
1. 0n = 0, si n (Z+
2. 1n = 1
3. Si n es par, (-1)n = 1
4. Si n es impar, (-1)n = -1
Signos de una potencia: an =

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b ( Z, m y n ( Z+

1.- Multiplicación de potencias de igual base


2.- División de potencias de igual base


3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente


4.- División de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIÓN

OBSERVACIÓN:
00 no está definido
POTENCIA DE UNAPOTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

POTENCIAS DE BASE 10
100 = 1 10-1 ==0,1
101 = 10 10-2 ==0,01
102 = 100 10-3 ==0,001
103 = 1000

Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:
1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ 10n, en que 1 ≤ k < 10 y n ( Z.
2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n, en que p es el menor entero y n ( Z.
3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición ( centena, decena, unidad, décima, centésima) abc,de = a ⋅ 102 + b ⋅ 101 + c ⋅ 100 + d ⋅ 10-1 + e ⋅ 10-2
IV. ALGEBRA y FUNCIONES

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis.

TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal.

USO DE PARÉNTESIS

En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si unparéntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera.

OPERATORIA ALGEBRAICA

ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad
POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.

PRODUCTOS NOTABLES:

· Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
· Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2
· Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
· Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
· Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ac
(a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac
· Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
· Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

V. SIMBOLOGÍA:

· Números natural cualquiera = n
· El antecesor de un número = n – 1
· El sucesor de un número = n + 1

· Número natural par = 2n
· Número natural impar = 2n – 1
· El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2
· El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1
· El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2
· Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1
· El inverso aditivo u opuesto de un número = – n
· El inverso multiplicativo o recíproco de un número =
· El triple de un número = 3n
· Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u
· Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
· La razón o cuociente entre p y q =
· El valor absoluto de un número = | n |
· p es directamente proporcional a q =
· p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)
VI. RAZONES y PROPORCIONES
RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe [pic]o a: b.
Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe ó x: a = y : b
Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
(x : a = y : b)[pic](x · b = y · a)

OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0

PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.
[pic]
OBSERVACIONES:
En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen

PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = .= xn · yn = k k : constante

OBSERVACIONES:
En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera
TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100:

P: Es el tanto por ciento
C: Es la cantidad de referencia
Q: Es el porcentaje

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es

|P% de C = |

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS
i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar
|a% de C ( b% de C = (a ( b)% de C |

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos
|El a% del b% deC = |

INTERÉS SIMPLE


Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula:

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.

INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:

|[pic] |

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses.

VIII. ECUACIONES:

(a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.
(b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga fracciones.
(c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Leer con atención el problema.
Paso 2: Anotar los datos del problema.Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra).
Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.
Paso 5: Resolver la ecuación.
Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.

PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un número. La fracción de un número x se calcula multiplicando por x.
PROBLEMAS DE DÍGITOS
Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la forma x y z queda representado por x ⋅ 102 + 101 + z ⋅ 100
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda:
|Edad pasada |Edad Actual |Edad futura |
|(hace b años) (dentro de c años) |
|x - b |x |x + c |
|y - b |y |y + c |

B. ECUACIONES LINEALES:
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:



Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son


PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)


RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTEDE LA RECTA

Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

(α = 0s) si y sólo si (m = 0) (0s < α < 90s) si y sólo si (m > 0)

L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva

(α = 90s), si y sólo si (m no está definida) (90s < α < 180s) si y sólo si (m < 0)


L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa

ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es


CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe:

Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es


ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:


RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:


RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendicularessi y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:


SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.
OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados.

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.

i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1).

ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).
[pic]

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar loscoeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Sea el sistema: Entonces:

* El sistema tiene solución única si
* El sistema tiene infinitas soluciones si
* El sistema no tiene solución si
X. FUNCIONES:

A. FUNCION DE PRIMER GRADO:

· f(x) = ax + b

B. FUNCION LINEAL:

· Función de primer grado f (x) = ax + b, con b = 0:
f(x) = ax , con a ≠ 0

· La recta pasa por el origen.

C. FUNCION IDENTIDAD:

· Función lineal f(x) = ax, con a =1:
f(x) = x

· La recta pasa por el origen.
· Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

D. FUNCION VALOR ABSOLUTO:

· Asigna a cada número real x, un número no-negativo:

x , si x ≥ 0
f(x) = a”‚xa”‚=
– x , si x < 0

E. FUNCION CONSTANTE:

· Función de grado cero.
· Su gráfico es una recta horizontal.

F. FUNCION CUADRATICA:

· Función de segundo grado
f(x) = ax2 + bx + c
· Se grafica una curva llamada parábola.

G. FUNCION RAIZ CUADRADA:

· Su dominio son los IR+ U .
f(x) = ± (x ≥ 0)

-----------------------
y

x

f (x)

a > 0

y

x

f (x)

a < 0

àt•a˜Aˆä©ta”ƒAˆÌjᘀꝚ﹃a”€Aˆá˜†êšï¹ƒá˜žêšï¹ƒäŒ€áŠäŒ€ÉŠa„€ÉŠaž€ÉŠæŽ€à©ˆçŒŒà©ˆ
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y

x

f (x) = ax

y

x

f (x) = x

y

x

f (x) = – x

f(x) = x

y

x

f (x) = 3

3

y

x

f (x) = ax2 + bx + c

y

x

f (x) = – √x

f (x) = + √x