Postulados algebra booleana

Los operadores fundamentales se definen así:

Negación

La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.


Conjunción
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente


Disyunción

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:


Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:


Bicondicional

El bicondicional o dobleimplicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente


Los Mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer calculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humanopara el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones redundantes.

El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2Nfilas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.

Simbologia Algebra Booleana

Compuerta AND:  Cada compuerta tiene una o dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la unión lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B estan ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B estan en 1 . El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Podemos utilizar o un punto entre las variables o concatenar las variables sin ningún símbolo de operación entre ellas. Las compuertas AND pueden tener mas de dos entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
 
Compuerta OR:  
La compuerta OR produce la función OR inclusiva, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), similar a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener mas de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
 
Compuerta NOT (Inversor): 
El circuito inversor invierte el sentido lógico de una señal binaria. Produce el NOT o función complemento. El símbolo algebraico utilizado para elcomplemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo grafico de un inversor designa un complemento lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
 
Compuerta Separador: 
Un símbolo triangulo por sí mismo designa un circuito separador no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza i volt para el binario 1 producira una salida de 3 volt cuando la entrada es 3 volt. Sin embargo, la corriente suministrada en la entrada es mucho mas pequeña que la corriente producida en la salida. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.
 
Compuerta NAND: 
Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo grafico que consiste en un símbolo grafico AND seguido por un pequeño círculo. La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación mas adecuada habría sido AND invertido puesto que Es la función AND la que se ha invertido.
 Compuerta NOR:   
La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza un símbolo grafico OR seguido de un círculo pequeño. Tanto las compuertas NAND como la NOR pueden tener mas de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente.
 
Compuerta OR exclusivo (XOR): 
La compuerta OR exclusiva tiene un símbolo grafico similar a la compuerta OR excepto por una línea adicional curva en el lado de la entrada. La salida de esta compuerta es 1 si cada entrada es 1 pero excluye la combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusivo tiene su propio símbolo grafico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND, OR .
 
Compuerta NOR exclusivo (XOR): 
El NOR exclusivo como se indica por el círculo pequeño en el símbolo grafico. La salida de ésta compuerta es 1 solamente si ambas entradas son tienen el mismo valor binario. Nosotros nos referiremos a la función NOR exclusivo como la función de equivalencia. Puesto que las funciones OR exclusivo y funciones de equivalencia no son siempre el complemento la una de la otra. Un nombre mas adecuado para la operación OR exclusivo sería la de una función impar; esto es, la salida es 1 si un número impar de entrada es 1. Así en una función OR (impar) exclusiva de tres entradas, la salida es 1 si solamente la entrada es 1 o si todas lasentradas son 1. La función de equivalencia es una función par; esto es, su salida es 1 si un número par de entradas es 0. Para un función de equivalencia de tres entradas, la salida es 1 si ninauna de las entradas son 0 ( todas las entradas son 1 ) o si dos de las entradas son 0 ( una entrada es 1 Una investigación cuidadosa revelara que elOR exclusivo y las funciones de equivalencia son el complemento la una de la otra cuando las compuertas tienen un número par de entradas, pero las dos funciones son iguales cuando el número de entradas es impar. Estas dos compuertas estan comúnmente disponibles con dos entradas y solamente en forma rara se encuentran con tres o mas entradas. 


 Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “ º “ si A º I= A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “ º “ si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Para nuestros propósitos basaremos el algebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. - El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminara el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. - El símbolo “+” representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo “ ‘ “ para denotar la negación lógica, por ejemplo, A’ denota la operación lógica NOT de A. - Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia estanadyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

P1 El algebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B (A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A’ tal que A·A’ = 0 y A+A’ = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B C = A+ (B+C). Es posible probar todos los teoremas del algebra booleana utilizando éstos postulados, ademas es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas mas importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)’ = A’ · B’ Teorema 8: (A · B)’ = A’ + B’ Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A Teorema 11: A + A’B = A + B Teorema 12: A’ · (A + B’) = A’B’ Teorema 13: AB + AB’ = A Teorema 14: (A’ + B’) · (A’ + B) = A’ Teorema 15: A + A’ = 1 Teorema 16: A · A’ = 0 Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de De Morgan en honor al matematico que los descubrió.