En matemática, la parábola (del griego
παραβολI®) es la sección cónica resultante
de cortar un cono recto con un plano
paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de
una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría
proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las
rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o
semejanza. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas,
debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo,
la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo
la influencia de la gravedad.
* Historia:
La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en
su estudio del problema de la duplicación del cubo,donde demuestra la
existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola,
lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.Sin embargo, el
primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado
Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y
donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. Es
Apolonio quien menciona que un espejo parabólico
refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy
en día en las antenassatelitales. La parábola también fue estudiada por
Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un
problema famoso: la cuadratura del círculo,
dando como
resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.
Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por
otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la
base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es
paralelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se
dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la sección común
del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado al
rectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que
inicia del vértice de la sección y por otra línea recta que está en razón a la
línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el cuadrado
en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados
restantes del triángulo. Y tal sección será llamada una parábola
Apolonio de Perge
* Propiedades geométricas
Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un
cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común
definir la parábola como un lugar geométrico:
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un planoequidistantes a
una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.
De esta forma, una vez fija una recta y un punto se
puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la
siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de
la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la
mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La
intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como
resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para
diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como
sea necesario.
De la construcción anterior se puede probar que la parábola
es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el
foco. Al punto de intersección de la parábola con tal
línea (conocida como eje de la parábola) se le
conoce como
vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima.
La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal
o radio focal.
Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la
recta directriz. Construcción de puntos en una parábola.
|
* Lado recto
La longitud del
lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
Al segmento de recta comprendido por laparábola, que pasa por el foco y es
paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.
|
Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones
sobre la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la
directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV.
Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia
focal).Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto
forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean
cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además,
tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente
en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas
para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos
son desconocidos.
* Semejanza de todas las parábolas
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección
cónica que tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a que todas las
parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas
(basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de
la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más anchao estrecha.
La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala
(zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la
directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la
construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su
escala, que depende de la distancia del
punto a la directriz.
* Tangentes a la parábola
Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su
proyección.
En lo sucesivo, F denotará el foco de una parábola, P un
punto de la misma y T su proyección sobre la directriz. Retomando la
construcción dada para encontrar puntos de una parábola, sea MP la mediatriz del
triángulo FPT, el cual es isósceles y por tanto biseca al ángulo FPT. Lo único
que hay que verificar ahora es que MP también es la tangente en el punto P. Sea
Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz.Puesto que
FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier
otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo
lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola
que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola
en P.* Aplicaciones prácticas:
La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos
paralelos al eje.
Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un
receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en
una antena de radar.
Los faros de los automóviles envían haces de luz
paralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.
* Ecuaciones de la parábola
Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10. Prueba geométrica de la relación
y=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las
formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.Una parábola cuyo vértice
está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una
ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la
parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se
dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es
positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre
«hacia abajo».Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta
el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la
ecuación anterior ya estaba presente en lostrabajos de Apolonio,2 y se
bosquejará a continuación usando notación moderna.Tomando nuevamente la
definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la
directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor
y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la
base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
* Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así
Usando nuevamente los paralelismos
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV²
resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo
que haciendo
Arroja la expresión moderna y=ax².
Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de
una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2, |
Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma . |
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero
intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos
Laecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma . |
* Ecuación involucrando la distancia focal
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo
vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados
dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya
que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea
que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.Consideremos
el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es
por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el
vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la
distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es . |
De forma alterna
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es . |
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de
la parábola.Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren
«hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar
excepto que varía un signo. En este caso, el foco
sería (0,-p) y de esta forma
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es . |
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», seobtiene una ecuación
similar intercambiando los roles de x, y
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es , |
* Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los
ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero
una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un
par de ejes de coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición
en un plano es:si y sólo siy los coeficientes a y c no
pueden ser simultáneamente nulos |
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia
en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la
forma
, donde a es distinto de cero.
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a
otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de
un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la
generatriz respecto del eje de revolución.Una elipse que gira alrededor de su
eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira
alrededor de su ejeprincipal genera un esferoide alargado.
* Historia
La elipse, como
curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su
nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la
directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.
En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde
descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un
foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó
su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que
ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del
Sol.
* Elementos de una elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí:
* El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
* El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del
eje mayor y menor respectivamente.
* Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2
en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse
a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor,
(PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la
distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación
Donde es la medida del semieje mayor de la elipse.* Ejes de una elipse
El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier
punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor
2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
* Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su
semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos),
denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero
y uno.
, con
Dado que, también vale la relación
O el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada
cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación
tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.(No
se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los
logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).
* Excentricidad angular de una elipse
La excentricidad angular α es el ángulo para el cual el valor de la
función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad, esto es:
Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes
a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focosF1 y F2 a P. Las
longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y
PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos
P de la elipse.Como establece la definición inicial de la elipse como lugar
geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de
sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del
eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto, de
puntos cómo se cumple la definición.
* Directrices de la elipse
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor
llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier
punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia
perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta
propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede
ser tomada como
otra definición alternativa de la elipse.
* Ecuaciones de la elipse
* Forma cartesiana centrada en origen
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen,
es
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde
al eje de las abscisas y bal eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si
es al revés, entonces es vertical. El origen O es la
mitad del
segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y
vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el
semieje mayor.
* Forma cartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
* Forma polar centrada en origen
En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(epc 1)
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la
excentricidad ), es:
(epc 2)
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la
elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá
utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).
* Formas polares centradas en un foco
En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la
elipse es:
(501)
Para el otro foco:
(502)
'Semi-latus rectum' (en verde) de la elipse.En el caso un poco más general
de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular
φ, la forma polar es:
}
El ángulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía
verdadera del punto y el numerador de las mismas a(1 − ε2) esel
llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus
rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea
perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.
* Formas paramétricas
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje
mayor y b el menor, es:
Con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el
centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares
con origen en algún foco de la elipse). La relación entre α y θ es
.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k)
en la que el parámetro θ sea concordante con el ángulo polar respecto al
centro desplazado (h,k) es:
Con . El parámetro θ es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está
centrado en (h,k).
* Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es
Siendo a y b los semiejes.
* Longitud de una elipse
El cálculo del
perímetro de una elipse requiere del
cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más
simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado
menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan,
en su fórmula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje
menor”. Ecuación de la longitud deuna elipse:
* Elipses semejantes
Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño
(pero no en la forma), de tal manera que multiplicando
todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física acerca de la intersección
de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas.
Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos
elipses semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales
consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud.
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29
https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
Libros de matemática de 5to año
Este presente trabajo se trata sobre parábola y elipse donde conoceremos su
historia, propiedades geométricas, formulas, ecuaciones, actividades de la vida
diaria, donde nos ayudara a tener un mejor aprendizaje y conocer mejor sobre
estos dos temas y así poder resolver los ejercicios.
Este trabajo está dedicado a
Mi madre que con mucho
Me apoya a seguir adelante y ser
Mejor cada día.
