MATEMATICAS

LA PARBOLA


INTRODUCCIN

En este ensayo desarrollaremos el tema de la parbola, su significado, sus componentes, sus ecuaciones y muchos elementos que nos ayudaran a comprender los trminos de la parbola.
Hablaremos tambin un poco sobre su historia y los cientficos que descubrieron este valiossimo tema para las matemticas y la geometra.
Los seres humanos aprendieron a utilizar la ya que la aplicaron para las antenas satelitales y radiotelescopios para aprovechar el principio concentrando seales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posicin del foco.
Puesto que una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parbola en direccin al foco. Y con la concentracin de la radiacin solar en un punto, mediante un reflector parablico tiene su aplicacin en pequeas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energa solar.

DESARROLLO DEL TEMA
El significado de la parbola en matemticas (del griego ????????) esuna seccin cnica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz.[]
Se define tambin como el lugar geomtrico de los puntos que equidistantes de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
La definicin original de la parbola es la relativa a la seccin de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es ms comn definir la parbola como un lugar geomtrico
Una parbola es el lugar geomtrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.
La parbola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las grficas de ecuaciones cuadrticas son parbolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
Las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicacin del cubo, [ ]donde demuestra la existencia de una solucin mediante el corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratstenes.
Sin embargo, el primero en usar el trmino parbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se desarrolla elestudio de las tangentes a secciones cnicas.
El cual dice que si un cono es cortado por un plano a travs de su eje, y tambin es cortado por otro plano que corte la base del cono en una lnea recta perpendicular a la base del tringulo axial, y si adicionalmente el dimetro de la seccin es paralelo a un lado del tringulo axial, entonces cualquier lnea recta que se dibuje desde la seccin de un cono a su dimetro paralelo a la seccin comn del plano cortante y una de las bases del cono, ser igual en cuadrado al rectngulo contenido por la lnea recta cortada por ella en el dimetro que inicia del vrtice de la seccin y por otra lnea recta que est en razn a la lnea recta entre el ngulo del cono y el vrtice de la seccin que el cuadrado en la base del tringulo axial tiene al rectngulo contenido por los dos lados restantes del tringulo. Y tal seccin ser llamada una parbola.
La parbola cuenta con un lado recto que es la longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

ECUACIONES
A continuacin te mostrare las ecuaciones de la parbola. Una parbola cuyo vrtice est en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuacin de la forma y=ax2 donde el parmetro a especifica laescala de la parbola, incorrectamente descrita como la forma de la parbola, ya que como se dijo antes, todas las parbolas tienen la misma forma. Cuando el parmetro es positivo, la parbola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo.
Si bien, la expresin en forma de ecuacin no fue posible hasta el desarrollo de la geometra analtica, la relacin geomtrica expresada en la ecuacin anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio, y se bosquejar a continuacin usando notacin moderna.
Se muestra que si es V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versin analtica y PV al valor y). Considerando la seccin circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los tringulos HVP, HKA y BCA son semejantes y as Usando nuevamente los paralelismos Despejando HV y VK para sustituir en la frmula de QV resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posicin de V, por lo que haciendo

Arroja la expresin moderna y=ax.Parbolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax+bx+c
Aplicando una sustitucin de coordenadas podemos obtener ahora la ecuacin de una parbola vertical para cualquier posicin de su vrtice.
La ecuacin de una parbola cuyo eje es vertical y su vrtice es (u, v) tiene la forma (y-v a(x-u)2,
Agrupando los trminos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuacin de una parbola cuyo eje es vertical es de la forma.
Si la parbola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. As tendramos
Ecu La ecuacin de una parbola cuyo eje es horizontal es de la forma.
Accin involucrando la distancia focal [editar

Ecuacin de una parbola vertical.
Pueden haber muchas parbolas que tengan un mismo vrtice (variando el parmetro a) en la primera ecuacin. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe slo una parbola que los tiene por vrtice y foco ya que la directriz queda automticamente fija como la perpendicular a la lnea que une el foco con el vrtice y a esa misma distancia del ltimo.
Consideremos el caso especial en que el vrtice es (0,0) y el foco es (0, p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vrtice y el foco se le llama distancia focal, de modo queen este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuracin se tiene
La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (0,p) es .
De forma alterna
La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (0,p) es .
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parbola.
Ambas ecuaciones se refieren a parbolas verticales que se abren hacia arriba. La ecuacin de una parbola que se abre hacia abajo es similar excepto que vara un signo. En este caso, el foco sera (0,-p) y de esta forma
La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (0,-p) es.
Cuando la parbola es horizontal hacia la derecha, se obtiene una ecuacin similar intercambiando los roles de x, y
La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (p,0) es ,
Obteniendo mediante un cambio de signo la ecuacin de las parbolas hacia la izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vrtice no est en el centro se obtienen mediante una traslacin. En el caso comn de la parbola vertical hacia arriba se tiene
La ecuacin de una parbola con vrtice en (h, k) y foco en (h, k+p) es
Mientras que para la parbola horizontal se intercambia x con y.

Estas ecuaciones nos ayudaran a tener un mejor resultado en el tema de la parbola.