ESPACIO VECTORIAL
Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío. Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector ycualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

https://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html
Es una serie de vectores que cumplen con dos propiedades binarias que son la suma y la multiplicación por un escalar, vistas en n-dimensiones Rn o R2 y es no vacio. Se puede decir que es una reducción de las propiedades de un espacio y se puede aplicar cualquier vector y cualquier operación para sustituir la suma de vecotres y la multiplicación por un escalar.

Ejemplos:
Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:
f(x)=2x1+x2;g(x)=x1+x2
Estudiar si forman una base del dual de R2 y hallar la base de R2 de la que son dual.
Para saber si las aplicaciones dadas forman una base del dual de R2, comprobamos que son linealmente independientes. Tenemos:
αf(x)+βg(x)=0 α(2x1+x2)+β(x1+x2)=0
Reagrupando términos tenemos:
(2α+β)x1+(α+β)x2= 0 [((2α+β),(α+β)](x1x2)=0aŽ§aŽ©aŽš2α+β=0α+β=0
Y a partir de ahí, α=0;β=0. Para obtener la base de R2 de la que son dual hacemos como en el ejercicio anterior:

-Cantar de las Bodas: El Cid conquista Valencia y consigue el perdón real, para ello el rey le pide que case a sus hijas con los infantes de Carrión aunque el Cid recela de ellos. Se celebraron las bodas.

-Cantar de la ofrenta de Cortes: Se describe la cobardía de los infantes (episodio del león). Los vasallos del Cid se burlan de los infantes y estos deciden vengarse. Deciden marcharse con sus mujeres a Carrión. Al llegar al robledo de Corpes las desnudan, las azotan y las abandonan.
El Cid pide justicia al rey quien convoca unas cortes en Toledo. Vencen los Vasallos del Cid y los infantes de Navarra y Aragón terminan cansandose con sus hijas.


El tema Central del Poema es la recuperación del honor:
-Honor social (El asciende en la sociedad).
-Honor personal (El Cid es un padre injuriado que no para hasta hacer justicia consus hijas).

El protagonista es el Cid, es el modelo de vasallo perfecto, fiel a su rey, valiente en la batalla, generoso con sus amigos y clemente con sus enemigos.
Es un hombre familiar que ama a su mujer y a sus hijos, confía en restablecer la justicia. Es en definitiva el modelo de caballero medieval.

Los versos del poema tienen distinta medida y su rima es asonante. Presenta rasgos propios del estilo oral y del estilo juglaresco como fórmulas de llamada de atención al público, como un lenguaje arcaizante y epítetos épicos que nos van diciendo como es el personaje.

3. LA NARRATIVA CULTA.
-El mester de clerecía en el siglo XII

El mester de clerecía es el oficio de los clérigos (o personas cultas) cuyas obras presentan las siguientes características:

-Su objetivo es didactico y moral ya que proponen modelos de conducta moral ( no guerreros ni caballeros como el mester de juglaría).
-La estrofa que se utiliza es la cuaderna vía (cuatro versos de 14 sílabas con rima consonante).
-Combina los temas de la tradición culta y popular.
-Utilizan expresiones juglarescas para llamar la atención del público (puesto que es una poesía para ser recitada entre el público).

Una de las figuras mas representativas es Gonzalo de Berceo. Es el primer autor castellano del que se tiene noticia. Para llegar al público se expresa en un lenguaje sencillo. Nació en La Rioja y trabajó en el monasterio de SanMillan de la Cogolla, su obra mas importante es Milagros de nuestra señora. Se trata de un conjunto de relatos breves que siguen un mismo esquema:
-Personajes devotos de la Virgen se encuentran en algún problema o peligro y se salvan por un milagro de esta.

En todos los relatos la Virgen se presenta con rasgos humanos.
El estilo de Berceo es sencillo, sin embargo, en sus obras hay muchos cultismos que provienen de todos los textos latinos que había leído.
Escribió también varias vidas de santos con el fin de fomentar la devoción la peregrinación y las limosnas al monasterio de San Millan.

-Vida de San Millan.
-Vida de Snto domingo de Silos.
.Vida de de Santa Oria.

Ademas de Berceo hay otros libros escritos en cuaderna vía cuyos autores desconocemos:

-Libro de Alejandro, relata la vida de Alejandro Magno.
-Libro de Apolonio, narra las aventuras (naufragios, raptos, viajes etc.) y análogamente:
f(v2)=0→(2x1+x2)(α′e1+β′e2)=2α+β=0g(v2)=1→(x1+x2)(α′e1+β′e2)=α′+β′=1aˆ£aˆ£aˆ£aˆ£α′=−1,β′=2
con lo que tendremos: v1=(1,−1);v2=(−1,2)
https://www.matematicasypoesia.com.es/Probvarios/ProbEspVecPreg.htm

SUB-ESPACIO VECTORIAL
En álgebra lineal, un sub-espacio vectorial es el subconjunto de un espaciovectorial, que debe cumplir ciertas características específicas. Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K entonces S es un sub-espacio vectorial de V, si y solo si, S mayor que V. Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales.
https://www.slideshare.net/belencalero/subespacios-vectoriales
Un conjunto no vacío W de un espacio vectorial V es un SUBESPACIO de V si W con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V es en si mismo un espacio vectorial. Si V es un espacio vectorial y W es un subconjunto no vacío de V, entonces W es un sub-espacio de V si y sólo si
Para todo a, b en W, a + b está en W.
Para todo en R y para todo a en W,  está en W.
https://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni4/seccion42.html
Un sub-espacio es un subconjunto de espacios vectoriales que cumplen con características específicas. Se presenta dos espacios vectoriales definidos en un campo, uno será mayor que otro siendo un espacio vectorial del otro espacio vectorial. Cada subconjunto es un espacio vectorial.