MANUAL PARA
GEOGEBRA
Guías para geometría dinámica, animaciones y deslizadores
Contenido
Introducción
MANUAL DE GEOGEBRA.
En el año 2002 salió la primera versión del
programa GeoGebra, su creador y actual director del
equipo es Markus Hohenwarter (ver ï¬gura 1.1) quien trabaja en la Universidad
Linz Johannes Kepler en Austria.
Actualmente en el proyecto trabajan cerca de ocho personas de diversos países del
mundo: Inglaterra, Hungría, Francia, Luxemburgo, Estados Unidos y Alemania. Además del apoyo que reciben de algunas personasde la comunidad,
traductores, instituciones y proyectos asociados. Tal como su nombre lo
dice, Geogebra es un programa que mezcla la geometría con el álgebra. En este
sentido, para la parte geométrica se puede ubicar dentro de los programas
dinámicos de geometría los cuales, en general, permiten realizar construcciones
geométricas, con la ventaja de poder mover los puntos de la construcción y
Markus observar sus invariantes y características. Sin embargo, Geogebra
presenta caracterís- Figura 1.1 Hohenwarter ticas adicionales que los programas
dinámicos de geometría por lo general no poseen y que lo hace especial,
conforme se realizan las construcciones geométricas en una ventana se van
mostrando las expresiones algebraicas que representan a las líneas, los
segmentos, círculos y puntos de la construcción; también permite trabajar con
las funciones al poderlas graï¬car y manipular de una manera sencilla.
Geogebra también puede calcular la derivada de las funciones, posee su propia
hoja de cálculo y además ya tiene implementadas muchas funciones de manera
interna lo que ahorra mucho trabajo (por ejemplo, la aproximación del
área bajo la curva utilizando rectángulos). La pantalla principal se muestra en
la ï¬gura 1.2, en esta se nota la zona de trabajo donde están los ejes de
coordenadas y la ventana a la izquierda que es la ventana algebraica. Arriba
está el menú y la barra de herramientas y abajo está la líneade comando. Además
de todas las bondades ya planteadas de este programa
se puede agregar una de suma importancia, GeoGebra es un programa gratuito y se
puede distribuir mientras no sea para uso comercial. Es decir, este programa se puede llevar a cualquier colegio sin
problema de licencias, también se le puede dar a todos los estudiantes para que
lo utilicen en sus casas, esto es una gran ventaja para que los estudiantes
puedan estudiar por su cuenta o profundizar lo que se ha visto en clase. La
zona de trabajo es donde se realizan las construcciones geométricas, es en
donde se ponen los puntos, se hacen las rectas, segmentos, rayos, círculos,
etc. Cada vez que se hace una de estas construcciones se agrega un elemento nuevo a la ventana algebraica de una expresión
que representa al objeto realizado. La línea de comandos es importante ya que
todo lo que se puede realizar con el ratón en GeoGebra también se puede llevar
a cabo escribiendo cada paso allí, más adelante se realizará una construcción
con el ratón y la misma construcción escribiéndola en la línea de comandos. Para utilizar GeoGebra lo más común es utilizar la barra
de herramientas, cada uno de los botones que aparecen allí poseen un pequeño triángulo al lado (ver ï¬gura 1.3) con el cual
se despliega un menú de herramientas (otra forma de desplegar este menú es
mantener el botón
Geogebra. Alexánder Borbón 1 Figura 1.3 Derechos Reservados ©
2010Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
Menú extendible
MANUAL DE GEOGEBRA.
Figura 1.2
Pantalla principal de Geogebra
del
ratón apretado y hacer el ratón hacia abajo), los botones se agrupan según
herramientas comunes. Cuando en uno de estos botones se elige alguna
herramienta de su menú emergente esta ya queda seleccionada en el botón por
defecto, entonces para seleccionar esa herramienta en particular ya no es
necesario volver a escogerla del menú emergente sino que sólo
se debe seleccionar el botón que la continene. A continuación se muestran los
distintos grupos que contiene cada botón, las ï¬guras que aparecen son las que
salen al iniciar el programa, al escoger otra herramienta del menú emergente
estas cambiarán. : En este se encuentran las
herramientas de flecha que permiten mover elementos, rotarlos o registrar
valores en la hoja de cálculo. : Aquí se contruyen todo lo que tiene que ver
con puntos: puntos libres, puntos de intersección y puntos medios. : En este botón se encuentran todas las herramientas que
contruyen objetos rectos: rectas, segmentos, rayos y vectores. : Este contiene
las construcciones básicas con regla y compás: rectas paralelas,
perpendiculares, mediatrices, bisectrices, rectas tangentes a un círculo, rectas polares, ajuste lineal y lugares
geométricos. : Aquí están las herramientas para realizar polígonos, tanto
regularescomo irregulares. : Este botón contiene las herramientas para
construir todo lo relacionado con círculos: circunferencias,
semicircunferencias, arcos y sectores circulares.
: Estas herramientas permiten construir las cónicas: elipses, hipérbolas y
parábolas. : Con estas herramientas se realizan las medidas de longitudes,
ángulos, áreas y pendientes. : Las herramientas para realizar reflejos,
traslaciones y rotaciones se encuentran aquí. : En este
botón se encuentran las herramientas que contienen los controles: deslizadores,
casillas de control, imágenes y también las opciones de texto y para determinar
si dos elementos cumplen alguna característica. : Por último, en esta opción se
encuentran las opciones gráï¬cas: ocultar y mostrar objetos, hacer zoom y desplazar la pantalla. Antes de
iniciar con las guías familiarícese con el ambiente y utilice algunas de las
herramientas para que se acostumbre al programa. ? En algunas guías se
pedirá escribir en la línea de comandos expresiones con símbolos como =,
α, estos símbolos se pueden agregar al escogerlos de los menúes
extendibles que se encuentran a la derecha de la línea de comandos, el primero
es de símbolos, el segundo es de letras griegas y el tercero de funciones
internas de GeoGebra. El manual está dividido en cuatro partes: la primera
contiene las construcciones básicas para utilizar el programa, el segundo está
enfocado a geometría, el terceroa funciones y el cuarto a la realización de
animaciones.
CONSTRUCCIONES BÁSICAS
Triángulo Equilátero GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes, para esto elija el menú Vista y
desmarque la opción Ejes. 3. Elija la herramienta Nuevo Punto y construya en la
zona de trabajo dos puntos A y B. 4. Utilice la
herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos y construya el
círculo con centro en el punto A que pasa por B.
Construya un segundo círculo con centro en B que pase por A. 5. Elija la herramienta Intersección de Dos Objetos y construya el
punto de intersección C de los dos círculos. Nota: Si se escojen los dos
círculos se construyen los dos puntos de intersección C y D, sin embargo para
hacer sólo una se debe escoger la herramienta y hacer clic en uno de los puntos
de intersección, así sólo se hará ese punto de intersección. 6. Utilice la
herramienta Segmento entre Dos Puntos y construya los segmentos AB, BC y AC 7.
El triángulo ABC es un triángulo equilátero. 8. Mueva
los puntos A y B y observe que, no importa cómo se
mueva, el triángulo siempre se mantiene siendo equilátero. Observe además cómo
las expresiones algebraicas cambian en la ventana algebraica. 9. Por último,
utilice la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los dos círculo y
dejarvisible únicamente el triángulo. Adicional: 10. Para comprobar que el
triángulo efectivamente es equilátero, mida la longitud de los lados del triángulo y los ángulos del triángulo.
Cuadrado GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes, para esto elija el menú Vista y desmarque
la opción Ejes. 3. Elija la herramienta Nuevo Punto y construya en la zona de
trabajo dos puntos A y B. 4. Utilice
la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construya el segmento AB. 5.
Utilice la herramienta Recta Perpendicular y construya la recta perpendicular b
al segmento AB por el punto A, luego utilice la misma herramienta para
construir la recta perpendicular a al segmento AB por
el punto B. 6. Utilice la herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de
sus Puntos y construya el círculo d con centro en el punto A
que pasa por B. 7. Elija la herramienta Intersección de Dos
Objetos y construya el punto de intersección C entre el círculo d y la recta b.
8. Utilice la herramienta Recta Paralela para
construir la recta paralela e al segmento AB por el punto C. 9. Elija la herramienta Intersección de Dos Objetos y construya el
punto de intersección D entre la recta e y la recta c. 10. Utilice la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construya los
segmentos AC, CD y DB 11. El cuadrilátero ABDC es uncuadrado.
12. Mueva los puntos A y B y observe que, no importa
cómo se mueva, el cuadrilátero siempre se mantiene siendo cuadrado. 13. Por
último, utilice la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar el círculo y
las rectas, dejando sólo visible el cuadrado. 14. Guarde el archivo. Adicional:
15. Mida los lados del
cuadrado.
CONSTRUCCIONES BÁSICAS
16. Geogebra ya tiene implementada una herramienta para realizar polígonos
regulares, pruébela para realizar un cuadrado. De
ahora en adelante los polígonos regulares se seguirán haciendo con esta
herramienta.
Cuadrado con Línea de Comandos GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A
PASO
En este caso no se usarán herramientas ya que todo se escribirá en la línea de comandos
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes, para esto elija el menú Vista y
desmarque la opción Ejes. 3. Escriba en la línea de comandos cada una de las
siguientes expresiones (tal como se muestran): (a) A=(1,1) (b) B=(5,1) (c)
Segmento[A,B] (d) Perpendicular[A,a] (e) Perpendicular[B,a] (f)
Circunferencia[A,B] (g) Intersección[d,b] (h) Recta[D, a] (i) Interseca[c,e]
Nota: Para intersecciones se puede utilizar el comando intersección o el
comando interseca. (j) Segmento[A,D] (k) Segmento[D,E]
(l) Segmento[E.B] 4. Por último, utilice la herramienta
Expone / Oculta Objeto para ocultar el círculo y las rectas, dejando sólo
visible el cuadrado. 5.Guarde el archivo.
Parábola GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista
la herramienta Ejes. Nota: Recuerde que una parábola está deï¬nida por todos
los puntos que equidistan de un punto llamado foco y
una recta. 3. Active la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y construya
la recta a que pasa por los puntos A y B. 4. Active la herramienta Nuevo Punto
y construya un punto f oco afuera de la recta. Nota: Para cambiarle el nombre al punto se hace clic derecho
sobre él y se escoje la opción Propiedades, en la lengüeta Básico se le
cambia el nombre. 5. Active la herramienta Nuevo Punto y construya un punto C en la recta a. Nota: El punto debe pertenecer a
la recta de forma tal que si se escoge la herramienta Elige y Mueve (la
flecha) y se mueve este punto entonces se mueve por toda la recta sin salirse
de ella. 6. Seleccione la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construya el
segmento b entre los puntos f oco y C. 7. Elija la
herramienta Punto Medio o Centro y construya el punto medio D del segmento b.
8. Elija la herramienta Recta Perpendicular y
construya la recta perpendicular c al segmento b que pase por el punto D y
también la recta perpendicular d al segmento a que pase por el punto C. 9.
Elija la herramienta Intersecciónde Dos Objetos y construya
el punto de intersección E entre las rectas c y d. 10. Escoja la herramienta Lugar Geométrico para construir el lugar que
se forma por el punto E cuando el punto C se mueve. Nota: Para esto se escoje la herramienta y se seleccionan los
dos puntos en el orden dado. 11. Mueva el foco y la recta para observar las
variaciones de la construcción. 12. Guarde el archivo.
CONSTRUCCIONES BÁSICAS
Adicional: 13. Si se tienen dos puntos llamados focos y se sabe que la elipse
está deï¬nida por los puntos que cumplen que la suma de la distancia del
punto a los focos es constante, construya una elipse.
GEOMETRíA
Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A
PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista
la herramienta Ejes. 3. Active la herramienta Polígono y construya el cuadrilátero
ABCD. Nota: Elija la herramienta y haga clic en distintos lugares de la
pantalla para que se vayan haciendo cada uno de los puntos A, B, C y D, al ï¬nal
vuelva a hacer clic en el punto A para terminar el polígono. 4. Elija la
herramienta Ángulo y mida los cuatro ángulos del cuadrilátero, para esto haga
clic en los puntos D, A y B, luego A, B y C, luego B, C y D y, por último C, D
y A. 5. Depende como
se haya hecho elcuadrilátero los ángulos quedaron externos y no internos, no se
preocupe, para arreglar este problema haga clic derecho en uno de los ángulos y
elija la opción Propiedades, en la lengüeta Básico desactive el control
Admite ángulos cóncavos; repita el procedimiento para los otros tres ángulos.
Nota: Si se hacen estos cambios la construcción sólo funciona si el
cuadrilátero es cóncavo. Si se deja como estaba no funciona si el
cuadrilátero se coloca de forma tal que los ándulos queden externos. 6. Escoja
la herramienta Inserta Texto y haga clic en algún lugar de la pantalla y
escriba en el texto: “La suma de los ángulos internos es:” + α + “+” +
β + “+” + γ + “+” + δ + “=” + (α + β + γ +
δ) 7. Guarde el archivo.
GEOMETRËA
Círculo Circunscrito a un Triángulo GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes, para esto elija el menú Vista y
desmarque la opción Ejes. 3. Elija la herramienta Polígono y construya el
triángulo ABC. 4. Utilice la herramienta Punto Medio o Centro para construir los
puntos D, E y F que corresponden a los puntos medios de los lados a, b y c en ese orden. 5. Elija la herramienta Recta Perpendicular para
construir la recta d que es perpendicular al lado a y que pasa por el punto D,
la recta e que es perpendicular la lado b y que pasa por el punto E y la recta
fque es perpendicular al lado c y que pasa por el punto F. Nota: Las rectas
construidas en este paso se conocen como las mediatrices del triángulo. 6.
Elija la herramienta Intersección de dos objetos y construya el punto G que es
la intersección de dos de las mediatrices, puede ser d y e. Nota: Este punto se
conoce como el
circuncentro del
triángulo. 7. Por último, utilice la herramienta Circunferencia dados su Centro
y uno de sus Puntos para construir el círculo circunscrito al triángulo, es
decir, cuyo centro es G y que pasa por A (también puede ser B o C). 8. Guarde
el archivo. Adicional: 9. Se pueden realizar nuevos archivos con el incentro
(intersección de las bisectrices), el baricentro (intersección de las medianas)
y el ortocentro (intersección de las alturas). Nota: El ortocentro, el
baricentro y el circuncentro de un triA‰ngulo no
equilA‰tero estA‰n alineados, es decir, pertenecen a la misma recta que se
conoce como la
recta de Euler.
Clasiï¬cación de Ángulos GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista
la herramienta Ejes. 3. Active la herramienta Semirrecta que pasa por Dos
Puntos y construya una semirrecta que pase por los puntos A y B. Mueva el punto
B hasta que la semirrecta AB quede completamente horizontal. 4. Activela
herramienta Deslizador y construya un deslizador para ángulos llamado valor con
un intervalo dado desde 0a—¦ hasta 360a—¦ con un incremento de 1a— El ancho del deslizador se puede aumentar a
360 para lograr que al mover un punto en la pantalla se mueva un grado. 5.
Active la herramienta Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado y elija,
en ese orden, los puntos B, A y el deslizador valor. Esto rota el punto B en
torno al punto A el ángulo dado por el deslizador
valor. Llame a este nuevo punto C. 6. Active la herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos y construya
la semirrecta AC. 7. Active la herramienta Ángulo y construya el ángulo
α = BAC.
En las propiedades desactive la casilla Mostrar Rótulo y en la lengüeta Estilo
escoja un Tamaño de 50. 8. Active la herramienta
Inserta Texto y construya un texto con la leyendo
“α =” y otro con el texto “valor” (sin las comillas), esto hace en el
segundo caso que se muestre el valor del
ángulo valor y no la palabra. Acomode los dos textos para que se vean como
uno solo. 9. Active la herramienta Inserta Texto y construya un texto con la
leyendo “El ángulo se clasiï¬ca como: 10. Con la misma herramienta realice siete textos
distintos con las leyendas “NULO”, “AGUDO”, “RECTO”, “OBTUSO”, “LLANO”,
“CÓNCAVO” y “COMPLETO, CONVEXO O PERíGONO”. 11. Haga
clic derecho encima del
texto “NULO” y escoja las Propiedades , en la lengüeta Avanzado se ? escribe en laCondición para
Exponer el Objeto que “valor = 0a—¦ ” 12. A los demás textos se les realiza un procedimiento similar, la siguiente tabla resume la
condición que se le debe escribir a cada uno.
13. Haga clic derecho encima del punto A y escoja las
Propiedades , en la lengüeta Básico elija la opción Objeto Fijo. Haga lo
mismo con el punto B. 14. Active la herramienta Circunferencia dado su Centro y
uno de sus Puntos y construya una circunferencia c del mismo radio que el semicírculo del ángulo marcado. En
sus Propiedades escoja la ? lengüeta
Avanzado y en la Condición para Exponer el Objeto escriba valor = 360a—¦ 15. Cierre la Vista Algebraica. 16. Modiï¬que el tamaño, el
color y los estilos de su contrucción. Sobre todo el color del
círculo c para que sea igual al del ángulo y
no se note la diferencia cuando valor tenga un valor de 360a— para que se vea igual también se le debe poner sombra, observe las
propiedades del
ángulo y pógale las mismas propiedades al círculo. También
coloque los textos en su respectivo lugar. 17. Guarde el archivo.
Área del rombo GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1.Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista
la herramienta Ejes. 3. Active la herramienta Segmento entre Dos Puntos y
construya el segmento a que tiene como extremos los puntos A y B. 4. Active la herramienta Punto Medio o Centro y construya el punto
medio C del semento AB. 5. Active la herramienta Recta
Perpendicular y construya la recta b que es perpendicular al segmento AB que
pasa por el punto C.
6. Active la herramienta Nuevo Punto y construya el punto D que pertenece a la
recta b. 7. Active la herramienta Refleja Objeto en Recta y
construya el punto D′ que se obtiene al reflejar el punto D con respecto
al segmento AB. 8. Active la herramienta Segmento entre Dos Puntos y
construya los segmentos: c que tiene como extremos los puntos A y D, d que
tiene como extremos los puntos D y B, e que tiene como extremos los puntos B y
D f que tiene como extremos los puntos D′
y A, g que tiene como extremos los puntos D y D′ . 9. Active la
herramienta Expone/Oculta Objeto y oculte la recta b. 10. Active
la herramienta Deslizador y construya el deslizador control. Deï¬na el
intervalo del
deslizador en [0, 0.5] con un incremento de 0.01. 11. Escriba en la línea de
entrada las siguientes instrucciones: (a) E = D′ + control (B − A) (b) F = D′
− control
(B − A) (c) G = D + control (B − A) (d) H = D − control (B − A) (e) I = A
+ control
(D − D′ ) (f)J = A − control (D − D′ ) (g) K = B + control (D − D′ )
(h) L = B − control (D − D′ ) 12. Active la herramienta Polígono
y construya el polígono AIHDGKBLED′ FJ en ese
orden. 13. Cierre la Vista Algebraica. 14. Mueva el deslizador control para ver
el efecto, más adelante se verán las animaciones para que inicie automáticamente.
15. Modiï¬que el tamaño, el color, y los estilos de su contrucción; además
oculte los rótulos y objetos que no se necesiten. 16. Guarde el archivo.
FUNCIONES
Función Cuadrática con Parámetros GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Veriï¬que
que los ejes se muestren, para esto elija el menú Vista
y marque la opción Ejes. 3. Elija la herramienta Deslizador y construya tres
deslizadores a, b y c con los valores que aparecen por defecto. 4. Escriba en la línea
de comandos: f (x) = a x2 + b x + c 5. Cambie los valores de
los tres parámetros para observar el efecto que tiene cada parámetro en la gráï¬ca
de la parábola. Nota: Para cambiar los valores se debe mover el punto del
deslizador, para esto se debe escoger la herramienta de Elige y Mueve (la
flecha). Además, para observar mejor el efecto del parámetro a,
ponga los otros parámetros en cero; para b ponga a en uno y c en cero y para c
ponga a en uno y b. 6. Guarde el archivo. Adicional:
7. Realice un archivoexploratorio similar para una
función lineal y = mx + b, en este caso se puede observar muy bien el efecto del m que muestra la
inclinación (o pendiente) de la recta y b que es la intersección.
Crecimiento y decrecimiento de funciones GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Veriï¬que
que los ejes se muestren, para esto elija el menú Vista
y marque la opción Ejes. 3. Escriba en la
línea de comandos: (a) f (x) = x4 − 3x2 (b) g(x)
= Derivada[ f (x)] Nota: Recuerde que en los valores
donde la derivada de una función es positiva la función es creciente y donde la
derivada es negativa la función original es decreciente. 4. Haga clic derecho
en la función g(x) y desactive la opción Muestra Objeto. 5. Ahora elija la
herramienta Nuevo Punto y construya el punto A en el eje X, con la herramienta
Elige y Mueve mueva el punto, este no se debe mover fuera del eje X. 6. Escriba
en la línea de comandos: (a) B = (x(A), −2) Nota: La función x(A) obtiene la coordenada
X del punto A. (b) C = (x(A), f (x(A))) (c) a = sgn(g(x(A))) Nota: Esta función
obtiene el signo de evaluación del
punto en la derivada. 7. Elija la herramienta Elige y Mueve y mueva el punto A,
observe en la ventana algebraica que efectivamente el valor de a es -1 si la función es decreciente y de 1 si es creciente.
8. Escriba en la
línea decomandos: b = 0.5 a + 0.5 Nota: Con este
cálculo se obtiene la variable b cuyo valor es cero si la función decrece y 1
si crece. 9. Haga clic derecho en el punto B y elija la opción Propiedades,
en la lengüeta avanzado se pueden poner colores dinámicos, en el cuadro de rojo
ponga “b” (sin las comillas), en los demás ponga cero. 10. Nuevamente elija la
herramienta Elige y Mueve y mueva el punto A para
observar que el color del
punto B cambia si la función es creciente o decreciente. 11. Haga clic derecho
en el punto B y elija la opción Activa Rastro veriï¬que el resultado al mover
el punto A.
FUNCIONES
12. Elija la herramienta Inserta Imagen y haga clic en alguna
parte de la pantalla, agregue la imagen PatiAbajo.png 13. Repita el paso anterior para agregar la imagen PatiArriba.png 14.
Haga clic derecho sobre la imagen de la patineta hacia abajo y elija la opción
Propiedades, en la lengüeta Posición en la Esquina 1 escriba C y en la
lengüeta Avanzado en el cuadro para la Condición ? para
Exponer el Objeto escriba a = −1, cierre la ventana. 15. Haga clic
derecho sobre la imagen de la patineta hacia arriba y elija la opción
Propiedades, en la lengüeta Posición en la Esquina 1 escriba C y en la
lengüeta Avanzado en el cuadro para la Condición ? para
Exponer el Objeto escriba a = 1 16. Mueva el punto A
para que observe el efecto ï¬nal. Nota: Para borrar las marcas que deja el
punto B se puedeelejir en el menú Vista la
opción Actualiza Vista Gráï¬ca (Limpia rastros) o, lo que es lo mismo, Ctrl-F.
17. Cambie la función f (x) para ver el efecto en otras funciones. Pueden ser f
(x) = 18. Guarde el archivo. Adicional: 19. Agregue un
texto adicional que diga “La función es creciente” o “La función es
decreciente” cuando se mueva el punto A. 1 x2 − 1 , f (x) = sin(x)
ANIMACIONES
Animación Sencilla (Traslación) GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas:
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista
la herramienta Ejes. 3. Active la herramienta Deslizador y construya un deslizador llamado radio. Deï¬na el intervalo del
deslizador de 0 a 8 con un incremento de 0.1. Construya un
segundo deslizador llamado traslacion, este se debe deï¬nir de 0 a 1 con un
incremento de 0.01. Construya un tercer deslizador
llamado iniciar con los valores que se dan por defecto. 4. Active la
herramienta Circunferencia dados su Centro y Radio y construya una
circunferencia c con centro en el punto A y con radio
radio. 5. Active la herramienta Nuevo Punto y construya dos puntos B y C
cualesquiera en la circunferencia. 6. Active la herramienta Sector Circular
dados su Centro y Dos Puntos y marque (en este orden) los puntos A, B y C para
construir el sector circular d, luego márquelos en el orden A,C y B para
construir el sector circular e. 7. Active la herramienta Nuevo Punto y
construya un puntos D fuera de la circunferencia (y
tan alejado como
se pueda de ella). 8. Escriba en la línea de entrada E = A +
traslacion
(D − A) 9. Active la herramienta Elije y Mueve y mueva el deslizador
traslación para observar el movimiento del punto E.
ANIMACIONES
10. Active la herramienta Vector entre Dos Puntos y construya el vector del
punto A al punto E. 11. Active la herramienta Traslada Objeto por un Vector y marque en orden el sector circular e y el vector
recién creado. 12. Para hacer un botón que inicie la animación haga clic derecho sobre el
deslizador iniciar y en el menú emergente active Animación Automática, haga lo
mismo con el deslizador traslacion. Con esto inicia la animación; en la
pantalla, en la esquina inferior izquierda aparecerá un pequeño botón , acciónelo para que pare la animación, y vuelva a
apretarlo para que inicie de nuevo. 13. Para que la animación se detenga cuando
el objeto llegue al punto D se debe escribir en la línea de ? entrada velocidad1 = Si[traslacion = 1, 0, 1]. Luego haga clic derecho en el deslizador traslacion y escoja la
opción Propiedades, en la lengüeta Deslizador escriba en la velocidad
“velocidad1” (sin las comillas). 14. Active la herramienta Expone /
Oculta Objeto para ocultar los deslizadores y los demás objetos como
el sector e, el vector yla circunferencia c. 15. Cierre la
Vista Algebraica. 16. Modiï¬que el tamaño, el color y los estilos de su
contrucción. 17. Guarde el archivo. Nota: Cuando guarde el archivo hágalo
cuando el botón está en pausa y coloque los deslizadores tal
como deben
estar al inicio de la animación. Adicional: 18. Realice una animación que rote
un cuadrado 360 grados, para esto realice uno de los deslizadores eligiendo el
tipo ángulo de 0a—¦ a 360a— luego, en vez de elegir
la herramienta trasladar, elija rotar.
Teorema de Pitágoras GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra.
2. Oculte los ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista
la herramienta Ejes. 3. Active la herramienta Segmento entre Dos Puntos y
construya el segmento a entre los puntos A y B. 4. Active la herramienta Recta Perpendicular y construya la recta b
que es perpendicular al segmento a y que pasa por el punto A. 5. Active la herramienta Nuevo Punto y construya el punto C en la
recta b. 6. Active la herramienta Expone / Oculta
Objeto para ocultar el segmento a y la recta b. 7. Active
la herramienta Polígono y construya el triángulo ABC. 8. Active la
herramienta Polígono Regular y construya tres cuadrados, uno en cada lado del triángulo, para ello marque
dos vértices del triángulo e indique que el
polígono tendrá cuatro lados (si elcuadrado queda dentro del
triángulo devuélvace con Ctrl-Z y ahora marque los vértices del triángulo en el orden contrario).
Construya primero el cuadrado sobre la hipotenusa BC, de forma tal que quede el cuadrado BCED, luego sobre el lado CA de
forma tal que quede el cuadrado CAGF y, por último, el cuadrado sobre el lado
BA de tal forma que quede el cuadrado BAHI. Ahora mueva la ï¬gura
hasta que el cuadrado CAGF sea más grande que el cuadrado BAHI. 9.
Active la herramienta Recta Paralela y construya la recta j que es paralela al
segmento CE y que pasa por el punto G. También construya la recta k que es
paralela al segmento ED por el punto F. 10. Active la herramienta Intersección
entre Dos Objetos y construya el punto J que es la intersección de las dos
rectas anteriores j y k. Calcule también la intersección K de la recta j con el
lado del cuadrado CAGF y la intersección L de la recta k con el otro lado del
cuadrado CAGF. 11. Active la herramienta Polígono y construya los polígonos
CKJF, FJG, GJL y ALJK. Para cada uno de ellos
haga clic derecho sobre él y elija la opción Propiedades, en la lengüeta de
Color elija algún color distinto para cada uno. 12. Con la misma herramienta
Polígono construya otro polígono ABIH y cámbiele el color. 13. Active la
herramienta Deslizador y construya un deslizador
llamado traslacion, este se debe deï¬nir de 0 a 1 con un incremento de 0.01.
Construya un segundo deslizadorllamado iniciar con los
valores que se dan por defecto. 14. Escriba en la línea de entrada:
(a) M = J + traslacion (C − J) (b) N = J + traslacion (B − J) (c) O = J
+ traslacion
(D − J) (d) P = J + traslacion (E − J) 15. Active la herramienta Compás y
construya la circunferencia p con radio dado por los puntos F y J y cuyo centro
es D (marque los tres puntos en ese orden). Asegúrese
que en realidad está marcando el punto D como
centro del
círculo, para ello se sugiere poner el deslizador traslacion en 0.5. 16. Active
la herramienta Intersección entre Dos Objetos y construya el punto Q que es la
intersección de la circunferencia p con el segmento DE. 17. Escriba en la línea de entrada: R = B
+ traslacion
(Q − B)
ANIMACIONES
18. Active la herramienta Vector entre Dos Puntos y construya el vector u del
punto J al punto M, el vector v del punto J al punto N, el vector w del punto J
al punto O, el vector z del punto J al punto P y el vector m del punto B al
punto R. 19. Active la herramienta Traslada Objeto por un Vector y marque en
orden al polígono AKJL (marque el polígono en el centro, no los puntos) y el
vector u, luego el polígono FCKJ con respecto al vector v, el polígono FJG con
respecto al vector w, el polígono GJL con respecto al vector z y el polígono
ABIH con respecto al vector m. 20. Active la herramienta
Elije y Mueve y mueva el deslizador traslacion para ver el efecto. 21.
Activela herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar todos los objetos que
ya no se necesiten: los vectores, los polígonos que no se mueven, etc. 22. Active la herramienta Expone / Oculta Rótulo para ocultar todos los
rótulos que no hagan falta. 23. Para
hacer un botón que inicie la animación haga clic
derecho sobre el deslizador iniciar y en el menú emergente active Animación
Automática, haga lo mismo con el deslizador traslacion. Con esto inicia la
animación; en la pantalla, en la esquina inferior izquierda aparecerá un
pequeño botón , acciónelo para que pare la animación,
y vuelva a apretarlo para que inicie de nuevo. 24. Para que la animación se
detenga se debe escribir en la línea
de entrada velocidad1 = Si[traslacion = 1, 0, 1]. Luego haga clic derecho en el deslizador traslacion y escoja la
opción Propiedades, en la lengüeta Deslizador escriba en la velocidad
“velocidad1” (sin las comillas). 25. Active la herramienta Expone /
Oculta Objeto para ocultar los deslizadores. 26. Cierre la Vista Algebraica.
27. Modiï¬que el tamaño, el color y los estilos de su contrucción. 28. Guarde
el archivo. Nota: Cuando guarde el archivo hágalo cuando el botón está en pausa
y coloque los deslizadores tal como deben estar al inicio de la animación.
Adicional: 29. Después de hacer la siguiente guía, regrese a este
archivo y modifíquelo para que se vayan moviendo los polígonos de uno en uno.
Animación Doble(Traslación y Rotación) GUíA DE
CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas:
En este caso se hará una animación donde se trasladará un cuadrado de un punto
a otro y luego se rotará. Construcción paso a paso: 1. Abra un
nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los ejes de coordenadas seleccionando en
el menú Vista la herramienta Ejes. 3. Active
la herramienta Polígono Regular y construya un
cuadrado ABCD. 4. Active la herramienta Nuevo Punto y construya el punto E
fuera del
cuadrado. 5. Active la herramienta Deslizador y construya un
deslizador llamado traslación, deï¬na el intervalo del deslizador de 0 a 1 con un incremento de
0.01. Construya un segundo deslizador llamado α,
defínalo que sea para ángulos y que vaya de 0a—¦ a 360a—¦ con un incremento de
1 y en la lengüeta de Animación defínalo para que sólo se incremente. Construya
un tercer deslizador llamado iniciar con los valores
que se dan por defecto. 6. Escriba en la línea de entrada F = A +
traslacion
(E − A) 7. Active la herramienta Elije y Mueve y mueva el deslizador
traslación para observar el movimiento del punto F. 8. Active la
herramienta Vector entre Dos Puntos y construya el vector del punto A al
punto F. 9. Active la herramienta Traslada Objeto por un
Vector y marque en orden el cuadrado y el vector recién creado. 10. Ahora
active la herramienta Rota Objeto en torno a Punto el Angulo indicado y rote el
cuadrado conrespecto al punto A′ el ángulo dado por α. 11. Active la
herramienta Expone / Oculta Objeto y oculte los dos primeros cuadrados, es
decir, deje sólo el último que se construyó con la rotación. 12. Para hacer un botón que inicie
la animación haga clic derecho sobre el deslizador iniciar y en el menú
emergente active Animación Automática, haga lo mismo con los otros dos
deslizadores. Nota: Observe que estas dos animaciones se hacen al mismo tiempo
y no se detienen, suponga que se quiere que primero se traslade el cuadrado y
luego se rote. 13. Para que la traslación se detenga cuando el objeto llegue al
punto E se debe escribir en la línea
de ? entrada velocidad1 =
Si[traslacion = 1, 0, 1]. Luego haga clic derecho en el
deslizador traslacion y escoja la opción Propiedades, en la lengüeta
Deslizador escriba en la velocidad “velocidad1” (sin las comillas). 14. Para que la rotación inicie cuando la traslación se
detenga y la rotación se detenga cuando el objeto ? rote completamente entonces se debe escribir en la línea de entrada
velocidad2 = Si[velocidad1 = 0 α ̸= 360a—¦ , 1, 0]. Luego
haga clic derecho en el deslizador α y escoja la opción Propiedades, en
la lengüeta Deslizador escriba en la velocidad “velocidad2” (sin las comillas).
15. Active la herramienta Elije y Mueve y ponga todos los deslizadores en cero.
16. Active la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los deslizadores
y todos losobjetos excepto el cuadrado. 17. Cierre la Vista Algebraica. 18.
Guarde el archivo. Nota: Cuando guarde el archivo hágalo cuando el botón está
en pausa y coloque los deslizadores tal como deben estar al inicio
de la animación (todos en cero).
ANIMACIONES
5.4
Suma de los ángulos internos de un triángulo GUíA DE CONSTRUCCIÓN PASO A PASO
Se usarán las siguientes herramientas
Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. Oculte los
ejes de coordenadas seleccionando en el menú Vista
la herramienta Ejes. 3. Active la herramienta Polígono y construya el triángulo
ABC. 4. Active la herramienta Deslizador y construya el deslizador d1. Deï¬na
el intervalo del
deslizador en [0, 1] con un incremento de 0.01. 5. Escriba en la línea de entrada
las siguientes instrucciones: (a) D = B + 0.5 d1 (C − A) (b) E = B + 0.5 d1 (A −C) (c) F = B +
0.5
d1
(B − A) (d) G = B + 0.5 d1 (B −C) 6. Active la herramienta Segmento
entre Dos Puntos y trace los segmentos BD, BE, BF y GB. 7. Con la herramienta
Elige y Mueve, mueva el deslizador d1 para observar el efecto logrado. 8.
Active la herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los puntos D, E, F y
G. 9. Active la herramienta Ángulo y trace los ángulos
ABC,
BCA
y CAB.
10. Active la herramienta Deslizador y construya el deslizador d2 en el modo Ángulo.
Deï¬na el deslizador para que su intervalo sea [0a—
180a—¦ ] con un incrementede 1a—¦ . 11. Active la herramienta Rota Objeto en
torno a Punto, el Ángulo indicado y rote el punto A con respecto al punto B de
acuerdo al ángulo d2. Realice lo mismo para rotar el punto C
con respecto al punto B el ángulo d2. Esto construye los puntos A′
y C 12. Active la herramienta Ángulo y
construya el ángulo A′ BC′ 13. Con la herramienta Elige y
Mueve, mueva el deslizador d2 para observar el efecto logrado. 14. Active la
herramienta Expone / Oculta Objeto para ocultar los puntos A′ y C′ .
15. Active la herramienta Deslizador y construya el deslizador d3. Deï¬na el
intervalo del
deslizador en [0, 1] con un incremento de 0.01. 16. Escriba en la línea de entrada
las siguientes instrucciones: (a) H = A + d3 (B − A) (b) I = C + d3 (B − A) (c) J = B
+ d3
(B − A) 17. Active la herramienta Ángulo y construya el
ángulo ∠IHJ 18. Escriba en la línea
de entrada las siguientes instrucciones: (a) K = A + d3 (B −C) (b) L = C +
d3
(B −C) (c) M = B + d3 (B −C) 19. Active la
herramienta Ángulo y construya el ángulo ∠MLK
20. Con la herramienta Elige y Mueve, mueva el deslizador d3 para
observar el efecto logrado. 21. Active la herramienta Expone / Oculta Objeto
para ocultar los puntos H, I, J, K, L y M. 22. Active la
herramienta Expone / Oculta Rótulo para ocultarle el rótulo a todos los
elementos de la pantalla. 23. Active la herramienta Elige y Mueve y,
para cada uno de los ángulos de laï¬gura, haga clic derecho encima de él y
escoja las Propiedades , desactive la casilla Admite Ángulos Cóncavos. Además escoja el mismo color para cada par de ángulos congruentes
de la ï¬gura. 24. Escriba en la
línea de entrada las siguientes instrucciones para
deï¬nir la velocidad de cada uno de los deslizadores: (a) v1=Si[d1 ̸= 1, 4, 0] (b) v2=Si[d1 = 1 (d2 ̸= 180a—¦ ), 4, 0]
(c) v3=Si[d2 = 180a—¦ (d3 ̸= 1), 4, 0] 25. En las propiedades del deslizador d1 deï¬na su
velocidad como
v1. La velocidad del
deslizador d2 es v2 y la del
deslizador d3 es v3. 26. Active la herramienta Deslizador y construya un último deslizador d. Este deslizador sólo servirá para
que aparezcan los botones de animación en la pantalla. 27. En las propiedades
de los cuatro deslizadores marque la casilla Animación Automática. Haga clic sobre el botón de pausa de la animación y devuelva los
deslizadores a cero. 28. Active la herramienta Expone / Oculta Objeto
para ocultar los deslizadores. 29. Cierre la Vista Algebraica. 30. Modiï¬que
el tamaño, el color y los estilos de su contrucción. 31. Guarde el archivo.
ANIMACIONES
Bibliografía
[1] Hohenwarter, J. Hohenwarter, M. “Introduction to Geogebra”.
https://www.geogebra.org/book/intro-en/ Consultada en Febrero, 2010. [2] “Geogebra Quickstart, a
quick reference guide https://www.geogebra.org/help/geogebraquickstart_en.pdf. 2010. En
for Geogebra”. En Consultada en Febrero,
