Vectores

Muchas cantidades en física e ingeniería son tratadas como vectores
porque tienen asociadas un magnitud y una dirección; la velocidad, fuerza, momentum angular, campo eléctrico o magnético son algunos ejemplos de vectores. En cambio cantidades tales como tiempo, temperatura
o densidad sólo tienen magnitud y son llamadas escalares.

Una cantidad escalar no tiene dirección
y es especificada por un solo valor con
una unidad apropiada.
Una cantidad vectorial tiene magnitud
y dirección.

sEsto quiere decir que un vector es todo aquello que tiene magnitud
y dirección? Bueno, hay que reconocer que esta definición no es la
más correcta pues usted podría preguntarse: sacaso un auto tiene
magnitud y dirección?, seso convierte a un auto enun vector?. Un
matemático diría: un vector es un elemento de un espacio vectorial.
En términos simples, un espacio vectorial en un conjunto de “cosas” para las cuales se ha definido la operación de adición y también

la operación de multiplicación por un escalar.
Un piloto de avión necesita conocer la velocidad del viento antes de
despegar, es decir, es necesario conocer la rapidez y la dirección del viento. Puesto que la dirección es parte de la información, la velocidad es
una cantidad vectorial, la cual se define como una cantidad física que
es especificada completamente por un número (y sus unidades) más una
dirección.
Un vector puede ser representado gráficamente mediante una flecha
y un largo proporcional a su magnitud. Además los vectores pueden ser
representados en dos o tres dimensiones. Si dos o más vectores tienen la
misma dirección y magnitud entonces ellos son iguales (ver figura 1.1). No
hay diferencia donde empieza la cola del vector, aunque por conveniencia
se prefiere localizarla en el origen de coordenadas.
Simbólicamente un vector se representa por medio de una letra con
una flecha arriba, A y el largo (magnitud) como A = A . Por ejemplo,
la magnitud del vector velocidad en la figura 1.2 es v = |v| = 5.0 m/s
y esta es la rapidez del objeto. La magnitud del vector aceleración a se
escribe a.

Figura 1.1: Todos los vectores de la figura son iguales porque tienen la misma dirección y largo.

Dirección del vector
Magnitud del vector

Nombre del vector

El vector se dibuja a través de lapágina, pero representa la velocidad
de la partícula en este punto.
Figura 1.2: El vector velocidad v tiene
magnitud y dirección.


10

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

En la mayoría de los libros de texto, un vector A se representa con
el símbolo en negrita A y la magnitud mediante A. Por lo tanto, en
esos textos, hay que tener cuidado de no confundir A con A.
un error muy común es omitir la flecha sobre la letra que representa un vector. Esto es imperdonable y conduce a uno de los peores
errores: tratar un vector como si fuera un escalar.

1.1.1 Operaciones con vectores
En esta representación gráfica, la adición de vectores1
C = A+B
consiste en colocar la cola del vector B en la punta del vector A. El
vector C es entonces representado por una flecha dibujada desde la cola
del vector A hasta la punta del vector B. Esta forma de sumar vectores
se llama regla del triángulo. (Fig. 1.3).
La figura 1.3 también muestra la regla del paralelogramo que consiste
en trasladar los dos vectores hasta formar un paralelogramo de tal manera
que el vector resultante será aquel formado por la diagonal que parte de
las dos colas hasta el punto donde se encuentran las dos puntas. Además,
esto demuestra gráficamente que la adición de vectores es conmutativa,
es decir A + B = B + A.
La generalización de este procedimiento para la adición de tres o más
vectores es clara y conduce a la propiedad de asociatividad de la adición
(ver figura 1.4), por ejemplo
A + (B + C ) = (A + B ) + C
La sustracción de dosvectores es muy similar a la adición (ver figura
1.5), es decir,
A − B = A + ( −B )
donde −B es un vector de igual magnitud pero en dirección exactamente
opuesta al vector B. La sustracción de dos vectores iguales, A + (−A),
da como resultado el vector nulo 0, el cual tiene magnitud cero y no tiene
asociada ninguna dirección.

La adición de dos vectores solo tiene
sentido físico si ellos son de la misma
clase, por ejemplo si ambos son fuerzas
actuando en dos o tres dimensiones.
1

Figura 1.3: Adición de dos vectores
mostrando la relación de conmutación.


matemáticas del curso

11

Figura 1.4: Adición de tres vectores
mostrando la propiedad de asociatividad.

Figura 1.5: Sustracción de dos vectores.


12

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

La multiplicación de un vector por un escalar da como resultado un
vector en la misma dirección que el original pero de una magnitud proporcional (ver figura 1.6). La multiplicación por un escalar es asociativa,
conmutativa y distributiva con respecto a la adición. Para vectores arbitrarios A y B y escalares arbitrarios α y β se cumple

Figura 1.6: Multiplicación del vector A
por un escalar (λ > 0).

(αβ )A = α(β A) = β (αA)
α (A + B )

= αA + αB

( α + β ) A = αA + β A

1.1.2 Vector resultante
En este curso utilizaremos con frecuencia la regla del paralelogramo
para encontrar la fuerza resultante de dos o más fuerzas. En la figura
1.7 se muestran dos fuerzas arrastrando un bote a lo largo de un canal.
Podemos intuir que el efecto combinadode las dos tensiones combinadas
será una fuerza a lo largo de la dirección de movimiento del bote. Es útil
enfatizar que ambos vectores representados en la figura están aplicados
al mismo cuerpo y al mismo tiempo. El punto más importante aquí es
que la fuerza resultante R es una fuerza imaginaria, la cual es equivalente
a las dos tensiones en forma combinada.

Figura 1.7: Las dos fuerzas. T1 y T2
son representadas a escala y la dirección mostrada por las flechas. La resultante de las dos tensiones es representada por R y se obtiene al completar el
paralelogramo. R es equivalente a T1 y
T2 , pero no tiene una existencia independiente.

A
O
B

Es interesante preguntarse por qué la regla de paralelogramo funciona
para fuerzas. La línea de acción de una fuerza puede ser descrita como una
linea imaginaria de longitud indefinida y que coincide con la dirección de

Figura 1.8: La línea de acción de una
fuerza. Aunque las cuerdas están atadas en el punto A y el punto B, las fuerzas pueden ser representadas actuando en el punto O. Esto es así porque
una fuerza actúa igualmente en cualquier punto de su línea de acción.


matemáticas del curso

la fuerza. Una fuerza puede ser aplicada a un cuerpo rígido con el mismo
efecto en cualquier punto a lo largo de su línea de acción. El concepto de
línea de acción es útil para simplificar representaciones (Fig. 1.8).
Otro ejemplo interesante de fuerza resultante es el peso de un cuerpo.
El peso de un cuerpo se distribuye a través de todo el cuerpo, pero es
másconveniente representar ese peso por medio de una sola fuerza. Por
ejemplo, la figura 1.9 representa el peso de una anillo. Otro ejemplo es
la fuerza de reacción que un plano ejerce para soportar un cuerpo. Esta
fuerza está distribuida sobre la superficie inferior del cuerpo. Usualmente
reemplazamos esta fuerza distribuida por la fuerza normal. (Fig. 1.10).

13

C

Figura 1.9: El peso es una fuerza distribuida, pero puede ser reemplazado por
su resultante con el propósito de simplificar los cálculos. Notar que en este
caso la gravedad “actúa” en C que en
un espacio vacío y es el centro de gravedad.

1.1.3 Vectores base y componentes
Los vectores en dos dimensiones pueden ser representados como pares
ordenados de números reales (a, b) y que obedecen ciertas a las reglas
de un espacio vectorial, que veremos más adelante. Los números a y
b son llamados componentes del vector. El vector A = (a, b) puede ser
representado geométricamente mediante una flecha que va desde el origen
hasta el punto (a, b).

Figura 1.10: La superficie de reacción y
la fuerza fuerza normal. La reacción de
la superficie es una fuerza distribuida
pero puede ser reemplazada, por conveniencia, por la fuerza normal N .

Figura 1.11: Las componentes del vector A son la proyecciones en los ejes
coordenados.

La extensión a tres dimensiones es directa. Un vector A puede ser
representado mediante tres números Ax , Ay y Az (ver figura 1.12)
Figura 1.12: En tres dimensiones, las
componentes cartesianas del vector A
son la proyeccionesen los ejes coordenados.


14

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

A = ( Ax , Ay , Az )
Aunque A podría representar cualquier cantidad vectorial (momentum, campo eléctrico, etc.), existe un cantidad vectorial, el desplazamiento desde el origen de coordenadas al punto (x, y, z ), es denotado
por el símbolo especial r y se llama vector posición. Entonces tenemos la
elección de referirnos al desplazamiento ya sea como el vector r o las las
coordenadas del punto final (x, y, z ):
r ↔ (x, y, z )
En esta etapa es conveniente introducir vectores unitarios a lo largo
ˆ ˆ
de cada uno de los ejes coordenados. Estos vectores se denotan i, j y
ˆ
k apuntando a lo largo de los ejes cartesianos x, y y z respectivamente
ˆ
(ver figura 1.13). Sea A = (Ax , Ay , Az ) entonces Ax i es un vector con
magnitud igual a |Ax | en la dirección x. Un vector A (en tres dimensiones)
puede ser entonces escrito como una suma de tres vectores, cada uno
paralelo a un eje de coordenadas diferente (ver figura 1.14):
ˆ
ˆ
ˆ
A = Ax i + Ay j + Az k
Figura 1.13: Los vectores unitarios,
ˆ ˆ ˆ
i, j , k, de un sistema de coordenadas
cartesianas tridimensionales.

Esto significa que estos vectores unitarios sirven como una base, o
un conjunto completo de vectores en el espacio Euclidiano. Es decir
cualquier vector puede ser expresado como una combinación lineal
de ellos. Los vectores base se pueden escribir también como
ˆ
i = (1, 0, 0)

ˆ
j = (0, 1, 0)

ˆ
k = (0, 0, 1)

Figura 1.14: El vector A es la suma vecˆ
ˆtorial de los tres vectores Ax i, Ay j y
ˆ
Az k, a lo largo de los ejes coordenados.

Podemos considerar la adición y sustracción de vectores en términos
de sus componentes. La adición de dos vectores A y B se encuentra
simplemente sumando sus componentes, o sea
A+B

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= Ax i + Ay j + Az k + B x i + B y j + B z k
ˆ
ˆ
ˆ
= (Ax + Bx )i + (Ay + By )j + (Az + Bz )k


matemáticas del curso

y la sustracción:
A−B

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= Ax i + Ay j + Az k − (Bx i + By j + Bz k )
ˆ
ˆ
ˆ
= (Ax − Bx )i + (Ay − By )j + (Az − Bz )k

tcuidado!: No sumar magnitudes de vectores.
Si un vector es la suma de dos vectores, la magnitud del vector
suma no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores
ˆ
originales. Por ejemplo, la magnitud del vector 3 i es 3 y la magnitud
ˆ es 2, !pero la magnitud del vector (3 i) + (−2 i) = i
ˆ
ˆ
ˆ
del vector −2 i
es 1, no 5!.

1.1.4 Igualdad de vectores
En la figura 1.1 describimos gráficamente la igualdad de vectores. Ahora que que ya hemos definido un vector en forma analítica, podemos decir
que un vector es igual a otro vector si y solo si todas las respectivas comˆ
ˆ
ˆ
ponentes de los vectores son iguales. Es decir si A = Ax i + Ay j + Az k y
ˆ
ˆ + By j + Bz k, entonces A = B si
ˆ
B = Bx i
Ax = B x

y

Ay = By

Az = B z

y

1.1.5 Magnitud de un vector en términos de sus componentes
La magnitud A de un vector A, en tres dimensiones, se puede deducir
de la figura 1.14, donde podemos aplicar el teorema de Pitágoras dos veces
A =A=A2 + A2 + A2
x
y
z

Un vector nulo A = 0 significa que todas sus componentes son nulas
Ax = Ay = Az = 0, por lo tanto su magnitud es cero.

1.1.6 El vector unitario
ˆ
ˆ ˆ
Como ya se explicó, los vectores i, j y k tienen magnitud la unidad.
Sin embargo, estos no son los únicos vectores unitarios. Es a veces útil
encontrar un vector unitario que tenga una dirección especificada. Supongamos que queremos encontrar un vector unitario en la dirección del
ˆ
vector A. Esto es muy simple, el vector unitario (A) se obtiene dividiendo
el vector por su magnitud:
ˆ
A=

A
A2 + A2 + A2
x
y
z

=

A
A

Por definición, un vector unitario tiene magnitud 1 y no tiene unidades.
Supongamos que r es un vector unitario con dirección de 36.0° (senˆ
tido antihorario, desde la dirección +x en el plano xy). El hecho de que

15


16

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

un vector unitario tenga magnitud 1 y sin unidades, significa que si uno
multiplica un vector unitario por un escalar, el vector resultante tiene
una magnitud igual al valor del escalar y con las mismas unidades. Por
ejemplo, si multiplicamos el vector r por 5.0 m/s, obtenemos un vecˆ
tor velocidad (5.0 m/s) r que tiene una magnitud de 5.0 m/s y apunta
ˆ
en la misma dirección que r. Entonces en este caso (5.0 m/s) r significa
ˆ
ˆ
(5.0 m/s) haciendo un ángulo de 36.0° con el eje x.

1.1.7 Un vector no tiene signo
Consideremos el vector
ˆ
ˆ
ˆ
v = (8 × 106 i + 0 j , −2 × 107 k ) m/s
sEs este vector positivo, negativo o cero?.Ninguna de las descripciones
es apropiada. La componente x de este vector en positiva, la componente
y es cero y la componente z es negativa. Los vectores no son positivos,
negativos o cero. Sus componentes pueden tener signo, pero esto no significa nada cuando consideramos el vector como un todo. Por otro lado,
la magnitud de un vector |v| es siempre positiva.

1.1.8 Cambio en una cantidad: la letra griega aˆ†
Frecuentemente necesitaremos calcular el cambio en una cantidad. Por
ejemplo, podremos desear saber el cambio de la posición de un objeto
en movimiento o el cambio de sus velocidad durante cierto intervalo de
tiempo. la letra griega aˆ† (la “d” por diferencia) es usada para denotar el
cambio en una cantidad ya sea escalar o vectorial. Por ejemplo cuando la
altura de un niño cambia de 1.1 m hasta 1.2 m, el cambio es aˆ†h = +0.1 m,
es un cambio positivo. Si el saldo de su cuenta bancaria pasa de $150000
a $130000, la variación es negativa aˆ†(saldo) = −$20000.
Para el caso vectorial, ponemos como ejemplo los vectores de posición
(figura 1.15)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r1 = 3 i − 2 j
y
r2 = 5 i + 2 j

Figura 1.15: Vector posición relativo,
r2 − r1 .


matemáticas del curso

el cambio de r1 a r2 se denota como aˆ†r = r2 − r1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
aˆ†r = (5 i + 2 j ) − (3 i − 2 j ) = 2 i + 4 j
es decir hay una variación de +2 m en la dirección x y una variación de
+4 m en la dirección y.
La cantidad aˆ†r = r2 − r1 también representa el vector posición relativo, es decir la posición de un objeto relativo a otro. En lafigura 1.15 el
objeto 1 está en la posición r1 y el objeto 2 en la posición r2 . Queremos
conocer las componentes del vector que apunta de desde el objeto 1 al
objeto 2. Este es el vector aˆ†r = r2 − r1 . Notar que la forma es siempre
“final” menos “inicial”.

1.1.9 Multiplicación de vectores
Podemos definir el producto punto o producto escalar entre dos vectores A y B como

Producto escalar

A · B = B · A = AB cos θ
donde A y B son las longitudes de A y B, y θ es el ángulo formado por
los dos vectores. De acuerdo a esta definición los productos punto de los
ˆ ˆ ˆ
vectores unitarios i, j y k son
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
i·i = j·j = k·k = 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
i·j = j·i = i·k = k·i = j·k = k·j = 0
así se puede demostrar fácilmente que
A·B

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= (Ax i + Ay j + Az k ) · (Bx i + By j + Bz k )

= Ax B x + Ay B y + Az B z
Esta es una expresión muy útil para encontrar el ángulo entre dos vectores:
A·B
cos θ =
AB
Alternativamente, la magnitud de un vector también se puede definir
como
A = A·A
Hemos definido el producto punto de dos vectores, el cual es una cantidad escalar. Hay otra definición muy útil del producto entre dos vectores
cuyo resultado es un vector. Definimos el producto cruz o producto vectorial de A y B
A × B = AB sin θ n
ˆ
donde θ es el ángulo (< 180°) entre A y B y n es un vector unitario
ˆ
perpendicular al plano formado por los dos vectores. Como consecuencia
n es perpendicular a A y a B, y es paralelo a A × B. La dirección de n
ˆ
ˆ
es la misma que el avance de un tornillode rosca derecha si A es rotado
hacia B. En la figura 1.16 se muestran dos formas de usuales de ilustrar

Producto vectorial

17


18

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

Figura 1.16: El producto cruz ilustrado
de dos maneras: regla de la mano derecha y regla del tornillo de rosca derecha.
El vector unitario n es perpendicular a
ˆ
A y a B y es paralelo a A × B.

el producto cruz: regla de la mano derecha y regla del tornillo de rosca
derecha.
Ya que sin θ = 0 si θ = 0, tenemos que para vectores paralelos A × B =
0 y en especial A × A = 0. También se cumple que
A × B = −B × A
Si nos referimos a la figura 1.13 podemos aplicar las dos propiedades
ˆ ˆ ˆ
anteriores a los vectores unitarios i, j y k:
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
i×i = j×j = k×k = 0
ˆ
ˆ ˆ
i×j = k
ˆ ˆ
ˆ
i × k = −j
ˆ ˆ
ˆ
j×k = i

ˆ
ˆ ˆ
j × i = −k
ˆ ˆ
ˆ
k×i = j
ˆ ˆ
ˆ
k × j = −i

También existe una ley distributiva
A × (B + C ) = A × B + A × C
ˆ ˆ ˆ
El producto cruz de A y B en términos de i, j y k está dado por:2
A×B

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= ( Ax i + Ay j + Az k ) × ( B x i + B y j + B z k )
ˆ
ˆ
ˆ
= (Ay Bz − Az By )i + (Az Bx − Ax Bz )j + (Ax By − Ay Bx )k

Esto se puede escribir en forma más compacta mediante el determinante

A×B =

ˆ
i
Ax
Bx

ˆ
j
Ay
By

ˆ
k
Az
Bz

2

Este es un buen ejercicio.


matemáticas del curso

19

errores comunes en multiplicación vectorial:
1. El producto punto de dos vectores es un escalar y no un vector
2. El producto cruz de dos vectores en un vector y no unescalar.

1.1.10 Operaciones ilegales con vectores
Aunque el álgebra vectorial es similar a las operaciones ordinarias de
los escalares, hay ciertas operaciones que no son legales (y carentes de
significado) para vectores:
Un vector no puede ser igual a un escalar.
Un vector no puede ser sumado o restado de un escalar.
Un vector no puede estar en el denominador de una expresión. Es
decir no se puede dividir por un vector (sin embargo se puede dividir
un vector por un escalar).
Figura 1.17: Operaciones vectoriales
prohibidas.

1.1.11 Componentes de un vector en una dirección

(a)

Hemos puesto este tópico en una sección aparte para enfatizar la importancia de encontrar la componente de un vector en una dirección deˆ
ˆ
ˆ
terminada. Por ejemplo si tomamos el vector A = Ax i + Ay j + Az k,
ˆ
entonces la componente escalar de este vector en la dirección i es obviamente Ax , lo que es equivalente a efectuar el producto punto
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A i = Ax i + Ay j + Az k

ˆ
i = Ax

(b)

Esta componente no es otra cosa que la proyección de vector A sobre el
eje x (ver figura 1.12). En el caso general, la proyección del vector A en
la dirección de un vector unitario u
ˆ
A u = A |u| cos θ
ˆ
ˆ
donde θ es el ángulo entre los dos vectores. Puesto que u es un vector
ˆ
unitario, |u| = 1, entonces
ˆ
A u = A cos θ
ˆ
Si nos referimos a la figura 1.18 vemos claramente que A cos θ es la
proyección del vector A en la dirección u. Podemos distinguir dos proyecˆ
ciones: la proyección escalar, A u y la proyecciónvectorial, (A u)u, en
ˆ
ˆ ˆ
la dirección u.
ˆ

Figura 1.18: (a) La componente escalar
de A en la dirección del vector unitario
u es A u. (b) La componente vectorial
ˆ
ˆ
de A en la dirección del vector unitario
u es (A u)u.
ˆ
ˆ ˆ


20

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

1.1.12 Campos vectoriales y escalares
Durante el curso vamos a trabajar con conceptos tales como campo
eléctrico, campo magnético, densidad de corriente, etc. Todos ellos son
campos vectoriales. Un campo vectorial en el espacio de dos (o tres)
dimensiones, es una función F que asigna a cada punto (x, y ) (o (x, y, z ))
un vector en dos (o tres) dimensiones dado por F (x, y ) (o F (x, y, z )). Es
posible que esto no parezca tener sentido, pero la mayoría de la gente ya
ha visto, por ejemplo, un esquema de las líneas de campo magnético de
la tierra (ver figura 1.19).
La notación estándar para la función F es,

N

S

ˆ
ˆ
F (x, y ) = P (x, y )i + Q(x, y )j
Figura 1.19: Las líneas del campo magnético terrestre.

ˆ
ˆ
ˆ
F (x, y, z ) = P (x, y, z )i + Q(x, y, z )j + R(x, y, z )k
Por ejemplo, en la figura 1.20 se muestran los campos vectoriales:
ˆ
ˆ
F (x, y ) = −y i + xj

y

ˆ
ˆ
F (x, y ) = cos(x2 + y )i + (1 + x − y 2 )j

Figura 1.20: Las líneas de campo para
dos campos vectoriales en dos dimensiones.

2

3

2
1
1

0

0

- 1
- 1
- 2

- 3

- 2
- 3

- 2

- 1

0

ˆ
ˆ
F (x, y ) = −y i + xj

1

2

3

- 2

- 1

0

1

2

ˆ
ˆ
F (x, y ) = cos(x2 + y )i + (1 + x − y2 )j

2
0
- 2

Por otro lado, la figura 1.21 ilustra un ejemplo en tres dimensiones correspondiente a un campo con simetría radial:
2

ˆ
ˆ
ˆ
F (x, y, z ) = r = xi + y j + z k
Un campo escalar es un nombre elegante para una función del espacio,
es decir, una función que asocia un número real con cada posición en un
espacio. En otras palabras es una función que tiene diferente valor en cada punto de un espacio, por ejemplo, en tres dimensiones φ = φ(x, y, z ).
Formalmente, escalar es una palabra usada para distinguir el campo de
un campo vectorial. Ejemplos simples de campos escalares incluyen la
presión, P (x, y, z ), en cada punto de un fluido o la distribución de temperatura, T (x, y, z ), a través de un material.
La representación gráfica de P (x, y, z ) o T (x, y, z ) no es posible debido
a que no podemos dibujar una función en cuatro dimensiones, pero sí
podemos dibujar un campo escalar del tipo z = f (x, y ). Hay dos formas
de representar un campo escalar del tipo z = f (x, y ). Una forma es
dibujando en tres dimensiones (diagrama de contorno) y la otra en dos

0

- 2

- 2
0
2

Figura 1.21: Las líneas del campo vecˆ
ˆ
ˆ
torial radial F (x, y ) = xi + y j + z k.


matemáticas del curso

21

dimensiones mediante curvas de nivel, cuya forma algebraica es f (x, y ) =
k para todos los valores posibles de k.
La figura 1.22 ilustra un ejemplo donde se ha dibujado una montaña
en tres dimensiones y las curvas de nivel en dos dimensiones.
Representación
en relieve

Figura 1.22:Representación de una
campo escalar (altura de la superficie
de la montaña) en 3D y curvas de nivel
en 2D. Cada curva de nivel es del tipo
f (x, y ) = k
con k = 0, 20, 40, 60, 80.

Representación en
curvas de nivel

Un ejemplo más matemático sería considerar la función paraboloide
hiperbólico
z = φ(x, y ) = x2 − y 2
cuyas gráficas en 3D y curvas de nivel, se muestran en la figura 1.23.

Figura 1.23: Representación del campo
escalar φ(x, y ) = x2 − y 2 . A la izquierda la gráfica en 3D y a la derecha las
curvas de nivel.


22

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

1.1.13 Funciones vectoriales en tres dimensiones
Anteriormente definimos el vector posición, como un vector que va
desde el origen de coordenadas hasta un punto dado (x, y, z )
ˆ
ˆ
ˆ
r = xi + y j + z k
Ahora, si el punto (x, y, z ) se mueve en el transcurso del tiempo, entonces
ˆ
ˆ
ˆ
r (t) = x(t)i + y (t)j + z (t)k es una función vectorial del tiempo. La función r (t) traza una curva en el espacio cuando t varía. Podemos denotar
un punto en el espacio como r (x, y, z ) = r (x(t), y (t), z (t)) = r (t). La
velocidad del punto se obtiene por diferenciación vectorial
v (t) = r (t) =

dx ˆ dy ˆ dz ˆ
i+ j+ k
dt
dt
dt

Una aplicación interesante es la segunda ley de Newton
m

d2 r
= F (x, y, z )
dt2

EJEMPLO 1.1
La fuerza que actúa sobre una partícula de carga q moviéndose a una velocidad v en un campo magnético B
ˆ
es F = qv × B. Determinar la ecuación de movimiento de la partícula si B = B k, donde B es unaconstante.
Solución: No necesitamos saber lo que es una carga o un campo magnético para resolver este problema. La
segunda ley de Newton dice
d2 r
dv
m 2 =m
=F
dt
dt
dv
m
= qv × B
dt
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ahora necesitamos calcular v × B sabiendo que v = vx i + vy j + vz k y B = B k

v×B =

ˆ
i
vx
0

ˆ
j
vy
0

ˆ
k
vz
B

ˆ
ˆ
ˆ
= vy B i − vx B j + 0k

así la ecuación de movimiento queda
m

dvx ˆ dvy ˆ dvz ˆ
i+
j+
k
dt
dt
dt

ˆ
ˆ
= q ( vy B i − vx B j )

de esta manera obtenemos tres ecuaciones diferenciales acopladas
dvy
dvx
dvz
= qvy B m
= −qvx B m
=0 ( )
dt
dt
dt
primero se resuelve para v (t) y luego para r (t). Usted puede comprobar que las expresiones siguientes son
soluciones de ( )
qBt
qBt
x(t) = a cos
x(t) = a sin
z (t) = bt
m
m
m

donde a y b son constantes que dependen de los valores iniciales de r (t) y v (t). Esta trayectoria corresponde
a una hélice con velocidad uniforme en la dirección z.


matemáticas del curso

23

1.1.14 Diferencial de un vector
En la sección anterior vimos que para obtener la velocidad a partir
de vector posición tenemos que tomar las derivadas de cada componente.
Al igual que en el caso de funciones escalares, también podemos definir
el diferencial de un vector. Supongamos que el vector A depende de una
variable u, entonces la derivada de A respecto a u es
dA
dAx ˆ dAy ˆ dAz ˆ
k
=
i+
j+
du
du
du
du
En esto usamos la noción de que un pequeño cambio aˆ†A en el vector A(u)
es el resultado de un pequeño cambio aˆ†u.De aquí definimos el diferencial
de A como3
dA
dA =
du
du
Un ejemplo es el cambio infinitesimal del vector posición de una partícula
en un tiempo infinitesimal dt
dr =

dr
dt = vdt
dt

Si el vector A depende de más de una variable, digamos u, v , escribimos A = A(u, v ). Entonces
dA =

∂A
∂A
du +
dv
∂u
∂v

1.2 Operadores vectoriales
Más adelante nos encontraremos campos vectoriales y escalares continuos y nos veremos en la necesidad de considerar sus derivadas y también la integración de cantidades (campos) a lo largo de lineas, sobre
superficies y a través de volúmenes en el campo. En esta sección nos concentraremos en la definición de operadores diferenciales vectoriales y sus
propiedades.

1.2.1 Gradiente de un campo escalar
Consideremos una sala donde la temperatura puede variar de un lugar
a otro (por ejemplo a lado de una ventana la temperatura puede ser
menor). Es decir, la temperatura en la sala dependerá de las coordenadas
(x, y, z ). Como la temperatura es un escalar, la expresamos como:
T = T (x, y, z )
Ahora si deseamos saber como varía la temperatura ante un cambio infinitesimal de la posición (x, y, z) escribimos el diferencial de T
dT =

∂T
∂T
∂T
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

y notemos que esta expresión se puede escribir como el producto punto
de vectores

3

Notar que dA es también un vector.


24

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

dT =

∂T ˆ ∂T ˆ ∂T ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k · (dxi + dy j + dz k )
i+
j+
∂x
∂y
∂z

( )

ˆ
ˆ
ˆ
El término dxi + dy j +dz k no es otra cosa que dr, el vector que representa
un incremento o desplazamiento desde (x, y, z ) a (x + dx, y + dy, z +
dz ). El otro término del segundo miembro de ( ) es el gradiente de la
temperatura y es representado por el símbolo T . Entonces podemos
escribir ( ) como
dT = T · dr
Usando la definición de producto punto, lo anterior también se puede
escribir como
dT = | T | · |dr| cos θ
Ahora, si fijamos la magnitud de dr en algún valor específico (por ejemplo,
en uno) entonces el mayor valor que puede tomar dT es cuando T y
dr son paralelos (cos θ = 1). Esto nos dice que la dirección del vector
gradiente representa la dirección del incremento más rápido (máxima
pendiente) de la temperatura. Adicionalmente, la magnitud del gradiente,
| T |, es el incremento más rápido en la dirección de máxima pendiente.
El gradiente aparece frecuentemente en aplicaciones físicas. En mecánica clásica, si V (x, y, z ) representa la energía potencial, entonces el
campo de fuerza correspondiente está dado por
F (x, y, z ) = − V (x, y, z )
En electricidad y magnetismo (este curso) veremos que si V (x, y, z ) representa el potencial electrostático, entonces la intensidad del campo eléctrico correspondiente está dado por
E (x, y, z ) = − V (x, y, z )
En el caso general de una función f (x, y, z ) el gradiente en coordenadas
cartesianas es
∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ
i+
j+
k
f (x, y, z ) =
∂x
∂y
∂z
f es un vector que expresa como varía la función f en la proximidad
de un punto. Por supuesto que debemos asumir que f (x,y, z ) es diferenciable, de lo contrario f no existiría.
Si omitimos la función f , podemos definir el operador nabla

=

∂ ˆ
∂ ˆ
∂ ˆ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

que aplicado a una función f no da f .
El vector gradiente tiene dos interpretaciones geométricas importantes:
C A S O 1 : Consideremos dos puntos P y Q sobre una superficie f (x, y, z ) =
C, con C constante tal como muestra la figura 1.24. Los dos puntos están
a una distancia dr uno del otro. Al movernos del punto P al Q no hay
cambios en f (df = 0), pues f (P ) = P (Q) = C. Entonces tenemos que
df =

f · dr = 0

El gradiente es un vector, es por eso
que algunos libros de texto se escribe
f para enfatizar su naturaleza.

Gradiente como el operador nabla

.


matemáticas del curso

25

Para que esto ocurra debe tenerse que f debe ser perpendicular a dr.
En otras palabras, f es un vector normal a la superficie f (x, y, z ) = C
en cada punto.
Figura 1.24: El vector gradiente es perpendicular a la superficie f (x, y, z ) = C
cuando el vector dr está sobre la superficie.

C A S O 2 : Si ahora permitimos que dr nos lleve desde la superficie C1
hasta la superficie adyacente C2 (ver figura 1.25), tenemos que la variación
de f es
df = C1 − C2 = aˆ†C = f · dr

Figura 1.25: El vector gradiente.

Si mantenemos fijo el valor de df
|dr| =

df
| f | cos θ

y entonces se ve que |dr| toma un valor mínimo (camino más corto)
cuando nos movemos en forma paralela a f (cos θ = 1).
Por otro lado, para un valor fijo de |dr|
df = | f | · |dr| cos θ
26

electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

el cambio en la función escalar f es maximizado al elegir dr paralelo a
f (ver el caso anterior de la temperatura T ). Es decir f es el máximo
valor que podría tomar df .
Esto identifica a
incremento de f .

f como un vector que tiene la dirección del máximo

Finalmente, para reforzar el caso 2 con otro ejemplo, podemos fijarnos
en la figura 1.26a donde se ha representado, en 3D, una función de dos
variables f (x, y ). El sentido del vector f en un punto es el sentido en que
debemos movernos a partir del punto para hallar el incremento más rápido
de la función f . Si colocáramos una bolita en el punto donde calculamos
el gradiente, entonces la bolita tendría máxima velocidad en la dirección
negativa de f . En la figura 1.26b representa mediante vectores en el
plano xy el gradiente de f . En especial, en el punto (x1 , y1 ), la superficie
se eleva bruscamente.

Figura 1.26: La función escalar f (x, y )
está representada por la superficie en
3D en (a). En (b) se representa la función vectorial f .

Dirección de la
máxima pendiente

(a)

(b)


matemáticas del curso

27

PROBLEMAS
1.1 (a) sCuáles son las componentes del vector E en términos del ángulo θ?; (b) sCuáles son las componentes
del vector E en términos del ángulo φ?

1.2 Dibujar cada uno de los siguientes vectores y luego encontrar sus componentes x e y.
(a) v = (10 m/s, dirección y negativa)
(b) a = (20 m/s2 , 30° bajo el eje x positivo)
(c) F = (100 N, 36.9° sentido antihorariodesde el eje y positivo)
Sol.: (a) 0 m/s, −10 m/s; (b) 17 m/s2 , −10 m/s2 ; (c) −60 N, 80 N
1.3 Dibujar cada uno de los siguientes vectores, dibujar un ángulo que especifique la dirección del vector,
luego encontrar la magnitud y dirección.
ˆ
ˆ
(a) A = 4i − 6j
ˆ
ˆ
(b) r = (50i + 80j ) m
ˆ + 40j ) m/s
ˆ
(c) v = (−20i
ˆ
ˆ
(d) a = (2.0i − 6.0j ) m/s2
Sol.: (a) 7.2; 56° bajo el eje +x; (b) 94 m; 58° sobre el eje +x; (c) 45 m/s; 63° sobre el eje −x; (d) 6.3 m/s2 ;
18° a la derecha del eje −y.
ˆ
1.4 Para los tres vectores de la figura de abajo se cumple que A + B + C = 1 j . (a) Expresar B en sus
componentes; (b Encontrar la magnitud y dirección de B.

ˆ
ˆ
Sol.: (a) −4 i + 3 j ; (b) 5.0; 37° sobre el eje −x.
1.5 Dados los puntos M (−1, 2, 1),N (3, −3, 0) y P (−2, −3, −4). Encontrar (a) RM N ; (b) RM N + RM P ; (c)
ˆ
|rM |; (d) RM P ; (e) |2rP − 3rN |
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: (a) 4i − 5j − k; (b) 3i − 10j − 6k; (c) 2.45; (d) −0.14i − 0.7j − 0.7k; (e) 15.56
1.6 Una excursionista comienza un viaje al caminar primero 25.0, km hacia el sureste desde su vehículo. Se
detiene y levanta su tienda para pasar la noche. En el segundo día, camina 40.0, km en una dirección 60.0° al
noreste, punto en el que descubre una torre de guardabosque.
(a) Determine las componentes del desplazamiento de la excursionista para cada día.
(b) Determine las componentes del desplazamiento resultante de la excursionista para el viaje total.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: (a) (17.7 i − 17.7 j ) km; (20.0 i + 34.6 j ) km; (b)(37.7 i + 16.9 j ) km
1.7 Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La primera está a una
altitud de 800 m, 19.2 km de distancia horizontal y 25.0a—Š al suroeste. La segunda está a una altitud de 1100 m,
17.6 km de distancia horizontal y 20.0a—Š al suroeste. sCuál es la distancia entre las dos aeronaves? (Coloque el
eje x al oeste, el eje y al sur y el eje z vertical.)
Sol.: 2.29 km


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electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1.8 Encontrar el ángulo entre los vectores: a = i + 2j + 3k y b = 2i + 3j + 4k
Sol.: 0.12 rad
1.9 Mostrar que los siguientes vectores forman los lados de un triangulo rectángulo:
ˆ ˆ ˆ
A = 2i − j + k

ˆ
ˆ
ˆ
B = i − 3j − 5k

ˆ
ˆ
ˆ
C = 3i − 4j − 4k

1.10 Dos vectores A y B tienen magnitudes exactamente iguales. Para que la magnitud de A + B sea 100
veces mayor que la magnitud de A − B, scuál debe ser el ángulo entre ellos?
Sol.: 1.15°
1.11 Un campo vectorial S es expresado en coordenadas rectangulares como
S (x, y, z ) =

125
ˆ
ˆ
ˆ
(x − 1)i + (y − 2)j + (z + 1)k
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2

(a) Evaluar S en P (2, 4, 3). (b) Determinar un vector unitario que de la dirección de S en P . (c) Especificar la
superficie f (x, y, z ) cuando S = 1.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: (a) 5.95i + 11.90j + 23.8k; (b) 0.218i + 0.436j + 0.873k; (c)

(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 125

ˆ
ˆ
ˆ
1.12 Considere el campo vectorial G = y i − 2.5xj + 3k y el punto Q(4, 5, 2). Encontrar (a) G(rQ ) (G en Q);
ˆ
ˆ ˆ
(b) la componenteescalar de G(rQ ) en la dirección a = 1 (2i + j − 2k ); (c) la componente vectorial de G(rQ )
3
en la dirección a; (d) el ángulo θ entre G(rQ ) y a.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: (a) G(rQ ) = 5i − 10j + 3k; (b) −2; (c) −1.333i − 0.667j + 1.333k; (d) 99.9°
1.13 Los tres vértices de un triangulo están localizados en A(6, −1, 2), B (−2, 3, −4) y C (−3, 1, 5). Encontrar:
(a) RAB × RAC ; (b) Un vector unitario perpendicular al plano del triangulo.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Sol.: (a) 24i + 78j + 20k; (b) 0.286i + 0.928j + 0.238k
1.14 En el capítulo siguiente veremos que dos cargas de distinto signo q1 y q2 se atraen con una fuerza de
magnitud
|q1 q2 |
F = ke
r2
donde r es la distancia entre las cargas y ke es una constante. En la figura se muestran dos cargas positivas +q
y una carga negativa −Q que puede moverse libremente y que se encuentra inicialmente en reposo. Si las dos
cargas q están fijas, encontrar el vector fuerza sobre Q.

ˆ
Sol.: FQ = −2ke (x2 +(qQx)2 )3/2 i
d/2
1.15 Cuatro cargas puntuales idénticas, cada una con carga +q, están fijas en las esquinas de un cuadrado de
lado L. Una quinta carga −Q está situada a una distancia z a lo largo de una línea perpendicular al plano del
cuadrado y que pasa a través del centro del cuadrado. Demuestre que la fuerza ejercida por las cuatro cargas
+q sobre la carga −Q es:
4ke qQz
ˆ
FQ = −
k
2 + L2 /2]3/2
[z


matemáticas del curso

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1.16 Demuestre que
d
du
dv
(u v ) =
v+u
dt
dt
dt
1.17 El potencial electrostático producido por el momento dipolar µlocalizado en el origen y dirigido a lo
largo del eje x está dado por
V (x, y, z ) =

µx

(x2 + y 2 + z 2 )3/2

(x, y, z = 0)

Encontrar la expresión de campo eléctrico asociado a este potencial.
ˆ
Sol.: E = i

3µx2
(x2 +y 2 +z 2 )5/2

−

µ
(x2 +y 2 +z 2 )3/2

ˆ
+j

3µxy
(x2 +y 2 +z 2 )5/2

ˆ
+k

3µxz
(x2 +y 2 +z 2 )5/2

1.18 El potencial electrostático, en coordenadas cilíndricas, para cierta configuración de cargas está dado por
la expresión
V0
V (φ) =
(2π − φ)
α ≤ φ ≤ 2π
2π − α
Donde V0 y α son constantes. Encontrar el campo eléctrico E mediante la relación
E=− r
ˆ
Sol.:

V0
ˆ
φ
(2π−α)r

∂V
ˆ 1 ∂V + z ∂V
+φ
ˆ
∂r
r ∂φ
∂z