Tesis H


1.

Introducción. Ley de distribución de velocidades de Maxwell.

En un gas en estado estacionario hay partículas que se mueven a altas velocidades y otras están prácticamente en reposo, pero la mayoría tendrán velocidades cercanas a un valor medio. Por tanto el problema que Maxwell se planteó era hallar una ley de distribución de velocidades que determine el número de partículas que tienen su velocidad dentro de un intervalo fijo. A la hora de deducir una ley de carácter estadístico sobre la distribución de probabilidades se establecen las siguientes hipótesis

1.1. 1.2

Hipótesis: (Mirar Aguilar. Cap. 25 Pág. 576) Deducción de la ley de distribución de velocidades.

La probabilidad de que cualquier vector velocidad v i ,(i = x, y, z) tenga su componente de velocidad entre vi y vi + dvi será: dPi = dN (vi ) = f (vi )dvi N

Donde N es el número total de partículas y f (vi ) es la función que se debemos determinar. La probabilidad total de encontrar una partícula en un intervalo de velocidades dvx , dvy y dvz será elproducto de las tres probabilidades: 1


d3 N (vx vy vz ) dP = = f (vx )f (vy )f (vz )dvx dvy dvz N Según estas ecuaciones la densidad local de puntos en el espacio de velocidades en función de las coordenadas (vx , vy , vz ) será: ρ= d3 N (vx vy vz ) = N f (vx )f (vy )f (vz ) dvx dvy dvz

Si sobre esta función de densidad se imponen las hipótesis de las que hemos partido podemos hallar las funciones f (vi ). El resultado es: f (vi ) = Ae−β
2 v2 i

Una función gaussiana de parámetros A yβ. La ecuación de la distribución referida a las componentes será: dN (vx vy vz ) = N A3 e−β
2 v2

dvx dvy dvz

Que es la ley de distribución vectorial de velocidades de Maxwell. Por tanto la expresión del número de partículas referida al módulo de la velocidad, conocida como ley de distribución escalar de velocidades de Maxwell, será: dN (v) = N A3 e−β
2 v2

4πv 2 dv

2 2 2 Donde hemos pasado a coordenadas esféricas (v 2 = vx + vy + vz , dvx dvy dvz = 2 4πv dv) y A yβ son los parámetros que vamos a determinar. A diferencia de las expresiones referidas a lascomponentes de la velocidad, cuando nos referimos al módulo vemos claramente que la distribución no es una gaussiana.

2


1.3.
1.3.1

Cálculo de A y β.
Cálculo de A

El número total de partículas con un módulo de velocidad entre (−∞, ∞) será el número total de partículas: ˆ N=
−∞ ∞

N A3 e−β

2 v2

4πv 2 dv

Por tanto: ˆ
∞

A3 e−β
−∞

2 v2

4πv 2 dv = 1

Es la probabilidad total. De aquí podemos deducir fácilmente que A es un factor de normalización de la ley de distribución y su valor será por tanto: ˆ A=
−∞ ∞ −1/3

e−β

2 v2

4πv 2 dv

En este caso, si realizamos la integral, que suele llamarse integral de la teoría cinética, el valor que obtenemos es: β A= √ π Por tanto la ley escalar de distribución de velocidades queda después de sustituir A:

dN (v) 4N β 3 v 2 e−β √ = dv π (Dibujar gráfica)

2 v2

3


1.3.2.

Cálculo de β

A la hora de determinar el valor de β hay que definir el concepto de velocidad más probable. La velocidad más probable vp es la velocidad a la que se mueven un mayor número de partículas. Lavelocidad más probable corresponde por tanto a un máximo en la distribución de probabilidades de Maxwell, por tanto: d dv dN (v) dv d = dv 4N β 3 v 2 e−β √ π
2 v2

= 0 = 2v − 2β 2 v 3 = 0

De esta condicón obtenemos: β= 1 vp

Por lo tanto β es la inversa de la velocidad más probable. Si tenemos en cuenta que el cuadrado de la velocidad cuadrática media será: 1 v = ¯ N
2

ˆ
0

∞

v 2 dN (v)

y sustituimos el valor que hemos obtenido para dN (v): 4β 3 v = √ ¯ π
2

ˆ
0

∞

v 4 e−β

2 v2

dv

Si resolvemos la integral sustituyendo el valor de β = 1/vp obtenemos: 3 2 v 2 = vp ¯ 2 Si expresamos la velocidad media en función de la temperatura v 2 = ¯ obtenemos por tanto: vp = 4 2kT m
3kT m


1.3.3.

Sutitución de A, β y vp

Si sustituimos los valores de A, β y vp obtenemos las funciones de distribución, por componentes, vectorial y de módulo: N dN (vi ) = √ π m 2kT
1/2

e−mvi /2kT dvi

2

dN (vx , vy , vz ) = N

m 2πkT

3/2

e−mv

2 /2kT

dvx dvy dvz

4N dN (v) = √ π

m 2kT

3/2

v 2 e−mv

2 /2kT

dv

5