Óptica Geométrica

ÓPTICA GEOMÉTRICA
La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el tamaño de obstáculos ó aberturas que se encuentra a su paso. Esto permite en general despreciar los efectos de interferencia y difracción asociados al carácter ondulatorio de la luz. Sobre esta hipótesis se asume una propagación rectilínea de los rayos de luz dando lugar a la disciplina conocida como. Los axiomas sobre los que se construye la son: 1. Las trayectorias de los rayos de luz en los medios homogéneos e isótropos son rectilíneas 2. El rayo incidente, el refractado y la normal están en un mismo plano 3. Se cumple la ley de la reflexión 4. Se cumple la ley de la refracción 5. Las trayectorias de la luz a través de distintos medios son reversibles  No existe interacción entre los diferentes rayos donde los cinco primeros axiomas se deducen del principio de Fermat, tal y como vimos en el capítulo anterior, y el último supone ignorar el carácter ondulatorio de la luz. La se ocupa principalmente de la formación de imágenes por espejos y lentes, base de la construcción de instrumentos ópticos tales como microscopios ó telescopios.

1 Espejos
La figura 1.a muestra un haz de rayos que procede de unpunto P situado en el eje de un espejo esférico cóncavo y que después de reflejarse en el mismo convergen en el punto PŽ. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. Esta imagen se denomina imagen real debido a que la luz realmente emana del punto imagen y puede verse por un ojo situado a la izquierda de la imagen y que mire hacia el espejo. La figura 1.b muestra un haz de rayos luminosos que proceden de una fuente puntual P y se reflejan en un espejo plano. Después de la reflexión, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto Figura 1. Reflexión en un espejo cóncavo PŽ situado detrás del espejo dando lugar a una imagen virtual debido a que la luz no procede (a) y plano (b
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realmente de la imagen. A pesar de esta diferencia entre imagen real y virtual, los rayos luminosos que divergen desde ambos tipos de imagen son idénticos para el ojo. La figura 2 esquematiza el proceso de reflexión de un rayo que procedente de un punto objeto P a una distancia s medida según el eje óptico, se refleja en un espejo esférico y pasa por el punto imagen PŽ situado a una distancia sŽ. El punto C es el centro de curvatura del espejo y el punto V sitúa la intersección del espejo con el eje óptico. Los rayosincidente y reflejado forman ángulos iguales con la línea radial CA que es perpendicular a la superficie del espejo.

Figura 2. Proceso de reflexión de un rayo en un espejo cóncavo

De la geometría expuesta en la figura se deduce que el ángulo β=α+θ y que γ=α+2θ. La distancia imagen sŽ desde el vértice V del espejo a PŽ puede relacionarse con la distancia objeto s asumiendo que los ángulos son pequeños y que senθ ≈ θ, rayos paraxiales. El resultado es
1 1 2 + = s sŽ r

[1]

Cuando la distancia objeto es grande en comparación con el radio de 1 curvatura, s=∞, la distancia imagen es sŽ= r y recibe el nombre de distancia focal f 2 del espejo. El punto focal F es el punto en donde resultan enfocados todos los rayos paralelos al eje del espejo
f = 1 r 2

[2

La distancia focal de un espejo esférico es igual a la mitad del radio de curvatura. En función de la distancia focal f, la ecuación [1] toma la forma
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1 1 1 + = s sŽ f

[3]

conocida como ecuación del espejo. El criterio de signos a aplicar a la hora de utilizar correctamente estas ecuaciones es el siguiente s sŽ r,f + si el objeto está delante del espejo (objeto real) - si el objeto está detrás del espejo (objeto virtual) + si la imagen está delante del espejo (imagen real)- si la imagen está detrás del espejo (imagen virtual) + si el centro de curvatura está delante del espejo (espejo cóncavo) - si el centro de curvatura está detrás del espejo (espejo convexo) Un método que resulta útil a la hora de situar imágenes consiste en la construcción de un diagrama de rayos esquematizado en la figura 3. Existen tres rayos principales convenientes para la construcción de la imagen 1. El rayo paralelo al eje óptico. Este rayo se refleja pasando por el punto focal Figura 3. Diagrama de rayos en un espejo 2. El rayo focal, que pasa por el punto concavo focal. Este rayo se refleja paralelamente al eje óptico 3. El rayo radial, que pasa por el centro de curvatura. Este rayo incide sobre el espejo perpendicularmente a su superficie y por ello se refleja coincidiendo consigo mismo La intersección de dos rayos cualesquiera sitúa el punto imagen Figura 4. Imagen virtual en un espejo cóncavo superior pudiéndose utilizar el tercer rayo como comprobación. Cuando el objeto está entre el espejo y su punto focal, los rayos reflejados no convergen sino que parecen divergir desde un punto situado detrás del espejo, imagen virtual, tal y como se ilustra en la figura 4. En la figura 5 se muestra el diagrama de rayos para un objeto situado delante de un espejoconvexo. El rayo central que se Figura 5. Imagen virtual en un espejo convexo dirige hacia el centro de curvatura C es perpendicular al espejo y se refleja sobre
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si mismo. El rayo paralelo al eje se refleja como si procediese del punto focal F detrás del espejo. Podemos ver en la figura que la imagen está detrás del espejo y, por tanto, es virtual. La relación entre el tamaño del objeto y de la imagen se denomina aumento lateral de la imagen. En la figura 6, y utilizando la aproximación de rayos paraxiales, podemos ver que el aumento lateral es igual a
Figura 6 Aumento lateral en un espejo cóncavo

m=

yŽ sŽ =− y s

[4]

Un aumento negativo, lo que tiene lugar cuando s y sŽ son positivos, significa que la imagen está invertida. En el caso de espejos planos el radio de curvatura es infinito implicando que la distancia focal es infinita. Esto da lugar a que sŽ=s y m=1. Esto da lugar a una imagen virtual, derecha (no invertida) y del mismo tamaño que el objeto.

2 Lentes
2.1 Imágenes formadas por refracción. La formación de una imagen por refracción en una superficie esférica que separa dos medios con índices de refracción n1 y n2 se ilustra en la figura 7.

Figura 7. Refracción en una superficie esférica

En esta figura n2>n1de modo que las ondas se mueven más lentamente en el 2s medio. Aplicando la ley de Snell, con la aproximación de rayos paraxiales, y de los triángulos ACPŽ y PAC obtenemos n1θ 1 = n 2θ 2 β = θ2 + γ θ1 = α + β

[5]

y utilizando las aproximaciones de ángulos pequeños, rayos paraxiales
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α≈

l s

β≈

l r

γ ≈

l sŽ

[6]

obtenemos la ecuación que liga la distancia imagen sŽ con la distancia objeto s, el radio de curvatura r de la superficie y los índices de refracción de los dos medios
n1 n2 n 2 − n1 + = s sŽ r

[7]

En la refracción, las imágenes reales se obtienen detrás de la superficie que recibe el nombre de lado de transmisión, mientras que las imágenes virtuales se presentan en el lado de incidencia delante de la superficie. Por tanto el convenio de signos que utilizamos para la refracción queda s + (objeto real) para los objetos delante de la superficie incidencia) - (objeto virtual) para los objetos detrás de la superficie transmisión) + (imagen real) para las imágenes detrás de la superficie transmisión) - (imagen virtual) para las imágenes delante de la superficie incidencia) + si el centro de curvatura está en el lado de transmisión - si el centro de curvatura está en el lado de incidencia (lado de (lado de (ladode (lado de

sŽ

r

Se denomina punto focal objeto F a la posición de un objeto puntual sobre el eje óptico tal que los rayos refractados son paralelos al eje óptico, lo cual equivale a tener la imagen del punto en el infinito. La distancia del objeto a la superficie esférica se denomina distancia focal objeto f. Análogamente, cuando los rayos incidentes son paralelos al eje óptico, objeto en el infinito, los rayos refractados pasan por el punto focal imagen FŽ situado a la distancia focal imagen fŽ de la superficie. Según la figura 8 y utilizando de nuevo la ley de Snell y la aproximación de rayos paraxiales llegamos a que el aumento debido a la refracción en una superficie esférica es igual a
m= yŽ n sŽ =− 1 y n2 s

[8]

Figura 8 Aumento debido a la refracción en una superficie esférica 6-5




2.2 Lentes delgadas. La aplicación más importante de la ecuación [7] para la refracción en una superficie simple consiste en hallar la posición de la imagen formada por una lente siendo ésta un medio transparente de índice de refracción n limitado por dos superficies esféricas de radios r1 y r2 y de espesor despreciable, lente delgada. Según la figura 9, si un objeto está a una distancia s de la primera superficie se puede encontrarse ladistancia s1Ž de la imagen debido a la refracción aplicando [7]
1 n n −1 + Ž = s s1 r1

[9]

Figura 9. Refracción de la luz y formación de imagen en una lente delgada

Esta imagen no llega a formarse porque la luz se refracta de nuevo en la segunda superficie. En este caso s1Ž es negativa indicando que sería una imagen virtual. Los rayos dentro del vidrio, refractados por la primera superficie, divergen como si procediesen del punto imagen P1Ž. Estos inciden sobre la segunda superficie formando los mismos ángulos que si se encontrase un objeto en este punto imagen. Por consiguiente, la imagen dada por la primera superficie se convierte en objeto para la segunda superficie. Como la lente es de espesor despreciable, la distancia objeto s2 es de valor igual a s1Ž pero de signo positivo dado que está en el lado de incidencia para la segunda superficie s =-s1 Ž. Aplicando [7] para esta segunda 2 refracción obtendremos la distancia imagen sŽ para la lente
n 1 1− n + = Ž − s1 sŽ r2

[10]

y eliminando s1 Ž al sumar [9] y [10] tenemos

1 1 1 1 + = ( n − 1) −  r r  s sŽ  1 2 

[11]

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La ecuación [11] da la distancia imagen sŽ en función de la distancia objeto s y de las propiedades de la lente delgada. Como en el caso de losespejos, la distancia focal de una lente delgada se define como la distancia imagen que corresponde a una distancia objeto infinita. Haciendo s=∞ y escribiendo f en lugar de la distancia imagen se tiene

1 1 1 = ( n − 1) −  r r  f  1 2 

[12]

denominada ecuación del constructor de lentes y que da la distancia focal de una lente en función de sus propiedades. Introduciendo [12] en [11] obtenemos la denominada ecuación de la lente delgada 1 1 1 + = s sŽ f [13] En una lente delgada los dos puntos focales, objeto F e imagen FŽ, están simétricamente ubicados a ambos lados de la lente delgada y a una distancia igual a la focal f. Cuando la distancia focal calculada a partir de [12] es mayor que cero se dice que la lente es positiva ó convergente, figura 10, teniendo el punto focal objeto F en el lado de incidencia y el punto focal imagen FŽ en el lado de transmisión. Las lentes más gruesas en el centro que en los extremos, biconvexas, son lentes positivas, siempre que su índice de refracción sea mayor que el del medio que las rodea. Sin embargo, cuando la distancia focal es menor que cero, tenemos una lente negativa ó divergente y el punto focal objeto está en el lado de transmisión y el punto focal imagen en el lado de incidencia, figura 11, siempre que suíndice de refracción sea mayor que el del medio que las rodea. El valor inverso de la distancia focal se denomina potencia de la lente. Cuando se expresa en metros la distancia focal, la potencia viene dada en recíprocos de metros denominados dioptrías (D
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Figura 10. Lente convergente

Figura 11. Lente divergente




P=

1 dioptrías f

[14]

midiendo la capacidad de la lente para enfocar los rayos paralelos a una distancia corta de la misma. Si combinamos en un sistema óptico dos ó más lentes delgadas, podemos hallar la imagen final producida por el sistema de lentes múltiples hallando la distancia imagen correspondiente a la primera lente y utilizándola junto con la distancia entre lentes para hallar la distancia objeto correspondiente a la segunda lente. Es decir, se considera cada imagen, sea real ó virtual y se forme ó no como el objeto para la siguiente lente. En caso de que las dos lentes delgadas de distancias focales f1 y f2 estén en contacto, la distancia focal equivalente de la combinación viene dada por
1 1 1 = + f f1 f2

[15]

2.3 Diagramas de rayos para las lentes. Como sucede con las imágenes formadas por los espejos, es conveniente situar las imágenes dadas por las lentes mediante métodos gráficos. La figura 12ilustra este método para lentes convergentes donde los rayos principales son

Figura 12. Diagrama de rayos en una lente convergente

1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo se desvía de modo que pasa por el segundo punto focal de la lente 2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre desviación dado que las caras de la lente son paralelas en este punto y la lente es delgada 3. El rayo focal, que pasa por el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje Estos tres rayos convergen en el punto imagen. En este caso la imagen es real e invertida y la amplificación lateral vale, igual que en caso de espejos, m=-sŽ/s
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Los rayos principales para una lente divergente, tal y como se esquematiza en la figura 13, son 1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo diverge como si procediese del segundo punto focal de la lente 2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre desviación 3. El rayo focal, que se dirige hacia el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje

Figura 13. Diagrama de rayos en una lente divergente

2.4 Aberraciones. Cuando los rayos procedentes de un punto objeto no se enfocan en un solo punto imagen, la imagen borrosaresultante del objeto se denomina aberración. Los motivos de las aberraciones suelen clasificarse en los siguientes tipos i) Aberración esférica. Los rayos que procedentes de un objeto en el eje óptico, inciden sobre una lente lejos del eje, rayos no paraxiales, se desviarán más que los próximos al mismo, figura 14, con el resultado de que no todos los rayos se enfocan en un solo punto. En lugar de ello, la imagen tiene el aspecto de un disco circular. El círculo de mínima confusión, en donde se encuentra el diámetro mínimo, se encuentra en el punto C

Figura 14. Aberración esférica en una lente 6-9




ii) Coma y astigmatismo. Son aberraciones propias de puntos fuera del eje óptico, que dan lugar a imágenes no puntuales del punto objeto, y motivadas por considerar rayos no paraxiales al igual que en la aberración esférica. iii) Curvatura de imagen. Aún considerando que la imagen de un punto es otro punto, puede ocurrir que los puntos del plano objeto no están todos en el mismo plano imagen sino en una superficie curva produciendo una curvatura de la imagen iv) Distorsión. Da lugar a una imagen no semejante a la forma del objeto y es motivada por el hecho de que la amplificación lateral depende de la distancia de los puntos objeto al eje v) Aberracióncromática. El hecho de que el índice de refracción de la lente depende de la longitud de onda, fenómeno que ya analizamos en el capítulo anterior y conocido como dispersión, produce aberraciones cuando trabajamos con luz no monocromática dado que la distancia focal depende de n. La figura 15 ilustra este fenómeno al iluminar con luz formada por tres colores una lente

Figura 15. Aberración cromática en una lente

Las aberraciones son corregidas parcialmente utilizando superficies no esféricas para lentes y espejos, generalmente más costosas de producir que las superficies esféricas. Por ejemplo, es habitual el uso de superficies reflectoras parabólicas que enfocan en un punto los rayos paralelos al eje sin importar lo alejados que estén estos del eje óptico. Otro método habitualmente utilizado para corregir aberraciones es usar combinaciones de varias lentes, en lugar de una sola lente. Por ejemplo, una lente positiva, y otra negativa de mayor distancia focal, pueden utilizarse juntas para producir un sistema de lentes convergente que tenga una aberración cromática mucho menor que una lente simple de la misma distancia focal. El sistema óptico de una buena cámara fotográfica contiene normalmente seis elementos para corregir las diversas aberraciones presentes.
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