LEY de ENFRIAMIENTO de NEWTON
INTRODUCCIÓN
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos
llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación,
vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la
transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos
cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en
los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en transito, debido
a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad
de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse
sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo;
para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. En
virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al
conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la
determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura
de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.
Experimentalmente se puede demostrar y bajo ciertas condiciones obtener una
buena aproximación a la temperatura de una sustancia usando la Ley de
Enfriamiento de Newton.
Esta puede enunciarse de la siguiente manera: La temperatura de un
cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las
temperaturas entre elmedio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de
proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya,
entonces la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento es:
(1)
Donde:
T = Temperatura de un cuerpo
t = tiempo
Tm = Temperatura del
medio ambiente
Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables
(2)
integrando cada miembro de la ecuación
(3)
Obtenemos
(4)
y por tanto la ecuación inversa es;
(5)
(6)
Si:
(7)
(8)
(9)
Ejemplo: Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°C., se
mide también la temperatura del medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza
a enfriar y tres minutos después se encuentra que el termómetro marca
75°C. se desea predecir la lectura del
termómetro para varios tiempos posteriores, por lo tanto se requiere determinar
la ecuación del
enfriamiento en función de los valores dados.
Representemos por 'T' (°C.) la temperatura marcada por el termómetro,
al tiempo 't' (min.). Los datos indican que cuando t = 0.0; T = 80.0,
y cuando t = 3.0 min., T = 75°C.
De acuerdo con la ecuación (9) de la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variación de la temperatura
con el tiempo, dT/dt, es proporcional a la diferencia de temperaturas (T -
20.0). Ya que la temperatura quemarca el termómetro está decreciendo, entonces
(-k) resulta la constante de proporcionalidad. Así 'T' debe ser
determinada de la ecuación diferencial, por lo tanto necesitamos conocer las
lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes, debido a que hay dos
constantes que deben ser determinadas, 'k' de la ecuación (1) y la
constante de 'integración' que se encuentra en la solución de la misma.
Así que bajo las condiciones dadas:
(10)
cuando t = 0.0 ; T = 80.0
y transcurrido un cierto tiempo de enfriamiento
(11)
cuando t = 3.0 ; T = 75.0
de la ecuación (9) se sigue inmediatamente que debido a que la temperatura
ambiente es igual a 20 °C. entonces:
T = 20 + Ce-kt
Entonces; la condición (10) nos indica que 80 = 20 + C y por lo tanto la
constante de integración es: C = 60, de tal forma que tenemos que la ecuación
anterior resulta:
(12)
T = 20 + 60e-kt
El valor de 'k' será determinado ahora usando la condición (11).
Haciendo t = 3.0 y T = 75 por lo que con la ecuación (12) obtenemos
(13)
75 = 20 + 60e-kt
realizando el despeje correspondiente resulta que: e-kt = 0.917,
ahora aplicando 'ln' a la ecuación y despejando la constante de
proporcionalidad cuando el tiempo es igual a 3.0 min. resulta: k = - 1/3
ln 0.917 por lo tanto:
(14)
k = 0.02882602
Ya que ln 0.917 = - 0.0866, la ecuación (12) puede reemplazarse por:
(15)
T = 20.0 + 60 e-0.02882602 t
la cual resulta la ecuaciónde la ley de enfriamiento de Newton aplicada a
nuestro sistema, es decir que el valor de 'k' depende de las
características específicas del sistema en particular, ecuación con la que
podemos determinar a un tiempo dado la temperatura correspondiente y por consiguiente
conociendo la temperatura hallar el tiempo de enfriamiento transcurrido. Por lo
que conocer el valor de la constante 'k' para diferentes materiales
en función de una tabla de valores tiempo vs. temperatura nos da la
posibilidad de 'caracterizar' a cada uno de ellos.
PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS
Dada la variedad de métodos para resolver problemas que involucren los
conceptos de hidrostática e hidrodinámica, se presentarán los problemas sin
ningún orden temático de agrupación.
1. Denver, Colorado,
se conoce como
la 'Ciudad a una Milla de Altura' debido a que está situada a una
elevación aproximada de 5.200 pies. Si la presión a nivel del
mar es de 101,3 KPa (abs), sCuál es la presión atmosférica en Denver?. Densidad del aire = 1,29
Kg/m3. Sol. 81,2 KPa
2. Un barómetro indica que la presión atmosférica es de 30,65 pulgadas de
mercurio. Calcule la presión atmosférica en lb/pulg2 absoluta? Sol. 15,058
psi
3. sCuál es la lectura de presión barométrica en milímetros de
mercurio correspondiente a 101,3 KPa(abs)? Sol. 759,812 mm de Hg a 0 sC
4. Para el tanque de la Figura, determine la profundidad del aceite, h, si la
lectura en el medidorde presión del fondo es de 35,5 lb/pulg2 relativa, la
parte superior del tanque está sellada y el medidor superior indica 30 lb/pulg2
relativa. Sol. 13,355 Ft
5. Para el manómetro diferencial que se muestra en la Figura, calcule
la diferencia de presión entre los puntos A y B. La gravedad específica del
aceite es de 0,85 Sol. PA-PB = 37,20 Lb/Ft2
6. sA qué carga de altura de tetracloruro de carbono (densidad
relativa 1,59) es equivalente una presión de 200 KPa? Sol. 12,83 m
7. Un recipiente contiene 10 Lt de agua pura a 20 sC. sCuál es su masa y su
peso? Sol. 9,9758 kg y 97.862 N
8. La misma pregunta 7, suponiendo el recipiente en la Luna en donde la
atracción gravitacional es 1.66 m/s2 Sol. 16,559 N
9. Calcular el empuje que experimenta un cuerpo que flota sobre un líquido de
densidad igual a 0,8 g/cm3, desalojando 20 cm3 de líquido Sol. 0,157 N
10. Un cuerpo pesa en el aire 600 N y sumergido totalmente en agua pesa 200 N.
Calcular su peso específico Sol. 14716,7 N/m3
11. Un cuerpo pesa 800 N sumergido totalmente en agua y 600 N sumergido
totalmente en un líquido de densidad igual a 1,2 g/cm3. Hallar cuánto pesará
sumergido totalmente en alcohol de peso específico igual a 0,8
g/cm3 Sol. 1000,124 N
12. Calcule el momento necesario para mantener la compuerta cerrada. La
compuerta mide 2 m x 2 m. Sol. 1090251,595 N.m sentido horario
13. Dos recipientes pequeños están conectados a un manómetro de tubo en U que
contienemercurio (densidad relativa 13,56) y los tubos de conexión están llenos
de alcohol (densidad relativa 0,82). El recipiente que se encuentra que se
encuentra a mayor presión está a una elevación de 2 m menor que la del otro.
sCuál es la diferencia de presión entre los recipientes cuando la diferencia
estable en el nivel de los meniscos de mercurio es de 225 mm?. sCuál es la
diferencia en carga de altura piezométrica?. Si se usara un manómetro de tubo
en U invertido conteniendo un líquido de densidad relativa 0,74 en lugar del
anterior, scuál seria la lectura del manómetro para la misma diferencia de
presión? Sol. 44,2 kPa, 0,332 m; 6,088 m
14. sCuál es la posición del centro de presión de un plano semicircular
verticalmente sumergido en un líquido homogéneo y con su
diámetro d dispuesto en la superficie libre? Sol. Sobre la línea
central y a una profundidad
15. Una abertura circular de 1,2 m de diámetro en el lado vertical de un
depósito, se cierra por medio de un disco vertical que ajusta apenas en la
abertura y esta pivoteado sobre un eje que pasa a través de su diámetro
horizontal. Demuéstrese que, si el nivel de agua en el depósito se halla arriba
de la parte superior del disco, el momento de volteo sobre el eje, requerido
para mantener vertical al disco, es independiente de la carga de altura del
agua. Calcúlese el valor de este momento. Sol. 998 N.m
16. Un recipiente con agua, de masa total de 5 kg, se encuentra sobre una
básculapara paquetes. Se suspende un bloque de hierro de masa 2,7 kg
y densidad relativa 7,5, por medio de un alambre delgado desde una balanza de
resorte y se hace descender dentro del agua hasta quedar completamente
sumergido. sCuáles son las lecturas en las dos balanzas? Sol. 2,34 kgf,
5,36 kgf
17. Un cilindro de madera uniforme tiene una densidad relativa de
0,6. Determínese la relación entre el diámetro y la longitud del mismo, para
que éste flote casi vertical en el agua. Sol. 1,386
18. sQué fuerza ejercerá el pistón menor de un sillón de dentista para elevar a
un paciente de 85 Kg?, si el sillón es de 300 Kg y los émbolos son de 8 cm y 40
cm de radio. Sol. 151,02 N
19. En un tubo U se coloca agua y nafta, las alturas alcanzadas son 52 cm
y 74 cm respectivamente, scuál es la densidad de la nafta? Sol. 0,71 g/cm3
20. Un cubo de aluminio (ï§ï€ =2.7
gf/cm3) de 3 cm de lado se coloca en agua de mar (ï§ï€ = 1,025 gf/cm3). sFlotará? Sol. No
21. Un cuerpo pesa en el aire 289 gf, en agua 190 gf y en alcohol 210 gf. sCuál
será el peso específico del cuerpo y del alcohol? Sol. ï§Cuerpo: 2,92 gf/cm3, ï§alcohol: 0,798 gf/cm3
22. Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55 gf, scuál será el
empuje que sufrirá en éter? (ï²ï€ = 0,72
g/cm3) Sol. 36,69 gf
sCuál será la velocidad de salida? Sol. 6,41 m/s
sCuál será el alcance del chorro? Sol. 2,74 m
23. Un recipiente cilíndrico de 3 m de alto está lleno de agua, a 90 cm de la
base se lepractica un orificio de 2 cm2 de sección, determinar:
24. sCuál será la sección de un orificio por donde sale un líquido si el caudal
es de 0,8 dm3/s y se mantiene un desnivel constante de 50 cm entre el orificio
y la superficie libre del líquido Sol. 2,55 cm2
25. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 6
cm de la superficie libre del líquido. Sol. 108,4 cm/s
26. Por un conducto recto circula agua a una velocidad de 4 m/s. Si la sección
del tubo es de 2 cm2, scuál es el caudal de la corriente? Sol. 800 cm3/s
27. Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal
constante. Considerando dos secciones de esa cañería; S1 = 5 cm2 y S2 = 2 cm2,
scuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8 m/s?
Sol. 20 m/s
28. Por un orificio sale agua a razón de 180 l/min. Si se mantiene constante el
desnivel de 30 cm entre el orificio y la superficie libre del líquido, scuál es
la sección del orificio? Sol. 12,3 cm2
29. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 4,9
cm de la superficie libre del líquido. Sol. 98 cm/s
30. Por un tubo de 15 cm2 de sección sale agua a razón de 100 cm/s. Calcule la
cantidad de litros que salen en 30 minutos. Sol. 2700 l
31. El caudal de una corriente estacionaria es de 600 l/min. Las secciones de
la tubería son de 5 cm2 y 12 cm2. Calcule la velocidad de cada
sección. Sol. 2000 cm/s y 83,33 cm/s
32. Una corrienteestacionaria circula por una tubería que sufre un
ensanchamiento. Si las secciones son de 1.4 cm2 y 4.23 cm2 respectivamente,
scuál es la velocidad de la segunda sección si en la primera es de 6 m/s? Sol.
2 m/s
33. Calcular el volumen que pasa en 18 segundos por una cañería de 3 cm2 de
sección si la velocidad de la corriente es de 40 cm/seg Sol. 2160 cm3
34. sCuál es el caudal de una corriente que sale por una canilla de 0,5 cm de
radio si la velocidad de salida es de 30 m/s? Sol. 23,55 cm3/seg
35. Convertir 30 l/min a cm3/seg Sol. 5000 cm3/seg
37.
38. Un tanque provisto de una compuerta circular es destinado a la recolección
de agua de mar (S = 1,03) como se muestra en la figura anexa. Para impedir que
la compuerta abra se colocará piedras en el borde inferior de la misma.
Determine la masa de piedra necesaria para evitar que se aperture la compuerta.
Masa de la compuerta: 1 tonelada, ángulo de inclinación: 30 s, diámetro de la
compuerta: 10 m.Sol: 10273,52 Kg
39. Un prisma de hielo se ha colocado verticalmente en agua de mar, sobresale
25 m. Determinar su altura total sabiendo que la densidad del hielo es 0,914
g/cm3 y la densidad del agua de mar es 1,023 g/cm3. Sol: 234,08 m
40. La velocidad de una corriente estacionaria es de 50 cm/s y su caudal es 10
L/s. sCuál es la sección transversal del tubo?. Sol: 0,02 m2
41. Un cilindro de anime (Sa = 0,68) se encuentra flotando en alcohol (Sal =
0,90). Determine el porcentaje de la alturatotal del cilindro que emerge sobre
la línea de flotación. Si se colocase hierro en la parte superior del cilindro
a fin de sumergirlo totalmente, scuál es la relación entre la masa de hierro
(SFe = 7,8) y la masa de anime? Sol. 24 % de la altura total; mFe/man = 0,322347
42. Un sistema de bombeo funciona a plena carga
trasladando petróleo (Sp = 0,87), desde un punto ubicado a 150 metros
sobre nivel del mar (msnm) a otro localizado a 1250 msnm. La presión en la
succión es 150 psi y en la descarga 258,6 psi. Calcula el caudal de fluido
manejado por el sistema, sabiendo que la relación de diámetro entre succión y
descarga es 3 (Ds/Dd); Dd = 20 cm. Sol. 4,474 m3/s
43.
44. En la figura adjunta se presenta un contenedor de aceite (Sa = 0,80), el
cual posee dos compuertas cuadradas a los lados, inclinadas respecto a la
horizontal 60 s. Determina cuánto debe ser la máxima altura de fluido
'h' que puede estar presente dentro del contenedor, sabiendo que la
resistencia a la rotura del cable AB es de 680.000 Pascales (el cable AB
mantiene ambas compuertas cerradas). Cada compuerta tiene un peso de 50.000 N.
El C.G. de las compuertas se encuentra a 2,5 m del fondo (medido
verticalmente). Sol. 6,411 m
45. Sabiendo que: PA – PB = 14.500 psi; dA = 25 cm; dB = 5 cm y S del fluido
igual 0,90. Determine el caudal en m3/s. Sol. 0,926 m3/s
46. Se desea elevar un bloque de hierro (cuyo peso es 650 N) usando una esfera
de un materialespecial (Se = 0,60). Sabiendo que la línea de flotación de la
esfera se encuentra exactamente en su mitad, sCuánto debe ser el volumen de la
esfera? Sol. 1,325 m3
47. Una esfera de plástico flota en el agua con 50 % de su volumen
sumergido. Esta misma esfera flota en aceite con 40 % de su volumen sumergido.
Determine las densidades del aceite y de la esfera. Sol. ï²esfera = 500 kg/m3; ï²aceite = 1250 kg/m3
48. En la figura adjunta se presenta un sistema cilindro – pistón. El pistón
transmite una fuerza de 650.000 N a la superficie de un líquido cuya gravedad
específica es 0,52. La sección transversal del pistón es circular. Al lado
derecho del cilindro se ubica una compuerta cuadrada, que
tiene libertad para girar alrededor del punto A. Determine, sCuánto
debe ser la magnitud de la fuerza Fx y su línea deacción para que la
compuerta permanezca cerrada? Sol. 4605912,72 N; 0,02 m por debajo del
centro de gravedad de la compuerta
43. Un tanque presurizado con aire contiene un líquido de peso específico
desconocido. El mismo posee una compuerta rectangular como se muestra en la
figura adjunta; si la presión del aire es 200000 N/m2 y la presión en el fondo
del tanque es de 500000 N/m2. Determínese la magnitud de la fuerza de presión y
la línea de acción de la misma. Sol: Fp = 42.012.000 N; CG-CP = 0,714 m.
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